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八年级数学上册分式知识点归纳

分式

一、概念：

定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成B

的形式。如果除式．．B ．中含有分母．．．．．

，那么称B

为分式。（对于任何一个分式，分母不为0。如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。分式：分母中含有字母。整式：分母中没有字母。而代数式则包含分式和整式。）

定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。）

定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。

定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。二、基本性质：

分式的基本性质：分式的分子与分母都．乘以（或除以）同．一个不等于零．．．．的整式，分式的值不变。三、运算法则：

1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积

的分母;（用符号语言表示：b a ﹒d c =bd

）

2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

（用符号语言表示：

b a ÷d

c =b a ﹒c

d =bc

）分式乘除法的运算步骤：

当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。分母不变，把分子相加减。（表达式为：

c b =c

b a ±） 4、异分母的分式相加减法则是：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。（表达式为：

b a ±d

c =bd

±db bc =bd

bc ad ±）怎样确定最简公分母：我们在进行异分母的分式加减时，最先要考虑的是找到几个异分母的最简公分母，然后进行通分。怎样确定最简公分母呢？

（1）、算式中只有一项是分式，最简公分母就是这个分式的分母。如算式1

1++

-a a 的最简公分母就是

1+a 。

（2）、算式中有几个分式相加减，分母互为相反数，最简公分母可取其中任何一个分母。如算式b

a b

a b b b a a 2322--

---的最简公分母可以是a –2b ，也可以是2b –a 。

（3）、当算式中的几个分母都是单项式时，最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的乘积。如算式2

243

3221xy bx axy -

+的最简公分母就是12abx 2y 2

。

（4）、当算式中分式的几个分母都是多项式时，则先把所有分母进行因式分解，最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积。如算式

2423441y

xy x x y

x +-+

-的最简公分母是4（x+y ）

(x –y )2

（5）、当算式中分式的分子与分母都有公因式时，可以先把这个分式约分，再根据情况确定最简公分母。

如计算4

22222-+-

-+x x x x x 时，如果直接通分，则显得有点繁；若把

222-+x x x 的分子分母分解因式成为

)2)(2()2(-++x x x x ，再化简为2

-x x

进行计算就简单得多，

其最简公分母是x –2。

解方程过程中易犯的错误：1、解方程时忘记检验；2、去分母时忘记加括号；3、去分母时漏乘不含分母的项. 四、相关知识归纳：

1、分式有意义和无意义的条件：

分式B A 有意义的条件是：B ≠0；分式B

无意义的条件

是：B=0； 2、分式的

=0的条件：A=0，并且B ≠0，两者必须同时满足。

3、分式的加减运算的关键是通分，通分的关键是确定

几个分式的公分母。

4、分式的乘方：分式乘方，把分子、分母各自乘方。

5、分式的符号法则：

=B A --=B A --=B A --

6、解分式方程的一般步骤是：（1）化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根；

7、注意：约分和运算的结果必须是最简分式或整式。

测试题

一、填空题（每小题3分，共30分） 1．若要使分式

632+--x x x 有意义，则x 的值应

为． 2．化简：

xy y x 2

3296 = ．

3．分式方程3

21=+x x 的解是． 4．化简：

22693y xy x xy x +-- = ．

5．已知a+b =2，ab =3，则b

a 1

= ．

6．y x y -2，y x +1，2

22y x y

x -+的最简公分母

是．

7．已知1

1211

2--++

-m m m 的值等于0，则m 的值

是．

8．请写出一个根为1的分式方

程：． 9．若

b a b a +=+111，则b

a a

b += ． 10. 数与数之间的关系非常奇妙．如： ①2

211=-

，②34322=-，③49433=-，……

根据式中所蕴含的规律可知第n 个式子

是．二、选择题（每小题4分，共20分）

11．下列四个分式的运算中，其中运算结果正确的有【】 ①

a b a +=+211； ②()323

2a a a =；

③b a b a b a +=++2

2；④3

1932

-=--a a a ； A ．0个 B ．1个 C.2个 D. 3个

12．若将分式

4a b

a +中的a 与

b 的值都扩大为原来

的2倍，则这个分式的值将【】

A ．扩大为原来的2倍 B. 分式的值不变

C. 缩小为原来的2

D ．缩小为原来的41

13.若a –b =2ab ，则b

a 1

的值为【】

A ．

21 B ．–2

C ．–2

D ．2 14．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设参加旅游的同学共有x 人，则根据题意可列方程【】

