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课时作业(二十一)[2.7 正方形]一、选择题1．如图K－21－1，在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，则∠CPQ的度数为( )链接听课例3归纳总结图K－21－1A．50° B．60° C．45° D．70°2．2018·滨州下列命题，其中是真命题的为( )A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形3．2017·枣庄如图K－21－2，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )图K－21－2A．2 B. 3 C. 2 D．14．如图K－21－3，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT等于( )图K－21－3A. 2 B．2 2 C．2 D．15．如图K－21－4，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，交BF于点M，连接BE，EF，则∠EBF的度数是( )图K－21－4A．45° B．50°C．60° D．无法确定6．2017·钦州一模如图K－21－5，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为链接听课例3归纳总结( )图K－21－5A.7 22B．3 2 C．5 D．67．2018·仙桃如图K－21－6，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是链接听课例3归纳总结( )图K－21－6A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二、填空题8．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形(只填写一个即可)．9．如图K－21－7所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a 于点E，BF⊥a于点F.若DE＝4，BF＝3，则EF的长为________．10．2017·宿迁如图K－21－8，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1.若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是________．图K－21－811．如图K－21－9，在正方形ABCD中，F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于________°.图K－21－912．2018·武汉以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是________．三、解答题13．如图K－21－10，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F.(1)求证：∠CAB＝∠DAB；(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形.链接听课例4归纳总结图K－21－1014．如图K－21－11，在正方形ABCD中，E是BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF.图K－21－11(1)求证：△ABE≌△EGF；(2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE的长．15．如图K－21－12，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF 的距离AH始终保持与AB的长度相等，在点E，F的移动过程中：(1)∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否有变化？请说明理由．图K－21－12猜想、探究如图K－21－13①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B，C，G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM＝FM，DM⊥FM.(1)如图②，当点B，C，F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变时，试探究线段DM与FM有怎样的关系，请写出猜想，并给予证明；(2)如图③，当点E，B，C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变时，探究线段DM与FM有怎样的关系，请直接写出猜想．图K－21－13详解详析课堂达标1．[解析] C ∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝DA ＝BC ＝CD ，∠C ＝90°.∵P ，Q 分别为BC ，CD 的中点，∴CP ＝CQ.∵∠C ＝90°，∴∠CPQ ＝45°.故选C.2．[解析] D 一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故A 选项是假命题；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故B 选项是假命题；对角线相等的四边形也可能是等腰梯形，故C 选项是假命题；一组邻边相等的矩形是正方形是正确的，故D 选项是真命题．3．[解析] B ∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB ＝AB ＝2.∵把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，∴BM ＝12BC ＝1.在Rt △BMF 中，FM ＝FB 2－BM 2＝22－12＝ 3.故选B.4．[解析] B △BCD 与△GCE 都是等腰直角三角形，由此可以推出△GTD 也是等腰直角三角形，GD ＝4，由勾股定理可知GT ＝2 2.5．[解析] A 如图，过点E 作EG ⊥BC ，EH ⊥CD ，垂足分别为G ，H ，易证明△BEG ≌△FEH(HL)，得∠BEG ＝∠FEH ，所以∠BEF ＝∠GEH ＝90°，所以∠EBF ＝45°.故选A.6．