人教版八年级数学分式知识点及典型例题

分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义:

例：下列式子中,y x +15、8a 2b 、－239a 、y x b a --25、432

2b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、2

1

、212+x 、

π

xy

3、

y x +3、m

a 1

+中分式的个数为( ） (A) 2 （Ｂ） 3 (C ） 4 （D) 5

练习题：(１)下列式子中，是分式的有 .

⑴275x x -+； ⑵ 1

23

x -；⑶25a a -;⑷22x x π--；⑸22b b -;⑹222xy x y +.

（2）下列式子，哪些是分式?

5a -; 234x +;3

y y ; 78x π+;2x xy x y +-；145

b -+.

2、分式有,无意义,总有意义：

(1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解; （２）使分式无意义：令分母=０按解方程的方法去求解； 注意：（12+x ≠0)

例1：当ｘ 时,分式51

-x 有意义； 例2:分式x

x -+212中，当____=x 时，分式没有意义

例3：当x 时,分式112-x 有意义。 例４：当x 时，分式1

2+x x

有意义

例5:x ，y 满足关系 时,分式

x y

x y

-+无意义; 例6：无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ）

A ．

122+x x B.12+x x Ｃ.1

33+x x

D.25x x -

例7：使分式2

+x x

有意义的x 的取值范围为（ )A.2≠x B.2-≠x C ．2->x D ．2

例8：要是分式)

3)(1(2

-+-x x x 没有意义,则x 的值为( )A. 2 B ．-1或-3 C. -1

D.3

同步练习题:

3、分式的值为零：

使分式值为零:令分子＝0且分母≠0，注意:当分子等于０使，看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。

例1:当x 时,分式1

21+-a a

的值为0 例2：当x 时，分式

112+-x x 的值为0 例3：如果分式2

2+-a a 的值为为零，则a 的值为( ) A. 2± B.2 Ｃ. 2-

Ｄ.以上全不对

例4：能使分式1

22--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ )

Ａ 0=x Ｂ 1=x Ｃ0=x 或1=x D 0=x 或1±=x

例５:要使分式6

59

22+--x x x 的值为0，则x 的值为( ）A.3或-３ ?Ｂ.3 C.-３

D ２ 例6:若

01=+a

a

,则ａ是( )A ．正数 B.负数 Ｃ.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用:

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 例１:aby a xy = ; z y z y z y x +=++2

)(3)(6 ；如果75

)13(7)13(5=++a a 成立,则ａ的取值范围是__＿____＿;

C

B C A B A ??=

C B C

A B A ÷÷=

()0≠C

例2：)(1

332

=

b

a ab

)(c

b a

c b --=+- 例3：如果把分式b

a b

a ++2中的ａ和

b 都扩大10倍，那么分式的值( ）

A 、扩大１0倍 Ｂ、缩小10倍 C 、是原来的２0倍 D 、不变 例4：如果把分式

y

x x

+10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（ ) Ａ．扩大100倍 B.扩大10倍 C.不变 Ｄ．缩小到原来的10

1 例5：如果把分式

y

x xy

+中的x 和y 都扩大2倍,即分式的值（ ) Ａ、扩大2倍; B 、扩大4倍; Ｃ、不变; D 缩小２倍 例6：如果把分式

y

x y

x +-中的x 和ｙ都扩大2倍，即分式的值( ) Ａ、扩大2倍; Ｂ、扩大4倍; Ｃ、不变; D 缩小2倍 例7：如果把分式

xy

y

x -中的ｘ和y 都扩大２倍，即分式的值( ） A 、扩大2倍; B 、扩大4倍; C 、不变； D 缩小2

1倍 例8：若把分式

x

y

x 23+的ｘ、y 同时缩小12倍，则分式的值(? ) A ．扩大12倍 B ．缩小12倍 C.不变 ?D ．缩小6倍

例9:若x 、y 的值均扩大为原来的２倍,则下列分式的值保持不变的是( ）

A 、y x 23

B 、223y x

C 、y x 232

D 、2323y

x

例10：根据分式的基本性质,分式

b

a a

--可变形为（ ) A b a a -- B b a a + C b a a -- D b

a a +-

例１1：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05

.0012

.02.0x x ；

例12:不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， 2

11x x x

-+--= 。

５、分式的约分及最简分式:

