巴拿赫（Banach ）火柴盒问题
波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n 根火柴. 每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根. 试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律.
解 为了求得巴拿赫衣袋中的一盒火柴已空，而另一盒还有k 根的概率，我们记A 为取左衣袋盒中火柴的事件，___A 为取右衣袋盒中火柴的事件. 将取一次火柴看作一次随机实验，每次实验结果是A 或___A 发生。显然有2
1)()(___==A p A p . 若巴拿赫首次发现他左衣袋中的一盒火柴变空，这时事件A 已经是第1+n 次发生，而此时他右边衣袋中火柴盒中恰剩k 根火柴相当于他在此前已在右衣袋中取走了k n - 根火柴，即___
A 发生了k n -次. 即一共做了12+-k n 次随机试验，其中事件A 发生了1+n 次,___A 发生了k n -次. 在这12+-k n 次实验中，第12+-k n 是A 发生，在前面的k n -2 次实验中A 发生了n 次. 所以他发现左衣袋火柴盒空，而右衣袋恰有k 根火柴的概率为 k n n k n k n n n
k n C A P A p C A p ----??? ??=22___22121))(())(()(
由对称性知，当右衣袋中空而左衣袋中恰有k 根火柴的概率也是k n n k n C --??
? ??222121. 最后得巴拿赫发现他一只衣袋里火柴空而另一只衣袋的盒中恰有k 根火柴的概率为 n k C k n n k n ,,1,0,212122 =??? ??--
对巴拿赫火柴盒问题的研究
波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n 根火柴。每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。
解析：为了求得巴拿赫衣袋中的一盒火柴已空，而另一盒还有k 根的概率，我们记A 为取左衣袋盒中火柴的事件，A 为取右衣袋盒中火柴的事件。将取一次火柴看作一次随机实验，每次实验结果是A 或A 发生。显然有P （A ）= P （A ）=2
1. 若巴拿赫首次发现他左衣袋中的一盒火柴变空，这时事件A 已经是第n+1次发生，而此时他右边衣袋中火柴盒中恰剩k 根火柴相当于他在此前已在右衣袋
中取走了n-k 根火柴，即A 发生了n-k 次。即一共做了2n-k+1次实验，其中事件A 发生了n+1次，A 发生了n-k 次。在这2n-k+1次实验中，第2n-k+1次是A 发生，在前面的2n-k 次实验中A 发生了n 次。所以他发现左衣袋火柴盒空，而右衣袋恰有k 根火柴的概率为
k n n k n k n n n k n C C A P A P A P ----=222)21(21))(())(()(
又对称性知，当右衣袋中空而左衣袋中恰有k 根火柴的概率也是k n n k n C --22)2
1(21。 最后得巴拿赫发现他一只衣袋里火柴空而另一只衣袋的盒中恰有k 根火柴的概率为k n n k n C --22)2
1(，k=0,1,…,n
（*巴拿赫（Stefan Banach ，公元1892年3月30日─公元1945年8月31日）是著名的波蘭數學家。生於克拉科夫，卒於利沃夫。1910年進入利沃夫工學院學習，1919年獲博士學位。1919年起任利沃夫工學院數學講師，1922年轉為利沃夫大學的講師，1927年成為教授。先後被選為波蘭科學院和烏克蘭科學院的通訊院土、波蘭數學學會主席。第二次世界大戰期間，波蘭被德軍占領，他在一所醫學研究所做喂養昆蟲的工作，停戰後又回到利沃夫大學工作。
巴拿赫是利沃夫學派的開創人之一，對泛函分析的發展做出了突出貢獻。他引進了線性賦範空間的概念，建立了其上的線性算子理論。他證明了作為泛函分析基礎的三個定理：哈恩─巴拿赫延拓定理、巴拿赫─斯坦因豪斯定理及閉圖象定理。這些定理概括了許多經典的分析結果，在理論上和應用上都有重要價值。人們把完備的線性賦範空間稱為巴拿赫空間。此外，巴拿赫在正交級數論、集合論、測度論、積分論、常微分方程論、複變函數論等方面都有很多出色的工作。其主要著作《線性算子理論》被譯成多種文字，有很大影響。*)
这是独立重复试验吗？——“巴拿赫火柴问题”质疑
随着新的课程标准的实施,概率进入到了中学课堂。一个经典数学名题——“巴拿赫火柴问题”为各大教辅资料所青睐，纷纷选为例题或习题。
“巴拿赫火柴问题”：某人有两盒火柴各n 根，每次使用火柴时，他随机地从任一盒中抽出一根，经过一段时间后，他发现其中一盒火柴已用完，求此时另一盒为柴还有r 根的概率。
解法一：（摘自《名师导航 金版教程》丛书之《高二数学》 光明日报出版社） 这是一个独立重复实验题。
设事件A ＝“一盒已用完，另一盒还有r 根”，A 1＝“甲盒用完，乙盒还有r 根”，A 2＝“乙用完，甲还有r 根”，则显然事件A 1、A 2互斥，P(A)=P(A 1)+P(A 2)。
事件A 1相当于共抽取2n-r+1，而且第2n-r+1次取自甲盒，前2n-r 次恰好是2n-r 次独
立重复实验；又从甲盒中抽取与从乙盒中抽取是等可能的，其概率为2
1。 故P(A 1)＝C 212121r -2n r n n n -）（）（＝P(A 2) P(A)=C ()()r n n n
-2
