高三数学立体几何专题复习
1
2不．
P
Q
P
Q
3 4 5的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如（ （D ）10
3767EF
A ．090
B ．060
C ．045
D ．030 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与D
E 平行；
②CN 与BE 是异面直线；
③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直
以上四个命题中，正确的是 （ ）
A ．①②③
B ．②④
C ．②③④
D ．③④
9．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A ．
π2
3 B ．π3
2 C ．
6
π
D ．
3
4π
10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，则A 1C 与DE 所成的角的余弦为（ ）
A ．
15
15
B ． 15
10 C ． 6
30 D ． 10
10
11 1213 1415
（C ） （D ）
16、已知异面直线a 、b 成6︒0角，过空间一点p ，与a 、b 也都成6︒0角的直线，可以作（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 17.若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是
3
π
，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，
则
A 18l // 19.
20. 21. 22.多面体的体积为 （A ）
2
9 （B ）5 （C ）6 （D ）
2
15
23.(天津卷6)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，
O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的 中点。那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于
A
(A)
5
10 (B)
5
15 (C)
5
4 (D)
3
2
24.(天津卷10)如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,61===AA AD AB ，分别过BC 、11D A 的两个平行
若 25. 2728到29.
30.恒
31.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， E 、F 分别为BC 与A 1D 1的中点，
（1） 求直线A 1C 与DE 所成的角；
（2） 求直线AD 与平面B 1EDF 所成的角； (3)求面B 1EDF 与 面ABCD 所成的角。
在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB
的中点.
（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；
D 1 （1）求点D 到AB 所在直线的距离. （2）求二面角A 1－BD －B 1的度数.
答案
ADADADCDCADDAAB
16、满分12分。如图，以C为原点建立空间直角坐标系O xyz
-。
——12分、本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证
同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC 。
∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 。 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥。 ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 。
而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥
又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD 。
（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角。 由（2）知，DB PD EF DE ⊥⊥,。
∴03
23
3
2
2
2
=+
-
-
=⋅a a
a
FD PB
即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角。 ∵6
9
18
9
2
2
2
2
a
a
a
a
FD FE =
+
-
=
⋅，且
a a
a
a
FE 6
636
36
9
||2
2
2
=
+
+
=
，a a a
a
FD 3
69
49
9
||2
2
2
=
+
+
=
，
∴2
136666cos 2
=
⋅
=
=
a
a a
EFD 。
1
A )4
1，
∴B 1E=
3在Rt △A 1B 1E 中，tan ∠A 1EB 1=
6
3
3arctan
,3
33
111111π=
=∠∴=
=
EB A E
B B A （12分）
11112
2
2
2
2
2
2
2
2
1130
2
32
334
9
cos ,2
324
,324
4
34
924
0),2,
2
,
0(),2,2,
23(所成的角为与侧面所成的角，即与所以，A ABB AC AM AC a
a a
a a
a
a a
a
a a
a
a
AM AC a a AM a a a AC =∙
=
∴=
+=
=++
=
=
++
=∙∴=-
=
立体几何复习专题 一、要求：（1）熟练掌握课本中的基本概念、定理。 （2）积累各种常见题型的解题方法： ① 基本概念型题（直接证明、画图形举反例） ② 证明类题：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直。 ③ 计算类题：异面直线所成角、线面角、面面角、点到面的距离、异面 直线间的距离、多面体的体积、球面距离。（各自常用的方法是什么） （3）会用空间向量的方法去解决上述问题。 二、典型例题讲解 例1. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==， 90ACB ∠=?，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点. （1）求证： AB ⊥C 1CQ （2）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （3）求直线PQ 与面Q 1B C 所成角的正弦； （4）求二面角A 1-CQ-B 1的平面角的余弦。 例2．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)在棱AD 上有一点P ，当 P D P A 为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？ (2)在(1)的条件下，求直线A 1B 1与平面CD 1P 所成的角. A B C 1 A 1 B 1 C P Q
例3．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示： (1) 求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2) 求三棱锥A 1—APQ 的体积. 例4．如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB=1，PA=h ，AD=y. (1)试求y 关于h 的函数解析式； (2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径.
