第四章习题
（一）
1．判断下列级数的敛、散性。
（1）1n n i n ∞
=∑； （2）1(35)!n n i n ∞=+∑； （3）1152n
n i ∞
=+⎛⎫
⎪⎝
⎭∑. 2．试确定下列幂级数的收敛半径：
（1）1n n z n ∞
=∑； （2）12n
n n nz ∞=∑； （3）1
n n n n z ∞
=∑.
3．如果1
lim
n n n
c c →∞+存在（≠∞），试证下列三个幂级数有相同的收敛半径：
（1）n n c z ∑（原级数）； （2）1
1
n n c z n ++∑
（原级数逐项积分后所成级数）
； （3）1n n nc z -∑（原级数逐项求导后所成级数）。
4．设n n c z ∑的收敛半径为R （0R <<+∞），并且在收敛圆周上一点绝对收敛。试证明这个级数对于所有的点:||z z R ≤为绝对收敛且一致收敛。 5．将下列函数展成z 的幂级数，并指出展式成立的范围：
（1）
1
az b +（a, b 为复数，且0b ≠）； （2）2
0z z e dz ⎰； （3）0sin z z dz z ⎰；
（4）2sin z ； （5）
2
1
(1)
z -. 6．写出ln(1)z e z +的幂级数展式至含5z 项为止，其中0
ln(1)0z z =+=.
7．将下列函数按z-1的幂展开，并指明其收敛范围： （1）sin z ； （2）1
1
z z -+； （3）
225
z z z -+； （4
=⎭
.
8．指出下列函数在零点0z =的阶.
（1）2
2(1)z z e -； （2）3366sin (6)z z z +-.
9．设0z 是函数()f z 的m 阶零点，又是()g z 的n 阶零点，试问下列函数在0z 处具有何种性质？
（1）()()f z g z +； （2）()()f z g z ⋅； （3）
()
()
f z
g z . 10．设0z 为解析函数()f z 的至少n 阶零点，又为解析函数()z ϕ的n 阶零点，则（试证）
0()()
00()0()()lim (()0)()()
n n n z z f z f z z z z ϕϕϕ→=≠. 注：由解析函数的无穷可微性，本题就构成一般形式的洛必达法则。 11．在原点解析，而在1
(1,2,)z n n
=
=处取下列各组值的函数是否存在： （1）0，1，0，1，0，1，… （2）0，
12，0，14，0，1
6， (3)
12，12，14，14，16，1
6， (4)
12，23，34，45，5
6
，… 12．设（1）()f z 在区域D 内解析； （2）在某一点0z D ∈有 ()0()0,1,2,
n f z n =
=
试证()f z 在D 内必为常数.
13．（最小模原理）若区域D 内不恒为常数的解析函数()f z ，在D 内的点0z 有
0()0f z ≠，则0|()|f z 不可能是|()|f z 在D 内的最小值，试证之。
提示：反证法，应用最大模原理。
14．设D 是周线C 的内部，函数()f z 在区域D 内解析，在闭域D D C =+上连续，其模|()f z |在C 上为常数。试证：若()f z 不恒等于一个常数，则()f z 在D 内至少有一个零点。
（二）
1．设级数1()n n f z ∞
=∑在点集E 上一致收敛于()f z ，且在E 上|()|()g z M M <<+∞，
则级数
1
()()n
n g z f
z ∞
=∑ 在E 上一致收敛于()()g z f z ⋅.试证之。
2．试证：在单位圆||1z <内，级数 21()()n n z z z z z -+-++-+
收敛于函数()f z 0≡，但它并非一致收敛的。 试证：
（1）如果1
n n v δ∞
==∑绝对收敛，则 12||||||||n v v v δ≤++
++
.
（2）对任一复数z |||||1|1||z z z e e z e -≤-≤. （3）当0||1z <<时
17
|||1|||44
z z e z <-<. 3．设01
()(0)n n n f z a z a ∞
==≠∑的收敛半径R>0，且 ||max |()|().z M f z R ρ
ρ≤=<
试证：在圆 00||
||||a z a M
ρ<
+内()f z 无零点。
提示：由柯西不等式||n n
M
a ρ≤
，在圆||z ρ<内可证 0||
|()|||
z f z a M
z ρ-≤-，从而在题设圆内可证|()|0f z >。
4．设在||z R <内解析的函数()f z 有泰勒展式
2012()n n f z a a z a z a z =+++
++
，
试证：当0r R ≤<时
22
220
1
|()|||2i n n n f re d a r π
θ
θπ
∞
==∑⎰
.
提示：2|()|()()f z f z f z =⋅.
5．设()f z 是一个整函数，且假定存在着一个非负整数n ，以及两个正数R 与M ，使当||z R ≥时，|()|||n f z M z ≤.
试证明：()f z 是一个至多n 次的多项式或一常数。 提示：估计()f z 积分形式的泰勒系数。
注：当n=0时，这就是通常的刘维尔定理，故本题是刘维尔定理的推广. 6．设（1）()f z 在邻域0:||K z z R -<内解析，0z 是()f z 的m 阶零点； （2）101,z z z K ≠∈. 问函数 0()()()z
z F z f d z K ζζ
=∈⎰ 及函数 1
()()()z
z z f d z K ζζ
Φ=∈⎰
在点0z 的性质如何？（这里积分路径都假定在K 内。） 7．设（1）区域D 含有实轴的一段L ；
（2）函数(,)(,)u x y iv x y +及(,0)(,0)()u z iv z z x iy +=+ 都在区域D 内解析，则（试证）在D 内
(,)(,)(,0)(,0)u x y iv x y u z iv z +≡+.
