高三数学总复习专题9 立体几何
方法点拨
1．求解几何体的表面积及体积的技巧
（1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
（2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解．
2．判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
（1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断．
3．利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤
（1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
（2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．
（3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．
（4）根据运算结果解释相关问题．
4．三种空间角与空间向量的关系
（1）线线角：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos a b a b
θ⋅=⋅． （2）线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ满足sin l n l n
θ⋅=．
（3）二面角
①如图(Ⅰ)，AB ，CD 是二面角αβ--l 的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=；
②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，1n ，2n 分别是二面角αβ--l 的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足121212
cos cos ,n n n n n n θ⋅==． 5．利用空间向量求解探索性问题的策略
（1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论．
（2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．
6．求空间多面体的外接球半径的常用方法：
（1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解．
（2）利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径．
（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．
经典试题汇编
一、选择题．
1．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，
AB =BC =2．现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）
A ．2π
B ．22π
C ．32π
D ．42π
2．（安徽省池州市2021届高三一模）某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则
该几何体的体积等于（ ）
A ．8
B ．163
C ．8
3 D ．43 3．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）如图，正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22=
EF ，则三棱锥-A BEF 的体积为（ ）
A ．
112 B ．14 C ．212
D ．不确定 4．（多选）（福建省福州市2021届高三3月份一模数学试题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB //平面MNP 的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（吉林省长春市2022届高三上学期质量监测（一））给出下列命题： ①若ABC 的三条边所在直线分别交平面α于,,P Q R 三点，则,,P Q R 三点共线； ②若直线,a b 是异面直线，直线,b c 是异面直线，则直线,a c 是异面直线； ③若三条直线,,a b c 两两平行且分别交直线l 于,,A B C 三点，则这四条直线共面；
④对于三条直线,,a b c ，若⊥a c ，⊥b c ，则a b ∥．
其中所有真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．②④
6．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）已知,a b 是两条异面直线，直线c 与,a b 都垂直，
则下列说法正确的是（ ）
A ．若⊂c 平面α，则α⊥a
B ．若⊥c 平面α，则,a b αα∥∥
C ．存在平面α，使得,,c a b ααα⊥⊂∥
D ．存在平面α，使得,,c a b ααα⊥⊥∥
7．（西南名校联盟2022届“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（一））已知,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线，给出下列命题：
①若,αβ⊥⊂m m ，则αβ⊥；
②若,//αβα⊥m ，则β⊥m ；
③若,,//,//ααββ⊂⊂m n m n ，则//αβ；
④若,//αα⊥m n ，则⊥m n ．
其中正确命题的个数为（ ）
A ．0
B ．2
C ．1
D ．3
8．（吉林省长春市2022届高三一模）长方体1111-ABCD A B C D 中，=AB 1=AD ，
1=AA 1AD 与11A C 成角余弦值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
9．（福建省泉州市2021届高三一模数学试题）在长方体1111-ABCD A B C D 中，
1==AB BC ，1=AA 1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）
A 3
B ．112
C ．3-
D ．112
- 10．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,==AC AM m n BD MB
，其中(),0,m n ∈+∞．有下列命题： ①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；
②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；
③当1m =时，截面MNPQ 的周长与n 无关；
④当AC ⊥BD ，且2AC BD ==时，截面MNPQ 的面积的最大值为1．
其中假命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．（多选）（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为α，
则下列说法正确的是（ ）
A ．1EFD △为等边三角形
B ．平面α交正方体1111-ABCD A B
C
D 的截面为五边形
C ．在正方体1111-ABC
D A B C D 中，存在棱与平面α平行
D ．在正方体1111-ABCD A B C D 中，不存在棱与平面α垂直
