第十六章 分式知识点及典型例子
一、分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子B
A 叫做分式。 例1.下列各式a π,11x +,15
x+y ,22a b a b --,-3x 2,0?中,是分式的有( )个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零;【B ≠0】
分式没有意义的条件是分母等于零;【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】
例2.下列分式,当x 取何值时有意义。(1)2132
x x ++; (2)2323x x +-。 例3.下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( )。
A .121x +
B .21x x +
C .231x x
+ D .2221x x + 例4.当x______时,分式2134
x x +-无意义。当x_______时,分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y
=3,求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不
变。 (0≠C )
四、分式的通分和约分:关键先是分解因式。
例6.不改变分式的值,使分式115101139
x y x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘以(? )。 例7.不改变分式2323523
x x x x -+-+-的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,则是(? )。 例8.分式434y x a +,2411x x --,22x xy y x y
-++,2222a ab ab b +-中是最简分式的有( )。 例9.约分:(1)22699x x x ++-; (2)2232m m m m
-+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=
例10.通分:(1)
26x ab ,29y a bc ; (2)2121a a a -++,261
a - 例11.已知x 2+3x+1=0,求x 2+
21x 的值. 例12.已知x+1x
=3,求2421x x x ++的值. 五、分式的运算:
分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。 分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减。
,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd
±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
例13.当分式211x --21x +-11
x -的值等于零时,则x=_________。 例14.已知a+b=3,ab=1,则a b +b a
的值等于_______。 例15.计算:222x x x +--2144
x x x --+。 例16.计算:2
1
x x --x-1 例17.先化简,再求值:
3a a --263a a a +-+3a
,其中a=32。 六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10≠=a a ;
当n 为正整数时,n
n a a 1=- ()0≠a 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n 是整数)
(1)同底数的幂的乘法:n m n m a
a a +=?; bc ad c d
b a d
c b a b
d ac d c b a =?=÷=?;n n n b
a b a =)(
(2)幂的乘方:mn n m a
a =)(; (3)积的乘方:n
n n b a ab =)(; (4)同底数的幂的除法:n m n m a a a -=÷( a ≠0);
(5)商的乘方:n n
n b
a b a =)((b ≠0) 八、科学记数法:把一个数表示成n a 10?的形式(其中101<≤a ,n 是整数)的记数方法叫做科学记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时,其中10的指数是1-n 。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
例18.若25102=x ,则x -10等于( )。 A.51- B.51 C.50
1 D.6251 例19.若31=+-a a ,则22-+a a 等于( )。
A. 9
B. 1
C. 7
D. 11
例20.计算:(1)10123)326(34--??? ???-?- (2)()32
132----xy b a
例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA 是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是___________。
例22.计算()()___________1031032125=?÷?--。
例23.自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一门新学科,这就是“纳米技术”,已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。
例24.计算34x x y -+4x y y x +--74y x y -得( ) A .-264x y x y +- B .264x y x y
+- C .-2 D .2 例25.计算a-b+22b a b +得( ) A .22a b b a b
-++ B .a+b C .22
a b a b ++ D .a-b 九、分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。
3、解分式方程的步骤:
(1)、在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程。
(2)、解这个整式方程。
(3)、把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去。
(4)、写出原方程的根。
增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4、分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
例26.解方程。 (1)623-=x x (2)1613122-=-++x x x (3)01152=+-+x x (4)x
x x 38741836---=- 例27. X 为何值时,代数式x
x x x 231392---++的值等于2? 例28.若方程122423=+-+x x 有增根,则增根应是( )
十、列方程应用题
(一)、步骤(1)审:分析题意,找出研究对象,建立等量关系;(2)设:选择恰当的未知数,注意单位;(3)列:根据等量关系正确列出方程;(4)解:认真仔细;(5)检:不要忘记检验;
(6)答:不要忘记写。
(二) 应用题的几种类型:
1、行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 例29.甲、乙两地相距19千米,某人从甲地去乙地,先步行7千米,然后改骑自行车,共用了2小时到达乙地,已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍,求步行的速度和骑自行车的速度.
2、工程问题 基本公式:工作量=工时×工效。
例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
3、顺水逆水问题 v 顺水=v 静水+v 水; v 逆水=v 静水-v 水。
例31.已知轮船在静水中每小时行20千米,如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同,那么此江水每小时的流速是多少千米?
第十五章 分式 一、知识概念: 1.分式:形如 A B ,A B 、是整式,B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件:分母不等于0. 3.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变. 4.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分. 5.通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算: ⑴同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为:a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为: a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为:a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为:n n n a a b b ?? = ???
8.整数指数幂: ⑴m n m n a a a +?=(m n 、是正整数) ⑵() n m mn a a =(m n 、是正整数) ⑶()n n n ab a b =(n 是正整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m n 、是正整数,m n >) ⑸n n n a a b b ?? = ??? (n 是正整数) ⑹1 n n a a -=(0a ≠,n 是正整数) 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
《数学》(八年级上册)知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 2 2 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 2 2 c b a =+的三个正整数,称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如 3 π +8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。 5、估算
初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。 幂的运算:AM+AN=A(M+N) (AM)N=AMN (A/B)N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 分式方程知识点复习总结大全重点:1理解分式的概念、有意义的条件,分式的值为零的条件。 2理解分式的基本性质. 3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质. 9会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是 原方程的增根. 10利用分式方程组解决实际问题. 难点: 1能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数. 9会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是 原方程的增根. 10会列分式方程表示实际问题中的等量关系. 16.1分式及其基本性质 1.分式的概念:形如(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子,叫做分式。其中A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母,分式才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件:分子等于0,分母不等于0(两者必须同时满足,缺一不可) 例1:( 2011重庆江津)下列式子是分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B. 注意:不是分式 例2:已知,当x为何值时,分式无意义? 当x为何值时,分式有意义? 例3:(2011四川南充市)当分式的值为0时,x的值是()(A)0(B)1(C)-1(D)-2 【答案】B 2.分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. ,,且均表示的是整式。 (2)分式的变号法则: 知识点1:一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2. 3.一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2:直角坐标系与点的位置 1.直角坐标系中,点A (3,0)在y 轴上。 2.直角坐标系中,x 轴上的任意点的横坐标为0. 3.直角坐标系中,点A (1,1)在第一象限. 4.直角坐标系中,点A (-2,3)在第四象限. 5.直角坐标系中,点A (-2,1)在第二象限. 知识点3:已知自变量的值求函数值 1.当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2.当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3.当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4:基本函数的概念及性质 1.函数y=-8x 是一次函数. 2.函数y=4x+1是正比例函数. 3.函数x y 2 1-=是反比例函数. 4.抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5.抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6.抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7.反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5:数据的平均数中位数与众数 1.数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2.数据3,4,2,4,4的众数是4. 3.数据1,2,3,4,5的中位数是3. 知识点6:特殊三角函数值 1.cos30°= 2 3. 2.sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3.2sin30°+ tan45°= 2. 4.tan45°= 1. 5.cos60°+ sin30°= 1. 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?分式方程知识点复习总结大全
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