常数项级数
内容要点
一，概念与性质
(一)概念 由数列 ,,,,21n u u u 构成的式子
=∑∞
=1
n n
u
++++n u u u 21
称为无穷级数，简称为级数.n u 称为级数的一般项，∑==
n
i i
n u
s 1
称为级数的部分和.
如果s s n n =∞
→lim ,则称级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，s 称为该级数的和.此时记
=∑∞
=1
n n
u
s .否则称级数
发散.
（二）性质 1, 若
∑∞
=1n n
u
收敛，则
.1
1
∑∑∞
=∞
==n n n n
u k ku
2, 若
∑∞
=1
n n u ,∑∞
=1
n n
v
收敛，则
().1
1
1
∑∑∑∞=∞
=∞
=±=±n n n n n n n
v u v u
3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.
4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件), 若
∑∞
=1
n n
u
收敛，则.0lim =∞
→n n u
注意：若.0lim ≠∞
→n n u 则
∑∞
=1
n n
u
必发散.而若
∑∞
=1
n n
u
发散,则不一定.0lim ≠∞
→n n u
(三) 两个常用级数 1, 等比级数
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<-=∑∞
=1
,
1,10q q q
a
aq n n
2, -p 级数
⎩⎨
⎧≤>=∑∞
=1
,
1
,
11p p n n p 二，正项级数敛散性判别法 (一) 比较判别法
设
∑∑ℜ
=∞
=1
1
,n n
n n v
u 均为正项级数，且),2,1( =≤n v u n n ,则
∑∞
=1n n
v
收敛⇒
∑∞
=1n n
u
收敛；
∑∞
=1
n n
u
发散⇒
∑∞
=1
n n
v
发散
(二) 极限判别法
如果)0(lim +∞≤<=∞
→l l nu n n ,则
∑∞
=1
n n
u
发散；
如果对,1>p )0(lim +∞<≤=∞
→l l u n n p
n ,则
∑∞
=1
n n
u
则收敛.
(三) 比值判别法 设
∑∞
=1
n n
u
为正项级数，若
⎪⎩
⎪
⎨⎧⇒>⇒=⇒<==+∞→f
b c
u u n n n 111lim
1ρ 二，交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设
())0(111>-∑∞
=-n n n n u u 为交错级数，如果满足：
1, ),2,1(1 =≥+n u u n n 2, 0lim =∞
→n n u
则此交错级数收敛.
三，任意项级数与绝对收敛 （一） 绝对收敛 如果
∑∞
=1n n
u
收敛，则称
∑∞
=1n n
u
绝对收敛.
（二） 条件收敛 如果
∑∞
=1
n n
u
收敛，但
∑∞
=1
n n
u
发散,则称
∑∞
=1
n n
u
条件收敛.
（三） 定理 若级数绝对收敛，则该级数必收敛.
函数项级数
一、 主要内容 1、基本概念
函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数
幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列
{()}n f x
一致收敛性的判断：
（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性
（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→
（4）估计方法：
|()()|0n n f x f x a -≤→
（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性
注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。
注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定
的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”
，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的
有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，
因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义
（2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在
n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0
（4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：
{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在
(,)c c δ-内非一致收敛
注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。 B 、函数项级数
()n
u x ∑
一致收敛性的判断 （1）定义
（2）Cauchy 收敛准则
（3）转化为函数列（部分和）
（4）余项方法：
{()}n r x 一致收敛于0
（5）几个判别法：W-法，Abel 法，Dirichlet 法，Dini-法
经典例题
例1判断级数(1)
∑∞
=1
1n n
n
；(2)
∑
∞
=1
1
n n
n
的敛散性.
解：(1)
∑∞
=1
1n n
n
=
)12
3
(11
2
3>=
∑
∞
=p n
n 收敛 (2) 由于,011lim
lim 1lim ≠==⇒=∞→∞
←∞
→n
n n n n
n n
u n 故∑
∞
=11
n n
n
发散.
例2 判别级数.(1)∑∞
=+-2)3)(1(1
n n n ；(2)∑∞
=12
3n n n n ；(3)
∑∞
=++1
)2(1
n n n n 的敛散性. 解：(1) 由于2)3(1
)3)(1(1+<+-n n n ()3,2 =n ,而∑∑∞
=∞==+5
2
221)3(1n n n n 收敛 故由比较判别法可知级数
∑∞
=+-2
)3)(1(1
n n n 收敛.
(2) 由于n n n
n 123>(),2,1 =n ,而∑∞=11
n n
发散，由比较判别法可知 级数∑∞
=12
3n n n
n 发散.
(3) 由于21)2)(1(1)2(1+=+++>++n n n n n n n ,而∑∑∞
=∞==+311
21n n n
n 发散，由比较判别法可知
级数
∑∞
=++1
)2(1
n n n n 发散. 例3 判别下列级数的敛散性：(1) ∑∞
=-1)!
1(1
n n ；(2)
∑∞
=1!
n n
n n 解：用比值判别法
(1) ,101lim )!
1(1!1
lim lim
1
<==-=∞→∞→+∞→n n n u u n n n
n n 故∑∞
=-1)!
1(1n n 收敛；
(2) ,111lim !
)!1()1(lim lim
1
1>=⎪⎭⎫
⎝⎛+=++=∞→+∞→+∞→e n n n n n u u n n n n n n
n n 故∑∞
=1!
n n n n 发散. 例4 判别级数(1)
∑∞
=1
1
n n
n
n
；（2）
∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+1
211ln n n 的敛散性. 解：(1) 由于011lim 1lim lim >===∞
→∞
→∞
→n
n n
n n n n
n
n n
nu ,
故由极限判别法可知级数
∑∞
=1
1
n n
n
n
发散.
(2) 由于1ln 11ln lim 11ln lim lim 2
2222==⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
=∞→∞
→∞
→e n n n u n n n n n n
故由极限判别法可知级数∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+1
211ln n n 收敛.
例5 问级数
21
)1(n
n
c n n
+-∑∞
=是收敛还是发散？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：由茉布尼兹判别法可知()211n c n
n ∑∞
=-与()n n
n 1
11∑∞
=-均收敛，从而原级数收敛.
另一方面，()n n n n n c n n c n
112
22=≥+=+-，而∑∞
=11
n n
发散，故由比较判别法可知 ()∑∞
=+-121n n n
n
c 发散，从而原级数是条件收敛.
练习题
1, 用比较判别法判别下列级数的敛散性.
(1) ∑∞
=+1)
1(1
n n n (2)
∑∞=12
2
ln n n
n (3) ∑∞
=-1
2
2)
12(sin n n n (4) ∑∞
=++1
2
21n n
n
2, 用比值判别法判别下列级数的敛散性.
(1) ∑∞
=1
!5n n
n (2)
∑∞
=-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1
)13(52)
12(31n n n (3) ∑∞
=1
2
3n n n 3, 用极限判别法判别下列级数的敛散性.
(1)
∑∞
=+1
)
32(1
n n
n
n (2)
∑∞
=12
ln n n
n
4 判断下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) +-
+
-
4
13
12
11 (2)
()
1
1
13
1--∞
=∑-n n n n
(3) +⋅-⋅+⋅-⋅2
1
3121312131213132 (4)
()∑∞
=+-1
)1ln(1n n
n
[答案：1,(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 (4) 发散2,(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 3,(1) 发散(2)收敛 4,(1)条件收敛 (2)绝对收敛 (3)绝对收敛 (4)条件收敛 ]
5 求幂级数
++++++n
x x x x n
32132 的收敛半径与收敛域.
解：由于
11lim 1
11
lim lim
1=+=+=∞→∞→+∞→n n
n
n a a n n n
n n =ρ 所以,收敛半径 11
==
ρ
R 收敛区间为).1,1(-
当1-=x 时,原级数为 +1∑∞
=-1
)1(n n
n 收敛；
当1=x 时,原级数为 +
1∑∞
=1
1
n n 发散. 故收敛域为 ).1,1[- 6. 求幂级数∑∞
=1
n n
n x 的和函数.