12．（山西省怀仁市第一中学校2021届高三一模）在矩形ABCD 中，BC ＝4，M 为BC 的中点，将△ABM 和△DCM 分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与点C 重合于点P ，若∠APD ＝150°，则三棱锥M －PAD 的外接球的表面积为（ ）
A ．12π
B ．34π
C ．68π
D ．126π
13．（江西省赣州市2021届高三3月一模）在三棱锥-S ABC 中，⊥SA 平面ABC ，23==SA AB 2=BC ，7=SC P ，Q 分别是SB ，BC 的中点，则平面APQ 被三棱锥-S ABC 的外接球所截得的截面面积为（ ）
A ．437π
B ．134π
C ．215π
D ．143
π 二、填空题．
14．（福建省龙岩市2021届高三一模）正方体''''-ABCD A B C D 的棱长为a ，P 是正方体表面上的动点，若2=AP a ，则动点P 的轨迹长度为________．
15．（贵州省遵义市2021届高三一模）如图，正方形ABCD 中，22=AB 点E 为AD 中点，现将∆DEC 沿EC 折起形成四棱锥-P ABCE ，则下列命题中为真命题的是______．
①设点O 为AC 中点，若2=MC PM ，则在折起过程中，
、、、P M B O 四点可能共面；
②设OD 与EC 交于点F ，则在折起过程中AC 与PF 可能垂直；
③四棱锥-P ABCE 410． 16．（陕西省2019年渭南市高三一模）已知四面体-P ABC 四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，⊥AB AC ，且1=AC ，2==AB PB ，则球O 的表面积为________．
17．（山西省晋中市2021届高三一模）在正四棱锥-P ABCD 中，已知2==PA AB ，O 为底面ABCD 的中心，以点O 为球心作一个半径为233
的球，则平面PCD 截该球的截面面积为________．
18．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥-A DEF 外接球表面积的最小值为_______．
19．（安徽省池州市2021届高三一模）如图，在平面四边
形ABCD 中，⊥AD BD ，60∠=︒DAB ，120∠=︒DCB ，1=AD ，
将ABD △沿着BD 折起，使得二面角--A BD C 为直二面角，当三棱锥-A BCD 体积最大时，三棱锥-A BCD 的外接球的表面积为___________．
20．（焦作市2021高三一模）如图，在棱长均为2的正三棱柱111-ABC A B C 中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内
的动点，且1A P ∥平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长
度为________．
三、解答题．
21．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB ⊥BC ，BC =4，AB =8，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．将ADE 沿DE 折起，使点A 到达点1A 的位置，且1A D ⊥BD ，连接1A B ，1A C ，得到如图乙所示的四棱锥1-A DBCE ，M 为线段1A D 上一点．
图甲 图乙
（1）证明：平面1A DB ⊥平面DBCE ；
（2）过B ，C ，M 三点的平面与线段1A E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求三棱锥1-A BCN 的体积．
①BM =BE ；②直线EM 与BC 所成角的大小为45°；③三棱锥-M BDE 的体积是三棱锥1-E A BC 体积的14
．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）如图1，在矩形ABCD 中，4=AB ，
2=AD ，
E 是CD 的中点，将ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1-D ABCE ，其中平面1⊥D AE 平面ABCE ．
（1）设F 为1CD 的中点，若M 为线段AB 上的一点，满足14
=AM AB ．求证：MF ∥平面1D AE ；
（2）求点B 到平面1CD E 的距离．
23．（福建省龙岩市2021届高三一模）如图，四棱锥-S ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面SAD 为等腰直角三角形，22==SA SD 2=AB ，F 是BC 的中点，二面角--S AD B 的大小为120°，设平面SAD 与平面SBC 的交线为l ．
（1）在线段AD 上是否存在点E ，使⊥l 平面SEF ?若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由；
（2）若点Q 在l 上，直线SB 与平面QCD 所成角的正弦值为34
，求线段DQ 的长． 24．（四川省乐山市高中2022届三模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．在如图所示的“阳
马”-P ABCD 中，侧棱⊥PD 底面ABCD ，=PD DA ，点E 是PA 的
中点，作⊥EF PB 交PB 于点F ．
（1）求证：⊥PB 平面EFD ；
（2）若平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角为60︒，求AD DC
． 25．（安徽省池州市2021届高三一模）如图，P 在平面ABC 上的投影为点C ，⊥AC BC ，2=AB PC ，D 、O 分别为线段PA 、AB 的中点，
PO 与BD 交于点E ，F 是PC 上的一个点．
（1）若//EF 平面ABC ，求PF FC
的值； （2）若=PF FC ，2=AB CB ，
求二面角--F BE C 的正弦值． 26．（2020届浙江省宁波市高三一模）已知三棱柱111-ABC A B C 中，M 、N 分别是1CC 与1A B 的中点，1△ABA 为等边三角形，1=CA CA ，112==A A A M BC ．
（1）求证：//MN 平面ABC ；
（2）（i ）求证：⊥BC 平面11ABB A ；
（ii ）求二面角--A MN B 的正弦值．
27．（福建省泉州市2021届高三一模）如图，在四棱锥-P ABCD 中，二面角--P AD C 是直二面角，AD 为等腰直角三角形PAD 的斜边，2==AD CD ，1==AB BC ，5=BD M 为线段PC 上的动点．
（1）当=PM MC 时，证明：PA ∥平面MBD ；
（2）若平面⊥MBD 平面ABCD ，求二面角
--B MD C 的余弦值．
28．（广西柳州市2022届高三11月第一次模拟）如图，△ABC 的外接圆O 的直径|AB|=2，CE 垂直于圆O 所在的平面，BD ∥CE ，|CE |=2，
|BC |=|BD |=1，M 为DE 上的点．
（1）证明：BM ⊥AC ；
（2）当DM为何值时，二面角C－AM－D
29．（西南名校联盟2022届“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（一））如图甲，平面图形ABCDE中，1,,,60
∥，沿BD将
AE ED DB BC CB BD ED AB EAB
====⊥∠=︒
△折起，使点C列F的位置，如图乙，使,=
BCD
BF BE EG BF．
⊥
（1）求证：平面⊥
GEBF平面AEG；
（2）点M是线段FG上的动点，当GM多长时，平面MAB与平面AEG所成的锐二
?
