分 式
一、概念:
定义1:整式A 除以整式B ,可以表示成B
A
的形式。如果除式..B .中含有分母.....
,那么称B
A
为分式。(对于任何一个分式,分母不为0。如果除式B 中含有分母,那么这个就是分式,对于任何一个分式,分母不为0。分式:分母中含有字母。整式:分母中没有字母。而代数式则包含分式和整式。)
定义2:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。
定义3:分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。(化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式。)
定义4:化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5:分母中含有未知数的方程叫做分式方程 定义6:在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘一个含有未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种解通常称为增根。 二、基本性质:
分式的基本性质:分式的分子与分母都.乘以(或除以)同.一个不等于零....的整式,分式的值不变。 三、运算法则:
1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积
的分母;(用符号语言表示:b a ﹒d c =bd
ac
)
2、分式的除法的法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
(用符号语言表示:
b a ÷d
c =b a ﹒c
d =bc
ad
) 分式乘除法的运算步骤:
当分式的分子与分母都是单项式时: (1)乘法运算步骤是:①用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式,如果分子(或分母)的符号是负号,应把负号提到分式的前面;③约分。(2)除法的运算步骤是:把除式中的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘,其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式,①先分解因式;②如果分子与分母有公因式,先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时,应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是:同分母的分式相加减。分母不变,把分子相加减。(表达式为:
c
a
±
c b =c
b a ±) 4、异分母的分式相加减法则是:先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。(表达式为:
b a ±d
c =bd
ad
±db bc =bd
bc ad ±) 怎样确定最简公分母:我们在进行异分母的分式加减时,最先要考虑的是找到几个异分母的最简公分母,然后进行通分。怎样确定最简公分母呢?
(1)、算式中只有一项是分式,最简公分母就是这个分式的分母。如算式1
1
1++
-a a 的最简公分母就是
1+a 。
(2)、算式中有几个分式相加减,分母互为相反数,最简公分母可取其中任何一个分母。如算式b
a b
a b b b a a 2322--
---的最简公分母可以是a –2b ,也可以是2b –a 。
(3)、当算式中的几个分母都是单项式时,最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的乘积。如算式2
243
3221xy bx axy -
+的最简公分母就是12abx 2y 2
。
(4)、当算式中分式的几个分母都是多项式时,则先把所有分母进行因式分解,最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积。如算式
2
2
2
2
2423441y
xy x x y
x +-+
-的最简公分母是4(x+y )
(x –y )2
(5)、当算式中分式的分子与分母都有公因式时,可以先把这个分式约分,再根据情况确定最简公分母。
如计算4
22222-+-
-+x x x x x 时,如果直接通分,则显得有点繁;若把
4
222-+x x x 的分子分母分解因式成为
)2)(2()2(-++x x x x ,再化简为2
-x x
进行计算就简单得多,
其最简公分母是x –2。
解方程过程中易犯的错误:1、解方程时忘记检验;2、去分母时忘记加括号;3、去分母时漏乘不含分母的项. 四、相关知识归纳:
1、分式有意义和无意义的条件:
分式B A 有意义的条件是:B ≠0;分式B
A
无意义的条件
是:B=0; 2、分式的
B
A
=0的条件:A=0,并且B ≠0,两者必须同时满足。
3、分式的加减运算的关键是通分,通分的关键是确定
几个分式的公分母。
4、分式的乘方:分式乘方,把分子、分母各自乘方。
5、分式的符号法则:
B
A
=B A --=B A --=B A --
6、解分式方程的一般步骤是:(1)化分式方程为整式方程;(2)解整式方程;(3)验根;
7、注意:约分和运算的结果必须是最简分式或整式。
测 试 题
一、填空题(每小题3分,共30分) 1.若要使分式
9
632+--x x x 有意义,则x 的值应
为 . 2.化简:
z
xy y x 2
3296 = .
3.分式方程3
21=+x x 的解是 . 4.化简:
2
22693y xy x xy x +-- = .
5.已知a+b =2,ab =3,则b
a 1
1+
= .
6.y x y -2,y x +1,2
22y x y
x -+的最简公分母
是 .
7.已知1
1
1211
2--++
-m m m 的值等于0,则m 的值
是 .
8.请写出一个根为1的分式方
程: . 9.若
b a b a +=+111,则b
a a
b += . 10. 数与数之间的关系非常奇妙.如: ①2
1
211=-
,②34322=-,③49433=-,……
根据式中所蕴含的规律可知第n 个式子
是 . 二、选择题(每小题4分,共20分)
11.下列四个分式的运算中,其中运算结果正确的有 【 】 ①
b
a b a +=+211; ②()323
2a a a =;
③b a b a b a +=++2
2;④3
1932
-=--a a a ; A .0个 B .1个 C.2个 D. 3个
12.若将分式
2
4a b
a +中的a 与
b 的值都扩大为原来
的2倍,则这个分式的值将【 】
A .扩大为原来的2倍 B. 分式的值不变
C. 缩小为原来的2
1
D .缩小为原来的41
13.若a –b =2ab ,则b
a 1
1-
的值为【 】
A .