解：不难求得收敛域为=I )1,1[-设和函数为)(x S 即∑∞
==1)(n n
n
x x S ,I x ∈
逐项求导，x
x x S n n -=
=
∑∞
=-11
)(1
1/
,.1 )(0 x dx x x S x --=-= ⎰,I x ∈ 7.求幂级数 ∑∞ =-1 )12(n n x n 的收敛域及和函数. 解：11 111212lim lim 1==⇒=-+==∞→+∞→ρρR n n a a n n n n 当1±=x 时， 原级数= () n n n ∑∞ =±-1 1)12(发散，故收敛域为).1,1(- ∑∞ =-1)12(n n x n =∑∑∞ =∞ =-+113)22(n n n n x x n =()x x dx x n n x n --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑⎰∞=1312/ 10 =2 2222/21 / 1)1() 1(3)1(2413.)1(2)1(413]12[13][ 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n --- --=---+-=---=--∑∞ + =.) 1(422 x x x -+ 8. 将函数2 11 )(x x f += 展开成的幂级数. 解：由于),11(,)1(11 <<--=+∑∞ =x x x n n n 故 2 11)(x x f +==() +-++-+-=-∑∞ =n n n n n x x x x x 264220 )1(11, )11(<<-x 练习题 1, 求下列幂级数的收敛半径与收敛域. (1) ∑∞ =1n n nx (2) ∑∞ =13 n n n x (3) () ∑∞ =---1 1 1 21n n n n x (4) ∑∞ =⋅14 n n n n x 2, 求下列幂级数的收敛域及和函数. (1) ∑ℜ =1n n nx (2) ∑∞ =+1)2(n n x n (3) ∑∞ =-2 1n n n x 3, 将下列函数展为x 的幂级数 (1) )1ln()(2 x x f -= (2) 2 )(x e x f - = (3) x a x f =)( (4) 2 sin )(x x f = [答案：1,(1))1,1(,1-=R (2))3,3(,3-=R (3))1,1[,1-=R (4))4,4[,4-=R 2,(1)2)1(), 1,1(x x -- (2)2 )1(2), 1,1(---x x (3) ),1,1[-)1ln(x x -- 3, (1) ∑∞=-1 2n n n x (2) ()∑ ∞ =-0 2!1n n n n x n (3) ()∑∞ =+1 !ln 1n n n x n a (4) ()1 21 202 )!12(1++∞ =∑+-n n n n x n ] 1、判断函数列{()}n f x 在[0,1]的一致收敛性，其中 （1）、()1n nx f x n x = ++， （2）、()(1)n n f x nx x =-。 解：（1）计算得， ()lim ()lim 1n n n nx f x f x x n x →∞→∞===++， [0,1]x ∈， 因而， 2 |()()|||1n nx f x f x x n x n -=-≤++， [0,1]x ∈， 故，{()}n f x 在[0,1]一致收敛。 （2）计算得 ()lim ()lim (1)0n n n n f x f x nx x →∞ →∞ ==-=，[0,1]x ∈， 记()|()()|(1)n n x f x f x nx x ϕ=-=-，则 1()(1)[1(1)]n x n x n x ϕ-'=--+， 故，()x ϕ在1 1 n x n = +处达到最大值，因而 11 ||()()||()(1)11n n n n f x f x x n n e ϕ-==-→++， 故，{()}n f x 在[0,1]非一致收敛。 注、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。验证Dini 定理的条件： 显然，对任意的n ，()(1)[0,1]n n f x nx x C =-∈，()0[0,1]f x C =∈；当0x =或1x =， ()0n f x =，因而关于n 单调；当0x ≠时，考察()(1)n n f x nx x =-关于n 的单调性，为此，将离散变量n 连续化，记1(0,1)a x =-∈，考查对应函数()y g y ya =关于y 的单调性。 显然， ()ln [1ln ]y y y g y a ya a a y a '=+=+， 故，当1 01ln y a > >时，()0g y '<，因而关于y 单减。 对应得到当1 1ln 1n x >-时，()n f x 关于n 单减，故由Dini-定理，{()}n f x 在[0,1]中 一致收敛。 分析 显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程： 条件,[0,1]n f f C ∈是确定的，有限区间[0,1]也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的x ， {()}n f x 是n 的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而{()}n f x 的单调性也放宽为n N >时，{()}n f x 是n 的单调数列，本例中，在验证单调条件时， 实际证明了：0x ∀≠，当11ln 1n N x ∆ >=-时，{()}n f x 关于n 单调，显然， 1 1ln 1N x =→+∞-， （0x +→），因此，{()}n f x 的单调性关于x 并非是一致的，破坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。 从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述： Dini-定理 在有限闭区间[,]a b 上，设()[,]n f x C a b ∈，n ∀且{()}n f x 点收敛于 ()[,]f x C a b ∈，又0N ∃>，使得对任意固定的[,]x a b ∈，{()}|n n N f x >关于n 单调， 则[,] ()()a b n f x f x ⇒。 注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察n 充分大，即n N >时所满足的性质即可，要注意与x 关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题，如W-定理： W-定理 设0N ∃>，使得n N >时，|()|n n u x a ≤， x I ∀∈，且1n n a ∞ =∑收敛，则1 ()n n u x ∞ =∑在I 上一致收敛。 定理中的条件|()|n n u x a ≤也是关于x 一致成立的，因此，条件不能改为“对任意的x ，存在N(x)，使得n>N(x)时，|()|n n u x a ≤”。 例2、证明：若()f x 在(,)a b 有连续导数()f x '，则1 ()[()()]n f x n f x f x n =+-在(,) a b 内闭一致收敛于()f x '。 分析 从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察 1 |()()||[()()]()|n f x f x n f x f x f x n ''-=+-- |()()|f f x ξ''=-统一形式，1x x n ξ<<+，1||x n ξ-< 因此，利用一致连续性可以完成证明。 证明：任取[,][,]a b αβ⊂，则()f x '在[,]αβ一致连续，因此，0ε∀>，0δ∃>， 使得,[,]x x αβ'''∀∈且||x x δ'''-<时， |()()|f x f x ε'''''-<， 利用微分中值定理，存在1 :x x n ξξ<<+ ，使得 |()()||()()|n f x f x f f x ξ''-=-， 故，1 n δ > 时， 1 ||x n ξδ-< <，因而 |()()|n f x f x ε-<， 故，[,] ()()n f x f x αβ'⇒。 3、讨论一致收敛性 （1）2 (1) , [0,1]n n x x x ∞ =-∈∑ ； （2）20 , (0,)nx n x e x ∞ -=∈+∞∑。 解：（1）法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函 数列来处理。 由于 1 20()(1)=(1-) (1-) k n n k S x x x x x ==-∑，[0,1]x ∈ 故，()lim ()1 n n S x S x x →+∞ ==-，[0,1]x ∈。 因而， |()()|(1) n n S x S x x x -=-， 对任意的n ，记()(1) n g x x x =-，则 11 ()(1) n n g x nx x n -+'=- 因而，g （x ）在n = n+1 n x 处达到最大值，因而 n 1n ||()()||(1)= () 0 n+1n+1 n n n n S x S x x x -=-→，n →+∞ 因此，[0,1]()()n S x S x ⇒，故，20 (1) n n x x ∞ =-∑在[0,1]x ∈一致收敛。 法二、也可利用最大值法，或W-判别法。 记2()(1)n n u x x x =-，则 121()(1)2(1)(1)[(2)]n n n n u x nx x x x x x n n x --'=---=--+ 故，()n u x 在2 n n x n = +处达到最大值，因而 2 20()( )()()222n n n n n u x u n n n ≤≤=+++ 2224( )2n n ≤≤+ 由W-定理可得，20 (1) n n x x ∞ =-∑在[0,1]x ∈一致收敛。 （2）法一、 记2()nx n u x x e -=，则 ()[2]nx n u x xe nx -'=-， 故()n u x 在2 n x n = 处达到最大值，因而 2222224 0()()()n n u x u e e n n n --≤≤==， 故，20 nx n x e ∞ -=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛。 