①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分

②分式约分的依据:分式的基本性质．

③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式. ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式) 约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

例1：下列式子（1)

y x y x y x -=--122；（2)c

a b

a a c a

b --=

--;（3)1-=--b a a b ；（4)y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ )A 、１个 B 、2 个 C 、 ３ 个 D 、 4 个

例2：下列约分正确的是（ ）

A 、3

26x x x =; B 、

0=++y x y x ; C 、x xy x y x 12=++； D 、2

14222=y x xy 例3:下列式子正确的是( ) A

022=++y

x y

x B.

1-=-+-y

a y

a C ．x

z y x z x y -+=+-

Ｄ．

0=+--=+--a

d

c d c a d c a d c 例４:下列运算正确的是( )

Ａ、a a a b a b =--+ B 、2412x x ÷= C 、22a a b b = D 、111

2m m m

-=

例5:下列式子正确的是（ )

A.22a b a b = Ｂ.0=++b a b a C ．1-=-+-b a b a D.b

a b

a b a b a +-=

+-232.03.01.0 例6:化简2

293m m m --的结果是( )A 、3+m m B 、3

+-m m C 、3-m m

Ｄ、m

m -3 例7:约分：=

-2

264xy y

x ；932--x x = ;()xy xy 132=；

(

)y x y x y x 536.03151+=-+。

例8:约分： 224

44a a a -++= ; =y x xy 2164 ;=++)()

(b a b b a a ; =--2

)(y x y x =-+2

2y x ay

ax

；=++-16

816

2

2x x x

；

=+-6

29

2x x 23314___________21a bc a bc -= 29__________3m m -=+=b

a ab

2205___＿__＿＿＿_=+--9

69

2

2x x x __＿___＿___。 例9:分式

3a 2a 2++，2

2b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1

-中，最简分式有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.４个

6、分式的乘，除,乘方：

分式的乘法：乘法法测:

b a ·d

c =bd

ac . 分式的除法:除法法则:b a ÷d c ＝b a ·c

d

＝bc ad

分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(b a

)n .分式的乘方，

是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：（b

a ）ｎ=n n

b a (n 为正整数)

例题：

计算：（１)7

4

6239251526y x x x -?

(2)13410431005612516a x a y x ÷ （3)a a a 1?÷ 计算:(4）24222a ab a b a ab a b a --?+- (５)425

5222--?+-x x x x (6）2144122++÷++-a a a a a

计算：（7）3

2

2

346y x y x -? （８）a b ab 2362÷- (9)()2

xy xy x x y -?- 计算:（1０)

2

2221106532x

y

x y y x ÷? （11) 22213(1)69x x x x x x x -+÷-?+++（１2)

()22

12

1441

a a a a a a -+÷+?++- 计算：（１３）1112421222-÷+--?+-a a a a a a （14）()633446222-+-÷--÷+--a a a

a a a a 求值题:(1)已知：43=y x ，求xy

x y xy y xy x y x -+÷

+--22

22222的值。 (2)已知:x y y x 39-=+，求2

22

2y x y x +-的值。 （3)已知:311=-y x ，求y

xy x y

xy x ---+2232的值。 例题:

计算:(1)232()3y x = （２）5

2???

??-b a = (3)3

2323???

?

?

?-x y = 计算:（４）3

222???

???????? ??a b ＝ (5）()4

3

22ab a b b a -÷?

??? ??-???? ??- (6）2

2221111???