注：应用此题，可将一些符合条件的解析函数 (,)(,)u x y iv x y +
（见第二、三章内的一些例题和习题），化成z 的一元函数 (,0)(,0)u z iv z + （即令 y=0, x=z ）。读者不妨自己去验证一下。 8．设（1）函数()f z 在区域D 内解析，()f z ≠常数； （2）C 为D 内任一条周线，只要()I C 全含于D ； （3）A 为任一复数。
试证： ()f z ＝A 在C 的内部I （C ）只有有限个根。
9．问||z e 在闭圆0||1z z -≤上的何处达到最大？并求出最大值。 10．设函数()f z 在||z R <内解析，令
||()max |()|
(0)z r
M r f z r R ==≤<.
试证：M （r ）在区间[ 0, R ]上是一个上升函数，且若存在r 1及212(0,)r r r R ≤<，
得12()()M r M r =，则()f z ≡常数。
第四章网络层 1.网络层向上提供的服务有哪两种？是比较其优缺点。 网络层向运输层提供“面向连接”虚电路（Virtual Circuit）服务或“无连接”数据报服务 前者预约了双方通信所需的一切网络资源。优点是能提供服务质量的承诺。即所传送的分组不出错、丢失、重复和失序（不按序列到达终点），也保证分组传送的时限，缺点是路由器复杂，网络成本高； 后者无网络资源障碍，尽力而为，优缺点与前者互易 2.网络互连有何实际意义？进行网络互连时，有哪些共同的问题需要解决？ 网络互联可扩大用户共享资源范围和更大的通信区域 进行网络互连时，需要解决共同的问题有： 不同的寻址方案 不同的最大分组长度 不同的网络接入机制 不同的超时控制 不同的差错恢复方法 不同的状态报告方法 不同的路由选择技术 不同的用户接入控制 不同的服务（面向连接服务和无连接服务） 不同的管理与控制方式 3.作为中间设备，转发器、网桥、路由器和网关有何区别？ 中间设备又称为中间系统或中继(relay)系统。 物理层中继系统：转发器(repeater)。 数据链路层中继系统：网桥或桥接器(bridge)。 网络层中继系统：路由器(router)。 网桥和路由器的混合物：桥路器(brouter)。 网络层以上的中继系统：网关(gateway)。 4.试简单说明下列协议的作用：IP、ARP、RARP和ICMP。 IP协议：实现网络互连。使参与互连的性能各异的网络从用户看起来好像是一个统一的网络。网际协议IP是TCP/IP体系中两个最主要的协议之一，与IP协议配套使用的还有四个协议。 ARP协议：是解决同一个局域网上的主机或路由器的IP地址和硬件地址的映射问题。RARP：是解决同一个局域网上的主机或路由器的硬件地址和IP地址的映射问题。ICMP：提供差错报告和询问报文，以提高IP数据交付成功的机会 因特网组管理协议IGMP：用于探寻、转发本局域网内的组成员关系。
第四章判断题 F1 FTP服务器提供文件下载服务，但不允许用户上传文件。（判断）P191 T2 FTP服务器要求客户提供用户名（或匿名）和口令，然后才可以进行文件传输。 F3 从理论上说，所有的密码都可以用穷举法破解，因此使用高强度的加密技术实际上毫无意义。（判断） T4 存储转发技术使分组交换机能对同时到达的多个包进行处理，而不会发生冲突。 F5 防火墙完全可以防止来自网络外部的入侵行为。（判断）P202 F6 分组交换必须在数据传输之前先在通信双方之间建立一条固定的物理连接线路。 T7 分组交换机是一种带有多个端口的专用通信设备，每个端口都有一个缓冲区用来保存等待发送的数据包。（判断） F8 分组交换网的基本工作方式是数模转换。（判断） F9 光纤传输信号损耗很小，所以光纤通信是一种无中继通信。（判断） T10启用Windows XP操作系统的软件防火墙，能限制或防止他人从因特网访问该计算机，达到保护计算机的目的。（判断） F11 任何FTP服务器只要以anonymous为登录名，自己的电子邮件帐户名为口令均可登录。 （判断） F12 使用光纤进行通信容易受到外界电磁干扰，安全性不高。（判断） F13 双绞线常用作计算机局域网传输介质，但它不可用作本地固定电话线路。P151 T14 用户可利用自己的计算机通过因特网采用远程登录方式作为大型或巨型服务器的用户，使用其硬件和软件资源。（判断） F15 在传输信号时，同轴电缆比双绞线更容易受到信号干扰。（判断） T16 在光纤通信系统中，光纤中传输的是被电信号调制的光信号。（判断） F17 在数字通信系统中，信道带宽与所使用的传输介质和传输距离密切相关，与采用何种多路复用及调制解调技术无关。（判断） T18 在移动通信和IP电话中，为提高传输效率，需要采用更有效的语音压缩编码方法。 （判断） F[02]. ADSL可以与普通电话共用一条电话线，但上网时不能打电话。（判断） F[03]. 不对称数字用户线技术ADSL能为上行流提供较下行流更高的传输速率。（判断） F[04]. 只要不上网，PC机就不会感染计算机病毒。（判断） T[05]. TCP/IP标准中的TCP协议是一种可靠的端－端通信协议。（判断） F[06]. 在TCP/IP协议中，IP 数据报实际上只需包含目的地地址，而不需要源IP地址。 T[07]. ADSL为下行流提供较上行流更高的传输速率。（判断） F[08]. 若计算机感染了病毒就会立刻显示出异常的情况，如错误的系统时间、死机等。（判断） F[09]. 研制针对所有已知计算机病毒的防病毒软件，就能有效防止新的计算机病毒对系统的侵害。（判断） F[10]. 在一台已感染病毒的计算机上读取CD-ROM光盘中的数据，该光盘也有可能被感染病毒。（判断） T[11]. 用户在使用Cable MODEM上网的同时可以收看电视节目。（判断） T[12]. 计算机病毒一般是一段计算机程序，它会破坏计算机系统的工作，能象生物病毒那样复制、传染、潜伏和激发。（判断） F[13]. ADSL技术是xDSL技术中的一种，也是目前家庭宽带上网使用最广泛的技术，由于