法二、 利用用Taylor 展开得， 22 1(), 02 nx n n x e nx R x x =++++> 因而， 22 2222 2222 01() 22 nx nx n x x x x e n x n x e n nx R x -≤==≤=+++ +，x >0 故，20 nx n x e ∞ -=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛。 4、设0 ()n n u x ∞=∑在[a,b]上点收敛，0 ()n n u x ∞ ='∑的部分和函数列在[a,b]上一致有界，证 明：0 ()n n u x ∞ =∑在[a,b]上一致收敛。 分析 这是一个抽象的函数项级数，从所给的条件看，W －定理、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、Dini 定理都缺乏相应的条件，因此，考虑用Cauchy 收敛准则，为此，必须建立通项函数()n u x 与其导函数的关系，建立其关系的方法有微分法（利用微分中值定理）和积分法（利用微积分关系式），其本质基本上都是插项法，如利用积分法估计Cauchy 片段 p p p 0k=1k=1 k=1 |()||()()|x n k n k n k x u x u t dt u x +++'=+∑∑∑⎰ ， 相当于插入点0x ，利用一致有界条件，则 p p 00k=1 k=1 |()||||()|n k n k u x M x x u x ++≤-+∑∑， 要通过右端控制Cauchy 片段任意小，从右端形式和剩下的条件看，右端的第二项要用点收敛性来估计，而第一项需用小区间的长度来控制，由于点x 是动态的、任意的，因此，关键的问题是利用什么技术将动态点的控制转化为有限个定点控制，通过第一项的形式可以确定利用对区间的分割实现上述目的。 证明：对任意的0ε>，对[a,b]作等分割：01k a x x x b =<< <=，使得 1max{:0,1, ,1}i i b a x x i k k ε+--=-= <， 又，0 ()n n u x ∞ =∑点收敛，因而，存在N ，使得n>N 时， p j=1 |()|n j i u x ε+<∑， p ∀，i=0,1, ,k 假设n k=0 |()|k u x M '≤∑，当n>N 时，对任意的[,]x a b ∈，存在0i x ，使得0||i x x ε-<， 故 00 p p p k=1k=1 k=1 |()||()()|i x n k n k n k i x u x u t dt u x +++'=+∑∑∑⎰ 02||(21)i M x x M εε≤-+<+， p ∀ 因而，0()n n u x ∞ =∑在[a,b]上一致收敛。 注、总结证明过程，步骤为：1、任给0ε>，分割区间，确定有限个分点；2、在分点处利用Cauchy 收敛准则；3、利用插项技术验证一致收敛性。注意相互间的逻辑关系。 注、类似的结论可以推广到函数列的情形：设逐点收敛的函数列{()}n S x 是[a,b] 上的可微函数列，且{()}n S x '在[a,b]上一致有界，则{()}n S x 在[a,b]一致收敛。 注、上述证明的思想是通过有限分割将任意动态点的估计转化为有限个点的 静态估计，像这种思想在证明一致收敛性时比较有用，看下面的例子。 6、给定函数列{()}n S x ，设对每个固定的n ，()n S x 都是[a,b]上的单调函数，又设{()}n S x 在[a,b]上收敛于S(x)，且()[,]S x C a b ∈，证明{()}n S x 在[a,b]上一致收敛于S(x)。 分析 由于题目中给出了极限函数且函数列是抽象的，因此，可以考虑用定义法处理。关键是如何利用点收敛和极限函数的连续性实现对|()()|n S x S x -的动态估计，假设插入的点为某个固定的点0x ，则必然涉及到0|()()|S x S x -的估计，要得到与x 无关的估计，从所给的极限函数的条件看，必须利用连续性来实现相应的估计，但是，仅仅用连续性还不够，因为连续性是局部性质，因此，这就使我们考虑更高级的整体性质――一致连续性，由此，借助一致连续性实现对区间的分割，将动态估计转化为分点处的静态估计。但是，问题并没有全部解决，因为直接插项，产生的项0|()()|n n S x S x -无法解决，注意到还有一个单调性条件，因此，必须借助这个条件将|()()|n S x S x -中的()n S x 由动态点过渡到静态的点，这种技巧并不陌生，在Dini 定理的证明中曾借助关于n 的单调性将变动的下标n 转化为固定的下标，这里我们利用同样的技术解决相应的问题。 证明：对任意的0ε>，由于()[,]S x C a b ∈，因而一致连续，故存在0δ>，当 ,[,]x y a b ∈且||x y δ-<时， |()()|S x S y ε-<， 对[,]a b 作等分割：01k a x x x b =<< <=，使得 1max{:0,1, ,1}i i b a x x i k k δ+--=-= < ， 利用点收敛性，存在N ，使得n>N 时， |()()|n i i S x S x ε-<， 0,1, i k =。 因此，当n>N 时，对任意点[,]x a b ∈，存在0i ，使得001[,]i i x x x -∈，利用{()}n S x 的单调性，则 001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+-， 事实上，当()n S x 关于x 单调递增时，或者 00|()()|()()()()|()()|n n n i n i S x S x S x S x S x S x S x S x -=-≤-=-， 或者 0011|()()|()()()()|()()|n n n i n i S x S x S x S x S x S x S x S x ---=-≤-=-， 因而，总有 001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+-。 这样，关于()n S x 由动态的点转化为固定的点，对右端进行插项，进一步将()S x 由动态的点转化为固定的点。 因而， 001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+- 000|()()||()()|n i i i S x S x S x S x <-+- ＋000111|()()||()()|n i i i S x S x S x S x ----+-4ε<， 故，{()}n S x 在[a,b]上一致收敛于S(x)。 注、利用各种技术将动态点处的估计转化为静态点处的估计是证明抽象函数列和函数项级数一致收敛性时常用的技巧，要掌握其处理问题的思想，特别是单调性在这个过程中的应用。 7、设(,)f C ∈-∞+∞，定义函数列11()()n n k k S x f x n n ==+∑，n ＝1，2， ，证 明：{()}n S x 在(,)-∞+∞内闭一致收敛。 分析 从函数列的结构可以计算出和函数为1 0()f x t dt +⎰，因此，可以利用形式 统一法证明结论。 证明：对任意的x ，则 1 0()lim ()()n n S x S x f x t dt →+∞ ==+⎰。 对任意的[,](,)a b ⊂-∞+∞，则[1,1]f C a b ∈-+，因而，一致连续，故，对任意的0ε>，存在0δ>，当,[1,1]x y a b ∈-+且||x y δ-<时， |()()|f x f y ε-<。 取N ：1 N δ > ，当n N >时， 11|()()||(()())|k n n k n k n k S x S x f x t f x dt n -=-=+-+∑⎰ 11 n k n εε=≤=∑ 故，{()}n S x 在(,)-∞+∞内闭一致收敛。 8、设0[0,]f C a ∈，10()()x n n f x f t dt -=⎰，证明：{()}n f x 在[0,]a 一致收敛于零。 证明：由于0[0,]f C a ∈，故0M ∃>，使得0|()|f x M ≤，[0,]x a ∈，因而 1|()|f x Mx ≤， 2 201|()|2 x f x M tdt M x ≤=⎰， 归纳可以证明： |()|!! n n n M Ma f x x n n ≤≤ 故，()0n f x ⇒。 9、在[0,1]上定义函数列 2 214, 0211()44, 210, 1n n x x n f x n x n x n n x n ⎧≤≤⎪⎪ ⎪ =-+<≤⎨⎪ ⎪ <≤⎪⎩ ， 计算其极限函数并讨论其一致收敛性。 解、法一、显然，(0)0n f =，对任意固定的(0,1]x ∈，则当1 n x > 时，总有()0n f x =，因此，lim ()0n n f x →+∞ =，故，其极限函数为()0f x =。 取1 4n x n = ，则 |()()|()n n n n n f x f x f x n -==→+∞， 因此，{()}n f x 在[0,1]上非一致收敛。 法二、用一致收敛性的性质证明。 极限函数仍为()0f x =，计算得， 111 2 2210 2()4(44)1n n n n f x dx n xdx n x n dx =+-+=⎰ ⎰⎰ 因而， 1 1 0()lim ()1n n f x dx f x dx →+∞=≠=⎰⎰， 故，{()}n f x 在[0,1]上非一致收敛。 注、这里，我们利用逐项求积定理，将这种将定性分析的证明转化为定量的验证，这是非常有效的处理问题的思想方法。 10、给定函数列(ln )()n x x n f x n α =，n ＝2，3，，证：当1α<时，函数列{()}n f x 在[0,)+∞上一致收敛。 证明：容易计算 ()lim ()0n n f x f x →+∞ ==，[0,)x ∈+∞， 因而， (ln )|()()|()n n x x n f x f x f x n α -==， 对任意固定的n ， 2(ln )(1ln ) ()x n x n n x n f x n α-'=， 因而， 11(ln )||()()||()ln ln n n n f x f x f n n e α -== 11 (ln )n e α -= 故，当1α<时， lim ||()()||0n n f x f x →+∞ -=， {()}n f x 在[0,)+∞上一致收敛。 下面讨论一致收敛性的应用。 11、设0()cos n n S x r nx ∞ ==∑，（||1r <）计算20 ()S x dx π ⎰。 分析 题目的本质实际是两种运算的可换序性，只需验证相应的条件。 