立体几何（3）空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系. 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 ABCD — A i B i C i D i 中，AA 、= 2，底面 ABCD AB // CD , AB = 4 , AD = 2 , DC = 1，求异面 余弦值. 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD i 所在直线为x 、y 、z 轴建立空 间直角坐标系，贝U C i （0，i ，2 ）、B （2，4，0）， UJUD UJU ??? BC i （ 2，3,2），CD （0，i,O ）. LULU UUU 设BC i 与CD 所成的角为， UUUL UUUT 一 则 BCipD 3 i7 则 cos UUU U ||UUur ---- ? BG CD i7 （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 ABC — A i B i C i 中，AB 丄侧面 BB i C i C , E 为 一点，EA 丄 EB i .已知 AB 2 , BB i = 2 , -.求二面 例1已知直四棱柱 是直角梯形，/ A 为直角, 直线BC i 与DC 所成角的 例2 如图2，在三棱柱 棱CC i 上异于C 、C i 的 BC = i ，/ BCC i = 冬2
角A —EB i —A i的平面角的正切值. 3
解析：如图2，以B 为原点，分别以BB i 、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平 面AB i 的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于 BC = i , BB i = 2 , AB = 2，/ BCC i = 3 uur uur 由 EA 丄 EB i ，得 EAgEB i a,0 2 (舍去). u u EA 的夹角. UUJU iuiu g Buuu[ -i ，即 tan |EA B i AI V 3 (2) 求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值. ???在三棱柱ABC — A i B i C i 中, 有 B (0,0,0) (0,0, .2)、B i (0, 2, 0)、 c ，2,0 i 3,a , 且 3 a(a 4 2) a 2 uu 由已知有EA uuir uuu EB] , B i A i uui r EB uuuu ,故二面角A — EB i — A i 的平面角 的大小为向量BA 与 uur 因BA uiu BA ，- uuu (0,0,. 2) , EA 故cos uu u EA (三) 利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3如图3准四棱 面VAD 是正三角形，平面 锥V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧 VAD 丄底面ABCD . VAD ;
高三数学立体几何复习 知识点汇总 （一）柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1 ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 ()l r r S +=π2圆柱表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 ， 2 V Sh r h π==圆柱 ， 13 V Sh =锥 ， h r V 2 31π=圆锥 ' '1()3 V S S S S h =++台 '' 2211()()33 V S S S S h r rR R h π=++=++圆台 （二）立体几何初步 一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 6、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 7、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 8、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 9、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 10、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法
立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①⎧ ⎪ ⎧−−−−−→⎨⎪ −−−−−→⎨ ⎪ ⎪⎩ L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B
1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 一、选择题 1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1， A ′O ′＝ 3 2 ，那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．三边中只有两边相等的等腰三角形 D ．三边互不相等的三角形 解析：选A.AO ＝2A ′O ′＝2× 3 2 ＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2， 在Rt △AOB 中，AB ＝12 ＋（3）2 ＝2，同理AC ＝2，所以△ABC 是等边三角形． 2．给出下列几个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选B.①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台是上、下底面相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． 3．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 的中点，则三棱锥A -BC 1M 的体积VA -BC 1M ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．112 解析：选C.VA -BC 1M ＝VC 1-ABM ＝13S △ABM ·C 1C ＝13×12AB ×AD ×C 1C ＝1 6 .故选C.
