立体几何综合习题
一、考点分析
1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
①⎧
⎪
⎧−−−−−→⎨⎪
−−−−−→⎨
⎪
⎪⎩
L
底面是正多形
棱垂直于底面
斜棱柱
棱柱正棱柱
直棱柱
其他棱柱
★
底面为矩形
底面为正方形侧棱与底面边长相等
2. 棱锥
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
3
．球
球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★②r（其中，球心到截面的距离为
d、球的半径为R、截面的半径为r）
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长
方体，球与正方体等的内接与外切.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
B
1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。
3求二面角的平面角[]0,θπ∈
解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
俯视图
二、典型例题
考点一：三视图
1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.
第1题
2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.
第2题第3题
3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为.
4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是.
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
3
俯视图
1
1
2
a
第4题 第5题
5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则 a .
6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .
第6题 第7题
7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3
cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3
。
20
20正视图
20侧视图
10 10
20俯视图
22
3
2
3
2
第7题第8题
9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.
图9
10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.
图10
11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.
图
图11 图12 图13
12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.
13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是_____________.
14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是_____________.
图14
15．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：
2
cm）_____________.
正视图
俯视图
俯视图
侧视图
正视图
33
4
正视图 左视图 俯视图
图15
16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.
图16 图17
17.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________.
18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为______________.
图18
考点二 体积、表面积、距离、角
注：1-6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
2 3
2 2
1. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________.
3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为_______________. 4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的
2
1
，则它的体积是原来的______________. 5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 . 6.平行六面体1AC 的体积为30，则四面体11AB CD 的体积等于 .
7．如图7，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11A D ，11C D 中点，求异面直线1AB 与EF 所成角的角______________.
8. 如图8所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为_____________.
第8题 第7题
9.正方体''
'
'
ABCD A B C D -中,异面直线'
CD 和'
BC 所成的角的度数是_________________.
10．如图9-1-3，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知13,AB BC BC CC ==，则异面直线1AA 与1BC 所成的角是_________，异面直线AB 与1CD 所成的角的度数是______________
图13
11. 如图9-1-4，在空间四边形ABCD 中，AC BD ⊥ AC BD =,,E F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与AC 所成角的大小为_____________.
12. 正方体1AC 中，1AB 与平面11ABC D 所成的角为 .
13．如图13在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正弦值为_______________.
14. 如图9-3-6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切
值为_______________.
图9-3-6
15．如图9-3-1，已知ABC ∆为等腰直角三角形,P 为空间一点，且52,AC BC PC AC ==⊥，PC BC ⊥，5PC =，AB 的中点为M ，则PM 与平面ABC 所成的角为
16．如图7，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为__________________.
17.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是______________.
18．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3， 11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是_________________.
A
C
P
A 1
C
B
A
B 1
C 1
D 1 D
O
19.已知点,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若
6,AB
=AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 .
20. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是_________________.
21．△ABC 的顶点B 在平面a 内， A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC=24 ，AC=5，则AC 与a 所成的角为_________. 22．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ， 则四面体ABCD 的外接球的体积为_____________.
23．已知点,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若
6,AB
=AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 .
24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ .
25.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，
BC =O 表面积等于____________.
26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为
32
3
π，则正方体的棱长为_________. 27. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________.
1. 正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．
A
1
1
A E C
2.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；
(2)1
AC ⊥面11AB D ．
3．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 和PC 的中点.
（Ⅰ）求证：MN ∥平面PAD ；
（Ⅱ）求证：MN CD ⊥；
（Ⅲ）若45PDA ∠=o
，求证：MN ⊥平面PCD .
4. 如图（1），ABCD 为非直角梯形，点E ，F 分别为上下底AB ，CD 上的动点，且EF CD ⊥。现将梯形AEFD 沿EF 折起，得到图（2）
（1）若折起后形成的空间图形满足DF BC ⊥，求证：AD CF ⊥；
（2）若折起后形成的空间图形满足,,,A B C D 四点共面，求证：//AB 平面DEC ；
N
M
P
D
B A
D 1
O
D
B
A
C
1
B 1
A 1
C
5．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点， N 为AE 的中点，AF=AB=BC=FE=
12
AD (I) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； (II) 证明//BN 平面CDE ；
6．在四棱锥P －ABCD 中,侧面PCD 是正三角形,
且与底面ABCD 垂直,已知菱形ABCD 中∠ADC ＝60°, M 是P A 的中点，O 是DC 中点. （1）求证：OM // 平面PCB ； （2）求证:P A ⊥CD ；
（3）求证:平面P AB ⊥平面COM .