解：由于|cos |||n n r nx r ≤，故cos n r nx ∑在[0,2]π一致收敛，因而 220 ()cos n n S x dx r nxdx π π ∞ ==∑⎰ ⎰， 又，20 cos 0nxdx π =⎰，1,2, n =，故20 ()2S x dx π π=⎰。 12、设20()cos()3 n n n x f x n x π∞ ==∑，求1 lim ()x f x →。 解：考虑20cos()3 n n n x n x π∞ =∑在[0,2]的一致收敛性。由于， 22 |cos()|()33 n n n x n x π≤， 故，20cos()3 n n n x n x π∞ =∑在[0,2]一致收敛，因而 2 1100(1)13lim ()lim cos()133413 n n n n x x n n x f x n x π∞ ∞ →→==-====+ ∑∑ 。 注、关键选择一个合适的区间：即保证一致收敛性，也要保证极限点落在此 区间 内部。 13、计算1 lim (1)x n n n dx x e n →+∞++⎰ 。 分析 两种运算的换序性问题，只需验证一致收敛性条件。 证明：先证{}x n e 的一致收敛性。显然，对任意的[0,1]x ∈， lim 1x n n e →+∞ =， 利用微分中值定理，存在[0,1]ζ∈，使得 01 |1|||x x n n x e e e e n n ζ -=-=≤ ，[0,1]x ∈ 因而， {}x n e 在[0,1]上一致收敛于1（也可以用Dini 定理证明）。 其次，证明{(1)}n x n +的一致收敛性。对任意的[0,1]x ∈，{(1)}n x n +单调递增 收敛于x e ，由Dini 定理，{(1)}n x n +在[0,1]上一致收敛于x e 。 由此，得 11| ||1||(1)|1(1)x n x n x x n n x e e e n x e n -≤-++-+++， 故， 1 (1)x n n x e n ++在[0,1]上一致收敛于 1 1x e +，因此， 1 1 0lim lim (1)(1)x x n n n n n n dx dx x x e e n n →+∞→+∞ =++++⎰ ⎰ 1 1001ln 2ln(1)1(1) x x x x dx de e e e e ===+-+++⎰⎰。 14、证明：1 1 ()()n n f x x n ∞ ==+∑在(1,1)-连续。 解：(0,1)q ∀∈，考察1 1 ()n n x n ∞ =+∑在[,]q q -上的一致收敛性。由于 11 |()|()n n x q n n +≤+，[,]x q q ∈-， 而1()n q n +∑收敛，故1 ()n q n +∑在[,]q q -一致收敛性，因而()[,]f x C q q ∈-，由 q 的任意性，()[1,1]f x C ∈-。 注、注意总结这类题目证明的步骤和技巧。 15、证明：1 sin n nx n ∞ =∑ 在（0，1）内非一致收敛。 分析 由于函数项级数在区间端点都收敛，通项也是一致收敛的函数列，又不知 其和函数，因此，只有用Cauchy 收敛准则证明。为此，需要研究其Cauchy 片段，找出一个具有正下界的片段，注意到以前处理的类似问题：用Cauchy 收敛 准则证明11 n n ∞ =∑的发散性，可以设想，相应的方法是否能处理本题，由此，需要 考察：能否存在(0,1)n x ∈，使得片段中的每一项sin n kx k 的对应因子sin n kx ， k ＝n ＋1，，2n 有正下界，只需 4 2 n kx π π ≤≤ ，只需 4(1) 4n x n n π π ≤≤ +，因此， 只需取4n x n π = 。 证明：取04 ε= ，则，对任意的n ，取p ＝n ，4n x n π=，则 sin(1)sin 2| |1 24 n n n x nx n n ++ + ≥ +， 由Cauchy 收敛准则，1 sin n nx n ∞ =∑ 在（0，1）内非一致收敛。 注、还可以用下述结论证明其非一致收敛性：给定函数项级数1 ()n n u x ∞ =∑，设 ()[,]n u x C a b ∈，若1 ()n n u x ∞=∑在(a,b)内一致收敛，1 ()n n u a ∞=∑和1 ()n n u b ∞ =∑都收敛，则 1 ()n n u x ∞=∑在[a,b]上一致收敛，因而，还成立1 ()[,]n n u x C a b ∞ =∈∑。 在Fourier 级数习题课中，可以证明，1 sin n nx n ∞ =∑ 正是一个在[0,1]上的非连续函数的Fourier 级数，且其和函数在[0,1]上也不连续，因而，根据上述结论， 1 sin n nx n ∞ =∑在（0，1）内非一致收敛。 16、证明：1 01 n n n a x n ∞ +=+∑与0n n n a x ∞ =∑具有相同的收敛半径。 证明：法一：由于 1 111|| 1lim lim (|| )(1) (1) n n n n n n n n a a n n →+∞ →+∞ =++ 111lim ||lim (1) n n n n n a n →+∞ →+∞ ≤⋅+1lim ||n n n a →+∞ =， 另一方面， 1lim ||n n n a →+∞ =111|| lim (1)(1)n n n n n a n n →+∞ ++ 11111|| || lim lim (1)lim (1) (1) n n n n n n n n n n a a n n n →+∞ →+∞→+∞ ≤+=++， 故，二者有相同的收敛半径。 法二、可定义证明。 设0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为R ，要证1 01 n n n a x n ∞ +=+∑ 的收敛半径也为R ，只要证0||x R <时，101n n n a x n ∞+=+∑收敛，0||x R >时，101 n n n a x n ∞ +=+∑发散。 对0x ∀：0||x R <，则，0n n a x ∑收敛，又 10 0011 n n n n a x x a x n n +=++， 由Abel 法，1 00 1n n n a x n ∞ +=+∑ 收敛。 对任意的0x ：0||x R >时，若1 001 n n n a x n ∞ +=+∑收敛，取0y 使得00||||x y R >>，因 为100 1n n n a x n ∞ +=+∑ 收敛，因而1 {}1n n a x n ++收敛，故有界记为M ，因此， 10000001||| ()(1)|(1)1|| n n n n n n a y M a y x n n r n x x x +=+≤++， 其中00||1y r x =<。由于0(1)n n n r ∞=+∑，因而，00n n n a y ∞=∑收敛，这与0 n n n a x ∞=∑的收敛半 径为R 矛盾，故，1 001 n n n a x n ∞ +=+∑ 发散。 由此得二者的收敛半径相同。 2020年考研数学（一）真题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ） A.()?-x t dt e 0 12 B.0 ln(1x dt + ? C. ? x dt t sin 0 2sin D.? -x dt t cos 10 3sin 【答案】D 【解析】 ()A 2 2 + + 3 2 00(1)(1)1lim lim 33x x t t x x e dt e dt x x →→--==??，可知0x +→，2 301(1)~3 x t e dt x -?， () B + +5 002 2 2lim lim ln(155 x x x x x dt →→==+? ，可知5202ln(1~5x dt x +?，0x +→ ()C + ++s 3 in 22000 20sin sin(sin )co cos 1lim lim lim 333s x x x x x x t dt x x x →→→===??，可知sin 2 301sin ~3 x t dt x ?，0x +→ () D + +1co 5 0s 0 lim lim x x x →→-===?， 可知1cos 50 ~ x -? ，0x +→ 通过对比，? -x dt t cos 10 3sin 的阶数最高，故选()D 2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0 =→x f x ，则（ ） A. 当()0lim =→x x f x ，()x f 在0=x 处可导. B. 当()0lim 2 =→x x f x ，()x f 在0=x 处可导. C. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim =→x x f x . 考研数学假期作业第七章无穷级数（数一数三必做29题，附答案） 1.判别无穷级数的收敛性. 2. ; 3.求级数的和. 4. 敛散性 5.已知，级数 收敛，证明级数也收敛. 6.判断级数 的敛散性 7.判断下列级数的敛散性 （1） （2）.（3） （4） 8.判定下列级数的收敛性. （1） （2） （3） （4） 9.判别级数 的收敛性. 10.判定下列级数的收敛性. （1） （2） 11. 判定下列级数的收敛性. ) 1(1 4 31321211???+++ ???+?+?+?n n )122( 1 ∑∞ =++-+n n n n ∑∞ =++1)2)(1(1 n n n n ∑∞ =??? ??-1 21cos 1n n n 0lim =∞ →n n nu ))(1(1 1 n n n u u n ∑∞ =+-+∑∞ =1 n n u 1 1 1n n n i n n n +∞ =??+ ?? ? ∑ n ∞ =11(1)(2)n n n ∞=++∑12(1)2n n n ∞=+-∑1 21 (2ln 1)n n n n n n -∞ =++∑ ∑∞ =1 1sin n n ∑∞ =+ 1 2 )11ln(n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n 10! 10321102110132???++???+??+?+n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n （1）； （2）. 12.判定下列级数的收敛性 （1），（2）. 13. 判断的收敛性. 14.判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛. （1） (2) 15.判别级数的收敛性. 16.已知级数 绝对收敛，级数条件收敛，则（） （A ） （B ） （C ） （D ） 17.设幂级数 在处收敛，则此级数在处（ ）. （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不能确定 18. 设幂级数 的收敛半径为3，则幂级数 的收敛区间_____. 19.求幂级数的收敛半径与收敛域. 20.求幂级数的收敛域. 21.求幂级数的收敛半径. 22.求幂级数的收敛域. 1 23 32n n n ∞ =+-∑11 (21)2n n n ∞ =-?∑∑∞ =-+1 2)1(2n n n 121n n n n ∞=?? ?+??∑∑∞ =--1 1 ln )1(n n n n ∑∞ =12 sin n n na 1 1 (1)21 n n n ∞ =--∑∑∞ =+-1 2 )11(21) 1(n n n n n 1 1(1) n n α∞ =-∑21(1)n n n α∞-=-∑102α<≤ 112α<≤312α<≤322α<<1 (1) n n n a x ∞ =-∑1x =-2x =0 n n n a x ∞ =∑1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑∑∞ =--11 ) 1(n n n n x ∑ ∞ =0 !1n n x n ∑∞ =0!n n x n ∑∞ =-12)1(n n n n x 高数考研真题及答案 高数考研真题及答案 高等数学是考研数学的重要组成部分，也是许多考生最为头疼的一门科目。为 了提高自己的数学水平，很多考生会通过做真题来进行复习。本文将介绍一些 高数考研真题及其答案，希望对考生们有所帮助。 一、函数与极限 1. 某函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，求极限lim(x→0)〖f(2x-1)〗。 解析：根据函数的连续性和极限的性质，可以得出lim(x→0)〖f(2x-1)〗 =f(0)=1。 2. 已知函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，有f'(x)=f(x)，求f(x)的表达式。 解析：根据题目中给出的条件，可以得出f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。 二、导数与微分 1. 求函数y=ln(1+x^2)的导数。 解析：根据链式法则和对数函数的导数公式，可以得出y'=(2x)/(1+x^2)。 2. 某物体的运动方程为s(t)=t^3-2t^2+3t，求物体在t=2时的速度。 解析：速度的定义是位移对时间的导数，即v(t)=s'(t)=3t^2-4t+3。代入t=2， 可以得到v(2)=7。 三、定积分与不定积分 1. 求∫(0 to π/2)〖sin^2(x) dx〗。 解析：根据三角恒等式sin^2(x)=1/2-1/2cos(2x)，可以将原式转化为∫(0 to π/2)〖(1/2-1/2cos(2x)) dx〗。根据不定积分的性质和基本积分公式，可以得到结果为π/4。 2. 求∫(0 to 1)〖x^2e^x dx〗。 解析：根据不定积分的性质和积分公式，可以得到结果为2。 四、级数 1. 求级数∑(n=1 to ∞)〖(1/2)^n〗的和。 解析：根据级数的求和公式，可以得到结果为1。 2. 求级数∑(n=1 to ∞)〖(n^2)/(2^n)〗的和。 解析：根据级数的求和公式和幂级数的性质，可以得到结果为6。 通过以上的高数考研真题及答案的介绍，我们可以看到，在高等数学考研中，函数与极限、导数与微分、定积分与不定积分、级数等内容都是考生们需要重点掌握的知识点。熟练掌握这些知识点，并能够灵活运用，对于提高考试成绩起到至关重要的作用。 在复习过程中，考生们可以通过做真题来检验自己的掌握程度和解题能力。通过分析真题的解答过程，可以更好地理解和掌握高等数学的知识点，提高解题的效率和准确性。 当然，光做真题是不够的，考生们还需要结合教材和参考书进行系统的学习，理解和掌握高等数学的基本概念、定理和公式。同时，要注重培养数学思维和解题能力，多进行数学推理和证明题的练习，提高自己的数学素养。 总之，高数考研真题及答案是考生们复习的重要参考资料，通过做真题可以检验自己的掌握程度和解题能力。希望考生们能够充分利用这些资源，努力提高自己的数学水平，取得优异的考试成绩。 考研数学一（无穷级数）模拟试卷12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设an＞0(n=1，2，3，…)且a2n ( ) A．绝对收敛。 B．条件收敛。 C．发散。 D．敛散性与A有关。 正确答案：A 解析：由于an为正项级数且收敛，则级数a2n收敛，而则由比较判别法知a2n绝对收敛。故选A。知识模块：无穷级数 2．设an为正项级数，下列结论中正确的是( ) A．若an收敛。 B．若存在非零常数λ，使得an发散。 C．若级数n2an=0。 D．若级数an发散，则存在非零常数λ，使nan=λ。 正确答案：B 解析：取an=发散，(A)不对；取an==+∞，(c)不对；取an=nan=+∞，(D)不对。故应选B。知识模块：无穷级数 3．级数(α＞0，β＞0)的敛散性( ) A．仅与β取值有关。 B．仅与α取值有关。 C．与α和β的取值有关。 D．与α和β的取值无关 正确答案：C 解析：由于。(1)当0＜β＜1时，级数发散。(2)当β＞1时，级数收敛。(3)当＞=1时，原级数为，此时，当α＞1时收敛，当α≤1时发散，故应选C。知识模块：无穷级数 4．下列级数中属于条件收敛的是( ) A． B． C． D． 正确答案：D 解析：由排除法，因此应选D。知识模块：无穷级数 5．设a＞0为常数，则( ) A．绝对收敛。 B．条件发散。 C．发散。 D．收敛性与a有关。 正确答案：A 解析：由于1一cos收敛，根据绝对收敛的定义知绝对收敛。因此应选A。知识模块：无穷级数 6．若an(x一1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处( ) A．条件收敛。 B．绝对收敛。 C．发散。 D．收敛性不确定。 正确答案：B 解析：因x=一1为级数的收敛点，知级数在｜x一1｜＜｜一1—1｜=2内收敛，即当一1＜x＜3时绝对收敛，x=2在区间(一1，3)内，故应选B。知识模块：无穷级数 7．下列四个级数中发散的是( ) A． B． C． D． 正确答案：B 解析：对于(A)，因为而级数发散，由比较审敛法的极限形式知级数发散。应选B。对于(C)，这是一个交错级数，而且令f(x)=，因此当x＞e2时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，所以当n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整数)时，，由交错级数的莱布尼茨判别法知，级数收敛。对于(D)，因为知识模块：无穷级数 8．若级数bn发散，则( ) 考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含 答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则( )． A．当收敛时，anbn收敛 B．当发散时,anbn发散 C．当收敛时,an2bn2收敛 D．当发散时,an2bn2发散 正确答案：C 解析：A选项的反例可取an=bn=；B，D选项的反例可取an=bn=故正确答案为 C．解析二考察选项 C．由知，{an}有界；由收敛知．即{｜bn｜}也有界．又0≤an2bn2=an｜bn｜｜bn｜≤M｜bn｜(M为常数)，根据比较敛法知，an2bn2收敛，正确答案为C．知识模块：无穷级数 2．(2006年试题，二)若级数收敛，则级数( )． A．收敛 B．收敛 C．收敛 D．收敛 正确答案：D 解析：由级数收敛推出收敛；再由线性性质推出收敛，即收敛．故选 D．知识模块：无穷级数 3．(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是( )． A．若，则级数收敛 B．若存在非零常数λ，使得则级数发散 C．若级数收敛，则 D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得 正确答案：B 解析：由题设，为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项．关于A，令则发散，但故A可排除；关于C，令则收敛，但，故C也可排除；关于D，令则发散，但．即D也排除；关于B，由于发散，则由正项级数的比较判别法知发散，综上，选 B．知识模块：无穷级数 4．(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数( ). A．发散 B．绝对收敛 C．条件收敛 D．收敛性根据所给条件不能判定 正确答案：C 解析：由题设，令而由已知则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除B，考虑原级数的部分和，即由已知从而．因而所以即原级数条件收敛，选 C．知识模块：无穷级数 5．(2000年试题，二)设级数收敛，则必收敛的级数为( )． A． B． C． D． 正确答案：D 解析：观察四个选项，结合题设收敛，可知D中必然收敛，因为它是两个收敛级数和逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除．关于A，令不难验证是收敛的交错级数，而是发散级数；关于B，令同样有为收敛的交错级数，而是发散级数；关于C，令则是收敛的交错级数，而，当n→∞时，而级数发散，因此发散．综上，选 D．一般通过举反例来排除错误选项时，常以P级数．级数(当P>1时，绝对收敛；0(当P>1时，收敛；P≤1时，发散)作为反例，其中P的取值根据具体情况而定．知识模块：无穷级数 6．(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )． A．(一1，1] B．[一1，1) C．[0，2) D．(0，2] 正确答案：C 解析：因为{an}单调减少所以an＞0(n=1，2，…)，由交错级数的莱布尼兹法则，收敛，因为无界，所以级数发散，则的收敛域为[一1，1)，故原级数的收敛域为[0，2)．故选 C．知识模块：无穷级数 7．(1999年试题，二)设其中则等于( )． 