??-+-???? ??-÷--a a a a a a a

求值题:(1)已知:

4

32z

y x == 求222z y x xz yz xy ++++的值。

（２）已知：0325102

=-++-y x x 求y

xy x

x 222++的值。

例题：计算y

x x

x y x y x +?+÷+2

22

)(的结果是( )A y x x +22 B y x +2 Ｃ y 1 D y

+11

例题：化简x y x x 1?÷的结果是( )A. 1 B. xy C. x

y D .

y

x 计算:(１)422448223-+?++-x x x x x x ；(２）1221

122

2+-÷-+-x x x x x (３)(a ２－１)·22221a a a +-+÷122a a +-

7、分式的通分及最简公分母:

通分:主要分为两类:第一类：分母是单项式；第二类:分母是多项式(要先把分母因式分解) 分为三种类型：“二、三”型;“二、四”型;“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。 例如:

2

22--

+x x

x 最简公分母就是()()22-+x x 。 “二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。 例如：

4

222

--+x x

x 最简公分母就是[][]()2242-+=-x x x “四、六”型:指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式,最简公分母要有独特的；相同的都要有。 例如:

()()

22

22-+-x x x x 最简公分母是:()22-x x

这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用,仔细的去发现之间的区别与联系。 例１：分式

n

m n m n m --+2

,1,12

2的最简公分母是( ） A.))((22n m n m -+ Ｂ.222)(n m - C ．)()(2n m n m -+ D.22n m - 例2：对分式

2y

x ，23x y ,14xy

通分时, 最简公分母是（ ） A ．2４ｘ2y 3 B.1２ｘ２ｙ２ C ．2４ｘｙ２ D ．１2x ｙ2

例３：下面各分式：221x x x -+，22x y x y +-，11x x --+,22

22

x y x y +-，其中最简分式有（ ）个。

Ａ. 4

??Ｂ. 3 ? C. 2?? ?D. 1

例4:分式

412

-a ,4

2-a a 的最简公分母是 . 例5:分式ａ与1

b

的最简公分母为__＿＿_____＿___＿__；

例6:分式xy

x y x +--2

221

,1的最简公分母为 。

８、分式的加减：

分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。

2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母,进行通分;如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型,继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。

例1:m

n

m 22-= 例2：141322222--+-+a a a a = 例3：

x y x

y x y -+-＝ 例４：2

2222222y

x x x y y y x y x ---+-+= 计算：（1）41

33m m m -+++ (2)a b b b a a -+- （3) 2

222)

()(a b b b a a --- (4） 2253a b ab +－2235a b ab --22

8a b

ab

+.

例5：化简1x +12x ＋1

3x 等于( ） A ．12x B.32x C ．116x D.56x

例6：c a b c a b +- 例7:221

42a a a --- 例8：

x x x x ---3)

3(32

例９：

x x x x x x 13632+-+-- 例１０:2212a a a ++--2

2

4

a a -- 例11：11--+a a a 例12：

2

11

x x x --- 练习题：(1）

22a b ab b a b -++ （２) x

x x x +-+-+-2144212

（3) 2129a -+2

3a -. （４） b a b -a b 2++ （5） 2x y

x y y x

---- 例1３:计算1

1--+a a

a 的结果是（ ）A 11-a Ｂ 11--a C 112---a a a D

1-a

例１4：请先化简：

2

1224

x

x x ---，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值. 例15：已知:0342=-+x x 求4

42122

++--+x x x

x x 的值。

9、分式的混合运算：

例1：4

421642++

-÷-x x

x x 例２：34121311222+++-?-+-+x x x x x x x 例3:222)2222(x x x x x x x -?-+-+- 例4：1342+??

?? ?

?+-x x x 例5：1

111-÷??? ??

--x x x 例6:2

2224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 例７2

2112(

)2y

x y x y x xy y -÷-+-+ 例8: x

x x x x

x x 1

1212

2

÷??? ??+---+ 例9: x x x x x x x x 4

)4

4122(

22-÷+----+

练习题：

１0、分式求值问题： 例1:已知x 为整数,且23x ++23x -+22189

x x +-为整数，求所有符合条件的ｘ值的和. 例2:已知ｘ＝2,y ＝

12，求222424()()x y x y ??-??+-??÷11x y x y ??+ ?+-?