121r -2n =C ()r n n r n --2212. 解法二：（成才之路《高二数学》 内蒙古少儿出版社出版） 这是一个2n-r 重独立重复实验。由于从两盒中抽取是等可能的，其概率为21。 故概率为P(A)=C ()()r n n n
-21
21r -2n =C ()r n n
r n --2212
我校所用资料《高中数学导学导练》中也有类似题目：甲、乙两冰箱内各有5听饮料，某人每次饮用时，在任一箱中任取一听，求甲冰箱饮用完毕而乙冰箱还有4听的概率。
学生做来也是五花八门，并且只有少数人用独立重复试验的方法求解。
解法三：（对应计数法――笔者）
将抽出的火柴排成一列，不妨用0表示取自甲盒的火柴，用1表示取自乙盒的火柴，则每一种抽取方法与0、1的一个排列之间是一一对应关系（0或1的个数都不超过n 个）。于是，该题就是取2n-r 个0，1排成一列，要求n 个0（或1）全部取出排在这2n-r 个位置的概率，利用概率的定义便可求解。
有利事件数为：2n r n c -2，基本事件数为：
r n r n n r n n r n c c c -+--+-+-+?++1211212＝
][2211211201212-+-+-+-+-+?++-n r n r n r n r n c c c
故概率为 ][222112112012122-+-+-+-+--+?++-n r n r n r n r n n r
n c c c C 三种解法各不相同，特别是解法三与前两种解法更是截然不同，为什么？如果作为独立重复试验，本题与投掷硬币，一面出现n 次时，另一面恰好出现n-r 次的概率似乎是一样的，至少从标准答案看是一致的。笔者在审查自已的解法时也发现，若将基本事件数确定为22n-r+1，即2n-r+1个位置中，每个位置可排0或1，则与解法一相吻合了。
其实不然，因为投掷硬币，一面出现的次数是不受限制的，即某一面可以出现2n-r 次。而本题中若第2n-r+1个位置的前面若干个位置中若已排了n 个0（或1），那么其后的位置不可能有两种排法了（要么剩下1，要么剩下0）；就是说，若独立重复试验进行若干次后，某一盒火柴已用完，再试验则只可能是必然事件或不可能事件了，这与投掷硬币是不同的。如果将此题改为某人有两盒火柴各n 根，每次使用火柴时，他随机地从任一盒中抽出一根，经过一段时间后，他发现其中一盒火柴用了k 根另一盒用了l 根，(k+l ≤n),则与标准答案一致了，因为此时不存在某一盒火柴用完的问题了。
因此，笔者以为，这根本不是一个独立重复试验。以上所述不知对否，望不吝指教。
泛函分析知识点 知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球 定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限 定义 若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集 定义 若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集 定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间 定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 第三节 连续映射 1.定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任 意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足 ()0,d x x δ < 的x ，有 ()~ 0,d Tx Tx ε <，
度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离， 使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范 线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空 间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 （2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A) 中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间 设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度， 若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间 令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意 两点x,y ，定义 二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯 一的。 （2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()| f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
来源：投资潮作者：Bella 网址：https://www.doczj.com/doc/ff6617745.html,/news/120759.html 身处全球最大的移动社交市场，13亿人口的巨大市场被创业者们撬动着，各路社交软件为争得一席之地，绞尽脑汁用不同的社交卖点来吸引用户。在这样一个刷脸的时代，“颜值”“约炮”成为了大部分陌生人社交app的标签和代名词，与熟人社交APP相比，陌生人社交APP的活跃度高出了2-3倍。