面角的余弦值为
4
参考答案
一、选择题． 1-3：DDA 4．ABD 5-10.BCBDAA 11．BD 12-13．CA 二、填空题． 14．【答案】32
πa
【解析】动点P 的轨迹是以A 为球心，的球与平面''''A B C D ，平面''DCC D ，平面''CBB C 的交线，这三条弧长之和为32
πa ， 故答案为32
πa ． 15．【答案】③
【解析】平面PMO 即为平面PAC ，又∉B AC ，故,PB MO 为异面直线， 从而、、、P M B O 不可能在同一平面内，故①错误；
若AC 与PF 垂直，因为⊥AC BD ，=PF BD F ，则⊥AC 平面PBF ， 而⊂PO 平面PBF ，故⊥AC PO ，而O 为AC 的中点， 故=PA PC ，但112
2
==PA AD PC ，矛盾，故②错误； 当平面⊥PEC 平面ABCE 时，四棱锥-P ABCE 体积取得最大， 此时过P 作⊥PG EC ，交EC 于G ，设=PG h ，
因为平面PEC 平面=ABCE EC ，⊂PG 平面PEC ，故⊥PG 平面ABCE ， 故四棱锥-P ABCE 的高为=PG h ．
故在PCE Rt △，由⋅=⋅PE PC EC h ，可得=
h ，
故1132
=⨯
⨯=V ，故③正确， 故答案为③． 16．【答案】9π
【解析】由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，可得图中四个直角三角形， 且PC 为△PBC ，△PAC 的公共斜边，
故球心O 为PC 的中点，由AC ＝1，AB ＝PB ＝2，PC ＝3， ∴球O 的半径为32
，其表面积为9π，故答案为9π． 17．【答案】
23
π
【解析】由正棱锥性质知：⊥PO 平面ABCD ， 取CD 中点E ，连接PE ，作⊥OG PE ，垂足为G ，
⊥PO 平面ABCD ，⊂CD 平面ABCD ，∴⊥PO CD ，
,O E 分别为,AC CD 中点，//∴OE AD ，
又⊥AD CD ，∴⊥OE CD ，
,⊂PO OE 平面POE ，=PO OE O ，∴⊥CD 平面POE ，
又⊂OG 平面POE ，∴⊥OG CD ，
又⊥OG PE ，,⊂CD PE 平面PCD ，=CD PE E ，
∴⊥OG 平面PCD ，则由球的性质可知：G 为平面PCD 截球O 所得截面圆的圆心， 设H 为该截面圆与PE 的一个交点，连接OH ，
2==PA AB ，12∴=
=AO AC 1
12
==OE AD ，∴==PO
∴==PE ，
又11
22
=
⋅=⋅POE
S
PO OE PE OG ，3⋅∴=
=PO OE OG PE ，
2
3=
OH ∴==HG =r ，
∴截面圆的面积223ππ==
S r ，故答案为23
π
． 18．【答案】13π
【解析】如下图所示，设圆柱的底面半径为r ，母线长为h ，圆柱的外接球半径为R ，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R ，则O 为圆柱的外接球球心， 由勾股定理可得()()2
2
222+=r h R ．
本题中，⊥AD 平面DEF ，设DEF 的外接圆为圆1O ，可将三棱锥-A DEF 内接于圆柱12O O ，如下图所示：
设DEF 的外接圆直径为2r ，=AD h ，该三棱锥的外接球直径为2R ，则
()
()2
2
222=+R r h ．
如下图所示：
设=CF x ，则02< ∠=x CDF ， ()2tan tan 2tan tan 1tan tan 2 12 - ∠-∠∠=∠-∠== =+∠∠++⋅x x CEF CDF x DFE CEF CDF x CEF CDF x x 12 24 222 2= ≤ = = +⋅ x x x x ， 当且仅当2=x tan ∠DFE 取得最大值 2 4 ， 由2 2sin tan cos 4sin cos 1sin 0 ⎧∠∠==⎪ ∠⎪⎪∠+∠=⎨⎪∠>⎪⎪⎩ DFE DFE DFE DFE DFE DFE ，可得1sin 3∠=DFE ，cos ∠=DFE ， 所以，sin ∠DFE 的最大值为1 3 ， 由正弦定理得23sin ==∠DE r DFE ，即2r 的最小值为3， 因此，()()22 222223213=+≥+=R r h ， 所以，三棱锥-A DEF 外接球的表面积为2413ππ=≥S R ， 故三棱锥-A DEF 外接球的表面积的最小值为13π，故答案为13π． 19．【答案】5π 【解析】∵二面角--A BD C 为直二面角，且⊥AD BD ，∴⊥AD 平面BCD ， ∴当三棱锥-A BCD 体积最大时，BCD △的面积最大， 此时点C 到BD 的距离取得最大值，此时BCD △是等腰三角形， ∵120∠=︒DCB ，∴30∠=∠=︒CBD CDB ， ∵60∠=︒DAB ，1=AD ，∴=BD ，2=AB ， ∴BCD △的外接圆半径112sin120=⋅ =︒ BD r ， 设点F 为BD 的中点，连接CF ，∴1 2 =CF ，且⊥CF 平面ABD ， 设点1O 是BCD △的外心， 则点1O 在CF 的延长线上，且112 =O F ， ∵BCD △是等腰三角形，∴⊥CF BD ，则⊥CF 平面ABD ， 设点E 为AB 的中点，则点E 为ABD △的外心，且1==AE BE ， 设三棱锥-A BCD 的外接球的球心为点O ，连接OE ，连接1OO ， ∴⊥OE 平面ABD ，∴1//OE O F ， 由⊥EF BD ，得⊥EF 平面BCD ， 又1⊥OO 平面BCD ，∴1//EF OO ， ∴四边形1OO FE 为矩形，∴11 2 ==OE O F ， ∴三棱锥-A BCD 的外接球的半径22=+R AE OE 2 215 12⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ， ∴该外接球的表面积24π=S R 2 54=52ππ⎛=⨯ ⎝⎭ ， 故答案为5π． 20．【答案】4 3 【解析】 P 是侧面11BCC B 内的动点，且1A P ∥平面BCM ， ∴P 点的轨迹是过1A 点与平面MBC 平行的平面与侧面11BCC B 的交线， 即：连接侧棱1BB ，1CC 中点的线段l ， Q 是底面ABC 内的动点，⊥PQ 面BCM ， ∴Q 的轨迹是过l 与平面MBC 垂直的平面与面ABC 相交的线段m ， 过P 作1PD BB ∥交BC 于D ，连接QD ，若PQ 交面BMC 于E ，连接ED ，易知1,,,,A P D Q E 共面，且⊥BC 面PDQ ，即∠EDQ 为M -BC -A 的平面角，如上图， ∴⊥PD QD ， 而1=AM ，而A 到BC 的距离3=d 6 π∠=EDQ ，故3 π ∠= PDE ， ∵1=PD ，即1 cos 2 =⋅∠=ED PD PDE ， 而3cos 3 = = ∠ED QD EDQ ，∴1 3=QD d ， 即Q 所在线段m 过ABC 的重心且与BC 平行， 由正三棱柱111-ABC A B C 中棱长均为2，故线段m 的长为2423 3 ⨯=， 故答案为43 ． 三、解答题． 21．【答案】（1）证明见解析；（2）条件选择见解析， 16 3 ． 【解析】（1）∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥， ∵⊥AD BC ，∴⊥AD DE ，∴1⊥A D DE ． ∵1⊥A D BD ，⊂DE 平面BDEC ，⊂DB 平面BDEC ，DE DB D =， ∴1⊥A D 平面BDEC ． 又1⊂A D 平面1A DB ，∴平面1⊥A DB 平面BDEC ． （2）选①：∵=BM BE ，90∠=∠=︒BDM BDE ， ∴≌BDM BDE ，∴2==DE DM ，∴M 为1A D 的中点， 选②：∵BC DE ，∴直线EM 与BC 所成角为∠MED ． 又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒，∴45∠=︒MED ． ∵1⊥A D DE ，∴2==DE DM ，∴M 为1A D 的中点． 选③：∵1 11 3 --==⋅△E A DC N EBC EDC V V S A D ， 13-=⋅△M BDC BDE V S MD ，11 4--=M BDE E A BC V V ， 又12=DE BC ，即1 2 =BDE EBC S S ，∴12=A D MD ， ∴M 为1A D 的中点． ∵过B ，C ，M 三点的平面与线段1A E 相交于点N ，DE BC ∥，⊄BC 平面1A DE ， ∴BC ∥平面1A DE ， 又平面BMNC 平面1=A DE MN ，∴∥BC MN ， ∴N 为1A E 的中点． ∵1 1 --=A BCN N A BC V V ，又MN ∥平面'A BC ，∴1 1 1 ---==N A BC M A BC C A BM V V V ， 易知⊥BC 平面1A BD ， ∴1 1 1 11116843663 -=⋅=⋅=⨯⨯= △△C A BM A BM A BD V S BC S BD ， ∴三棱锥1-A BCN 的体积为 163 ． 22．【答案】（1）证明见解析；（2）26 =d 【解析】（1）证明：如图所示： 取1D E 的中点N ，连AN 、NF ，则12 =NF EC ，NF EC ∥， ∵122 ==EC AB ，当114 ==AM AB 时，12 =AM EC ，AM EC ∥， 是=NF AM 且NF AM ∥， 所以AMFN 是平行四边形，则AN MF ∥． 