复习与提高 1.下表列出了A~R,9种元素在周期表中的位置： 周期族 IA IIA ⅢA ⅣA VA VIA ⅦA 0 2 E F 3 A C D G R 4 B H 请回答下列问题。 （1）这9种元素分别为:A ，B ，C ，D ，E ，F ,H ，R 。其中化学性质最不活泼的是。 （2）D元素的最高价氧化物对应的水化物与氢氧化钠反应的离子方程式是。 （3）A、B、C三种元素按原子半径由大到小的顺序排列为。 （4）F元素氢化物的化学式是，该氢化物在常温下与B发生反应的化学方程式是，所得溶液的pH 7。 （5）H元素与A元素形成化合物的化学式是，高温灼烧该化合物时，火焰呈色。 2.雷雨天闪电时空气中有O，生成。下列说法中，正确的是（）。 A.O2和O3互为同位素 B.O2和O3的相互转化是物理变化 C.在相同的温度和压强下，等体积的O2和O3含有相同的分子数 D.等物质的量的O2和O3含有相同的质子数 3.Se是人体必需的微量元素。下列关于和的说法中，正确的是（）。 A. 和互为同位素 B. 和都含有34个中子 C. 和分别含有44个和46个质子 D. 和含有不同的电子数 4.下列关于物质性质的比较，不正确的是（ A.酸性强弱：HIO4>HBrO4>HClO4 B.原子半径大小：Na>S>O C.碱性强弱：KOH>NaOH>LiOH D.金属性强弱：Na>Mg>Al 5.右图是部分短周期元素的单质及其化合物（或其溶液）的转化关系。已知B、C、D是非金属单质，且在常温常压下都是气体，D常用于自来水的杀菌、消毒;化合物G的焰色试验呈黄色，化合物F通常状况下量气态。请回答下列问题。 （1）A、B、C、D、E、F、G各为什么物质? （2）写出下列物质间反应的化学方程式：A和B；E和CO2。 （3）写出化合物G与F反应的离子方程式。 6.请查阅铯在周期表中的位置，预测铯的性质，并回答下列问题。 （1）铯原子的最外层电子数是多少? （2）铯和钾比较，谁的熔点高? （3）铯与水反应时，可能观察到什么现象? （4）铯和钾比较，谁的金属性强?试解释你的答案。 （5）在实验室中应如何储存铯? （6）硝酸铯是离子化合物还是共价化合物? 7.在元素周期表中，氧、硫、硒、碲4种元素属于第ⅥA族元素（又称氧族元素），请回答下列问题。 元素名称元素 符号 核电 荷数 原子结构 示意图 单质氢化物氧化物 的化学 式 氧化物的 水化物的 化学式 熔点 ℃ 沸点 ℃ 密度 g.cm-3 化学 式 化合条 件 稳定性 规律 氧O 8 H2O 点燃 硫S 16 点燃SO2、SO3
第四章串习题 一、选择题 1．串是一种特殊的线性表，其特殊性体现在（） A．可以顺序存储 B.数据元素是一个字符 C. 可以链式存储 D.数据元素可以是多个字符 2. 空串与空格字符组成的串的区别在于（）。 A.没有区别 B.两串的长度不相等 C.两串的长度相等 D.两串包含的字符不相同 3.有串S1=”ABCDEFG”, S2=”PQRST”, 假设函数con(x,y)返回x和y串的连接串,subs(s,i,j)返回串s的从数组序号为i（下标从0开始）的字符开始的j个字符组成的子串, len(s)返回串s 的长度,则con(subs(s1,2,len(s2)),subs(s1,len(s2),2))的结果串是( ) A.BCDEF B.BCDEFG C.BCPQRST D.CDEFGFG 4.若串s=”sfotware”,其子串的个数是( ) A.8 B.37 C.36 D.9 5. 一个子串在包含它的主串中的位置是指（）。 A.子串的最后那个字符在主串中的位置 B.子串的最后那个字符在主串中首次出现的位置 C.子串的第一个字符在主串中的位置 D.子串的第一个字符在主串中首次出现的位置 6. 下面的说法中，只有（）是正确的。 A.字符串的长度是指串中包含的字母的个数 B.字符串的长度是指串中包含的不同字符的个数 C.若T包含在S中，则T一定是S的一个子串 D.一个字符串不能说是其自身的一个子串 7. 两个字符串相等的条件是（）。 A.两串的长度相等 B.两串包含的字符相同 C.两串的长度相等，并且两串包含的字符相同 D.两串的长度相等，并且对应位置上的字符相同 8. 若SUBSTR（S，i，k）表示求S中从第i个字符开始的连续k个字符组成的子串的操作，则对于S=“Beijing＆Nanjing”，SUBSTR（S，4，5）=（）。 A. “ijing” B. “jing＆” C. “ingNa” D. “ing＆N” 9. 若INDEX（S，T）表示求T在S中的位置的操作，则对于S=“Beijing＆Nanjing”，T=“jing”，INDEX（S，T）=（）。 A.2 B.3 C.4 D.5 10. 若REPLACE（S，S1，S2）表示用字符串S2替换字符串S中的子串S1的操作，则对于S=“Beijing＆Nanjing”，S1=“Beijing”，S2=“Shanghai”，REPLACE（S，S1，S2）=（）。A. “Nanjing＆Shanghai” B. “Nanjing＆Nanjing” C. “ShanghaiNanjing” D. “Shanghai＆Nanjing” 11. 在长度为n的字符串S的第i个位置插入另外一个字符串，i的合法值应该是（）。 A.i＞0 B. i≤n C.1≤i≤n D.1≤i≤n+1 1
第四章分散系与溶液 一、选择题 1．稀溶液的依数性的本质是（A）。 A．蒸气压下降 B．沸点升高 C．凝固点下降 D．渗透压 2．已知甲溶液为0.1 mol·mL－1NaOH ，乙溶液为0.1 mol·mL －1 CaCl 丙溶液为1 mol·mL－1葡萄糖，丁溶液为1 mol·mL－1 2 , NaCl ，他们凝固点降低值由大到小的顺序为（B）。 A．甲、乙、丙、丁 B．丁、丙、乙、甲 C．甲、丙、乙、丁 D．丁、乙、丙、甲 3．将浓度均为0.1 mol·mL－1的下列溶液同时加热，首先沸腾的是（A）。 A．葡萄糖B．氯化钠C．氯化钡D．氯化铝 4．将上述四种溶液同时冷却，最后结冰的是（ D）。 A．葡萄糖B．氯化钠C．氯化钡D．氯化铝 5．在Fe(OH)3溶胶（正溶胶）中加入等体积、等浓度的下列电解质溶液，使溶胶聚沉最快的是（ D）。 A．KCl B．MgCl2 C．AlCl3 D．K4[Fe(CN)6] 二、判断题 1．因为NaCl和CaCl2都是强电解质，所以两者对As2O3溶胶（负溶胶）的聚沉能力相同。（错） 2.胶核优先吸附与自身有相同成分的离子。（对） 三、简答题
1．物质的量浓度与质量摩尔浓度有什么相同？有什么不同？ 2．稀溶液的依数性包括哪些？ 3. 渗透现象产生的必要条件有哪些？ 4．胶体的性质有哪些？ 四、计算题 1．临床上使用的葡萄糖等渗液的凝固点降低值为0.543K。求葡萄糖等渗液的质量摩尔浓度和血浆的渗透压。（葡萄糖的摩尔质量为180g · mol－1，血浆的温度为310K。 1.752KPa 2．为防止水在仪器中结冰，可在水中加入甘油降低凝固点。如果将凝固点降至－20C，每100克水中应加入甘油多少克？（甘油的分子量为92 ，水的K f =1.86） 9.89g