?的值. 例３：已知实数x 满足4x 2－４x+l ＝O ，则代数式２x+

x

21

的值为_____＿_＿. 例4：已知实数a 满足a 2

+２ａ－８=0,求3

41

21311222+++-?

-+-+a a a a a a a 的值． 例5：若13x x += 求12

42++x x x 的值是（ )．Ａ.81 Ｂ．101 C.21 D ．41

例6：已知113x y -=，求代数式21422x xy y

x xy y

----的值

例７：先化简,再对a 取一个合适的数,代入求值22

1369

324

a a a a a a a +--+-÷-+-. 练习题：

(1)168422+--x x x x ，其中ｘ=５. (2)16

16822-+-a a a ,其中a=５ （3)2222b ab a ab

a +++,其中

a=-３，ｂ=2

(4）21

44122++÷

++-a a a a a ；其中ａ=８5； (5)x

x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+,其中x= -１ （6）先化简,再求值:

324x x --÷(x +2-5

2

x -).其中x ＝－２. (7）3,3

2

,1)()2(2

22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 (8)先化简，2

11

1x x x -??+÷ ???

，再选择一个你喜欢的数代入求值.

1１、分式其他类型试题: 例1:观察下面一列有规律的数:32,83，154,245,356,48

7

，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）

例2: 观察下面一列分式:2345124816

,,,,,...,x x x x x

---根据你的发现，它的第８项是 ，

第n 项是 。 例3: ( ) Ａ 10 B 20 Ｃ 5５ D 50

例4：当x=____＿＿_时，分式x -51与x

3210

-互为相反数.

例5：在正数范围内定义一种运算☆,其规则为a ☆b =b a 11+,根据这个规则x ☆2

3

)1(=+x 的

解为

( ?） A ．3

2

=x ?B ．1=x C ．3

2-=x 或１ ?Ｄ．32

=x 或1-

例6：已知

4

)4(422+++=+x C

Bx x A x x ，则___________,_____,===C B A ;

例7： 已知

37(1)(2)12

y A B

y y y y +=+----,则（ ）

Ａ.10,13A B =-=

B.10,13A B == C ．10,13A B ==- D.10,13A B =-=- 例8:已知y x 32=,求2

2

2

22y x y y x xy --+的值； 例9:设mn n m =-,则

n m 11-的值是( ） A.

mn

1

B ．0 C.1 Ｄ.1-

例１0:请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式

ｘ2-４ｘｙ＋4ｙ2 ｘ2-4ｙ2 ｘ－2y

例11:先填空后计算：

①111+-n n = 。2111+-

+n n = 。3

1

21+-

+n n = 。(3分) ②(本小题4分)计算:)

2008)(2007(1

)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n

解:)2008)(2007(1

)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n

=

12、化为一元一次的分式方程：

(１)分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 （2）解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

(3)解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简; (2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;

(3）解整式方程； (4)验根.

例1：如果分式121

+-x x 的值为－1,则x 的值是 ;

例2:要使2

415--x x 与的值相等,则x =_＿＿____＿＿_。 例３:当ｍ=_____时，方程21mx m x

+-＝2的根为1

2.

例４:如果方程3)

1(2

=-x a 的解是x ＝5，则ａ＝ 。

例５：(１)

132+=x x (２) 131

32=-+--x x x

例6:解方程：2

2

416222-+=

--+-x x x x x 例７:已知:关于x 的方程x x x a --=

-+34

31无解，求a 的值。 例８：已知关于x 的方程12

-=-+x a

x 的根是正数,求a 的取值范围。

例9:若分式21+x 与3

2

--x x 的２倍互为相反数,则所列方程为＿____＿＿_＿______＿_____＿

＿____；

例10：当m 为何值时间？关于x 的方程2

1

122---

+=--x x x x x x m 的解为负数？ 例１１:解关于x 的方程)0(2≠-=

+-a a

b x a

x b

例12:解关于ｘ的方程:)0(2112

2≠-=--+++a b

a a

b a x b a x 例13:当a 为何值时,

)

1)(2(21221+-+=+----x x a

x x x x x 的解是负数? 例14:先化简,再求值：22

2)(222--+++-?-y x x y x y x y x x ,其中ｘ,y 满足方程组??