在微信统一了熟人社交的江湖之后，以陌陌为代表的陌生人社交应用纷纷切入市场，以“分享打动人心的事物”的陌生人社交app火柴盒在此背景下应运而生，通过话题和兴趣的方式进行展现。近期投资潮采访到火柴盒的创始人兼主编缪志伟，表达了其创业的初衷及公司未来的发展方向。 以下为投资潮对火柴盒创始人缪志伟的专访： 投资潮：我们都知道创业是件很不容易的事情，它需要很大的决心和毅力，那么是什么促使您选择创业的呢?您此前都有哪些职业经历呢? 缪志伟：我出生于苏北一个沿海小镇的普通人家，毕业于南京的一所普通专科院校广告专业。工作的前7年一直混迹于广告公司、媒体和甲方，做的是策划创意方面的工作。我是2011年辞职创业的，辞职的时候是一个传统企业的品牌总监。当时辞职挺冲动的，就是觉得自己特别牛，想让别人看看我是怎么创建并发展一个公司，然后也想赚很多钱。但是第一次创业就失败了。 投资潮：您是出于什么原因做“火柴盒”这个产品的呢? 缪志伟：火柴盒算是我的第二次创业，做火柴盒的时候，已经没什么钱了，就是想从一个简单但大家会喜欢的产品入手。因为我自己本身算是一个资深的社交用户，豆瓣、微博和微信等自己都一直有在玩，发现社交的市场非常大，后来就开始做这件事。火柴盒的前身是微信公共帐号“短读”，创业初衷是分享打动人心的事物，只要是符合“打动人心”这个原则的，都在分享的范围内。后来在运营过程中，我们发现用户虽然来自天南海北，却有非常多的共同语言，他们想
火柴盒中的数学教学设计 【学习目标和教学重、难点】： 根据以上情况，我制定了以下 知识与技能：利用表面积的有关知识，主要研究火柴盒的三种面积：火柴盒的表面积、火柴盒的总面积、做一个火柴盒用的纸板的总面积。 过程与方法：通过观察、动手拆拼、同伴合作、自主计算解决生活中的数学问题。 情感态度：体会数学在日常生活中的作用和价值，感受数学与生活的密切联系的。 教学重点：火柴盒的表面积、总面积以及做一个火柴盒用的纸板的总面积的三种面积的区分。 难点：求一个火柴盒用的纸板的总面积的方法。。 【教学过程】： 下面，我简要地向大家介绍一下本节课的教学流程。本节课，我大致分为五个环节进行教学： 第一环节：出示实物，联想旧知。先出示火柴盒这一实物，让学生从数学的角度进行思考，可以联想到哪些数学知识或马上可以求出什么问题？在学生自己提问，自己解决的过程中获得一些关于火柴盒的一些特征，既复习了第一单元的旧知，也很自然的揭示了课题，明确了这节课的任务。 （重点）第二环节：多种面积，分层研究。（勇敢地退出去，适时的走进来）具体过程：在第一环节复习旧知后，已经明确了这节课的任务是研究三个面积问题。 于是我马上提问：“究竟先研究哪个面积呢？”我预想这时学生肯定会纷纷发表自己的意见，提出自己的想法。在争论不休时，我会及时渗透研究数学问题的规律：从小到大，从简单到复杂。这样大家会一致认为得出先研究火柴盒的表面积，再研究火柴盒的总面积，最后研究做一个火柴盒需要的材料这三个层次的研究。 1、研究火柴盒的表面积。求火柴盒的表面积方法应该不是重点。让学生求 火柴盒的表面积但我没有给学生计算的数据，目的是再一次复习计算长 方体物体的表面积需要知道物体的长、宽、高。于是我就请学生先估计 一下火柴盒的长、宽、高，培养他们的估计能力，然后我又出示了一组 数据长、宽、高分别是45毫米、35毫米、15毫米请学生计算。我估计 学生会用不同的方法解答出火柴盒的表面积，在这里我将对学生列出的 算式计算方法进行了分析,提出了可以根据数据的特点利用乘法分配率 使计算简便这一细节问题。同时也为解决第2个问题“求总面积”埋下 可以“简便计算”的意识。 2、研究火柴盒的总面积。首先明确火柴盒的总面积是外壳+内芯。我想学生 计算火柴盒总面积的方法是多种多样的，在这里我们要选择最简便、合 理的方法来进行讨论，因此在这一环节中我提醒学生前面火柴盒的表面 积的结果可以用。这样给学生的讨论明确了方向，可以在计算了火柴盒
第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子 算子 线性算子 非线性算子 无界线性算子 有界线性算子 §1 有界线性算子 1.1 有界线性算子的基本概念与性质 定义1.1 设E 及1E 都是实（或复的）线性空间，T 是由E 的某个子空间D 到线性空间1E 中的映射，如果对任意 D y x ∈,，有 ()Ty Tx y x T +=+ 则称T 是可加的。若对任意的实（或复）数α及任意的 D x ∈，有 ()Tx x T αα= 则称T 是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。D 中使θ=Tx 的元素x 的集合称为T 的零空间。 设1E 是实（或复）数域，于是T 成为由D 到实（或复）