习题解答 4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为 U ，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为 ① (0,)(,)0y a y ϕϕ== ② (,0)0x ϕ= ③ 0(,)x b U ϕ= 根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为 1 (,)sinh( )sin()n n n y n x x y A a a ππϕ∞ ==∑ 由条件③，有 01 sinh( )sin()n n n b n x U A a a ππ∞ ==∑ 两边同乘以 sin( ) n x a π，并从0到a 对x 积分，得到 00 2sin()d sinh()a n U n x A x a n b a a ππ== ⎰ 02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧ =⎪ ⎨ ⎪ =⎩L L ， 故得到槽内的电位分布 1,3,5,41(,)sinh()sin() sinh()n U n y n x x y n n b a a a ππϕπ π== ∑ L 4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位 U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到 d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。 a 题4.1图
解 应用叠加原理，设板间的电位为 (,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+ 其中， 1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为 U ）的电位，即 10(,)x y U y b ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零 的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ① 22(,0)(,)0x x b ϕϕ== ② 2(,)0() x y x ϕ=→∞ ③ 002100(0)(0,)(0,)(0,)() U U y y d b y y y U U y y d y b d b ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨ ⎪-≤≤⎪⎩ 根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为 21(,)sin()e n x b n n n y x y A b π πϕ∞ -==∑ 由条件③有 00100(0)sin()() n n U U y y d n y b A U U b y y d y b d b π∞ =⎧ -≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑ 两边同乘以 sin( ) n y b π，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d b n d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin() ()U b n d n d b ππ 故得到 (,)x y ϕ=0022 121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d n b b π πππ∞-=+∑ 4.3 求在上题的解中，除开0U y 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 20 2U W C e f = 定出边缘电容。 解 在导体板（0=y ）上，相应于 2(,)x y ϕ的电荷面密度 题 4.2图
习题四 4-1 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是多少？ 解 5光年是在地球上测得的原长，由于此长度相对宇航员也是高速运动的，所以他测得收缩了的长度为3光年. 即 3=火箭相对于地球的速度应为 45 u c = 4-2 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m.. （1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？ （2）为了测得飞船的长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处.那么这两位观察者相距多远？ （3）宇航员测得两位观察者相距多远？ 解（1 ）56.4(m)l l === （2）这两位观察者需同时测量飞船首、尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4 m. （3）地面上的两位观察者相距56.4 m ，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为 7.96(m)l l === 所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m. 4-3 已知π介子在其静止系中的半衰期为8 1.810s -?。今有一束π介子以0.8u c =的速度离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当π介子衰变一半时飞越了多长的距离？ 解：在π介子的静止系中，半衰期8 0 1.810s t -?=?是本征时间。由时间膨胀效应，实验室 参考系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为 8310s t -?= =? 因而飞行距离为 7.2m d u t =?= 4-4 在某惯性系K 中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s 。已知在另一惯性系'K 中，