4．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( ) A ．10 B ．10 3 C ．10 2 D ．5 3 解析：选B.设圆锥的底面半径为r ，高为h .因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr ＝20π，所以r ＝10，所以h ＝202 －102 ＝10 3. 5．(2019·湖北武汉5月模拟)已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为( ) A ．4 B ．29 C ．223 D ．417 解析：选B.设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由已知得?????4（x ＋y ＋z ）＝36，① 2（xy ＋xz ＋yz ）＝52，② ①的两边同时平方得x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz ＝81，把②代入得x 2＋y 2＋z 2 ＝29，所以长方体的体对角线的长为29.故选B. 6．已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( ) A ．4π B ．163π C ．32 3 π D ．16π 解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径 r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选 D. 7．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，则点B 到平面D 1AC 的距离等于( ) A ． 33 B ． 63 C ．1 D ．2 解析：选B.如图，连接BD 1，易知D 1D 就是三棱锥D 1-ABC 的高，AD 1 ＝CD 1＝5，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则D 1O ⊥AC ，所以D 1O ＝AD 2 1－AO 2 ＝ 3.设点B 到平面D 1AC 的距离为h ，则由VB -D 1AC ＝VD 1-ABC ，即13 S △ D 1AC ·h ＝13S △ABC ·D 1D ，又S △D 1AC ＝12D 1O ·AC ＝12×3×22＝6，S △ABC ＝12AB ·BC ＝12 ×2×2
高三数学立体几何专题训练 【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直(垂直关系)；4求二面角的平面角；5求线面 角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。 【复习建议】 本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1)问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范， 如能建系。也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用 空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于900 )、线面所成角(此类题最容易错，记 住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量 还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。 【题例】 1.如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，342=PB ．F 是线段PB 上一点，3417 15 = CF ,点E 在线段AB 上且EF⊥PB． (I)证明：PB⊥平面CEF ； (Ⅱ)求二面角B —CE-F 的正切。选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解) 练好规范；判定是否适用向量。 2．翻折问题．体积问题．函数导数)如图6所示，等腰△ABC 的底 边66=AB ,高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B,D 的动点，点F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE⊥AE，记BE=x ，V(x)表示四棱锥P 一ACEF 的体积. (1)求V(x)的表达式； (2)当x 为何值时，V(x)取得最大值? (3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值
图2 侧视图 俯视图正视图 4x 3 3x 4D C B A 侧视图 正视图立体几何专题(一) 一、 三视图考点透视： ①能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积 ③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 ④旋转体（圆柱、圆锥、圆台或其组合体）的三视图有两个视图一样。 ⑤基本几何体的画法，如：三棱柱（侧视图）、挡住的注意画虚线。 1. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85 12π+ ，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2 2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为c 3．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图）， 左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 4 ． 4. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积 为 A ．63 B ．93 C ．123 D ．183 5、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)， 其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是 正视图 左视图 图4
_3 _3 这个几何体的棱11C A 上的中点。 （Ⅰ）求出该几何体的体积； （Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:直线11B D AA D ⊥平面. 二、直观图 掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变； ②平行于y 轴的长度为原来的一半，x 轴不变； ③新坐标轴夹角为45°。 6、如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( ) A ．10 B ．5 C ．5 2 D ．102 三、表面积和体积 不要求记忆，但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积”。 （1）常见旋转体的面积公式： 表面积 侧面积 圆柱 ()2r r l π+ 2rl π 圆锥 ()r r l π+ rl π 圆台 ()/22/r r r l rl π+++ /r l rl ππ+ （2）体积公式 柱体V Sh = 锥体13V Sh = 台体() //1 3 V S S S S h = 球体34 3 V R π= 球的表面积24S R π= C A C 1 A 1 B 1 D
高考立体几何专题复习 一．考试要求： 〔1〕掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 〔2〕了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念〔对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离〕。 〔3〕了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 〔4〕了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 〔5〕会用反证法证明简单的问题。 