A B C D E F 图（1） A F
E
B
C D
M
N P
D
A
B
C
O
M
7．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .
（1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD
8.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长是3，侧棱长是3，点E ，F 分别在BB 1， DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ． (1)求证：A 1C ⊥面AEF ； (2)求二面角A-EF-B 的大小； (3)点B 1到面AEF 的距离.
考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角
1. 如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD .
求证：（1）平面P AC ⊥平面PBD ；
（2）求PC 与平面PBD 所成的角；
A
B
C
D
P
E
F
2.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 _____________.
3．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是___________________.
4. 若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.
5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，
,
AB AC PA
⊥⊥平面ABCD，且PA
＝AB，点E是PD的中点.
（1）求证：AC PB
⊥；
（2）求证：PB//平面AEC；
（3）若PA AB AC a
===，求三棱锥E－ACD的体积；（4）求二面角E－AC－D的大小.
1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β
（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β
其中正确的是__________________.
2. m、n是空间两条不同直线，αβ
、是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①
,;
m n m n
αβαβ
⊥⇒⊥
P P
,
②
,,;
m n m n
αβαβ
⊥⊥⇒
P P
③
,,;
m n m n
αβαβ
⊥⇒⊥
P P
④
,,;
m m n n
ααββ
⊥⇒⊥
P P
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。
3. l为一条直线，αβγ
，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①αγβγαβ
⊥⊥⇒⊥
，；②αγβγαβ
⊥⇒⊥
，∥；③l l
αβαβ
⊥⇒⊥
，
∥．
其中正确的命题有_________________.
4. 对于平面α和共面的直线m、,n
(1)若
,,
m m n
α
⊥⊥则nα
∥(2)若mαα
∥,n∥,则m∥n
(3)若
,
m n
αα
⊂∥,则m∥n (4)若m、n与α所成的角相等，则m∥n
其中真命题的序号是_____________.
5. 关于直线m、n与平面α与β，有下列四个命题：
①若
//,//
m n
αβ
且
//
αβ
，则//
m n；②若,
m n
αβ
⊥⊥且αβ
⊥，则m n
⊥；
③若
,//
m n
αβ
⊥且//
αβ
，则m n
⊥；④若//,
m n
αβ
⊥且αβ
⊥，则//
m n；
其中真命题的序号是_________________.
6. 已知两条直线
,m n，两个平面,αβ，给出下面四个命题：
①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥
其中正确命题的序号是_______________.
7.给出下列四个命题, 其中假命题的个数是______________.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12
,l l 互相平行.
④若直线
12
,l l 是异面直线,则与
12
,l l 都相交的两条直线是异面直线.