《水文信息采集与处理》课程第四章习题 一、填空题 1.按测流原理，流量测验的方法可分为（试列举四种）、、、 。 2.流速仪率定方程的一般形式为。 3.运用流速仪且按积点法测流，垂线上的流速测点数目可选择为（试列举四种）、、、。 4.经验、半经验的垂线流速分布曲线有、、 等。 5.确定浮标系数的方法有、、。 6.常见的量水堰有、、。 7.在我国，最早采用浮标法测流的测站是，最早采用流速仪法测流的测站是。 8.利用水工建筑物推流时，其方法有和。 9.积分法测流方法有、、。 10.计算日平均流量的日分界是从时至时。 11.单位时间内通过河流某一断面的水量称为，时段T内通过河流某一断面的总水量称为，将径流量平铺在整个流域面积上所得的水层深度称为。 12.用流速仪施测某点的流速，实际上是测出流速仪在该点的。 13.用浮标法测流，断面流量等于断面虚流量再乘以。 14.为了消除水流脉动的影响，用流速仪测速的历时一般不应少于。 15.用浮标法测流时，浮标系数与、等因素有关。 二、选择题 1.水文测验中断面流量的确定，关键是（）。 a、施测过水断面 b、测流期间水位的观测 c、计算垂线平均流速 d、测点流速的施测 2.用流速仪施测点流速时，每次要求施测的时间（）。 a、越短越好 b、越长越好 c、大约100s d、不受限制 3.一条垂线上测三点流速计算垂线平均流速时，应从河底开始分别施测（）处的流速。 a、0.2h、0.6h、0.8h、 b、0.2h、0.4h、0.8h、 c、0.4h、0.6h、0.8h、 d、0.2h、0.4h、0.6h、 4.用流速仪施测某点的流速，实际上是测出流速仪在该点的（）。 a、转速 b、水力螺距 c、摩阻常数 d、流速历时 5.我国计算日平均流量的日分界是从（）时至（）时。 a、0—24 b、08—08 c、12—12 d、20—20 6.用浮标法测流，断面流量等于断面虚流量再乘以（）。 a、风速 b、水位 c、浮标系数 d、糙率 三、判断题 1.当测流断面有死水区，在计算流量时应将该死水区包括进去。（） 2.用流速仪测点流速时，为消除流速脉动影响，每个测点的流速历时愈长愈好。（） 3.一条垂线上测三点流速计算垂线平均流速时，应从河底开始，分别施测0.2h、0.6h、0.8h（h 为水深）处的流速。（）
教科版八年级物理第四章在光的世界里练习题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 1 . 下列说法正确的是 A．光在任何情况下都沿直线传播 B．夏天雨后出现彩虹是光的色散现象 C．光在水中的传播速度比空气中快 D．汽车的后视镜是凹面镜，可以扩大视野 2 . 下列四种现象中，可用光的直线传播原理解释的是 A．美丽的彩虹B．日食、月食现象 C．水中的蓝天白云D．池水看起来变浅 3 . 光斜射到水和空气的界面时发生反射和折射的现象如图所示，由图可知（） A．MM‘的左侧为空气线 B．NN‘为水和空气的界面 C．AO 为入射光 D．折射角的大小为55° 4 . 下列说法正确的是 A．电磁波可以传递信息，声波不能传递信息
B．当固体被压缩时，分子间的距离变小，作用力表现为引力 C．遥控器发出的红外线不能在真空中传播 D．地球上的能源主要来自于太阳，太阳能是一次能源 5 . 下列关于光的说法，其中正确的是（） A．光在空气中始终沿直线传播 B．近视眼镜的镜片对光线有会聚作用 C．透过凸透镜看物理课本上的文字不可能是缩小的虚像 D．岸边树木在水中的“倒影”是倒立的虚像 6 . 用凸透镜在光屏上得到火焰的像，如果用黑纸遮住凸透镜的下半部，屏上的像 A．上半部分没有了B．下半部分没有了 C．无任何变化D．依然完整，只是光的亮度减弱了 7 . 高楼大厦的玻璃幕墙在强烈的阳光下会造成“光污染”，产生这种污染的主要原因是（） A．光的折射B．光的直线传播C．光的镜面反射D．光的漫反射 8 . 生活处处有物理，留心观察皆学问．对以下现象解释正确的是 A．彩色电视机画面的颜色是由红、黄、蓝三种色光合成的 B．指南针静止时其中一端始终指南，其含义是这一端始终指向地磁场的南极 C．中考期间，学校周围禁止汽车鸣笛，是为了在声源处控制噪声的产生 D．初春季节，在家里卫生间洗澡时发现房间里充满“白气”，这些“白气”是水蒸气 9 . 将一个凸透镜正对着太阳光，在距凸透镜20cm的纸上承接到一个很小、很亮的光斑．当把一个物体放在距这个凸透镜50cm处时，在透镜的另一侧可以得到 A．放大、正立的实像B．缩小、正立的实像 C．放大、倒立的实像D．缩小、倒立的实像 10 . 下列诗句中蕴含的光学知识，说法正确的是 A．“潭清疑水浅”是光的直线传播现象 B．“风吹草低见牛羊”是光的反射现象
第四章教育目的练习题及答案 一、概念解释 1．教育目的----教育目的是指把受教育者培养成为一定社会所需人才的总要求，是培养人才的规格与标准，是教育工作的出发点与归宿点。 2．素质教育----素质教育是根据社会经济发展和人的发展的实际需要，以全面提高学生的综合素质水准为宗旨的教育。 二、选择题 1．在教育活动中居于主导地位，对整个教育活动起指导作用的是（）。 A．教育内容B．教育方法C．教育目的D．教学组织形式 2．教育方针的有关规定表述了国家的（）。 A．教育性质B．教育目的 C．实现教育目的的途径D．培养目标 3．以涂尔干为代表的教育目的观是（）。 A．个人本位B．指导性 C．现代D．社会本位 4．斯宾塞提出的教育目的是（）。 A．多元化B．个体本位 C．完满生活D．社会本位 5．从教育法所规定的教育方针看，我国教育工作的性质和任务是（）。 A．教育必须为社会主义现代化建设服务 B．教育必须与生产劳动相结合 C．教育必须体现马克思主义关于人的全面发展的学说 D．教育必须培养劳动者 6．我国教育目的建立的理论基础是（）。 A．教育必须为社会主义现代化建设服务的学说 B．教育必须与生产劳动相结合的学说 C．马克思主义关于人的全面发展的学说 D．教育必须培养劳动者的学说 7．教育目的是三层次结构中，最低层次的是（）。 A．培养目标B．教学目标C．课程目标D．课堂目标 8．教育目的是（）。 A．教育行动的先导 B．贯穿于整个教育活动的始终 C．只在教育活动开始时发挥作用 D．确定教育内容，选择教育方法的依据 9．教育方针一般包括的内容有（）。 A．教育制度B．教育工作总任务 C．培养人才总目标D．培养人才途径 10．教育目的的内容表述必须要说明的要素有（）。 A．定性B．定向C．定位D．定点 参考答案：1C 2B 3D 4C 5A 6C 7A 8ABD 9BCD 10ABCD 三、问题简答 1．应试教育与素质教育有何区别？ 参考答案：素质教育和应试教育有以下四个方面的区别：教育价值观不同。应试教育的价
自考专科学前教育 第四章幼儿园课程评价 章节练习 一、单项选择题 1.既是课程实施的终点，又是深化课程实施的起点的是（） A.课程目标 B.课程内容 C.课程实施 D.课程评价 2.在课程运作的过程中进行的，目的是要提供证据以便确定如何修订课程计划的评价是（） A.总结性评价 B.形成性评价 C.内在评价 D.效果评价 3.在课程计划实施后所进行的评价，目的是要获得对课程质量的整体看法的评价是（） A.量化评价 B.质化评价 C.形成性评价 D.总结性评价
4.运用数学与统计学工具，收集、处理评价对象资料，通过数量化的分析和计算，对评价对象做出价值判断的评价方法是（） A.量化评价 B.质化评价 C.形成性评价 D.总结性评价 5.以自然情境为直接的资料来源的评价是（） A.量化评价 B.质化评价 C.形成性评价 D.总结性评价 6.幼儿园课程评价的核心力量是（） A.教师 B.园长 C.幼儿 D.家长 二、判断题 1.内在评价主要是通过对比前测与后测之间、实验组和控制组之间的差异来确定的。（）