〔6〕了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 〔7〕了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 〔8〕了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 〔9〕了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 〔10〕了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的根底上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的根底上，掌握它们的求法(其根本方法是分别作出这些角，并将它们置于*个三角形通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步稳固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握根本的立体几何解题方法和常用解题技巧，开掘不同问题之间的在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和"说话要有根据〞的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： 〔Ⅰ〕根底知识详析 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考察的知识点在20个以. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考察立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着"多一点思考,少一点计算〞的开展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探常考常新的热门话题. 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决"平行与垂直〞的有关问题着手，通过较为根本问题，熟悉公理、定理的容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2．判定两个平面平行的方法： 〔1〕根据定义——证明两平面没有公共点； 〔2〕判定定理——证明一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面； 〔3〕证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质：
高三数学总复习专题9 立体几何 方法点拨 1．求解几何体的表面积及体积的技巧 （1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． （2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解． 2．判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． （2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断． 3．利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤 （1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． （2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． （4）根据运算结果解释相关问题． 4．三种空间角与空间向量的关系 （1）线线角：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos a b a b θ⋅=⋅． （2）线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ满足sin l n l n θ⋅=．
（3）二面角 ①如图(Ⅰ)，AB ，CD 是二面角αβ--l 的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=； ②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，1n ，2n 分别是二面角αβ--l 的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足121212 cos cos ,n n n n n n θ⋅==． 5．利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 6．求空间多面体的外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解． （2）利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径． （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可． 经典试题汇编 一、选择题． 1．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，
专题三立体几何 第1讲立体几何中的平行与垂直问题 一、回归教材： 1. (必修2P77习题1改编)设a，b，c表示不同的直线，α表示平面，下列命题中正确的是() A. 若a∥b，a∥α，则b∥α B. 若a⊥b，b⊥α，则a⊥α C. 若a⊥c，b⊥c，则a∥b D. 若a⊥α，b⊥α，则a∥b 2. (必修2P53习题1改编)给出下列命题，其中错误命题的个数为() ①若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行； ②若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直； ③若异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直； ④若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和直线c共面． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. (必修2P82习题5改编)如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分 别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，给出下列四 个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC. 其中恒成立的结论是() A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 二、举题故法 例1．(1) (2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为 正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则() A. BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C. BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 (2) 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n. 其中正确命题的序号是() A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 变式：(1) 已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，其中错误的命题是() A. 若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b B. 若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b C. 若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α D. 若α∥β，a∥α，则a∥β (2) 在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BB′＝5，则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为________．
立体几何复习 1.（多选）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ） A ．直线PB 与平面AMC 平行 B ．直线PB 与直线AD 垂直 C ．线段AM 与线段CM 长度相等 D ．PB 与AM 所成角的余弦值为24 2.（多选）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2， E 、 F 分别为棱AB 、A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有（ ） A ．D B 1⊥CE B ．三棱锥D —CEF 的体积为83 C ．若P 是棱C 1 D 1上一点，且D 1P ＝1，则 E 、C 、P 、 F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形 3.（多选）已知菱形ABCD 的边长为2, ∠ABC=3 π,将ΔDAC 沿着对角线AC 折起至ΔD'AC,连接BD'.设二面角D'-AC-B 的大小为θ,则下列说法正确的是（ ） A.若四面体D'ABC 为正四面体，则θ=3 π B.四面体D'ABC 的体积最大值为1 C.四面体D'ABC 的表面积最大值为2(3+2) D.当θ= 23π时，四面体D'ABC 的外接球的半径为213 4.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ． （1）证明：l ⊥平面PDC ； （2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 5.如图，点C 是以AB 为直径的圆上的动点（异于,A B ），已知2AB =，2AC =，