高考数学立体几何专题：等体积法 一、引言 在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。 二等体积法的基本原理 等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。 三等体积法的应用 等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。下面我们将通过几个例子来展示其用法： 1、求几何体的表面积和体积 例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的
表面积和体积。 解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。 2、判断两个几何体是否体积相等 例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。 解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。 3、求几何体的重心位置 例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。 解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。 四、结论 等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体
积相等，以及求几何体的重心位置等。在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。 在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。 在立体几何中，空间点、直线和平面是最基本的概念。点在空间中可以看作是零维的对象，直线是一维的对象，而平面则是二维的对象。直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系构成了立体几何的基本结构。 直线与平面的判定定理是立体几何中的重要定理之一。例如，“如果一直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”和“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”。这些定理帮助我们确定直线和平面的位置关系。 立体几何中涉及到的空间距离包括点与点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离等。通过这些距离的计算，我们可以求解出一些实际问题中的相关参数。
高中课程复习专题——数学立体几何 一 空间几何体 ㈠ 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1。2 棱柱的分类 1。3 棱柱的性质 ⑴ 侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 1.4 长方体的性质 ⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12 ⑵ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是α、β、γ，那么： cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则: cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 1 1。5 棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱
立体几何复习专题 姓名： 班级： 考点一、空间中的平行关系 1．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=,平面 PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证：DE //平面PBC ； (2)求证：AB PE ⊥； (3)求三棱锥B PEC -的体积． 2． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥， 2CD =，3AD =， （Ⅰ）设G H ， 分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；
3．如图，七面体ABCDEF 的底面是凸四边形ABCD ，其中2AB AD ==， 120BAD ∠=︒，AC ，BD 垂直相交于点O ，2OC OA =，棱AE ，CF 均垂直于底面ABCD . （1）证明：直线DE 与平面BCF 不．平行； 4.（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面 ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ； （Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1， AD =3，求三棱锥E ACD -的体积．
考点二、空间中的垂直关系 5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点， 90ABD BCD ∠=∠=，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角 等于30． （1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； 6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形． （1）求证：BN ⊥平面11C B N ； （2）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求C BP P 的值．
高中数学《立体几何》专题复习 三 1．(2017·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π 答案 A 解析 如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R(R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝ 23 62－32 ＝23，则R 2－(6－R)2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π. 2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 答案 C 解析 由V ＝Sh ，得S ＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R ＝ 1 222＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝24π.故选C. 3．若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 答案 C 解析 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8.因此内切球直径为2，∴S 表＝4πr 2＝4π. 4．(2017·课标全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4 答案 B
解析 根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r ＝22－122＝32，所以圆柱的体积V ＝πr 2h ＝π×(32)2×1＝3 4 π.故选B. 5．(2018·安徽合肥模拟)已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为( ) A.324 B.92 4 C.322 D.922 答案 D 解析 设该球球心为O ，因为球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，所以三棱锥S －OAB 是棱长为3的正四面体，其体积V S －OAB ＝13×12×3×33 2×6 ＝924，同理V O －ABC ＝924，故三棱锥S －ABC 的体积V S －ABC ＝V S －OAB ＋V O －ABC ＝92 2， 故选D. 6．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C.132 D ．310 答案 C 解析 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M. 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝1 2AA 1＝6， 所以球O 的半径R ＝OA ＝ （52）2＋62＝13 2 . 7．(2018·广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的7 8时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于 ( ) A.7 6 π B.43 π
高中数学《立体几何》专题复习一 1．(2018·安徽东至二中段测)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括() A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆锥D．一个圆柱、两个圆锥 答案 D 解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥．故选D. 2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是() A．正方体的三视图是三个全等的正方形 B．球的三视图是三个全等的圆 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆 答案 B 解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆． 3．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是() 答案 B 解析侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B. 4．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为()
A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥 C．四棱柱和圆锥D．正方体和球 答案 C 5．(2018·沧州七校联考)三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为() A．16 3 B.38 C．4 2 D．211 答案 C 解析由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形．在△ABC中，AC＝4，AC边上的高为23，所以BC＝4.在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4 2. 6．(2017·衡水中学调研卷)已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为() A．2 2 B．6 2 C．1 D. 2 答案 A 解析因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四 边形的短边，此对角线的长为22，所以该四棱锥的体积为V＝1 3×22×1×3＝2 2. 7.(2018·四川泸州模拟)一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则 该正四棱锥的正视图的面积为() A. 2 B. 3 C．2 D．4 答案 A
立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①⎧ ⎪ ⎧−−−−−→⎨⎪ −−−−−→⎨ ⎪ ⎪⎩ L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B
1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