?-=-=+232y x y x 例1５知关于x 的方程

)

1)(2(121-+=--+-x x m

x x x x 的解为负值，求m 的取值范围。 练习题： (１） 16

4

412-=-x x （2)

0)

1(213=-+--x x x x (3)

X X X

+--=-15

13112

(4)625+-=-x x x x (５)2

1

63524245--+=--x x x x (6）11112-=-x x (７) x x x --=+-21321 (8）21212339x x x -=+-- (9） 311

223=-+-x

x 13、分式方程的增根问题：

（1)增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方

程的根。

(2）分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解；否则,这个解不是原分式方程的解。

《分式》典型例题分析

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4, 23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式： B A (A ，B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式 3 2 -x 有意义，则x__________ 2、 要使分式 ) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠2 3 - B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3 -或x ≠5 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21 a a + 4、分式 3 24 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 5 2++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式 x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式 ac b bc a ab c 3,2,2 --的最简公分母是 ；分式1 3x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12 --x x D. 11--x x

3、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 2 2 2) (y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。 （1）y x y x 3 22132 21-+； （2）b a b a -+2.05.03.0 2、把分式xy y x +中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的2 1 C. 不变 D. 缩小为原来的4 1 3、约分（1）4 3 22016xy y x -= ；（2）4 4422+--x x x = 4、通分（1）b a 21，2 1ab ； （2）y x -1，y x +1； （3）221y x -，xy x +21. 考点5、计算 1、(1)222222x b yz a z b xy a ÷= ；（2）49 3222--?+-x x x x = ；（3）43222)1.().()( ab a b b a --= (4) x x x x x x 36299622 2+-÷-+- （5）ab a b a a b a b a --+-2224. （6） 22212(1)441x x x x x x x -+÷+?++-

分式知识点总结和练习题讲义

分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）1 2 2-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2）4 2||2--x x （3）6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （2）当x 为何值时，分式32 +-x x 为非负数.

题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例1】 已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值 【例2】 已知：21=-x x ，求2 21 x x +的值. 【例3】 若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 【例4】 已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.

新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)

分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

分式的乘除法典型例题

《分式的乘除法》典型例题 例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分 （1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除） （1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算 （1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分 （1）3286b ab ； （2）2 22322xy y x y x x --

例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ； （2）36 ) (4)(3a b b a a --； （3）22 2y y x -； （4）882122++++x x x x 例8 通分： （1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a

参考答案 例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除

人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则 【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： ． 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件

【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正； （２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义： （1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题 【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+．

初二数学分式典型例题复习和考点总结

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）4 2||2--x x

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4,23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式：B A (A ， B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式3 2-x 有意义，则x__________ 2、 要使分式) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3-或x ≠5 ? 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21a a + 4、分式324 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 52++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式ac b b c a ab c 3,2,2--的最简公分母是 ；分式13x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（ ） { A. 2 2 2)(y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

分式知识点及例题

分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00 B A 或? ??<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然

后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、 分式的加减法则：

分式考点及典型例题分析(最全面)

分式考点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π xy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12 +x ≠0） 例1：当x 时，分式 51-x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式12+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5x x - 例7：使分式2+x x 有意义的x 的取值围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

分式知识点总结和题型归纳

分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧 分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一、 整体通分法 例1 计算：2 11 ---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111 +--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法 例2 计算2221 2324+-++-+x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。 解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21 +x +2+x x =21++x x 三、 分组加减法 例3计算21-a +12 +a -12-a -21+a 分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。 解：原式=（21-a -21+a ）+（12 +a -12-a ） =44 2-a +142--a =)1)(4(1222--a a 四、 分离整数法 例4 计算 3 x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 解：原式= (1)1(2)1(4)1(3)11243 ++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243 +-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。。。 五、 逐项通分法

分式的基本性质-经典例题及答案

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.