又⊄MF 平面1D AE ，⊂AN 平面1D AE ， 所以MF ∥平面1D AE ． （2）如图所示： 取AE 的中点O ，BC 的中点Q ，连接EF ，1D O ． 易知1⊥EF D C ，⊥OQ CB ． 因为11=D A D E ，=AO EO ， 所以1⊥D O AE ，平面1D AE 平面=AECB AE ， 平面1⊥D AE 平面AECB ，1⊂D O 平面1AD E ， 所以1⊥D O 平面AECB ． 设点B 到平面1CD E 的距离为d ， 在1D OC Rt △中，223110=+=OC 12=D O ， 所以 1==D C 在 1△D EC 中，因为12==EC D E ，1=D C 所以1==EF ． 由1 1 --=D BCE B CED V V ，得1111113232 ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅CB CE D O CD EF d ， 即11112213232⋅⋅⋅=⋅⋅⋅d ，解得= d ． 23．【答案】（1）在线段AD 上存在点E 满足题意，且E 为AD 中点；（2． 【解析】（1）在线段AD 上存在点E 满足题意，且E 为AD 中点， 连接ES ，EF ，SF ， 底面ABCD 为矩形，∴⊥AB AD ， 又E ，F 分别是AD ，BC 中点，//∴EF AB ，⊥EF AD ， 又侧面SAD 为等腰直角三角形，∴⊥SE AD ，=SE EF E ， ∴⊥AD 平面SEF ． 因为//AD BC ，⊄AD 面SBC ，⊂BC 面SBC ， 所以//AD 面SBC ， 又因为⊂AD 面SAD ，面SAD 面=SBC l ，所以//AD l ， 又因为⊥AD 平面SEF ，所以⊥l 平面SEF ， 所以在线段AD 上存在点E 满足⊥l 平面SEF ，且E 为AD 中点． （2）以E 为原点，EA 方向为x 轴，EF 方向为y 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 由（1）知，∠SEF 为二面角--S AD B 的一个平面角， 所以120SEF ∠=︒， 因为侧面SAD 为等腰直角三角形，22==SA SD 所以(0,3S -，()2,2,0B ，()2,0,0-D ，()2,2,0-C ， 设(,3-Q t ，(2,3,3∴=-SB ，(0,2,0)=DC ，(2,3=+-DQ t ， 设平面QCD 的法向量为(,,)x y z =n ， 则00 DC DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得20(2)30=⎧⎪⎨+-=⎪⎩y t x y z ，取3⎛=- ⎝n ， 设直线SB 与平面QCD 所成角为θ， 则2 3sin cos ,(2)413 SB t θ=<>= = ++ n ，得9 4=-t ， 所以,9 4 3⎛- ⎝ -Q ， 又因为()2,0,0-D ，所以65 4 = DQ ． 24．【答案】（1）证明见解析；（2） 2 2 ． 【解析】（1）设1==PD DA ，()0λλ=>AB ，如图， 以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 则(0,0,0)D ，(0,0,1)P ，(1,,0)λB ，(1,0,0)A ， 因为点E 是PA 的中点，所以1 1 ,0,22 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ E ， (1,,1)PB λ=-，11,0,22DE ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，于是0PB DE ⋅=，即⊥PB DE ， 又已知⊥EF PB ，而=DE EF E ，所以⊥PB 平面DEF ． （2）由⊥PD 平面ABCD ，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量， 由（1）知，⊥PB 平面DEF ，所以(1,,1)PB λ=-是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为60︒， 则21 1 cos 3 2 |||| 2 BP DP BP DP πλ⋅-= = = ⋅+，解得2λ= 所以 12 2 λ==AD AB ， 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为60︒时，12 2 λ==AD AB ． 25．【答案】（1）2；（210 【解析】（1）因为D 、O 分别为线段PA 、AB 的中点， 所以BD 和PO 的交点E 为△PAB 的重心，所以 2=PE EO ， 因为//EF 平面ABC ，EF 平面PCO ，平面PCO 平面=ABC CO ， 所以//EF CO ，所以 2==PF PE FC EO ． （2）设2=BC ，则4=AB ，2=PC ，1=CF ， 由题意可知⊥PC 平面ABC ，⊥AC BC ， 以点C 为坐标原点，以CA 、CB 、CP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则()0,0,1F 、()0,2,0B 、()0,0,0C 、()23,0,0A 、()002,,P 、2322,33⎫ ⎪⎪⎝⎭ E ， 1 【精品】2019届高三数学年复习专题--立体几何专题训练 附参考答案 一、解答题 1.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥B-EFC 的体积； （3）求二面角P-EC-D 的正切值． 2.如图，三棱柱ABF-DCE 中，∠ABC=120°，BC=2CD ，AD=AF ，AF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BD ⊥EC ； （Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF 的体积． 3.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AA 1=2，E 为棱CC 1的中点． （1）求证：B 1D 1⊥AE ； （2）求三棱锥A-BDE 的体积． 4.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M 在PC 上，且PA ∥面MBD ． （1）求证：M 是PC 的中点； （2）求多面体PABMD 的体积． 2 5.已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，△PAB 是等边三角形，AB=2，PC= ，AB 的中点为E. （1）证明：PE ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥D-PBC 的体积． 6.一块边长为10cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）试把容器的容积V 表示为x 的函数. （2）若x =6，求图2的主视图的面积 . 7.如图，矩形ABCD 中，BC=2，AB=1，PA ⊥平面ABCD ，BE ∥PA ，BE= PA ，F 为PA 的中点． （1）求证：PC ∥平面BDF ． （2）记四棱锥C-PABE 的体积为V 1，三棱锥P-ACD 的体积为V 2，求 的值． 8.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=2，AB=2 ． （Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求锐二面角D-A 1C-E 的余弦值． 课后作业 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析]点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．(理)在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF与GH交于点M，则() A．M一定在AC上 B．M一定在BD上 C．M可能在AC上也可能在BD上 D．M不在AC上，也不在BD上 [答案] A [解析]点M在平面ABC内，又在平面ADC内，故必在交线AC上． 2．(文)若直线l不平行于平面α，且l?α，则() A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 [答案] B [解析]由题意知直线l与平面α相交，不妨设直线l∩α＝M，对A，在α内过M点的直线与l不异面，A错误；对B，假设存在与l平行的直线m，则由m∥l得l∥α，这与l∩α＝M矛盾，故B正确，C错误；对D，α内存在与l异面的直线，故D错误．综上知选B. (理)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3B．4 C．5D．6 [答案] C [解析]如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱为BC、C1D1、DC、AA1、BB1，共5条． 3．(2014·汉沽一中检测)已知平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是() A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α B．