图2 侧视图 俯视图正视图 4x 3 3x 4D C B A 侧视图 正视图立体几何专题(一) 一、 三视图考点透视： ①能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积 ③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 ④旋转体（圆柱、圆锥、圆台或其组合体）的三视图有两个视图一样。 ⑤基本几何体的画法，如：三棱柱（侧视图）、挡住的注意画虚线。 1. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85 12π+ ，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2 2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为c 3．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图）， 左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 4 ． 4. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积 为 A ．63 B ．93 C ．123 D ．183 5、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)， 其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是 正视图 左视图 图4
_3 _3 这个几何体的棱11C A 上的中点。 （Ⅰ）求出该几何体的体积； （Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:直线11B D AA D ⊥平面. 二、直观图 掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变； ②平行于y 轴的长度为原来的一半，x 轴不变； ③新坐标轴夹角为45°。 6、如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( ) A ．10 B ．5 C ．5 2 D ．102 三、表面积和体积 不要求记忆，但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积”。 （1）常见旋转体的面积公式： 表面积 侧面积 圆柱 ()2r r l π+ 2rl π 圆锥 ()r r l π+ rl π 圆台 ()/22/r r r l rl π+++ /r l rl ππ+ （2）体积公式 柱体V Sh = 锥体13V Sh = 台体() //1 3 V S S S S h = 球体34 3 V R π= 球的表面积24S R π= C A C 1 A 1 B 1 D
高考立体几何专题复习 一．考试要求： 〔1〕掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 〔2〕了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念〔对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离〕。 〔3〕了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 〔4〕了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 〔5〕会用反证法证明简单的问题。 〔6〕了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 〔7〕了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 〔8〕了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 〔9〕了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 〔10〕了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的根底上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的根底上，掌握它们的求法(其根本方法是分别作出这些角，并将它们置于*个三角形通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步稳固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握根本的立体几何解题方法和常用解题技巧，开掘不同问题之间的在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和"说话要有根据〞的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： 〔Ⅰ〕根底知识详析 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考察的知识点在20个以. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考察立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着"多一点思考,少一点计算〞的开展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探常考常新的热门话题. 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决"平行与垂直〞的有关问题着手，通过较为根本问题，熟悉公理、定理的容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2．判定两个平面平行的方法： 〔1〕根据定义——证明两平面没有公共点； 〔2〕判定定理——证明一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面； 〔3〕证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质：
高三数学总复习专题9 立体几何 方法点拨 1．求解几何体的表面积及体积的技巧 （1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． （2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解． 2．判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． （2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断． 3．利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤 （1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． （2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． （4）根据运算结果解释相关问题． 4．三种空间角与空间向量的关系 （1）线线角：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos a b a b θ⋅=⋅． （2）线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ满足sin l n l n θ⋅=．
（3）二面角 ①如图(Ⅰ)，AB ，CD 是二面角αβ--l 的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=； ②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，1n ，2n 分别是二面角αβ--l 的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足121212 cos cos ,n n n n n n θ⋅==． 5．利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 6．求空间多面体的外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解． （2）利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径． （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可． 经典试题汇编 一、选择题． 1．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，
高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解 一、选择题 1．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．平面四边形 D ．空间四边形 [答案] D [解析] ∵AB →·BC →>0，∴∠ABC >π2，同理∠BCD >π2，∠CDA >π2，∠DAB >π2，由内角和定 理知，四边形ABCD 一定不是平面四边形，故选D. 2．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB → 的值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．任意实数 [答案] C [解析] AP → 可为下列7个向量： AB →，AC →，AD →，AA 1→，AB 1→，AC 1→，AD 1→，其中一个与AB →重合，AP →·AB →＝|AB →|2＝1；AD →，AD 1→，AA 1→与AB →垂直，这时AP →·AB →＝0；AC →，AB 1→与AB →的夹角为45°，这时AP →·AB →＝2×1×cos π4＝1， 最后AC 1→·AB → ＝3×1×cos ∠BAC 1＝3×13 ＝1，故选C. 3．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A → ＝c ，则MN → 等于( ) A ．－12a ＋12b ＋13c B.12a ＋12b －13c C.12a －12b －13c D ．－12a －12b ＋23c [答案] C
高中数学必修2立体几何复习 13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中 点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 14．如下图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心． (1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)； (2)求PQ的长(不必证明)． 15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，D、E分别为BB 、AC1的中点． (1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值； (2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线； (3)求异面直线BB1与AC1的距离． 16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，M分别是BD1，AA1 的中点． (1)求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线； (2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值； (3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离． 13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分 别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥ABCD. 14．如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.过BD作与P A平行的平面，交侧棱PC于点E，又作DF⊥PB，交PB于点F. (1)求证：点E是PC的中点； (2)求证：PB⊥平面EFD.