3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分式方程学习知识点及典型例题.doc

第二讲分式方程 【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程 解下列分式方程 （ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程 （1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1

题型三：求待定字母的值 （ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程 解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2

1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题 一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城 市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车 的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3

南通市初中数学分式经典测试题

南通市初中数学分式经典测试题 一、选择题 1．化简22 a b b a +-的结果是（ ） A ．1a b - B ．1b a - C ．a ﹣b D ．b ﹣a 【答案】B 【解析】 【分析】 原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果． 【详解】 原式= a+b )()b a b a +-（= 1b a - 故答案选B. 【点睛】 本题考查的知识点是约分，解题的关键是熟练的掌握约分. 2．下列运算中，正确的是（ ） A ．2+= B ．632x x x ÷= C ．122-=- D ．325a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数的加法对A 进行判断；根据同底数幂的乘法对B 进行判断；根据负整数指数幂的意义对C 进行判断；根据同底数幂的除法对D 进行判断． 【详解】 解：A 、2不能合并，所以A 选项错误； B 、x 6÷x 3=x 3，所以B 选项错误； C 、2-1=12 ，所以C 选项错误； D 、a 3?a 2=a 5，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 此题考查实数的运算，负整数指数幂，同底数幂的乘法与除法，解题关键在于掌握先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号． 3．关于分式 25x x -，下列说法不正确的是（ ） A ．当x=0时，分式没有意义

B ．当x ＞5时，分式的值为正数 C ．当x ＜5时，分式的值为负数 D ．当x=5时，分式的值为0 【答案】C 【解析】 【分析】 此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x 的取值范围，分别计算即可求得解． 【详解】 A ．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意． B ．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意 C ．当0＜x ＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x ＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意． D ．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件． 4．要使分式 81x -有意义，x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠- B ．0x ≠ C ．1x ≠ D ．2x ≠ 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】 要使分式81 x -有意义， 则x-1≠0， 解得：x≠1． 故选：C ． 【点睛】 此题考查分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 5．若分式 12x x +-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．1x ≠- D ．2x ≠ 【答案】D 【解析】

分式经典题型分类练习题

分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 1- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 | 1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 3．解下列不等式 （1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0

分式经典题型分类例题及练习题

分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π,是分式的 有: ?. 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时,下列分式有意义 （1） 4 4+-x x (２) 2 32+x x （3） 1 22-x (4) 3 ||6--x x (5) x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1) 3 1 +-x x ? （2） 4 2||2 --x x ?（3) 6 5322 2----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例４】(1）当x 为何值时，分式 x -84 为正; （2）当x 为何值时，分式 2 )1(35-+-x x 为负； (3）当x 为何值时，分式3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1.当x 取何值时，下列分式有意义： (１） 3 ||61 -x ?（２） 1 )1(32++-x x (3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零: （1）4 | 1|5+--x x ?(2） 5 62522+--x x x 3.解下列不等式 (1)01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x

(二)分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则:b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. （1)y x y x 4 1313221+-? （２）b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （１） y x y x --+-? (2）b a a ---??（３）b a --- 题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求 y xy x y xy x +++-2232的值. 【例4】已知:21=-x x ,求221 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 练习：

(完整版)分式混合运算练习题(30题).doc

分式精华练习题 一．解答题 1．计算： （ 1） （2）（﹣ 2m 2 ﹣ 2 2 ﹣ 1 3 ﹣ 3 n ） ?（ 3m n ） 2．计算： 3．化简： ． 4．化简： 5． 计算： ． 6．化简 ?（ x 2 ﹣ 9） 7．计算： ． 8．计算： + ． 9．计算：（1） ； （2） ． 10． ． 11．计算： 12．计算： ﹣ a ﹣ 1． 13．计算： （ 1） （2） 14．计算： a ﹣ 2+ 15．计算： ． 16．化简： ，并指出 x 的取值范围． 17． 17．已知 ab=1，试求分式： 的值． 18．计算： ﹣ 19．计算： 20．化简 21．计算： 22．化简： 23．计算：（ 1） ； （ 2） ． 24．化简： 25．化简： ． 26 化简： 27．计算： 28．计算：（ ） ÷ ． 29．化简 ． 30．计算： ﹣x ﹣ 2） 1