考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷38(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．设幂级数在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径． 正确答案：由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知的收敛半径R=｜b｜，其收敛域为一｜b｜≤x＜｜b｜．注意到幂级数分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是R=｜b｜．涉及知识点：无穷级数 2．设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x ＞0)． 正确答案：令φ(x)=e－xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=1，φ’(x)=e －x[f’(x)－f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x ＞0)．涉及知识点：高等数学 3．设D＝是正定矩阵，其中A，B分别是m，n阶矩阵．记P＝．(1)求PTDP．(2)证明B－CTA-1C正定． 正确答案：(1) (2)因为D为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定．于是由上例的结果，得B－CTA-1C正定．涉及知识点：二次型 4．设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x→a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x→a的n－1阶无穷小． 正确答案：f(x)在x=a可展开成f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+f”(a)(x－a)2+…+f(n)(a)(x －a)n+o((x－a)n)(x→a)．由x→a时f(x)是(x－a)的／1,阶无穷小f(a)=f’(a)=…=f(n －1)(a)=0，f(n)(a)≠0．又f(x)在x=a邻域n1阶可导，f(n－1)(x)在x=a可导．证明由g(x)=f’(x)在x=a处n－1阶可导g(x)=g(a)+g’(a)(x－a)+…+g(n－1)(a)(x－a)n －1+o((x－a)n－1)，即f’(x)=f’(a)+f”(a)(x－a)+…+f(n)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－ 1)=f(n)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1)．因此f’(x)是x－a的n－1阶无穷小(x→ a)．涉及知识点：高等数学 5．过球面x2＋y2＋z2＝169上点M(3，4，12)分别作垂直于x轴与y轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程． 正确答案：过M点分别与x、y轴垂直的平面是z＝3与y＝4，与球面的截线它们的交点是M1(3，4，12)，M2(3，4，一1 2)．г1在M1的切向量＝{0， 考研数学三（无穷级数）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设pn=(an+丨an丨）/2，qn=(an-丨an丨）/2，n=1,2,…,则下列命题正确的是 A．若an条件收敛，则pn与qn都收敛 B．若an绝对收敛，则pn与qn都收敛 C．若an条件收敛，则pn与qn的敛散性都不定 D．若an绝对收敛，则pn与qn的敛散性都不定 正确答案：B 涉及知识点：无穷级数 2．设一下命题：①若(u2n-1+u2n)收敛，则un收敛.②若un收敛，则un+1000收敛.③若un+1/un＞1，则un发散.④若(un+vn)收敛，则un，vn都收敛.则以上命题中正确的是 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 正确答案：B 涉及知识点：无穷级数 3．设an＞0，n=1,2,…,若an发散，（-1）n-1an收敛，则下列结论正确的是A．a2n-1收敛，a2n发散. B．a2n收敛，a2n-1发散. C．(a2n-1+a2n)收敛. D．(a2n-1-a2n)收敛. 正确答案：D 涉及知识点：无穷级数 4．若an收敛，则级数 A．丨an丨收敛 B．（-1）nan收敛 C．anan+1收敛 D．(an+an+1)/2收敛 正确答案：D 涉及知识点：无穷级数 5．设{un}是数列，则下列命题正确的是 A．若un收敛，则（u2n-1+u2n）收敛. B．若(u2n-1+u2n)收敛，则un收敛. C．若un收敛，则(u2n-1-u2n)收敛. D．若(u2n-1-u2n)收敛，则un收敛. 正确答案：A 涉及知识点：无穷级数 6．已知级数据对收敛，级数条件收敛，则 A．0＜a≤1/2 B．1/2＜a≤1 C．1＜a≤3/2 D．3/2＜a＜2 正确答案：D 涉及知识点：无穷级数 7．下列各项正确的是 A． B． C． D． 正确答案：A 涉及知识点：无穷级数 8．设un=（-1）2ln，则级数 A． B． C． D． 正确答案：C 涉及知识点：无穷级数 9．设an＞0（n=1，2，…，且an收敛，常数λ∈（0，π/2),则级数（-1）n(ntanλ/n)a2n A．绝对收敛 B．条件收敛 C．发散 D．敛散性与λ有关 正确答案：A 涉及知识点：无穷级数 2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析 注： 1）本篇试题选自2004年—2014年数学一、二、三的考研真题，共35题； 2）本篇真题题型：选择题，填空题，解答题； 3）本篇试题包括两部分，第一部分是精选极限真题解析，第二部分是补充极限真题解析(P9)； 第一部分（精选“极限”真题解析）（共20题） 一、选择题 1、设lim ,0n n a a a →∞ =≠且，则当n 充分大时有（ ） （A ）n a > || 2 a （B ）||||2 n a a < (C) 1n a a n >- (D) 1n a a n <+ 答案：(A)，注：2014年数三（1） 解析：方法1： lim 0,lim 0,= 2 n n n n a a a a a ε→∞ →∞ =≠∴=>取，则当n 充分大时，3,, 22n n n a a a a a a a εεε-<-<-<<<即，故（A ）正确。 方法2： lim n n a a →∞ = N N n N ε+ ∴∀>∃∈∀>使，有||n a a ε-< 即 |||||| . 0,222 n n a a a a a a a a a a εεε-<<+≠∴=<<+ 可取，则- 不论a >0或a <0，都有|| 2n a a >，选A 2、设1230(1,2,3), n n n a n S a a a a >==+++ +，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 答案：(B)，注：2012年数二（3） 解析：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞ 是 存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞ →∞ →∞ →∞ =-=-=，也即{}n a 收敛。 反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。故数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件，选(B)。 考研数学考前预测重点题型之无穷级数（数一、数三） 无穷级数是考研数学中数学一和数学三同学必考的内容，这一部分是同学们复习的难点，但是它也是考试的重点. 在考试中，既可以以选择题和填空题的方式进行考查，也可以以解答题的方式进行考查. 要求同学们对于数项级数敛散性的判别，幂级数收敛半径，收敛区间，收敛域的求法，求幂级数的和函数，求函数的幂级数展示式的基本方法掌握到位，不过这一块经常也会出一些比较难的压轴题，比如和数列极限存在性的结合，和微分方程的综合题等等. 题型一：判别数项级数的敛散性 【例1】设正项级数1ln(1)n n a ∞=+∑ 收敛，则级数1(1)n ∞ =-∑ ) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不能确定 【难度】中 【答案】(B) 【解析】由于正项级数1 ln(1)n n a ∞=+∑收敛，所以0n a >，且lim 0n n a →∞=， 又因为ln(1)lim 1n n n a a →∞+=，所以1ln(1)n n a ∞=+∑与1n n a ∞=∑有相同的敛散性，即1 n n a ∞=∑收敛，故11 n n a ∞+=∑也收敛. 又()11(1)2n n a a +-=≤+，而()11n n n a a ∞+=+∑收敛，所以由比较 判别法可得1 (1)n ∞=-∑. 【小结】此题考查了正项级数的比较判别法.抽象型数项级数敛散性的判别经常以选择题的方式进行考查,而出现了正项级数，经常考的是比较判别法. 题型二：简单函数的幂级数展开 【例2】设21()3n n n S x a x ∞ ==+∑满足()()2x S x S x e '+=+，求()S x ，并求出n a . 【难度】中 【解析】已知()()2x S x S x e '+=+且可得(0)3S =，解得1()2()2x x S x e e -=++. 001()()2[]2!!n n n n x x S x n n ∞∞==-=++∑∑011(1)22!n n n x n ∞=+-=+∑ 222001 12112232(2)!(2)!(2)!n n n n n n x x x n n n ∞∞∞====+=+=+∑∑∑，(,)x ∈-∞+∞ 因21()3n n n S x a x ∞==+∑，故1(2)! n a n = . 【小结】此题考查了微分方程和幂级数的综合题，但是此题难度不大. 通过微分方程可以求出函数的表达式，进而可以写出对应的幂级数展开式.要求对于常见函数的麦克劳林级数形式记住了. 