15．如图，l 1、l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM ＝MB ＝MN . (1)求证AC ⊥NB ； (2)若∠ACB ＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值． 16．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点． 求证： (1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD . 13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2AB . (1)求证：平面P AC ⊥平面PBD ； (2)求二面角B －PC －D 的余弦值． 14．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1 的中点． (1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 15．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为BC 、AC 的中点，设AB ＝P A ＝2. (1)求证：平面PBE ⊥平面P AC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由； (3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B －PEF 的体积． 16．(2009·天津，19)如图所示，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ， AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝1 2 AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)求证：平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．
高考数学复习专题过关检测—立体几何 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2021·山东济宁二模)“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2021·重庆八中月考)已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则异面直线CD与PB所成角的余弦值为() A.√5 5B.2√5 5 C.√5 10 D.√95 10 3.(2021·江西上饶三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G是线段BC1上一点,且A1G⊥B1D,则() A.BG=1 2 BC1 B.BC1=3GC1 C.BG=3GC1 D.G为线段BC1上任意一点 4.(2021·辽宁葫芦岛一模)某保鲜封闭装置由储物区与充氮区(内层是储物区,用来放置新鲜易变质物品,充氮区是储物区外的全部空间,用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能)构成.如图,该装置外层上部分是半径为2的半球,下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合,内层是一个高度为4的倒置小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合,为了保存更多物品,充氮区的体积最小为() A.4π B.16π 3C.28π 3 D.4π 3 5.(2021·天津三模)在圆柱O1O2内有一个球O,球O分别与圆柱O1O2的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若O1O2=2,则圆柱O1O2的表面积为() A.4π B.5π C.6π D.7π 6.(2021·广东深圳模拟)已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,M为棱DD1的中点,则平面AMC截球O所得截面的面积为()
第1讲空间几何体 1.[圆锥的结构特征] (2021·新高考Ⅰ卷,T3)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( B ) A.2 B.2√2 C.4 D.4√2 解析:由题意,设圆锥的母线长为l,因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长,圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径,则有2π·√2=π·l,解得l=2√2,所以该圆锥的母线长为2√2.故选B. 2.[球的外接问题] (2021·全国甲卷,T11)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为( A ) A.√2 12B.√3 12 C.√2 4D.√3 4 解析:如图所示,因为AC⊥BC,所以AB为截面圆O1的直径,且AB=√2. 连接OO1,则OO1⊥平面ABC,OO1=√1-(AB 2)2=√1-(√2 2 )2=√2 2 ,所以三棱锥 O-ABC的体积V=1 3S△ABC·OO1=1 3 ×1 2 ×1×1×√2 2 =√2 12 .故选A.
3.[棱台的体积] (2022·新高考Ⅰ卷,T4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m 时,相应水面的面积为140.0 km 2;水位为海拔157.5 m 时,相应水面的面积为180.0 km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m 上升到157.5 m 时,增加的水量约为(√7≈2.65)( C ) A.1.0×109 m 3 B.1.2×109 m 3 C.1.4×109 m 3 D.1.6×109 m 3 解析:如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积V=1 3×9×(140+√140×180+180)×106=60×(16+3√7)×106≈ 60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m 3).故选C. 4.[圆锥的表面积与体积] (2022·全国甲卷,T9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙,若S 甲 S 乙=2,则 V 甲V 乙 等于( C ) A.√5 B.2√2 C.√10 D. 5√10 4 解析:法一 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等,所以结合S 甲S 乙 =2可知,甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l=3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1,r 2,高分别为h 1,h 2,则由题意知,两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的
高考数学分类汇编：立体几何 一、选择题: 1．在空间，下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为 2．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) A.3 B.2 C.23 D.6 4．如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行． 其中真命题是 A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ． ①②③ 5.设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2 6．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 的表面积等于 （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 7．一个几何体的三视图如右图，该几何体的表面积是 （A ）372 （B ）360 （C ）292 （D ）280 8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A ） 3523cm 3 B ）3203 cm 3 （C ）2243 cm 3 （D ）1603 cm 3 正三角形，' ' ' ////AA BB CC ， 9．如图AB C ∆为