A ．32180180=+-x x

B ．3180

2180=-+x

x C ．3180180+-x x =2 D ．2180

3180=-+x

x 15．已知x 为整数，且分式

222

-+x x 的值为整数，则

x 可取的值有【】

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个三、（第16小题6分，第17、18两小题每题8分，

共计22分） 16．化简：??

? ??-+??? ??+-

121121a a 17．解分式方程：x

x x --=--31

2132 18、计算：

?? ??++??? ??++++-??? ??+++??? ??

+++413121514131211514131214131211四、（每小题9分，共18分） 19．先化简，后求值：x

x x x x x 1

)1213(2-?+--，其中x =55-．

20．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．

（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．四、（每小题10分，共10分）

21．有两堆棋子，第一堆棋子比第二堆棋子的数目多，从第一堆棋子中拿出若干粒到第二堆，使第二堆的棋子数翻倍，然后从第二堆中拿出若干粒到第一堆，使第一堆的棋子数翻倍，最后从第一堆中再拿出若干粒到第二堆，使第二堆的棋子数翻倍．此时发现第一堆棋子数与第二堆棋子数一样多，求原来这两堆棋子的数目．

期中检测题

一、选择题：

1．下列不等式一定成立的是（） A ．a a 34> B ．a a 2->-

C ．x x -<-43

D ．a a 23> 2．如果不等式ax+4<0的解集在数轴上表示如图,那么

a 的值是（） A ．ａ>0 B ．a<0

C ．a=－2

D ．a=2 3．如果不等式 ??

x x 8

无解,那么m 的取值范围是

A ．m ＞8

B ．m ≥8

C ．m ＜8

D ．m ≤8

4．不等式53>-

的解集是（） A ．35-

->x

C ．15-

D ．15>-x

5．下列各式从左到右，是因式分解的是（） A ．（y －1）（y ＋1）＝2

y －1 B ．1)(12

-+=-+y x xy xy y x

C ．（x －2）（x －3）＝（3－x ）（2－x ）

D ．2

)2(44-=+-x x x

6．下列多项式能分解因式的是（）

A ．x 2-y

B ．x 2

C ．x 2-4x +1

D ．x 2+2x y +y 2

7．下列代数式是分式的是：（） A ．

2x B ．2

y x - C ．a a 252 D ．5

8．下列各式中最简分式是（） A ．

b a 1512 B ．1

62+x x

C ．331++x x

D ．a

a 5 9．方程11

4=-x 的解是（） A ．x ＝1 B ．x ＝3 C ．x ＝5 D ．x ＝7

10．两地实际距离是500 m ，画在图上的距离是25 cm ，若在此图上量得A 、B 两地相距为40 cm ，则A 、B 两地的实际距离是（）

A ．800 m

B ．8000 m

C ．32250 cm

D ．3225 m

二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

11．不等式6x<11x 成立的条件是。

12．约分：

=ab

a 15252___________。 13．分解因式：2

24a a -= 。 14．若()()2

244,x

ky x y x y k -=+-=则。

15．已知x +y =6，xy =4，则x 2

y +xy 2

的值为。 16．分式

x -+21

2中，当x ______时，没意义；当x ______时，值为零。 17．用字母x 表示下图公共部分的范围是。

18．不等式组

???

??->->13

32x x 的解集是。

19．已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b = 。

20．已知长度为4,5,cm cm Xcm 的三条线段可围成一

个三角形，那么x 的取值范围是

三、计算或化简（本题共4小题，每小题5分，共20

分）

21、22

2x y xy xy

- 22、3222x x y x y y x

----

23、22693b b b a a a -÷-+- 24、2

2111x x x x x x

-??- ?

-+?? 四、解答题：(本题共5小题,共35分)

25、解不等式，并把解集表示在数轴上. 231x +<- 26、(4分)解不等式组：481438x x x x -+??????