2.幼儿也是课程评价的主体。（） 3.幼儿园课程评价的过程是园领导和专家对教师组织的教学活动进行评价的过 程。（）4.指标体系的科学性直接决定评价方案的水平，决定评价结果的可信度和有效性。 （）5.多彩光谱评价方案涵盖运动、语言、数学、科学、社会、视觉艺术以及音乐7 个智能领域的15种能力。（） 三、填空题 1.从评价的作用和进行时间来划分，幼儿园课程评价可以分为_________评价和总结性 2.从评价指向的对象、关注的问题和评价的方式来划分，幼儿园课程评价可以分为内在评价和___________评价。 3.从评价资料的收集与分析处理技术来划分，幼儿园课程评价可以分为量化评价和_________评价。 4.幼儿作为评价的主体，不是通过语言，而是通过自己的_______和发展变化来“发表”对课程的看法的。 5.幼儿园课程评价的准则通常有两种形式：其一为指标体系，其二为___________。 6.多彩光谱评价方案以加德纳的__________和费尔德曼的非普遍性发展理论为基础。 7._________的基本理念是作品取样系统的基础和实质。 8.作品取样系统的评价包括三个基本部分：发展指引与发展检核表、___________、综合报告表。
第四章幼儿园全面发展教育 1．我国幼儿教育的基本出发点是（） A．对幼儿实施全面发展教育B．对幼儿开展智力教育 C．保护幼儿健康成长D．对幼儿进行道德教育 2．智力是人认识事物的能力，其核心是（） A．观察力B．记忆力C．思维力D．创造力 3．培养幼儿求知的兴趣和欲望以及良好的学习习惯是（）的教学内容之一。A．体育B．智育C．德育D．美育 4．幼儿德育的内容主要包括发展（）和幼儿的个性两个方面。 A．幼儿的特长B．幼儿的智力C．幼儿的社会性D.幼儿的能力 5．幼儿美育的目标是（） A．使幼儿掌握美学的知识B．使幼儿掌握表现美的技能 C．培养幼儿的审美动机D．培养幼儿感受美、表现美的情趣和初步能力6．幼儿社会发展是通过（）实现的 A．学校教育B．自身的社会化过程C．家长的教导D．社会的帮助 7．幼儿全面发展教育是以（）为前提，以促进幼儿在体、智、德、美诸方面全面和谐发展为宗旨的。 A．幼儿身心发展的可能B．幼儿目前的发展状况
C．幼儿的潜力D．幼儿身心发展的现实与可能 8．幼儿德育的目标强调从（）入手。 A．情感B．意志C．行为D．认识 9、对幼儿实施全面发展教育是我国幼儿教育的基本出发点，也是我国（）所规定的幼儿教育的任务。 A.《中华人民共和国教育法》 B.《幼儿园管理条例》 C.《幼儿园工作规程》 D.幼儿教育法规 10、对于幼儿园全面发展教育，下列说法不正确的是（） A.对幼儿实施全面发展教育是我国幼儿教育的基本出发点。 B.幼儿的全面发展教育要求个体在体智德美诸方面齐头并进，平均的发展。 C.全面发展，对于不同幼儿来说，有可能各有所长，但各方面的发展应该是协调的。 D.体智德美四个方面是紧密联系、相互促进的。 11、下列哪个俗语不能体现“体育为幼儿的其他方面的发展提供物质基础”。（） A.“载知识之车”和“寓道德之舍” B.身体是革命的本钱 C.前途是光明的，道路是曲折的 D.体育不好是“废品” 12、布鲁姆研究发现，（）岁之前是幼儿智力发展最迅速的时期。 岁以前岁以前岁以前岁以前 13、（）是个性开始形成的时期。
2007机械工程控制基础第四章习题答案 第4章频率特性分析 4.1什么是系统的频率特性？ 答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。 4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B 。求该系统的频率特性。 解：由系统频率特性的定义知：ϕωj e A B j G = )( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅频特性与相频特性。 解：由已知条件得：s s X i 1)(=，9 8 .048.11)(+++-=s s s s X o 得系统传函为：) 9)(4(36 )()()(++= = s s s X s X s G i o 得系统频率特性：) 9)(4(36 )(ωωωj j j G ++= ，其中 幅频特性为：2 2 811636)()(ω ωωω+⋅+= =j G A 相频特性为：9 arctan 4 arctan )(ω ω ωϕ--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)2 2sin(π -=t x oss 。试确定k 和c 。 解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为： k cs s s G ++= 2 1 )(，得系统频率特性为： ω ωωjc k j G +-= 21 )(。 图（题4.6）
自然地理第四章作业 4-1 1、地球内部有哪两个不连续面？它们对地球内部圈层的划分有什么意义？ ①地球内部不连续面：莫霍面和古登堡面 莫霍面：在大陆地面以下平均33千米处，1909年由奥地利地震学者莫霍洛维奇首先发现。在这个不连续面下，纵波和横波的传播速度都明显增加。 古登堡面：在地下2900 千米处，1914年由德国地震学者古登堡首先发现。在这个不连续面下，纵波的传播速度突然下降，横波则完全消失。 ②根据莫霍面和古登堡面可以将地球内部圈层分为三个部分：地壳、地幔和地核莫霍面以上的是地壳，地幔位于莫霍面和古登堡面之间，古登堡面以内的是地核 2、地壳结构有哪两个主要特点？ 地壳厚度的不均与硅铝层的不连续分布状态 3、地壳与岩石圈有什么不同？地壳位于莫霍界面之外，是地球表面一层薄薄的、由岩石组成的坚硬外壳；岩石圈：地壳和上地幔顶部（软流层以上），由坚硬的岩石组成，合成为岩石圈 4-2 1、组成地壳的主要化学元素有哪些？ 根据地球化学分析表明，自然界存在的化学元素或多或少都能在地壳中找到，其中以氧、硅、铝、铁、钙，纳、镇、钾八种元素的含量最多，共占地壳总重量的97%，其余元素只占3%。 2、什么是矿物？主要造岩矿物有哪些？ ①地壳中的化学元素，在一定的地质条件下，结合成具有一定化学成分和物理性质的单质或化合物，称为矿物。矿物是构成岩石的物质基础，也是人类生产资料和生活资料的重要来源之一，矿物在地球上的分布十分广泛。 ②目前已发现的矿物有三千多种，其中成为岩石主要组成成分的矿物称为造岩矿物，约有几十种。在造岩矿物中，硅酸盐类矿物和氧化物类矿物合占地壳总重量的90%以上，是构成地壳的主要造岩矿物。就单种矿物来说，长石是地壳中最大量的矿物，其次是石英，二者都常见于各类岩石中。其他主要的造岩矿物还有云母、方解石、辉石、角闪石、橄榄石等。 3、什么叫岩石？岩石可分为哪三类？①岩石是地质作用形成的具有一定产状的地质体。