第1页（共37页） 2021年高考数学专题复习：立体几何选择题1 一．选择题（共50小题） 1．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2√2，A 1B 1＝2，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2 2．已知圆柱的高为3，且其侧面积是18π，则该圆柱的体积为（ ） A ．9π B ．18π C ．27π D ．54π 3．m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为互不相同的平面，下列说法错误的是（ ） A ．若m ∥n ，则经过m ，n 的平面存在且唯一 B ．若α∥β，a ∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n C ．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，则m ⊥γ D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则a ∥β 4．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱CC 1，A 1D 1的中点，则（ ） A ．EF ⊥A 1D 1 B ．EF 与CD 为异面直线 C ．BE 不与平面A 1B 1BA 内的任何直线垂直 D ．B E ∥平面A 1B 1C 1D 1 5．在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，四边形ABCD 是边长为2的正方形， E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是（ ） A ．√33 B ．√23 C ．√36 D ．√26 6．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n C ．若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β D ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n 7．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中AB ＝AA 1，则B 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的余弦值为（ ）
空间向量与立体几何中的常见题型一 一、常规题型 1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为PA ，BC 的中点． (1)证明：EF ∥平面PCD (2)若PD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=，且24PD AD ==，求直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值． 2、如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC ＝1 2AD ＝1，CD ＝ 3. (1)求证：平面MQB ⊥平面PAD ； (2)若二面角M -BQ -C 的平面角为30°，求直线QM 与平面PAD 所成角的正弦值． 3、如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1， BC 的中点． (1)证明：AE ∥平面BDC 1；
(2)若异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为 3 4 ，求DE 与平面BDC 1所成角的正弦值． 4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,ABCD PA AB =， 3,3PD FD BE EP ==. （1）求证:AE FC ⊥; （2）求AE 与平面ACF 所成角的余弦值. 5、如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝4，PA ＝15，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD ⊥DC ，PM ⊥MD . (1)证明：AB ⊥PM ； (2)求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！ 第八章⎪ ⎪⎪ 立 体 几 何 第一节 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 突破点(一) 空间几何体的三视图和直观图 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线 球 半圆或圆 直径所在的直线 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法 ①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图． 3．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 本节主要包括3个知识点： 1.空间几何体的三视图和直观图； 2.空间几何体的表面积与体积； 3.与球有关的切、接应用问题.
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．考点贯通抓高考命题的“形”与“神” 空间几何体的结构特征 [例1](1)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥 C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体 (2)下列说法正确的是() A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 [解析](1)截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体． (2)A错，如图(1)；B正确，如图(2)，其中底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可证明∠PAB，∠PCB，∠PDA，∠PDC都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图(3)；D错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点． [答案](1)C(2)B [方法技巧] 解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧 (1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力； (2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1(2)中的A，C两项易判断失误； (3)通过反例对结构特征进行辨析．
专题15 立体几何中球的问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为( ) A ．100π B ．128π C ．144π D ．192π 1．答案 A 解析 设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以12343 2,2sin 60sin 60r r =，即 123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d 2d ， 故121d d -=或121d d +=1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选A ． 2．(2022·全国乙理) 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当 该四棱锥的体积最大时，其高为( ) A ．13 B ．12 C D 2．答案 C 解析 设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222 ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=(当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为 22r ，又221r h +=，则2123O ABCD V r h -=⋅⋅==当且仅当 222r h =即h 时等号成立，故选C ． 3．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A ．[18，814] B ．[274，814] C ．[274，643 ] D ．[18，27] 3．答案 C 解析 ∵ 球的体积为36π，所以球的半径R ＝3，设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则 l 2＝2a 2＋h 2，32＝2a 2＋(3－h )2．所以6h ＝l 2，2a 2＝l 2－h 2 ，所以正四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×4a 2×h ＝23×(l 2－l 436)×l 26＝19(l 4－l 636)，所以V ′＝19(4l 3－l 56)＝19l 3 (24－l 2 6)，当3≤l ≤26时，V ′＞0，当26≤l ≤33时， V ′＜0，所以当l ＝26时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又l ＝3时，V ＝274，l ＝33时， V ＝814．所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是[274，643]．故选C ．【方法