++?????＜①≤②

27、(12分)把下列各式分解因式： ⑴、236a a -；⑵、53

x x -；⑶、－4a 3＋16a 2b －16ab

2 28

、(5分)先化简，再求值：2

144422a a a a a a --?-+-，其中=-1. 29、(5分)解分式方程： 12132

x x x -+=--

30、(5分)某实验中学为初二住宿的男学生安排宿舍。如果每间住4人，那么有20人无法安排；如果每间住8人，那么有一间宿舍不空也不满。求宿舍间数和住宿男学生人数。

五、计算或证明：（本题共3小题，共15分）

31、(10分)利用分解因式计算： ①．2

191019919?-?

②．2

20062200610061006-??+

32、(5分)证明8

51-能被20～30之间的两个整数整除。

参考答案

1、x ≠3；

2、

z xy 32；3、x =2；4、y x x -3；5、3

；6、

x 2–y 2；7、2；

8、如：11

=+x ；9、–1；10、112+=+-

n n n n n ； 11、A ；12、C ；13、C ；14、A ；15、C ；16、1；

17、无解； 18、设a =++413121，则原式=（1+a ）（a +5

）

–a (1+a +51)=5

19、 20、（1）60天；（2）24天； 21、第一堆棋子数目为11k ，第二堆棋子数目为5k ，k

为整数。

八年级上册第十五章分式知识点总结及练习

第十五章分式一、知识概念： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ???

8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ??? （n 是正整数） ⑹1 n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

八年级数学分式的加减法练习题

17.2.2 分式的加减法（1）同步练习一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4 的最简公分母是________. 3. 计算：222321xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)1 1(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2 的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x | |+xy xy | |化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2 的结果为____________. 9. 计算22+-x x －22 -+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（） 2. 11 )1(1 )1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（） 4.222b a c b a c b a c +=-++（）三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（） A.零 B.正数 C.负数 D.整数

新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)

分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义：例1：当x 时，分式 51 -x 有意义；例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义例5：x ，y 满足关系时，分式 x y x y -+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

分式方程知识点复习总结大全

分式方程知识点复习总结大全重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。 2理解分式的基本性质. 3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 10利用分式方程组解决实际问题. 难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 10会列分式方程表示实际问题中的等量关系. 16.1分式及其基本性质

1.分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可）例1：（ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B. 注意：不是分式例2：已知，当x为何值时，分式无意义? 当x为何值时，分式有意义? 例3：（2011四川南充市）当分式的值为0时，x的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）－2 【答案】B 2.分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ，，且均表示的是整式。（2）分式的变号法则：

八年级数学上册分式混合计算专题练习80题

分式的混合专题练习 3234)1(x y y x ? x y xy 22 63)3(÷ a a a a 21 22)2(2+? -+ 41441)4(222--÷+--a a a a a 5、x y x y x y -+- 6、a a a 31211++ 7、4 )223(2 -÷+-+x x x x x x 8、44212-+-m m 9、423)231(--÷--m m m 10、2 2 22x xy y xy xy y x ---- 11、224+--a a 12、112+-+x x x 13、1 )111(-÷ -+-a a a a a 14、 1 1 12112--+--x x x

15、m m -+-329122 16、a+2－a -24 17、2 2221106532x y x y y x ÷? 18、ac a c bc c b ab b a -+-++ 19、2 22 24421y xy x y x y x y x ++-÷ +-- 20、224)2222(x x x x x x -?-+-+- 21、262--x x ÷ 443 2+--x x x 22、 1?? ? ???÷ ÷a b b a b a 324923 23、m n n n m m m n n m -+-+--2 24、1 111-÷? ?? ??--x x x 25、( ﹣)÷ 26、( 22+--x x x x )2 4-÷x x ;

27、??? ? ??++÷--ab b a b a b a 22222 28、??? ??--+÷--13112x x x x 。 29、、() 2 211n m m n m n -??? ? ??-÷??? ??+; 30、16842 2+--x x x x ,其中x =5、 31、已知2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A 、 B 的值。 32、先化简,再求值2 2 )11(y xy y x y y x -÷-++,其中2-=x ,1=y 、 33、3,3 2 ,1)()2(2 22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中