数域的映射，这时称T 为泛函。如果T 还是线性的，则称T 为线性泛函。泛函或线性泛函常用g f ,等符号表示。 定义1.2 设E 及1E 都是实或复的赋范线性空间，D 为E 的子空间，T 为由D 到1E 中的线性算子。如果按照第六章§2.3定义2.6，T 是连续的，则称T 为连续线性算子。如果T 将D 中任意有界集映成1E 中的有界集，则称T 是有界线性算子。如果存在D 中的有界集A 使得()A T 是1E 中的无界集，则称T 是无界线性算子。 例 1 将赋范线性空间E 中的每个元素x 映成x 自身的算子称为E 上的单位算子，单位算子常以I 表示.将E 中的每个元素x 映成θ的算子称为零算子. 容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子. 例 2 连续函数的积分 ()()?= b a dt t x x f 是定义在连续函数空间[]b a C ,上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函.＊ 例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）. 定理 1.1 设E ,1E 都是实赋范线性空间，T 是由E 的
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式） 则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要 满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度 量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界
第四章习题第一部分(1-18) 1. 在1中令1(x , y ) = (x y )2，2(x , y ) = | x y |1/2，，问1, 2 是否为1上的距离 [解] 显然1, 2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但1不满足三角不等式：取点x = 1, y = 0, z = 1，则 1(x , z ) = 4 > 2 = 1(x , y ) + 1(y , z )，所以1不是 1 上的距离。 而x , y , z 1 ， 2 (x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==2 (x , z ) + 2 (z , y )； 所以2是1上的距离． 2. 设(X , )是距离空间，令 1 (x , y ) = n y x ),(ρ，x , y X ．证明(X , 1 ) 也是距离空间． [证明] 显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明1满足三角不等式即可． 实际上x , y , z X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , )是距离空间，证明 | (x , z ) (y , z ) | (x , y )，x , y , z X ； | (x , y ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )，x , y , z , w X ． [证明] x , y , z , w X ，由三角不等式有 (x , y ) (x , z ) (y , z ) (x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式： | (x , y ) (z , w ) | | (x , y ) (y , z ) | + | (y , z ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )． 4. 用Cauchy 不等式证明(| 1 | + | 1 | + ... + | n | )2 n (| 1 |2 + | 1 | 2 + ... + | n |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | i |，b i = 1，i = 1, 2, ..., n 即可． 5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做． 6. 设(X , d )是距离空间，A X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集． [证明] 若A = ，则int(A ) = ，结论显然成立． 若A ，则x A ，r > 0使得S (x , r ) A ． 对y S (x , r )，令s = r d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) S (x , r )
泛函分析度量空间知识和不动点的应用 第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子 定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）； （Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ） 则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。 二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法： 1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞ =0，则称点列{} n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。即若n x M ∈，n=1、，2……， n x x →，则x M ∈。 