21 B .–2
1
C .–2
D .2 14.几个同学包租一辆面包车去旅游,面包车的租价为180元,后来又增加了两名同学,租车价不变,结果每个同学比原来少分摊了3元车费.若设参加旅游的同学共有x 人,则根据题意可列方程【 】
A .32180180=+-x x
B .3180
2180=-+x
x C .3180180+-x x =2 D .2180
3180=-+x
x 15.已知x 为整数,且分式
1
222
-+x x 的值为整数,则
x 可取的值有【 】
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 三、(第16小题6分,第17、18两小题每题8分,
共计22分) 16.化简:??
? ??-+??? ??+-
121121a a 17.解分式方程:x
x x --=--31
2132 18、计算:
?
?? ??++??? ??++++-??? ??+++??? ??
+++413121514131211514131214131211四、(每小题9分,共18分) 19.先化简,后求值:x
x x x x x 1
)1213(2-?+--,其中x =55-.
20.在社会主义新农村建设中,某乡镇决定对一段公路进行改造.已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成;如果由乙工程队先单独做10天,那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成.
(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数; (2)求两队合做完成这项工程所需的天数. 四、(每小题10分,共10分)
21.有两堆棋子,第一堆棋子比第二堆棋子的数目多,从第一堆棋子中拿出若干粒到第二堆,使第二堆的棋子数翻倍,然后从第二堆中拿出若干粒到第一堆,使第一堆的棋子数翻倍,最后从第一堆中再拿出若干粒到第二堆,使第二堆的棋子数翻倍.此时发现第一堆棋子数与第二堆棋子数一样多,求原来这两堆棋子的数目.
期 中 检 测 题
一、选择题:
1.下列不等式一定成立的是 ( ) A .a a 34> B .a a 2->-
C .x x -<-43
D .a a 23> 2.如果不等式ax+4<0的解集在数轴上表示如图,那么
a 的值是 ( ) A .a>0 B .a<0
C .a=-2
D .a=2 3.如果不等式 ??
?> x x 8 无解,那么m 的取值范围是 A .m >8 B .m ≥8 C .m <8 D .m ≤8 4.不等式53>- x 的解集是 ( ) A .35- 5 ->x C .15- D .15>-x 5.下列各式从左到右,是因式分解的是 ( ) A .(y -1)(y +1)=2 y -1 B .1)(12 2 -+=-+y x xy xy y x C .(x -2)(x -3)=(3-x )(2-x ) D .2 2 )2(44-=+-x x x 6.下列多项式能分解因式的是 ( ) A .x 2-y B .x 2 +1 C .x 2-4x +1 D .x 2+2x y +y 2 7.下列代数式是分式的是: ( ) A . 2x B .2 y x - C .a a 252 D .5 2a 8.下列各式中最简分式是 ( ) A . b a 1512 B .1 62+x x C .331++x x D .a a 5 9.方程11 4=-x 的解是 ( ) A .x =1 B .x =3 C .x =5 D .x =7 10.两地实际距离是500 m ,画在图上的距离是25 cm ,若在此图上量得A 、B 两地相距为40 cm ,则A 、B 两地的实际距离是( ) A .800 m B .8000 m C .32250 cm D .3225 m 二、填空题(本题共10小题,每小题3分,共30分) 11.不等式6x<11x 成立的条件是 。 12.约分: =ab bc a 15252___________。 13.分解因式:2 24a a -= 。 14.若()()2 244,x ky x y x y k -=+-=则 。 15.已知x +y =6,xy =4,则x 2 y +xy 2 的值为 。 16.分式 x x -+21 2中,当x ______时,没意义;当x ______时,值为零。 17.用字母x 表示下图公共部分的范围是 。 18.不等式组 ??? ??->->13 1 32x x 的解集是 。 19.已知一矩形的长a =1.35m ,宽b =60cm ,则a ∶b = 。 20.已知长度为4,5,cm cm Xcm 的三条线段可围成一 个三角形,那么x 的取值范围是 三、计算或化简(本题共4小题,每小题5分,共20 分) 21、22 2x y xy xy - 22、3222x x y x y y x ---- 23、22693b b b a a a -÷-+- 24、2 2111x x x x x x -??- ? -+?? 四、解答题:(本题共5小题,共35分) 25、解不等式,并把解集表示在数轴上. 231x +<- 26、(4分)解不等式组:481438x x x x -+?????? ++?????<①≤② 27、(12分)把下列各式分解因式: ⑴、236a a -;⑵、53 x x -;⑶、-4a 3+16a 2b -16ab 2 28 、(5分)先化简,再求值:2 2 144422a a a a a a --?-+-,其中=-1. 29、(5分)解分式方程: 12132 2 x x x -+=-- 30、(5分)某实验中学为初二住宿的男学生安排宿舍。如果每间住4人,那么有20人无法安排;如果每间住8人,那么有一间宿舍不空也不满。求宿舍间数和住宿男学生人数。 五、计算或证明:(本题共3小题,共15分) 31、(10分)利用分解因式计算: ①.2 2 191019919?-? ②.2 2 20062200610061006-??+ 32、(5分)证明8 51-能被20~30之间的两个整数整除。 参考答案 1、x ≠3; 2、 z xy 32;3、x =2;4、y x x -3;5、3 2 ;6、 x 2–y 2;7、2; 8、如:11 2 =+x ;9、–1;10、112+=+- n n n n n ; 11、A ;12、C ;13、C ;14、A ;15、C ;16、1; 17、无解; 18、设a =++413121,则原式=(1+a )(a +5 1 ) –a (1+a +51)=5 1 19、 20、(1)60天;(2)24天; 21、第一堆棋子数目为11k ,第二堆棋子数目为5k ,k 为整数。 第十五章 分式 一、知识概念: 1.分式:形如 A B ,A B 、是整式,B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件:分母不等于0. 3.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变. 4.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分. 5.通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算: ⑴同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为:a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为: a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为:a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为:n n n a a b b ?? = ??? 8.整数指数幂: ⑴m n m n a a a +?