初二下册数学分式计算题题目

一、分式方程计算：（1） 21)2(11+-?+÷-x x x x （2）32232)()2(b a c ab ---÷ （3）2323()2()a a a ÷- （4）0142)3()101( )2()21(-++-----π （5）222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- （6 ）(3103124π--????-?-÷ ? ????? （7）2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、（1）3513+=+x x ；（2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. （6）（7）（8）三、1、先化简，再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ，其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++

2、若使互为倒数，求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ，求m 的值。 2 3223+---x x x x 与

四、二元一次方程组解方程组：

五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25＝0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+

(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx

15 ． 1分式第 1 课时从分数到分式教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件．教学重点分式的意义．教学难点准确理解分式的意义，明确分母不得为零．教学设计一师一优课一课一名师( 设计者：) 教学过程设计一、创设情景，明确目标一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h，它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ● 自主学习指向目标 1．自学教材第 127 至 128 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一分式的概念 S V10060 活动一：阅读教材思考问题：式子a ，S以及式子20＋ v 和 20－ v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？展示点评：如果 A，B 表示两个 ________( 整式 ) ，并且 B 中含有 ________( 字母 ) ，那么式A 子B叫做分式．

小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？

反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二分式有意义的条件活动二： (1) 当 x ≠0时，分式 2 有意义； 3x (2) 当 x ≠1时，分式 x 有意义；x － 1 5 1 (3) 当 b ≠3时，分式 5－ 3b 有意义； x ＋ y (4)x ， y 满足 __x ≠y __时，分式 x － y 有意义．展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零．小组讨论：归纳分式有意义的条件．反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标 1．知识小结—— (1) 学习了分式，知道了分式与分数的区别． (2) 知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想．五、达标检测，反思目标 2 x ＋ y 1 x 1．下列各式① x ，② 5 ，③ 2－ a ，④ π－ 1中，是分式的有 ( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当 x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) x － 1 x ＋ 1 x － 1 x － 1 A. x 2 B. x 2－ 1 C. x 2＋1 D. x ＋ 2 3．某食堂有煤 m t ，原计划每天烧煤 a t ，现每天节约用煤 b(b

八年级数学下册第十六章分式知识点总结

第十六章分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（）个。二、分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++；（2）2323x x +-。例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（）。例9.约分：（1）22699x x x ++-；（2）2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=

八年级上册《分式》知识点归纳与总结上课讲义

八年级上册《分式》知识点归纳与总结主讲王老师一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<0 0B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。 3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

初中八年级的数学下册的分式学习知识点总结计划.docx

第十六章分式 1. 分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式。 B 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A ?C A A C B B ?C B B C （ C 0） 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 4. 分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a c ac a c a d ad ( a )n a n b ? ; ? d bd b d b c bc b b n 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 混合运算 : 运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1，即 a 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a n 1 a n （ a 0) 6. 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂． (m,n 是整数 ) （ 1）同底数的幂的乘法： a m ?a n a m n ；（ 2）幂的乘方： ( a m )n a mn ; （ 3）积的乘方： ( ab) n a n b n ；（ 4）同底数的幂的除法： a m a n a m n ( a ≠ 0) ；（ 5）商的乘方： ( a )n n a n ； (b ≠ 0) b b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

八年级数学分式的运算同步练习1

16．2分式的运算第1课时课前自主练 1．计算下列各题：（1）3 2 × 1 6 =______；（2） 3 5 ÷ 4 5 =_______；（3）3a·16ab=________；（4）（a+b）·4a b2=________；（5）（2a+3b）（a-b）=_________．2．把下列各式化为最简分式：（1） 2 2 16 816 a a a - -+ =_________；（2） 22 22 () () x y z x y z -- +- =_________． 3．分数的乘法法则为_____________________________________________________；分数的除法法则为_____________________________________________________．4．分式的乘法法则为____________________________________________________；分式的除法法则为____________________________________________________．课中合作练题型1：分式的乘法运算 5．（技能题） 2 2 3 4 xy z ·（- 2 8z y ）等于（） A．6xyz B．- 23 38 4 xy z yz - C．-6xyz D．6x2yz 6．（技能题）计算： 2 3 x x + - · 2 2 69 4 x x x -+ - ．题型2：分式的除法运算 7．（技能题） 2 2 ab cd ÷ 3 4 ax cd - 等于（） A． 2 2 3 b x B． 3 2 b2x C．- 2 2 3 b x D．- 22 22 3 8 a b x c d 8．（技能题）计算： 2 3 a a - + ÷ 2 2 4 69 a a a - ++ ．课后系统练