给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间n R 是可分空间，坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。l ∞ 是不可分空间。 三、连续映射 证明度量空间的连续映射有四种方法： 1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0 x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ 0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有 (,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。 2、对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 得某个δ—邻域V 使TV ?U ，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。 3、定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，d ）中的映射，那么T 在0 x X ∈连
线性与非线性泛函分析◇ - 1 - 习题1 1.(张燕石淼)设在全体实数R 上，定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和 (2) (,)d x y ，证明(1)(,)ρR 不是度量空间；(2)(,)d R 是度量空间． 2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间，:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足 ,x y f ?∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+，令(,)((,))d x y f x y ρ=，证明X d (,)为度量空间． 3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间，证明,,,x y z w X ?∈有 (,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+． 4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=，对于 123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ，定义11(,)12k k k k k k x y d x y x y ∞ =-=+-∑ ．证明 X d (,)为度量空间． 5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =，对于任意的,()x y X n ∈，定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数，例如在(3)X 中，(110,111)1d =， (010,010)0d =(010,101)3d =．证明((),)X n d 为度量空间． 6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间， A X ?且A ≠φ．证明A 是开集当且仅当A 为开球的并． 7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间．那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集． 8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列．证明(),n n n a d x y =是收敛列． 9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间，在X Y ?上定义度量 112212121 ((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+，其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈?，1p ≥为正数．证明 X Y ?是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间． 10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间，{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集，证明1n n G ∞ = 也是X 中的稠密子集． 11.(王胜训闫小艳)设n A ?R ，证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集． 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间，A X ?且A φ≠．证明 （1）{|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集． （2）{|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集，其中0ε>．