=(m n 、是正整数) ⑵() n m mn a a =(m n 、是正整数) ⑶()n n n ab a b =(n 是正整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m n 、是正整数,m n >) ⑸n n n a a b b ?? = ??? (n 是正整数) ⑹1 n n a a -=(0a ≠,n 是正整数) 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 17.2.2 分式的加减法(1) 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减,先________变为________分式,然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4 的最简公分母是________. 3. 计算:222321xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算:)1 1(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若(3-a )2与|b -1|互为相反数,则b a -2 的值为____________. 7. 如果x <y <0,那么x x | |+xy xy | |化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2 的结果为____________. 9. 计算22+-x x -22 -+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0( ) 2. 11 )1(1 )1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x ( ) 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+( ) 4.222b a c b a c b a c +=-++( ) 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x >y >0,那么x y x y -++11的值是( ) A.零 B.正数 C.负数 D.整数 分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 分式方程知识点复习总结大全重点:1理解分式的概念、有意义的条件,分式的值为零的条件。 2理解分式的基本性质. 3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质. 9会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是 原方程的增根. 10利用分式方程组解决实际问题. 难点: 1能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数. 9会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是 原方程的增根. 10会列分式方程表示实际问题中的等量关系. 16.1分式及其基本性质 1.分式的概念:形如(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子,叫做分式。其中A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母,分式才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件:分子等于0,分母不等于0(两者必须同时满足,缺一不可) 例1:( 2011重庆江津)下列式子是分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B. 注意:不是分式 例2:已知,当x为何值时,分式无意义? 当x为何值时,分式有意义? 例3:(2011四川南充市)当分式的值为0时,x的值是()(A)0(B)1(C)-1(D)-2 【答案】B 2.分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. ,,且均表示的是整式。 (2)分式的变号法则: 分式的混合专题练习 3234)1(x y y x ? x y xy 22 63)3(÷ a a a a 21 22)2(2+? -+ 41441)4(222--÷+--a a a a a 5、x y x y x y -+- 6、a a a 31211++ 7、4 )223(2 -÷+-+x x x x x x 8、44212-+-m m 9、423)231(--÷--m m m 10、2 2 22x xy y xy xy y x ---- 11、224+--a a 12、112+-+x x x 13、1 )111(-÷ -+-a a a a a 14、 1 1 12112--+--x x x 15、m m -+-329122 16、a+2-a -24 17、2 2221106532x y x y y x ÷? 18、ac a c bc c b ab b a -+-++ 19、2 22 24421y xy x y x y x y x ++-÷ +-- 20、224)2222(x x x x x x -?-+-+- 21、262--x x ÷ 443 2+--x x x 22、 1?? ? ???÷ ÷a b b a b a 324923 23、m n n n m m m n n m -+-+--2 24、1 111-÷? ?? ??--x x x 25、( ﹣)÷ 26、( 22+--x x x x )2 4-÷x x ; 27、??? ? ??++÷--ab b a b a b a 22222 28、??? ??--+÷--13112x x x x 。 29、、() 2 211n m m n m n -??? ? ??-÷??? ??+; 30、16842 2+--x x x x ,其中x =5、 31、已知2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A 、 B 的值。 32、先化简,再求值2 2 )11(y xy y x y y x -÷-++,其中2-=x ,1=y 、 33、3,3 2 ,1)()2(2 22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 一、分式方程计算: (1) 21)2(11+-?+÷-x x x x (2)32232)()2(b a c ab ---÷ (3)2323()2()a a a ÷- (4)0142)3()101( )2()21(-++-----π (5)222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- (6 )(3103124π--????-?-÷ ? ????? (7)2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、(1)3513+=+x x ; (2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. (6) (7) (8) 三、1、先化简,再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ,其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++ 2、若使 互为倒数,求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ,求m 的值。 2 3223+---x x x x 与 四、二元一次方程组 解方程组: 五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25=0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+ 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级上册第十五章分式知识点总结及练习
八年级数学分式的加减法练习题
新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)
分式方程知识点复习总结大全
八年级数学上册分式混合计算专题练习80题
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