题型三：求幂级数的和函数 【例3】求幂级数2 0(1)1n n n x n ∞ =-+∑的和函数. 2021考研数学〔一〕真题完整版 一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕假设反常积分 () 11b a dx x x +∞ +⎰ 收敛，那么〔 〕 ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 〔2〕函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -<⎧⎪=⎨ ≥⎪⎩，那么()f x 的一个原函数是〔 〕 ()()()()()()()()()()()()()()()()22 22 1,11,1 ln 1,1ln 11,1 1,11,1 ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨ -≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨ ++≥-+≥⎪⎪⎩⎩ 〔3〕假设( ) ( )2 2 2 211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的 两个解，那么()q x =〔 〕 ()()()() () ()222 2 313111x x A x x B x x C D x x +-+- ++ 〔4〕函数(),0111 ,,1,2,1 x x f x x n n n n ≤⎧⎪ =⎨<≤=⎪+⎩，那么〔 〕 〔A 〕0x =是()f x 的第一类间断点 〔B 〕0x =是()f x 的第二类间断点 〔C 〕()f x 在0x =处连续但不可导 〔D 〕()f x 在0x =处可导 〔5〕设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，那么以下结论错误的选项是〔 〕 〔A 〕T A 与T B 相似 〔B 〕1 A -与1 B -相似 〔 C 〕T A A +与T B B +相似 〔D 〕1 A A -+与1 B B -+相似 〔6〕设二次型()2 2 2 123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，那么()123,,2 f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔 〕 〔A 〕单叶双曲面 〔B 〕双叶双曲面 〔C 〕椭球面 〔C 〕柱面 考研数学三（无穷级数）模拟试卷17(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设级数收敛，则下列选项必为收敛级数的为( ) A． B．un2 C．(u2n-1一u2n)。 D．(un+un+1)。 正确答案：D 解析：因为级数un收敛，而un+1与un只差一项，故un+1收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数(un+un+1)收敛，故选D。知识模块：无穷级数 2．如果级数an和bn都发散，则( ) A．(an一bn)必发散。 B．anbn必发散。 C．(an+|bn|)必发散。 D．(|an|+|bn|)必发散。 正确答案：D 解析：由于an发散，则|an|发散，而|an|≤|an|+|bn|)，故(|an|+|bn|)必发散，故选D。知识模块：无穷级数 3．已知级数an收敛，则下列级数中必收敛的是( ) A． B．an2 C．(a2n-1一l一a2n)。 D．(an+an+k)，k为正整数。 正确答案：D 解析：由于(an+an+k)=an+an+k,而级数an+k为原级数an去掉了前k项，因此也收敛，故(an+an+k)必收敛，故选D。知识模块：无穷级数 4．设an＞0(n=1，2，…)，且an＞收敛，常数λ∈(0，)，则级数( ) A．绝对收敛。 B．条件收敛。 C．发散。 D．敛散性与λ有关。 正确答案：A 解析：利用比较法。因为=λ>0,而由正项级数an收敛可知，a2n收敛，再由比较法的极限形式知，原级数绝对收敛，故选A。知识模块：无穷级数 5．下列命题成立的是( ) A．若=0，则bn收敛时，an收敛。 B．=∞，则an发散时，bn发散。 C．若=1，则中至少有一个发散。 D．若=0，则中至少有一个收敛。 正确答案：C 解析：由于anbn=1,则an=0和bn=0中至少有一个不成立，则级数中至少有一个发散，故选C。知识模块：无穷级数 6．设0≤an＜。(n=1，2，…)，则下列级数中一定收敛的是( ) A． B． C． D． 正确答案：D 解析：由0≤an＜可知，0≤an2＜，而由收敛及正项级数的比较判别法知，级数an2收敛，从而(一1)nan2绝对收敛，故选D。知识模块：无穷级数 7．级数(α>0，β>0)的敛散性( ) A．仅与β取值有关。 B．仅与α取值有关。 C．与α和β的取值都有关。 D．与α和β的取值都无关。 正确答案：C 解析：由于(1)当01时，级数收敛。(3)当β=1时，原级数为，当α>1时收敛，当α≤1时发散，故选C。知识模块：无穷级数 8．设常数λ>0，且级数an2收敛，则级数( ) A．发散。 B．条件收敛。 C．绝对收敛。 D．敛散性与λ有关。 正确答案：C 解析：取an=，显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对 1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当x 0时，1 ，1 12 2 1x， 2 故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上，lim x 0 lim lim 1， x 0 x 0 或 ln(1 x) ln(1 x o(x) o o 所以应选（B） 【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】【例1.55】. 2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽 象函数， 本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项. 【详解】取f(x) |x|，则lim x 0 f(x) f( x) 0，但f(x)在x 0不可导，故选（D）. x 事实上， 在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得 f(0) 0. lim在（C）中， x 0 f(x)f(x) f(0)f(x) lim 0，存在，则f(0) 0,f (0) lim x 0x 0xx 0x 所以(C)项正确，故选(D) 【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题 数学二第一套（2）. 3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得 1111 13 F(3) 21 ，F(2) 22 ， 2222 28 F( 2) 20 0211 f(x)dx f(x)dx f(x)dx 12 . 2022 2 所以 F(3) 33 F(2) F( 2)，故选（C）. 44 【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便. 类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复 习 指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】. 考研数三真题及答案解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、 １．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）)()(3 2 x o x o x =⋅ （B ）)()()(3 2 x o x o x o = （C ）)()()(2 2 2 x o x o x o =+ （D ）)()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2 3 3 2 x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选（D ）． 2．函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x e x x x x ln ~11ln -=-， 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点． 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的 可去间断点． 故应该选（C ）． ３．设k D 是圆域{ } 1|),(2 2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=k D k dxdy x y I )(，则 （ ） （A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 4 •设a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ) 2013年考研数三真题及答案解析 、选择题1 — 8小题.每小题4分，共32分.、 1•当x 0时，用o （x ）表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） (A) x o(x 2) o(x 3) 2 3 (B) o(x)o(x ) o(x ) (C) o(x 2) o(x 2) o(x 2) 2 2 (D) o(x) o(x ) o(x ) 【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例 2 o （x ）故应该选（D ） 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 2 2 如当x 0 时 f(x) x 2 x 3 o(x), g(x) x 3 2 o ( x ) ，但 f(x) g(x) o(x)而不是 |x x 1 x(x 1)ln x (A ) 0 ( B ) 1 (C ) 2 ) (D ) 3 【详解】当xln x 0时，x x 1 e x 叫x 1 ~ xln x 00 f(x) x x 1 lim 1 x 0 x(x 1) ln|x xln x lim - x 0 xln x 1，所以x 0是函数f （x ）的可去间断点. l i m 1 f(x) |x x 1 x(x 1)ln x 1 丄，所以 2 x 1是函数f （x ）的可去间断点. f(x) | x x 1 x(x 1)ln xln x (x 1)ln x ，所以所以x 的第k 象限的部分, 记I k (A ) I 1 (B )丨2 (C ) I 3 0 (D ) I 4 1不是函数f （x ）的 (y x)dxdy ,则 D k 2•函数f(x) 的可去间断点的个数为 l im 呻 !