小小火柴棒的故事 导读：童话中丰富的想象和夸张可以活跃你的思维;那生动的形象、美妙的故事可以帮你认识社会、理解人生，引导你做一个通达事理、明辨是非的人。 【小小火柴棒】 我们是从哪里来的?小火柴头忽然发问。 这个问题已经被明令禁止讨论了。代表着正义化身的检查官火柴头A结束了尴尬而短暂的沉默。 可是，why?小火柴头穷追不舍。 没有why，作为火柴你只要知道遵纪守法就够了，何必要为这些问题纠缠不休。作为一名资格较老的火柴，检察官火柴A亲眼目睹了上世纪未一起因全民无法知道物种起源问题焦虑不已迫使头部充血过多自燃差点亡国亡民的恶性事件。这个问题多此被列为禁题禁止国民讨论。 Ok，那我们将来要到哪儿去?小火柴头换了问题。 火柴盒内人声鼎沸莫衷一是争论四起，国民参与的热烈程度比起上一次恶性事件更加来势凶猛，火柴A心里暗叫不好。 还是来研究一下我们从哪里来的吧。火柴头A赶紧转移话题。 大家马上哑口无言，显然这个问题比要到哪里去更有深度。 现在任命小火柴头为该课题的唯一负责人，从今天开始全力研究解决这一困挠火柴家族数千年的疑难问题。
可是，可是。小火柴头对自己的能力很没信心。 别可是了，解决了这一问题，你就是火柴家族独一无二的英雄人物，所有人都会以你为骄傲，你看，外面是大家期待的眼光。火柴A 为小火柴头鼓劲。 小火柴头万岁。群众激昂的呐喊声排山倒海。 小火柴头马上升起了我不入地狱谁入地狱的责任感。 众火柴合力推开火柴盒，小火柴头第一次见到外面的世界。 我已出仓，感觉良好。小火柴头挥手致意。 据说这一句话引发了席卷全球的金融危机。 离开了火柴盒，小火柴头开始了人生的第一次冒险。 火柴盒外面依然是火柴盒，小火柴头脑袋几乎都转不过弯来，他猜测着各种模样的火柴盒及他们的用途。 他是根聪明的火柴，不多一会，他就知道了挂在头顶上的火柴盒是用来照明的，放在客厅的'大火柴盒是用来放东西的，墙壁上的火柴盒是用来透进阳光的。 小火柴头探过去，天上熊熊燃烧着一根诺大的火柴头，四面烟雾缭绕。 这根火柴真耐用，小火柴头不得不佩服。 小火柴头唯一不明白桌子旁边的那个四肢发达的火柴是用来干 什么的，凭感觉，这是根劣质火柴，火柴以直为美，极少旁逸斜出。 正想着，那根大火柴晃动着从椅子上站起来，他似乎是在寻找什
第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
3D打印火柴盒公司创业计划书 一、工作室介绍 （一）简介 名称：火柴盒工作室 宗旨：科技生活美好 目标：追求精美卓越，引领时尚潮流 文化：上进创新，诚悦服务 我们模拟的企业名称：火柴盒工作室，定位于第三方专业服务提供商，具体为3D打印应用服务开发。把现代科技和传统工艺相结合，为客户创造出独一无二的产品。主要涉及的产品种类有礼品、纪念品、工艺品、手办以及模型设计。作为3D打印机研发公司及生产商的威宝仕科技有限公司与我公司合作已久，所以，我们工作室完全有实力承接大批量、结构复杂的产品订单。我们的团队将以卓越的服务品质，绝佳的创意，专业安全的技术服务实力，为不同需要的用户提供更高更优质的创新打印服务。 （二）战略 我们工作室实行的是三步走战略。第一步，把江宁大学城作为市场开拓的起点，主推透光浮雕（灯）、3D人像打印及简单饰品制作3个服务项目，以此累计3D打印工作经验并维持工作室的经营。第二步，进军所有高校，扩大服务围以提升业务量。主推服务项目除第一步的3个外，还将提供首饰设计、制作型态复杂的雕塑、机械零件、模具等打印服务。第三步，凭借多年行业经验及人脉组建专业团队（包括设计团队、运营管理团队），开发运作3D打印综合服务。 二、产品服务描述（主要） （一）透光浮雕（灯） 1．1什么是透光浮雕灯？ 透光浮雕灯是由灯罩、透光浮雕、高亮LED灯组成。灯罩款式多样，可自选。透光浮雕采用人造石材料，通过影雕手法机械雕刻照片或者直接通过3D打印机打印出来，在高亮节能LED灯照射下呈现立体浮雕效果。是一款高科技、个性化、节能环保产品。
将3D打印的个性化制作与透光浮雕的个性化定制相结合，绝对 是个人保存、礼品馈赠的独一无二的艺术品（宣传语） 1.2如何定制透光浮雕灯？ 客户只需要选择所喜爱的款型，并上传喜欢的照片，即可定制客户专属的透光浮雕灯。上传的照片尽量使人物占据大部分画面，像素1200朝上为佳，以提高制作质量。同时，客户可选择在浮雕图片下方添加少量祝福语，上传时备注说明其具体要求，例如字体、文字与图片对应关系。 产品外观根据透光浮雕特征可由专业设计师设计，也可参照客户的个性化需要进行定制。透光浮雕的照片可以是婚纱照、生活照、旅游照、儿童照、风景照、全家福、旧照片等 （二）3D人像打印（3D照相） 三个步骤即可完成3D人像打印。 第一步：用三维相机采集人像数据。 第二步：把数据导入3D打印机开始打印。 第三步：对人像进行后续加工。
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空 间或距离空间(metric space )。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为 度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例