习题课:光的折射和全反射 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.(2021青海高二期末)在桌面上有一倒立的玻璃圆锥,其顶点恰好与桌面接触,圆锥的轴与桌面垂直,过轴线的截面为等边三角形,如图所示。有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上,光束的中心轴与圆锥的轴重合。已知玻璃的折射率为1.5,则光束在桌面上形成的光斑半径为() A.r B.1.5r C.2r D.2.5r 图所示,玻璃的折射率为1.5,可得临界角小于45°。在CB面上,由于入射角等于零,所以折射角也是零,因此折射光线不发生偏折。在O点,由于入射角等于60°。所以会发生光的全反射,反射光线恰好垂直射出。因为ON等于r,故OA等于2r,由于∠MOA=∠AMO=30°,所以AM等于2r,故选C。 2.如图所示,某同学利用方格坐标纸测量半圆形玻璃砖的折射率,OA是画在纸上的直线,他在直线OA 的适当位置先后竖直插上P1、P2两枚大头针,按图所示放上玻璃砖,然后插上P3、P4大头针。 (1)其中他确定P3大头针位置的方法应是 。
(2)若该同学实验操作规范准确,其记录的情况如图所示。该同学还用圆规做了一个以O 为圆心,半径与玻璃砖相同的半圆(如图中虚线所示)。请算出玻璃砖的折射率n= 。 透过玻璃砖看,使P 3大头针挡住P 1、P 2两枚大头针的像,就可以确定P 3在折射光线上。 (2)如图所示,光从玻璃射入空气的入射角为θ1=∠BOC ,折射角为θ2=∠DOE ,根据光路可逆性和折射定律可得玻璃的折射率为n= sin θ2 sin θ1 ,设半圆玻璃砖的半径为R ,由几何知识可得sin θ1= BC R ,sin θ2=DE R ,从图中可以看出DE BC =6 4,代入数据联立得n=1.5。 透过玻璃砖看,使P 3大头针挡住P 1、P 2两枚大头针的像 (2)1.5 3.如图所示,扇形AOB 为透明柱状介质的横截面,圆心角∠AOB=60°。一束平行于角平分线OM 的单色光由OA 射入介质,经OA 折射的光线恰平行于OB 。 (1)求介质的折射率; (2)折射光线中恰好射到M 点的光线 (选填“能”或“不能”)发生全反射。 依题意画出光路图,如图甲所示。 由几何知识可知,入射角i=60°,折射角r=30°,根据折射定律得n= sini sinr ,代入数据解得n=√3。 (2)如图乙所示,可知θ=30°,所以不能发生全反射。 √3 (2)不能 4.(2021河北邢台第二中学高二期末)如图所示为一半径为R 的透明半球体过球心O 的横截面,面上P 点到直径MN 间的垂直距离为d=√2 2R 。一细光束沿PO 方向从P 点入射,经过面MON 恰好发生全反射。若此光束沿平行MN 方向从P 点入射,从圆上Q 点出射,光在真空中的传播速度为c ,求:
2022新经济法基础第四章课后练习题 第四章增值税、消费税、营业税法律制度 一、单项选择题 1、某公司专门从事认证服务，被认定为增值税一般纳税人，2022年10 月发生如下业务：10月16日，取得某项认证服务收入106万元，开具防 伪税控增值税专用发票，价税合计为106万元；10月18日，购进一台经 营用设备，取得防伪税控增值税专用发票，注明金额20万元，税额3.4 万元；10月20日，接受本市其他单位设计服务，取得防伪税控增值税专 用发票，注明金额5万元，税额0.3万元；已知增值税税率为6%。则该 公司当月应纳增值税税额为（）万元。A、2.3B、2.6C、2.66D、6 2、下列经营者中，属于营业税纳税人的是（）。 A、从事汽车修配业的个人 B、销售货物并负责运输所售货物的单位 C、从事缝纫业务的个体户 D、销售商品房的房地产公司 3、某旅行社组织50人的旅游团赴太湖旅游，每人收取旅游费2000元。旅行社实际为每人支付住宿费500元、餐费500元、交通费400元、 门票80元。已知旅游业营业税税率为5%，该旅行社此次旅游业务应缴纳 的营业税税额为（）。A、2000某5%某50＝5000元B、（2000-80）某5% 某50＝4800元 C、（2000－500－500－400）某5%某50＝1500元 D、（2000－500－500 －400－80）某5%某50＝1300元4、某公司2022年8月，以500万元购 入一幢办公楼(不考虑其他税费)，2022年6月因公司迁移，遂将该办公 楼出售，收入为650万，则该公司应当缴纳的营业税为（）万元。A、 7.5B、15C、25D、32.5 5、根据营业税法律制度的规定，下列业务中，属于营业税征税范围 的是（）。
. 1 . 第四章 不定积分 习题课 1．原函数 若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数． 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数都可表示为C x F +)(． 2．不定积分 )(x f 的带有任意常数项的原函数叫做)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(． 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(， 3．基本性质 1）)(])([x f dx x f ='⎰，或dx x f dx x f d )(])([=⎰； 2）C x F x dF +=⎰)()(，或C x F dx x F +='⎰)()(； 3）⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([； 4）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(，（0≠k ，常数）． 4．基本积分公式（20个） 原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。 不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一． 5. 例题 例1 已知)(x f 的一个原函数是x 2ln ，求)(x f '． 解 x x x x f 1ln 2)(ln )(2 ⋅='=， )ln 1(2ln 2)(2 x x x x x f -=' ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ ='．