[解析] C ∵四边形ABCD 是正方形，AC 为正方形ABCD 的对角线，∴∠EAF ＝45°.又∵EF ⊥AC ，∴∠AFE ＝90°，∴∠AEF ＝45°，∴EF ＝AF ＝3.∵△EFC 的周长为12，∴FC＝12－3－EC ＝9－EC.在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋FC 2，∴EC 2＝9＋(9－EC)2，解得EC ＝5.故选C.7．C8．[答案] 答案不唯一，如AC ⊥BD 或AB ＝BC[解析] 根据对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．9．[答案] 7[解析] 可证△ABF ≌△DAE ，则有EF ＝AF ＋AE ＝DE ＋BF ＝4＋3＝7.10．[答案] 10[解析] 连接PC.根据正方形的对称性知PA ＝PC ，所以当点C ，P ，E 在同一条直线时，PA ＋PE ＝PC ＋PE ＝CE 最小，再根据勾股定理求得CE ＝BC 2＋BE 2＝32＋12＝10.11．[答案] 65[解析] ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ＝45°.在△ABE 与△ADE 中，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ADE(SAS)，∴∠AEB ＝∠AED.∵∠CBF ＝20°，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝70°，∴∠AED ＝∠AEB ＝180°－45°－70°＝65°.12．[答案] 30°或150° [解析] 分两种情况：(1)如图①，等边三角形ADE 在正方形ABCD 的内部．∠CDE ＝∠CDA －∠ADE ＝90°－60°＝30°.∵CD ＝DE ，∴∠DCE ＝75°，∴∠ECB ＝90°－75°＝15°，同理可以得到∠EBC ＝90°－75°＝15°，∴∠BEC ＝150°.(2)如图②，等边三角形ADE 在正方形ABCD 的外部．∠CDE ＝∠CDA ＋∠ADE ＝90°＋60°＝150°.∵CD ＝DE ，∴∠CED ＝15°.同理∠AEB ＝15°，∴∠BEC ＝∠AED －∠CED －∠AEB ＝60°－15°－15°＝30°.13．证明：(1)∵AB 是CD 的垂直平分线， ∴AC ＝AD ，AB ⊥CD ，∴∠CAB ＝∠DAB(等腰三角形的三线合一)． (2)∵ME ⊥AC ，MF ⊥AD ，∠CAD ＝90°， ∴∠CAD ＝∠AEM ＝∠AFM ＝90°， ∴四边形AEMF 是矩形．又∵∠CAB ＝∠DAB ，ME ⊥AC ，MF ⊥AD ， ∴ME ＝MF ，∴矩形AEMF 是正方形． 14．解：(1)证明：∵∠AEF ＝90°， ∴∠AEB ＋∠GEF ＝90°. 又∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＋∠BAE ＝90°， ∴∠GEF ＝∠BAE.∵FG ⊥BC ，∴∠EGF ＝90°＝∠ABE.在△ABE 与△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠EGF ，∠BAE ＝∠GEF ，AE ＝EF ，∴△ABE ≌△EGF(AAS)．(2)∵△ABE ≌△EGF ，AB ＝2， ∴AB ＝EG ＝2，S △ABE ＝S △EGF .∵S △ABE ＝2S △ECF ，∴S △EGF ＝2S △ECF ， ∴EC ＝CG ＝1.∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝AB ＝2，∴BE ＝2－1＝1.15．解：(1)∠EAF 的大小没有变化． 理由：根据题意，知AB ＝AH ，∠B ＝90°. 又∵AH ⊥EF ，∴∠AHE ＝90°＝∠B. 在Rt △BAE 和Rt △HAE 中， ∵AE ＝AE ，AB ＝AH ， ∴Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴∠BAE ＝∠HAE ＝12∠BAH.同理可证Rt △HAF ≌Rt △DAF ，∴∠HAF ＝∠DAF ＝12∠HAD ，∴∠EAF ＝∠HAE ＋∠HAF ＝12∠BAH ＋12∠HAD ＝12(∠BAH ＋∠HAD)＝12∠BAD.又∵∠BAD ＝90°，∴∠EAF ＝45°，∴∠EAF 的大小没有变化． (2)△ECF 的周长没有变化． 理由：C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC ， 由(1)得BE ＝EH ，HF ＝DF.又∵BC ＝DC ，EF ＝EH ＋HF ，EC ＝BC －BE ，FC ＝DC －DF ， ∴C △ECF ＝BE ＋DF ＋BC －BE ＋DC －DF ＝BC ＋DC ＝2BC ， ∴△ECF 的周长没有变化． 素养提升[解析] (1)连接DF ，NF ，由四边形ABCD 和四边形CGEF 是正方形，得到AD ∥BC ，CF ∥GE ，于是得到AD ∥GE ，求得∠DAM ＝∠NEM ，证得△MAD ≌△MEN ，得出DM ＝NM ，AD ＝EN ，推出△DCF ≌△NEF ，证出△DFN 是等腰直角三角形，即可得到结论；(2)连接DF ，NF ，由四边形ABCD 是正方形，得到AD ∥BC ，由点E ，B ，C 在同一条直线上，得到AD ∥CN ，求得∠ADM ＝∠ENM ，证得△MAD ≌△MEN ，得出DM ＝NM ，AD ＝EN ，推出△DCF ≌△NEF ，证出△DFN 是等腰直角三角形，于是得到结论．解：(1)DM ＝FM ，DM ⊥FM. 证明：如图，连接DF ，NF.∵四边形ABCD 和四边形CGEF 是正方形， ∴AD ∥BC ，CF ∥GE.∵点B ，C ，F 在同一条直线上，∴AD ∥GE ， ∴∠DAM ＝∠NEM.∵M 是AE 的中点，∴AM ＝EM. 在△MAD 与△MEN 中，∵∠AMD ＝∠EMN ，AM ＝EM ，∠DAM ＝∠NEM ，∴△MAD ≌△MEN ， ∴DM ＝NM ，AD ＝EN. ∵AD ＝CD ，∴CD ＝EN.又∵CF ＝EF ，∠DCF ＝∠NEF ＝90°， ∴△DCF ≌△NEF ，∴DF ＝NF ，∠CFD ＝∠EFN. ∵∠EFN ＋∠NFC ＝90°， ∴∠CFD ＋∠NFC ＝90°， ∴∠DFN ＝90°，即△DFN 是等腰直角三角形． 又∵DM ＝NM ，∴DM ＝FM ，DM ⊥FM.(2)猜想：DM＝FM，FM⊥DM.。