1.在下列方程中，关于 x 的分式方程的个数（ a 为常数）有（ ） ① 1 x 2 2 x 4 0 ② . x 4 ③. a 4; ④ . x 2 9 1; ⑤ 1 2 3 a x x 3 x 2 ⑥ x 1 x 1 2 . A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 a a m 2. 关于 x 的分式方程 ） 1，下列说法正确的是（ x 5 A ．方程的解是 x m 5 B ． m 5 时，方程的解是正数 C ． m 5 时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程 1 5 3 ） x 2 x 1 1 的根是（ 1 x A. x =1 B. x =-1 C. x = 3 D. x =2 8 4.1 4 4 0, 那么 2 的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 x x 2 x 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） 1 x 2 1 去分母得， x 1 ( x 1)( x 2) 1； A. 1 x 1 x x 5 1 ，去分母得， x 5 2x 5 ； B. 5 5 2x 2x C. x 2 x 2 x x ，去分母得， (x 2) 2 x 2 x(x 2) ； x 2 x 2 4 2 6; D.-1 1 x 1 1 1 A.1- B. 1 C. x D. x x x x x 1 10.使分式 4 与 3 2 的值相等的 x 等于（ ） x 6 x 2 x 2 4 x 2 5x 6 A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11. 满足方程 1 2 的 x 的值是 ___ 12. 当 x=____ 时，分式 1 x 的值等于 1 5 x . x 1 x 2 2 13.分式方程 x 2 2x 0 的增根是 . x 2 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 v 1 千米， t 小时可到达，如果每小时多行驶 v 2 千米，那么 可提前到达 ________小时 . 15. 农机厂职工到距工厂 15 千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走 40 分钟后，其余人乘汽 车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的 3 倍，若设自行车的速度为 x 千米 /时， 则所列方程为 . 16.已知 x 4 , 则 x 2 y 2 . y 5 x 2 y 2 17. a 时，关于 x 的方程 x 1 2a 3 的解为零 . x 2 a 5 18.飞机从 A 飞到 B 的路程 S ’、速度是 v 1, ，返回的速度是 v 2 ，往返一次的平均速度是 . D. 2 1 , 去分母得， 2 ( x 1) x 3 ； 19.当 m 时，关于 x 的方程 m 2 1 有增根 . x 3 x 1 x 2 9 x 3 x 3 6. .赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完 .当他读了一半书时，发现平均每天要多 20. 某市在旧城改造过程中， 需要整修一段全长 2400m 的道路． 为了尽量减少施工对城市交通所造 读 21 页才能在借期内读完 .他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读 x 成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务．求原计划每小时修路 页，则下面所列方程中，正确的是 ( ) 的长度．若设原计划每小时修路 x m ，则根据题意可得方程 . 140 140 =14 280 280 140 140 10 10 三、解答题（共 5 大题，共 60 分） A. x x 21 B. x =14 C. x 21 =14 D. =1 21. .解下列方程 x 21 x x x 21 7.若关于 x 的方程 m 1 x 0 ，有增根，则 m 的值是（ ） (1) 1 4 x (2) 4 x 3 x 1 x 1 1 x 1 x 1 2 3 x 4 x 2 x 2 （ 3） ． x 3 x 2 x 2 x 2 4 A.3 B.2 C.1 D.-1 A B 2 x 1 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期 3 天完成； 8.若方程 , 那么 A 、 B 的值为（ ） 现在先由甲、乙两队合做 2 天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日 x 3 x 4 ( x 3)( x 4) 期多少天？ A.2，1 B.1， 2 C.1， 1 D.-1 ， -1 24.小兰的妈妈在供销大厦用 12.50 元买了若干瓶酸奶， 但她在百货商场食品自选室内发现， 同样的 9.如果 x a 1,b a b （ ） 酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜 0.2 元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果 b 0, 那么 b 3 a 用去 18.40 元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？ 5 2