第3章 赋范线性空间 3.1 赋范线性空间和Banach 空间 3.1.1 赋范线性空间 定义3.1.1 (范数，赋范线性空间) 设X 为是实（或：复）数域F 的线性空间，若对x X ?∈，存在一个实数x 于之对应，且满足下列条件： (1) 0≥x ; 且0=x ?=0x ； （非负性 (non-negativity)） (2) αα=x x ，α∈F ； （正齐（次）性 (positive homogeneity)） (3) +≤+x y x y ，,X ∈x y ； （三角不等式(triangle inequality)） 则称x 为x 的范数(norm)，称(,)X ? （或：X ）为赋范线性空间(normed linear space)， 简称赋范空间(normed space). 例3.1.1 空间[,]C a b 是闭区间[,]a b 上的连续函数全体所成的线性空间。对[,]f C a b ?∈，规定 [,] max ()t a b f f t ∈=, (3.1.1) 易证f 是f 的范数，则[,]C a b 按上述范数成为赋范线性空间。 例 3.1.2 设[,]a b L 是闭区间[,]a b 上的Lebesgue 可积函数全体所成的线性空间。对 [,]f a b ?∈L ，规定 ()d b a f f t t =?, (3.1.2) 若将在[,]a b 上满足()()f t g t ?=的两个函数,f g 视为同一个函数，即将在[,]a b 上满足 ()0f t ? =的函数f 视为恒等于零的函数，即0f =，则在[,]a b L 上，f 是f 的范数，从而 [,]a b L 按上述范数成为赋范线性空间。 例 3.1.3 在n 维实向量空间n R 或n 维复向量空间（称为酉空间）n C 中，对 12(,,,)n n x x x x ?=∈R （或n C ），令 12 21n i i x x =??= ??? ∑， (3.1.3)
巴拿赫（Banach ）火柴盒问题 波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n 根火柴. 每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根. 试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律. 解 为了求得巴拿赫衣袋中的一盒火柴已空，而另一盒还有k 根的概率，我们记A 为取 左衣袋盒中火柴的事件，___ A 为取右衣袋盒中火柴的事件. 将取一次火柴看作一次随机实验， 每次实验结果是A 或___ A 发生。显然有2 1)()(___ = =A p A p . 若巴拿赫首次发现他左衣袋中的一盒火柴变空，这时事件A 已经是第1+n 次发生，而 此时他右边衣袋中火柴盒中恰剩k 根火柴相当于他在此前已在右衣袋中取走了k n - 根火柴，即___ A 发生了k n -次. 即一共做了12+-k n 次随机试验，其中事件A 发生了1+n 次,___ A 发生了k n -次. 在这12+-k n 次实验中，第12+-k n 是A 发生，在前面的k n -2 次实验中A 发生了n 次. 所以他发现左衣袋火柴盒空，而右衣袋恰有k 根火柴的概率为 k n n k n k n n n k n C A P A p C A p ----?? ? ??= 22___ 2212 1)) (())(()( 由对称性知，当右衣袋中空而左衣袋中恰有k 根火柴的概率也是k n n k n C --? ? ? ??222121 . 最后得巴拿赫发现他一只衣袋里火柴空而另一只衣袋的盒中恰有k 根火柴的概率为 n k C k n n k n ,,1,0,212122 =?? ? ??-- 1、作者：周义仓，赫孝良 2、书名：《数学建模实验》 3、出版社：西安交通大学出版社 4、出版时间：1999年10月 巴拿赫（Banach ）火柴盒问题 波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n 根火柴。每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。 为了求得巴拿赫衣袋中的一盒火柴已空，而另一盒还有k 根的概率，我们记A 为取左衣袋盒中火柴的事件，A 为取右衣袋盒中火柴的事件。将取一次火柴看作一次随机实验，每次实验结果是A 或A 发生。显然有P （A ）= P （A ）= 2 1. 若巴拿赫首次发现他左衣袋中的一盒火柴变空，这时事件A 已经是第n+1次发生，而此时他右边衣袋中火柴盒中恰剩k 根火柴相当于他在此前已在右衣袋
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的
C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间
泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1、度量空间 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y?x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔
伯特空间。 例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y?x|| 也是度量空间。 (如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 3、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 4、巴拿赫空间 巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。