如果m?α，n与α相交，那么m、n是异面直线 C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n 立体几何复习专题 姓名： 班级： 考点一、空间中的平行关系 1．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=,平面 PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证：DE //平面PBC ； (2)求证：AB PE ⊥； (3)求三棱锥B PEC -的体积． 2． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥， 2CD =，3AD =， （Ⅰ）设G H ， 分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ； 3．如图，七面体ABCDEF 的底面是凸四边形ABCD ，其中2AB AD ==， 120BAD ∠=︒，AC ，BD 垂直相交于点O ，2OC OA =，棱AE ，CF 均垂直于底面ABCD . （1）证明：直线DE 与平面BCF 不．平行； 4.（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面 ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ； （Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1， AD =3，求三棱锥E ACD -的体积． 考点二、空间中的垂直关系 5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点， 90ABD BCD ∠=∠=，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角 等于30． （1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； 6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形． （1）求证：BN ⊥平面11C B N ； （2）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求C BP P 的值． 131.如图在二面角α- l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD 为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中点 ⑴求二面角α- l-β的大小 ⑵求证明：MN⊥AB ⑶求异面直线PA与MN所成角的大小 解析：⑴用垂线法作二面角的平面角 ⑵只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可 ⑶过点A作MN的平行线，转化为平面角求解 解： ⑴连PD ∵PA⊥α，AD⊥l ∴PD⊥l ∴∠PDA为二面角α- l-β的平面角 在RTΔPAD中 ∵PA=PD ∴∠PDA=45° ∴二面角α- l-β为45° ⑵设E是DC的中点，连ME、NE ∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点 ∴ME∥AD，NE∥PD ∴ME⊥l，NE⊥l ∴l⊥平面MEN ∵AB∥l ∴AB⊥平面MEN ∵MN?平面MNE ∴MN⊥AB ⑶设Q是DP听中点，连NQ、AQ 则NQ∥DC，且NQ=1/2DC ∵AM∥DC，且AM=1/2AB=1/2DC ∴QN∥AM，QN=AM ∴QNMQ为平行四边形 ∴AQ∥MN ∴∠PAQ为PA与MN所成的角 ∵ΔPAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线 ∴∠PAQ=45° 即PA与MN所成角的大小为45° 132.如图: △ABC的∠ABC= 90?, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。 解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。 2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平面ABC内的射影就可以了。 3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC的外心。 解:作VO⊥平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影, ∴∠VBO为VB与平面ABC所成的角。 连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。 ∵VA = VB = VC ∴OA = OB = OC ∴O为△ABC为外心 高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何 （含参考答案） 一、选择题 1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12 O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 4.【2018全国二卷9】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A ． B ． C ． D ． 5.【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 2 35 7 6.【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 第7题图 第8题图 8.【2018浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ． 8 A B C D ，， ，ABC △D ABC 俯视图 正视图 2 21 1 高三数学总复习专题9 立体几何 方法点拨 1．求解几何体的表面积及体积的技巧 （1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． （2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解． 2．判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． （2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断． 3．利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤 （1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． （2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． （4）根据运算结果解释相关问题． 4．三种空间角与空间向量的关系 （1）线线角：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos a b a b θ⋅=⋅． （2）线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ满足sin l n l n θ⋅=． （3）二面角 ①如图(Ⅰ)，AB ，CD 是二面角αβ--l 的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=； ②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，1n ，2n 分别是二面角αβ--l 的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足121212 cos cos ,n n n n n n θ⋅==． 5．利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 6．求空间多面体的外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解． （2）利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径． （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可． 经典试题汇编 一、选择题． 1．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）在△ABC 中，已知AB ⊥BC ， 第九章 立体几何与空间向量 一、选择题 1.（2019年浙江卷）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A. ,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<< D. ,αβγβ<< 【答案】B 【解析】 方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则 ,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α= ==<=β，即αβ>，tan tan PD PD ED BD γ= >=β，即y >β，综上所述，答案为B. 