专题七立体几何 立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系．本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体的结构，三是空间向量与立体几何．在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题． §7－1 点、直线、平面之间的位置关系 【知识要点】 1．空间直线和平面的位置关系： (1)空间两条直线： ①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交． ②无公共点：平行或异面． 平行，记作：a∥b． 异面中特殊位置关系：异面垂直． (2)空间直线与平面： ①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交． 直线在平面内，记作：a⊂α ． 直线与平面相交，记作：a∩α ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交． ②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥α ． (3)空间两个平面： ①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交． ②无公共点：平行，记作：α ∥β ． 2．空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： ①判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ②性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行． 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：
高三理科数学专题复习 专题六 立体几何 1、 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔， 则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( ) A ．258 B ．234 C ．222 D ．210 2、已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 3 (B)3 (C) 3 3、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π (B) 273a π (C) 211 3 a π (D) 25a π 4、如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 A ．直线 B ．圆 C ． 双曲线D ． 抛物线 5、已知二面角l αβ--为60o ，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ） (A) (B)2 (C) 6、如图，下列四个正方体图形中，A B ，为正方体的两个顶点，M N P ，，分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）． （A ）①④ （B ）②④ （C ）①③④ （D ）①③ 7、连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 A
一、平行关系与垂直 [基础自测] 1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为B A．3 B．1或3 C．1或2 D．2或3 2．若b a、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是D A．相交B．异面C．平行 D．异面或相交3．下面表述正确的是（C ） A、空间任意三点确定一个平面 B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面 C、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面 D、不共线的四点确定一个平面 4. 直线a与b垂直，b又垂直于平面α，则a与α的位置关系是（ D ） A、aα ⊥B、//aαC、α ⊂ a D、α ⊂ a 或// aα 5．若,m n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ C ） ① // m n n m α α ⎫ ⇒⊥ ⎬ ⊥⎭ ；②// m m n n α α ⊥⎫ ⇒ ⎬ ⊥⎭ ；③ // m m n n α α ⊥⎫ ⇒⊥ ⎬ ⎭ ；④ // m n m n α α ⎫ ⇒⊥ ⎬ ⊥⎭ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6．若a ，b 是异面直线，P 是a ，b 外的一点，有以下四个命题： ①过P 点可作直线k 与a ，b 都相交;②过P 点可作平面与a ，b 都平行; ③过P 点可作直线与a ，b 都垂直;④过P 点可作直线k 与a ，b 所成角都等于50 . 这四个命题中正确命题的序号是 （ D ） A ．①、②、③ B ．②、③、④ C ．② D ．③、④ 7．直线α平面⊂a ，直线β⊂b ，且βα//,则a 与b 的位置关系为 平行或异面 。 8.设α、β、γ为平面，给出下列条件： （1） a ,b 为异面直线，a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α； （2） α内距离为d 的平行直线在β内的射线仍为两条距离为d 的平 行线； （3） α内不共线的三点到β的距离相等； （4） α⊥γ,β⊥γ 其中，能使α∥β成立的条件个数为：A A ．1个 B . 2个 C . 3个 D . 0个 9. 直线b ,a 是异面直线是指⑴ ∅=b a 且a 与b 不平行；⑵ a ⊂面α， b ⊂面β ，且∅=βα ；⑶ a ⊂面α，b ⊂面β且∅=b a ；⑷ 不存在 平面α能使a ⊂面α且b ⊂面α成立。上述结论正确的有（ C ） A 、⑶ ⑷ B 、⑴ ⑶ C 、 ⑴ ⑷ D 、 ⑵ ⑷ 10、已知直线a ⊥平面α ①α∥β⇒a ⊥m , α⊥β⇒a ∥m ,③a ∥m ⇒α⊥β, ④a ⊥m ⇒α
立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、 面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题.选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解,考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究. 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观 图，表面积体积的计算,空间点、直线、平面的位置关系判断与证明,（理科)空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等. 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1(２00８高考海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22ﻩﻩﻩﻩB. 32 ﻩ Ｃ． 4ﻩﻩ ﻩＤ. 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算,如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ，由题意得2 2 2 7m n k ++=,2 2 6m k +=1n ⇒=， 21k a +=,21m b +=，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ⇒+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ⇒+≤当且仅当 2a b ==时取等号． 点评:本题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个,我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决．