叫 摘要 本文主要探讨研究生入学考试数学试卷中与无穷级数相关的问题，在前人研究的基础上，重点分析了四川师范大学2014-2019年的十二套考研试卷，对其中涉及级数理论的相关试题的题型、考查的知识点进行归纳总结，侧重对数项级数的敛散性判别、幂级数的收敛域及和函数求解、函数的幂级数展开式等几类典型试题分析其解题思路与解题方法，力图达到对此类问题的掌握有所帮助的目的。关键词：研究生考试；级数；函数；幂级数；收敛 Abstract This paper mainly discusses the problems related to infinite series in the mathem atics test paper of postgraduate entrance examination.Based on the previous studies,i t focuses on the analysis of12sets of postgraduate entrance examination papers of Sic huan Normal University from2014to2019,including the types of questions related t o series theory and the knowledge points of examination,focusing on the convergence and divergence of the logarithmic series,the convergence domain and power series A nd function solution,function power series expansion and so on several kinds of typic al test questions analyze their solution ideas and methods,trying to achieve the purpos e of helping to grasp such problems. Key words：Graduate examination; series; function; power series; convergence 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 201 3sin cos lim (1cos )ln(1) x x x x x x →+=++ . (2) 设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3,则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 . (3) 对数螺线e θ ρ=在点2(,)(, )2 e π π ρθ=处的切线的直角坐标方程为 . (4) 设12243311A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥-⎣⎦ ,B 为三阶非零矩阵,且0AB =,则t = . (5) 袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放 回,则第二个人取得黄球的概率是 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 二元函数22 , (,)(0,0),(,)0, (,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩ 在点(0,0)处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 (2) 设在区间[,]a b 上()0,()0,()0,f x f x f x '''><>令12(),()()b a S f x dx S f b b a = =-⎰ , 31 [()()]()2 S f a f b b a =+-,则 ( ) (A) 123S S S << (B) 213S S S << (C) 312S S S << (D) 231S S S << (3) 2sin ()sin ,x t x F x e tdt π += ⎰ 设则()F x ( ) (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 (4) 设111122232333,,,a b c a b c a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 则三条直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=, 3330a x b y c ++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 ( ) 考研级数典型例题（完美版讲析） 常数项级数 内容要点 一，概念与性质 (一)概念由数列 ,,,,21n u u u 构成的式子 =∑∞ =1 n n u ++++n u u u 21 称为无穷级数，简称为级数.n u 称为级数的一般项，∑== n i i n u s 1 称为级数的部分和. 如果s s n n =∞ →lim ,则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，s 称为该级数的和.此时记 =∑∞ =1 n n u s .否则称级数 发散. （二）性质 1, 若 ∑∞ =1n n u 收敛，则 .1 1 ∑∑∞ =∞ ==n n n n u k ku 2, 若 ∑∞ =1 n n u ,∑∞ =1 n n v 收敛，则 ().1 1 1 ∑∑∑∞=∞ =∞ =±=±n n n n n n n v u v u 3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性. 4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件), 若 ∑∞ n n u 收敛，则.0lim =∞ →n n u 注意：若.0lim ≠∞ →n n u 则 ∑∞ =1 n n u 必发散.而若 ∑∞ =1 n n u 发散,则不一定.0lim ≠∞ →n n u (三) 两个常用级数 1, 等比级数 ≥<-=∑∞ =1 , 1,10q q q a aq n n 2, -p 级数 ≤>=∑∞ , 1, 11p p n n p 二，正项级数敛散性判别法 (一) 比较判别法 设 ∑∑? =∞=1 1 ,n n n n v u 均为正项级数，且),2,1( =≤n v u n n ,则∑∞ =1n n v 收敛? ∑∞ =1n n u 收敛； ∑∞ =1 n n u 发散? ∑∞ =1 n n v 考研数学一真题含解析 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 2005年考研数学一真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） （1）曲线1 22 +=x x y の斜渐近线方程为_____________. （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91 )1(-=y の解为.____________. （3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3 1 =n ，则) 3,2,1(n u ∂∂=.________. （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域， ∑是Ωの整个边界の外侧，则⎰⎰∑ =++zdxdy ydzdx xdydz ____________. （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .. （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y,则 }2{=Y P =____________. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内） （7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f(x)在),(+∞-∞内 (A)处处可导.(B)恰有一个不可导点. (C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]2020年考研数学(一)真题及解析
考研数学假期作业第七章无穷级数(数一数三必做的29题,附详解)
高数考研真题及答案
考研数学一(无穷级数)模拟试卷12(题后含答案及解析)
考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答
考研数学一(解答题)高频考点模拟试卷38(题后含答案及解析)
考研数学三(无穷级数)模拟试卷1(题后含答案及解析)
2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析
考研数学考前预测重点题型之无穷级数(数一、数三)
考研数学一真题及答案解析(完整版)
考研数学三(无穷级数)模拟试卷17(题后含答案及解析)
2022年考研数学(三)真题解析
2020年考研数三真题及答案解析(完整版)
考研数三真题及答案解析完整版
研究生考试级数函数幂级数收敛
1997考研数学一真题及答案详解
考研级数典型例题（完美版讲析）
考研数学一真题含解析
相关主题
文本预览