方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B. 法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得 cos sin sin α= ?α=β=γ= B. 2.（2019年浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三 视图如图所示，则该柱体的体积是（） A. 158 B. 162 C. 182 D. 32 【答案】B 【解析】 由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6， 高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为 2646 336162 22 ++ ?? ?+??= ? ?? . 3.（2018年浙江卷）已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S?AB?C的平面角为θ3，则 A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1 【答案】D 【解析】 设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB， 因此 从而 因为，所以即，选D. 4.（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 一、填空题 1. 分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为．．．． ①平行 ②相交 ③异面 ④垂直 【答案】② 【解析】两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交 2. 已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为 【答案】π553 【解析】设底面半径为r,ππ62=r ,3=r ,设圆锥的高为h ，那么553822=-=h ，那么圆锥的体积πππ5535593 1 312=??== h r V ，故填：π553. 3. 已知平面//α平面β，P α?且P β?，试过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B D ，且6PA =，9AC =，8PD =，则BD 的长为___________. 【答案】 24 5 或24 【解析】第一种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以//AB CD ，设BD x =，根据平行线分线段成比例，有 6824,95 x x x -== 第二种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线相互平行.”所以//AB CD ，设BD x =，根据平行线分线段成比例，有 68,2438 X x -==. 4. 半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的 表面积之比是____________． 【答案】1：2 【解析】2224h R r =+，圆柱的侧面积2 2 24244222 h r h rh r R ππππ+ =≤? =，当且仅当2h r =时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为22 2:41:2R R ππ= 5. 如图所示，G N M H 、、、分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点， 则表示直线GH MN 、是异面直线的图形有____________（填上所有正确答案的序号）． 【答案】②④ 【解析】由题意得，可知（1）中，直线//GH MN ；图（2）中， ,,G H N 三点共面，但M ?面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图（3）中，连接,//MG GM HN ，因此GH 与 MNG ，所以直线GH 与MN 共面；图（4）中，,,G M N 共面，但H ?面GHN ，所以直线GH 与MN 异面． A P C D B B P D A C 全国名校高考专题训练09立体几何（解答题3) 51、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)如图PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB ，PD 的中点。 （1）求证：AF//平面PCE ； （2）若二面角P —CD —B 为45°，AD=2，CD=3，求点F 到平面PCE 的距离。 证：（1）取PC 中点M ，连ME ，MF ∵FM//CD ，FM=CD 21，AE//CD ，AE=CD 2 1 ∴AE//FN ，且AE=FM ，即四边形AFME 是平行四边形 ∴AE//EM ， ∵AF ⊄平面PCE ⇒AF//平面PCE 解：（2）∵PA ⊥平面AC ，CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角， ∴∠PDA=45° ∴△PAD 是等腰Rt ∠，而EM//AF 。 又∵AF ⊥CD ∴AF ⊥面PCD ，而EM//AF ∴EM ⊥面PCD 又EM ⊂面PEC ， ∴面PEC ⊥面PCD 在面PCD 内过F 作FH ⊥PC 于H 则FH 为点F 到面PCE 的距离 由已知PD=17,22 1 ,22===PC PD PF ∵△PFH ∽△PCD ∴ PC CD PF FH = ∴17 34 3= FH 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值 53、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1＝BC＝2，且M是BC的中点，点N在CC1上． (Ⅰ)试确定点N的位置，使AB1⊥MN； (Ⅱ)当AB1⊥MN时，求二面角M－AB1－N的大小． 高考数学总复习试卷 立体几何综合训练 第I卷（选择题共60分) 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（） A．直线a，b与直线l所成角相等，则a//b B．直线a，b与平面α成相等角，则a//b C．平面α，β与平面γ所成角均为直二面角,则α//β D．直线a，b在平面α外，且a⊥α，a⊥b，则b//α 2．空间四边形ABCD，M，N分别是AB、CD的中点，且AC=4，BD=6，则（） A．1 高考数学复习专题过关检测—立体几何 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2021·山东济宁二模)“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2021·重庆八中月考)已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则异面直线CD与PB所成角的余弦值为() A.√5 5B.2√5 5 C.√5 10 D.√95 10 3.(2021·江西上饶三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G是线段BC1上一点,且A1G⊥B1D,则() A.BG=1 2 BC1 B.BC1=3GC1 C.BG=3GC1 D.G为线段BC1上任意一点 4.(2021·辽宁葫芦岛一模)某保鲜封闭装置由储物区与充氮区(内层是储物区,用来放置新鲜易变质物品,充氮区是储物区外的全部空间,用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能)构成.如图,该装置外层上部分是半径为2的半球,下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合,内层是一个高度为4的倒置小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合,为了保存更多物品,充氮区的体积最小为() A.4π B.16π 3C.28π 3 D.4π 3 5.(2021·天津三模)在圆柱O1O2内有一个球O,球O分别与圆柱O1O2的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若O1O2=2,则圆柱O1O2的表面积为() A.4π B.5π C.6π D.7π 6.(2021·广东深圳模拟)已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,M为棱DD1的中点,则平面AMC截球O所得截面的面积为() 2018届高三数学（理）一轮复习考点规范练：第八章立体几 何39Word版含解析 考点规范练39空间几何体的表面积与体积 基础巩固 1. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=() A.1 B.2 C.4 D.8 2.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是() A.1+ B.1+2 C.2+ D.2 3. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1 的面积为() A. B.1 C. D. 4.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为() A.π B.π C.π D.1+π 5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为() A. B.4π C.2π D. ?导学号37270348? 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有() A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 7.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是. 8.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为. 9.(2016邯郸一模)已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.?导学号37270349? 10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是. 11.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高. 12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的表面积S. 能力提升 13. 立体几何试卷五 一、选择题 1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A 、A B α⊂ B 、AB α⊄ C 、由线段AB 的长短而定 D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 A 、三点确定一个平面 B 、四边形一定是平面图形 C 、梯形一定是平面图形 D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 A 、l a B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题 1、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体 (填”大于、小于或等于”). 2、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 3、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 . 4、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1． 5．正三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a ，则P 点到面ABC 的距离是 6．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 到三个面的距离分别是6，8，10，则OP 的长为 。 （理科）已长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是 认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.) 三、解答题 1、已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. (10分) 2、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH ∥BD . (12分) 3、已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．(12分) 4、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下, H G F E D B A C S D C B A 第9章 第7节 一、选择题 1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD → ，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．1 B.3 2 C ．2 D.3 4 [答案] C [解析] ∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AA 1→＋12 AD → . 2．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12 BC →＋BD →，则|BP →|2 的值为( ) A.3 2B ．2 C. 10－24 D.9 4 [答案] D [解析] 由题意，翻折后AC ＝AB ＝BC ， ∴∠ABC ＝60°，∴|BP →|2＝|12BA →－12 BC →＋BD →|2 ＝14|BA →|2＋14|BC →|2＋|BD →|2－12BA →·BC →－BC →·BD →＋BA →·BD →＝14＋1 4＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝9 4 . 3．(2010·某某某某二中模考)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为( ) A. 22B.155 C. 64D.63 [答案] C [解析] 解法一：取BC 的中点D ，在正三角形ABC 中，AD ⊥ BC ，在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∴∠AC 1D 为AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，设AB ＝AA 1＝1，则AD ＝ 32，AC 1＝2，∴sin ∠AC 1D ＝AD AC 1＝6 4 ，故选C. 解法二：以线段BC 的中点D 为原点，直线BC 、AD 分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，如图． 设AB ＝1，则A (0， 32，0)，C 1(1 2 ，0,1)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 所成角为θ，易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为DA → ＝(0，32，0)， 又AC 1→ ＝(12，－32 ，1)， ∴sin θ＝|cos 〈AC 1→ ，DA → 〉|＝|AC 1→·DA → ||AC 1→|·|DA →| ＝64，故选C. 4．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为AA 1的中点，则直线BD 与平面GB 1D 1的距离为( ) A. 33B.263 C. 63D.233 [答案] B [分析] 求直线与平面的距离，应有直线与平面平行，故可转化为点面距，为此找出平面的一个法向量和该点与平面内一点连线的方向向量，即可通过向量的数量积来求．一般地，平面α的法向量为n ，平面内一点P 和平面外一点Q ，则Q 到α的距离d ＝|n ·PQ → | |n | . [解析] 如图建立空间直角坐标系，则B (2,2,0)，G (2,0,1)，B 1(2,2,2)，D 1(0,0,2)，D 1B 1 → 2020届苏州市高三数学过关题9 立体几何 一.填空题 1. 给出下列命题： ①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行． 上面命题中，真命题的序号__________. 2. 已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒.其中正确命题的序号是__________. 3. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ；②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ；④若γαβα//,⊥，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是__________. 4. 如图，圆柱内有一个内接长方体1AC ，长方体的对角线为210，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形面积为π100，圆柱的体积__________. 5. 一个长方体的三条棱长分别为3，8，9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为__________. 6. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 __________. 7. 如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为__________cm 3． 8. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________. 高三数学 数学立体几何多选题的专项培优练习题(附解析 一、立体几何多选题 1．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2 3的等边三角形，侧棱长为43，则 （ ） A ．直线1A C 与直线1B B 之间距离的最大值为3 B ．若1A 在底面AB C 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30 D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】 建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】 如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()() 0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()() 100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++ 所以()()() 1 000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11 ·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即()() 000000230 0x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则 2 2 011222200009||||z A B n d d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确； 专题九立体几何与空间向量 一、单项选择 1.（聊城一模2）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为 A．1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 3 4 2.（潍坊一模4）在空间中，下列命题是真命题的是 A．经过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一平面的两直线相互平行 C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 3.（泰安一模7）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为（） A．5πB．πC．πD．π 4.（济南一模7）已知菱形ABCD,AB=BD=2,将ΔABD沿BD折起，使二面角A-BD-C的大小为60°,则三棱锥A-BCD的体积为 A.√3 2B.22 3 C.33 2 D.22 5.（日照一模8）已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB=BC=2.过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为 A. 2√2+√6 B. √2+2√6 C. 3√2+√6 D. 3√2+2√6 6.（潍坊一模8）某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为 6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虛线处折 成高为3的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为 A．144 B．72 C．36 D．24 第8题 二、多项选择 7.（泰安一模10）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F分 别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是（） A．EF与BB1垂直B．EF⊥平面BDD1B1 C．EF与C1D所成的角为45°D．EF∥平面A1B1C1D1 8.（济宁一模11）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A， 四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练 立体几何 一、选择、填空题 1、（2018全国III 卷高考）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ） 2、（2017全国III 卷高考）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A ．π B ． 3π 4 C ．π２ D ． π4 3、（2016全国III 卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的表面积为 （A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 4、（成都市2018届高三第二次诊断）已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α D ．若m α β=，n m ⊥，则n α⊥ 5、（成都市2018届高三第三次诊断）在正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a .若正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（ ） A ．43π B ． 323π C ．12π D ．643 π 6、（达州市2017届高三第一次诊断）如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ． 32π B ．3π C ．3 2 π D ．3π 7、（德阳市2018届高三二诊考试）如图所示的三视图表示的几何体的体积为32 3 ，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．48π 8、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,m n αβ⊂⊂，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，则m n ⊥ B ．若//αβ，则//m n C ．若m n ⊥，则αβ⊥ D ．若n α⊥，则αβ⊥ 9、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）设a ，b 是两条不同的直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是 专题9 立体几何与空间向量 从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是: (1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质; (2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力; (3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力. 预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查面积体积问题、点线面位置关系（各种角的关系或计算）等；主观题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等. 一、单选题 1．（2020·山东高三下学期开学）设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n B ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥ 【答案】C 【解析】 A 选项中，,m n 可能异面； B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥. C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 2．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==， AC =D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．9π C ． 25π 3 D ． 1219 π 【答案】D 【解析】【精品】2019届高三数学年复习专题--立体几何专题训练附参考答案
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