(人教版)八年级数学分式方程测试题及答案

16.3.1 分式方程同步测试 ◆知能点分类训练知能点1 分式方程 1．下列方程中分式方程有（）个． 2D 34 （3）22122563 x x x x x x x --=--+-。

5．解下列分式方程: 6 7．解下列关于x 的方程: （1）1(1);(2) 1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0（m ≠0）．

8．解方程：2155 ()14x x x x ---= ． 9 11．a 为何值时，关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误？

12．已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数，求a 的取值范围．，，．（3）根据上面的规律，可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______，方程的解是_________，?解决这个问题的数学思想是_________． ◆中考真题实战

14．解方程：31144x x x --=--; 15．解方程：54 1x x -+=0． 14．解：（1）方程两边同乘以x-2，得2x=x-2，解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的解．（2）方程两边同乘以x （x+1），得（x+1）2+5x 2=6x （x+1），即x 2+2x+1+5x 2=6x 2+6x ，解得x=1 4．经检验，x=14 是原方程的解．

（3）方程两边同乘以（x-2）（x-3），得x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2），解得x=1．经检验，x=1是原方程的解． 5．解：（1）方程两边同乘以（x-1）（x+1），得（x+1）2-4=x2-1，化简得2x-2=0，∴x=1． 6 ） ∴原方程的解为x=7． =1-b， 7．解：（1）移项：a - x a 去分母：a=（1-b）（x-a），去括号：a=（1-b）x-a（1-b），

人教版初二数学上册知识点归纳

人教版初二数学上册知识点归纳因式分解 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式： (1)平方差公式： a2-b2=（a+ b ）（a- b ）； (2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项. 7．完全平方式：能化为（m+n ）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式 x2+px+q ，有“ x2+px+q 是完全平方式 ? q 2p 2 =??? ??”. 分式 1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 叫做分式. 2．有理式：整式与分式统称有理式；即 ?? ?分式整式有理式. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

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第十六章分式 1.分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式。 B 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A C A A C B B C B B （ C 0） C 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a c ac ; a c a d ad ( a )n a n b d bd b d b c bc b b n 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 混合运算 :运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1，即 a 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a n 1 a n （ a 0) 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数 ) （ 1）同底数的幂的乘法： a m a n a m n ；（ 2）幂的乘方： ( a m )n a mn ; （ 3）积的乘方： ( ) n n n ； ab a b （ 4）同底数的幂的除法： a m a n a m n ( a ≠ 0) ；（ 5）商的乘方： ( a ) n n a n ； (b ≠ 0) b b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤： (1) 能化简的先化简 (2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4) 验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审； (2) 设； (3) 列； (4) 解； (5) 答．

八年级上册数学分式的运算练习及答案

第15章《分式》同步练习（§ 分式的运算）班级学号姓名得分一、选择题 1．(河南)一种花瓣的花粉颗粒直径约为 006 5米， 006 5用科学记数法表示为( )． A ．×10－5 B ．×10－6 C ．×10－7 D ．65×10－6 2．(山东淄博)化简2221121 a a a a a a +-÷--+的结果是( )． A ．1a B ．a C ． 1 1 a a +- D ． 1 1 a a -+ 3．化简：2 3 32x y xz yz z y x ?? ???? ?? ? ? ??? ????等于( )． A ．23 2y z x B ．xy 4z 2 C ．xy 4z 4 D ．y 5z 4．计算 37444x x y y x y y x x y ++----得( )．