. 2 . 例2 设C x dx x f +=⎰2 sin 2)(，求)(x f ． 解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以 2 cos ]2sin 2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰． 例3 若)(x f 的一个原函数是x 2，求⎰'dx x f )(． 解 因为x 2是)(x f 的原函数，故2ln 2)2()(x x x f ='=，所以 C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2 )()(． 例4 求不定积分⎰-dx e x x 3． 解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即 ⎰⎰--=dx e dx e x x x )3(31 C e e x +=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13． 例5 求不定积分⎰ '⎪⎭ ⎫ ⎝⎛dx x x 2sin ． 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得 C x x dx x x +=' ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎰ 22sin sin ． 例6 求不定积分⎰ ⋅dx x x x 5 3 3． 解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分． C x dx x dx x dx x x x +===⋅⎰ ⎰⎰ -+15 26 15 115 3 3115 3 326 15．
第四章机械振动 4．1一物体沿x 轴做简谐振动，振幅A = 0.12m ，周期T = 2s ．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m ，且向x 轴正向运动．求： （1）此简谐振动的表达式； （2）t = T /4时物体的位置、速度和加速度； （3）物体从x = -0.06m ，向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间． [解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.12m ，角频率ω = 2π/T = π． 当t = 0时，x = 0.06m ，所以cos φ = 0.5，因此φ = ±π/3． 物体的速度为v = d x /d t = -ωA sin(ωt + φ)． 当t = 0时，v = -ωA sin φ，由于v > 0，所以sin φ< 0，因此：φ = -π/3． 简谐振动的表达式为：x = 0.12cos(πt – π/3)． （2）当t = T /4时物体的位置为;x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为；v = -πA sin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s -1)． 加速度为：a = d v /d t = -ω2A cos(ωt + φ)= -π2A cos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s -2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得cos(πt 1 - π/3) = -0.5， 因此πt 1 - π/3 = ±2π/3． 由于物体向x 轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt 1 - π/3) > 0，因此πt 1 - π/3 = 2π/3，得t 1 = 1s ． 当物体从x = -0.06m 处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt 2 - π/3) = 0， 可得 πt 2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t 2> 0，所以πt 2 - π/3 = 3π/2， 可得t 2 = 11/6 = 1.83(s)． 所需要的时间为：Δt = t 2 - t 1 = 0.83(s)． 方法二：反向运动．物体从x = -0.06m ，向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m ，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得 πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)． [注意]根据振动方程x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x 0/A )，（-π<φ<= π）， 初位相的取值由速度决定． 由于v = d x /d t = -ωA sin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωA sin φ，当v > 0时，sin φ< 0，因此 φ = -arccos(x 0/A )； 当v < 0时，sin φ> 0，因此φ = arccos(x 0/A )π/3． 可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x 0 = A 时，φ = 0；当初位置x 0 = -A 时，φ = π． 4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求： （1）a ，b ，c ，d ，e 各点的位相，及到达这些状态的时刻t 各是多少？已知周期为T ； （2）振动表达式； （3）画出旋转矢量图． [解答]方法一：由位相求时间． （1）设曲线方程为x = A cos Φ， 其中A 表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位． 由于x a = A ，所以cos Φa = 1，因此Φa = 0． 由于x b = A /2，所以cos Φb = 0.5，因此Φb = ±π/3； 由于位相Φ随时间t 增加，b 点位相就应该大于a 点的位相，因此 Φb = π/3． 由于x c = 0，所以cos Φc = 0， 又由于c 点位相大于b 位相，因此Φc = π/2． 同理可得其他两点位相为：Φd = 2π/3，Φe = π． c 点和a 点的相位之差为π/2，时间之差为T /4，而b 点和a 点的相位之差为π/3，时间之差应该为T /6．因为b 点的位移值与O 时刻的位移值相同，所以到达a 点的时刻为t a = T /6． 到达b 点的时刻为t b = 2t a = T /3． 图4.2