A ．264x y x y +- - B ． 264x y x y +- C ．－2 D ．2 5．化简111a ??+ ?-? ?÷2 21 a a a -+的结果是( )． A ．a ＋1 B ．11 a - C ． 1 a a - D ．a －1 6．下列运算中，计算正确的是( )． (A) ) (212121b a b a +=+ (B)ac b c b a b 2= + (C)a a c a c 1 1=+- (D) 01 1=-+-a b b α 7．a b a b a -++2 的结果是( )． (A)a 2- (B)a 4 (C)b a b --2 (D) a b - 8．化简2 2)11(y x xy y x -? -的结果是( )． (A) y x +1 (B)y x +- 1 (C)x －y (D)y －x 二、填空题

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第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历 “实际问题 ——— 分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质 ; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则【主要公式】 1. 同分母加减法则 : b c b c a 0 a a a 2. 异分母加减法则 : b d bc da bc da a 0, c 0 ; a c ac ac ac 3. 分式的乘法与除法 : b ? d bd , b c b ? d bd a c ac a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法 m a nm+n mnm －n ; a ● =a ; a ÷ a =a 6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m = a m b n , (a m ) n = a mn 负指数幂 : a -p = 1 p 7. a =1

北师大版八年级数学下册分式知识点归纳总结及习题精练

分式及其运算知识点归纳总结一、知识点归纳 1、分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，B 中含有字母且B 不等于0，那么式子 B A 叫做分式．需要注意的四点：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分式的分母的值不能为0；（3）分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开；（4）判断分式需要看最初的形式 2、分式有无意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，分母为0时，分式无意义 3、分式的值：（1）分式的值为0，满足 000≠=?=B A B A 且（2）分式的值为1，满足 01≠=?=B A B A （3）分式的值为-1，满足 01≠-=?-=B A B A （4）分式的值为正，满足 ?? ?<>?>00000B A B A B A 或（5）分式的值为负，满足?? ?>?<0 0000B A B A B A 或 4、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． )0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a ，前提条件是0≠m ,强调是同时 5、分式的符号：y y y x x x -- ==-（符号调整时注意不要改变分式的值）． 6、约分和最简分式：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．对分式进行约分化

简时，通常要使结果成为最简分式（即分子和分母已没有公因式）或者整式．通分：最简公分母 7、分式的乘除运算乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．分式的加减运算同分母的分式相加减，分母不变_，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，然后再加减．在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母分解因式分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简．有时进行分项化简分式及其运算的题型总结题型一：分式的定义及有无意义 1、下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1π；②2x x ；③(3)(1)x x +÷-；④2 10xy -；⑤242x x --；⑥109x y +． 2、当x 取何值时，下列分式有意义（1） ax x ；（2）2 3 9 x x +- （3 （4）2 x -． 3、当x =______分式212x x x ---=0，当x =________时，216(3)(4)x x x --+=0 4、已知当2x =-时，分式 x b x a --无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________． 5、若分式 224x x x m ++不论x 取何实数总有意义,则m 的取值范围

八年级数学《分式方程》知识点

八年级数学《分式方程》知识点一、理解定义 1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 2、解分式方程的思路是：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。（2）解这个整式方程。（3）把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。（4）写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 3、增根：分式方程的增根必须满足两个条件：（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 4、分式方程的解法： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根．注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 5、分式方程解实际问题（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。（2）应用题基本类型；二、例题讲析例1：解方程214111 x x x +-=-- （1）增根是使最简公分母值为零的未知数的值。（2）增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。

八年级_分式知识点总结与复习题

分式知识点总结及章末复习知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）经典例题 1、代数式14x - 是（） A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式 2、在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 3、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9元的甲种糖果的质量为千克. 4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（） A. 1a a + B.21a a + C.211a a ++ D.211 a a +- 5、当1x =时，分式①11x x +-，②122x x --，③211x x --，④311x +中，有意义的是（） A.①③④ B.③④ C.②④ D.④ 6、当1a =-时，分式 211 a a +-（）A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义 7、使分式8483x x +-的值为0，则x 等于（） A.38 B.12- C.83 D.12 8、若分式2212 x x x -+-的值为0，则x 的值是（） A.1或－1 B.1 C.－1 D.－2 9、当x 时，分式 11x x +-的值为正数. 10、当x 时，分式11 x x +-的值为负数. 11、当x = 时，分式132x x +-的值为1.

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