高三数学立体几何专题训练
【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直(垂直关系)；4求二面角的平面角；5求线面 角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。 【复习建议】
本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1)问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范， 如能建系。也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用
空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于900
)、线面所成角(此类题最容易错，记 住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量 还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。
【题例】 1.如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，342=PB ．F
是线段PB 上一点，3417
15
=
CF ,点E 在线段AB 上且EF⊥PB．
(I)证明：PB⊥平面CEF ；
(Ⅱ)求二面角B —CE-F 的正切。选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解)
练好规范；判定是否适用向量。
2．翻折问题．体积问题．函数导数)如图6所示，等腰△ABC 的底
边66=AB ,高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B,D 的动点，点F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE⊥AE，记BE=x ，V(x)表示四棱锥P 一ACEF 的体积.
(1)求V(x)的表达式；
(2)当x 为何值时，V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值
3、(组合图形问题)如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF
所在的平面互相垂直且2=
DE ,ED∥A F,且∠DAF=900
(1)求BD 和面BEF 所成的角的正弦；
(2)线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的 平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值； 若不存在，说明理由。
总结：解决存在性问题方法：1．先假设存在，再去推理，下结论： 2．运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。
4．(视图，无棱二面角问题)四棱锥P —ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
(1)写出四棱锥P 一ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明)；
(2)在四棱锥P--ABCD 中，若E 为PA 的中点，求证：BE∥平面 PCD ；
(3)在四棱锥P 一ABCD 中，设面PAB 与面PCD 所在的角为θ(00<θ≤900
)，求cos θ的值．
5．(无棱二面角问题)如图，四棱锥S 一ABCD 的底面是边长为l 的正方形．SD
垂直于底面ABCD ，.3=
SB
(1)求证：BC⊥SC
(2)求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
(3)设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．
6．
如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、
F分别为AB、BC的中点，将ABEF剪去，将
△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、
C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
(1)求证：PD⊥EF：
(2)求三棱锥P—DEF的体积；
(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值．
7、如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=600，Q为AD的中点。(1)若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB
(3)在(2)的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2
求二面角M—BQ-C的大小。
8．(本小题满分l4分)
如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA=BC=2。AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。
(1)求证：MN⊥AB；
(2)求二面角S-ND—A的余弦值：
(3)求点A到平面SND的距离。
参考答案
l(I)证明：2
2
2
1006436PC AC PA ==+=+
∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形．故PA⊥平面ABC,又
306102
1
||||21=⨯⨯==
∆BC AC S PBC 而
PBC S CF PB ∆==⨯⨯=301734153422
1||||21,故CF⊥PB，又已知EF⊥PB
∴PB ⊥平面CEF
(II)由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC ．∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB⊥CE 在平面PAB 内，过F 作FF 1垂直AB 交AB 于F 1，则FF 1⊥平面ABC ，EF l 是EF 在
平面ABC 上的射影，∴EF⊥EC ,故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角．
3
5
610tan tan ===
∠=∠AP AB BPA FEB 二面角B —CE 一F 的正切为3
5 说明：本题不适宜用向量
2(1)由折起的过程可知，PE⊥平面ABC ，2212
654,69x S x S S BDC AEF
ABC =⋅==∆∆∆ )630)(12
1
9(36)(2<<-=
x x x x V (2))4
1
9(36)(2x x V -=
'
所以)6,0(∈x 时，)(,0)(x V x V >'单调递增；
636< (3)过F 作MT∥AC 交AD 与M ，则 26,122,2 1======PM BE MB AB BE BD BE BC BF AB BM 429543 66 36=+= = ==BC PF BF MF 在△PFM 中，7 2 427284cos =-= ∠PFM ∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为7 2 3解(1)因为AC 、AD 、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则B(2，0，0)，D(0，0，2) E(1，l ，2)，F(2，2，0)。则)0,2,0(),2,1,1(),2,0,2(=-=-=BF BE DB 设平面BEF 的法向量),,(z y x n =,则x -,0,02==++y z y 则可取),1,0,2(=n ∴向量DB 和)1,0,2(=n 所成角的正弦为 10 10)2(21220222 222= -++-+⋅ 即BD 和面BEF 所成的角的正弦 10 10 (2)假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，不妨设 )0(>=m PF m EP 则P 点坐标为)12 ,121,121( m m m m m +++++ 则向量)12 ,121,121(m m m m m AP +++++= 向量⋅++-++=)12 ,11,121(m m m m CP 所以,012)2(12101212=+-++++++m m m m m 所以2 1 =m 故存在这样的点P ，当点P 为EF 中点时，BD ⊥面PAC 4．解(1)如图，在四棱锥P 一ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，AB ⊥平面PAD ． (2)依题意AB 、AD 、AP 两两垂直，分别以直线AB 、AD 、AP 为z y x 、、轴，建立空间直角坐标系，如图．则P(0，0，2)，B(2，0，0),C(2,2，0)，D(0，4，0)． ∵E 是PA 中点，∴点E 的坐标为(0，0，1)， ())2,4,0(),2,2,2(,1,0,2-=-=-=PD PC BE 设),,(1z y x n =是平面PCD 的法向量． 由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥PD n PC n 11.，即⎩⎨⎧=-=-+0240222z y z y x 取y=1，得)2,1,1(1=n 为平面PCD 的一个法向量． //,n ,021101211BE BE n BE ∴⊥∴=⨯+⨯+⨯-=⋅ 平面PCD. 又⊄BE 平面PCD ，∴BE ∥平面PCD ． (3)由(2)，平面PCD 的一个法向量为)2,1,1(1=n 又∵AD ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的一个法向量为 66 61|cos ),0,1,0(2 1212= =⋅⋅= ∴=n n n n n θ 5、方法一．解：(1)如图建立空间直角坐标系．则有B(1,1，0)，C(0，1，0)，S(0，0,1) 于是)1,1,0(),0,0,1(-=-=SC BC .于是0=⋅SC BC 所以SC BC ⊥,于是BC⊥SC， (2)显然平面ASD 的法向量为)0,1,0(=n ,设平面SCB 的法向量为),1,,(2y x n = 则有SC n BC n ⊥⊥22,,即⎩⎨ ⎧=-=-0 10 y x ,解得)1,1,0(2=n 由于2 2,cos 21>= ，由图可以判断面ASD 与面BSC 所成的角为锐角，因此与1n 与2n 的夹角相等，从而面ASD 与面BSC 所成的角为450 ． (3)M 点坐标为)21,0,21(于是)2 1,0,21(=DM ，而)1,1,1(-=SB ,并且0,cos >= 6．(1)证明：依题意知图①折前AD ⊥AE,CD ⊥CF ．∴PD⊥PE，PF⊥PD，……2分 P PF PE = ,∴PD⊥平面PEF ……… 3分 又⊂EF 平面PEF ∴PD⊥EF………4分 (2)解法l ：依题意知图①中 2 1 21==∴==PF PE CF AE 在△BEF 中2 2 2==BE EF 在△PEF 中PF PE EF PF PE ⊥∴=+2 2 2 8 1 21212121=⋅⋅=⋅⋅=∴∆PF PE S PEF …………7分 24 1 1813131=⨯⨯=⋅==∴∆--PD S V V PEF PEF D DEF P ………8分 (2)解法2：依题意知图①中 2 1 21==∴⋅==PF PE CF AE 在△BEF 中2 2 2= =BE EF ……………………5分 取EF 的中点M ，连结PM,则PM ⊥EF 4 2 22= -= ∴EM PE PM …………6分 8 142222121=⨯⨯=⋅= ∴∆PM EF S PEF ……………7分 24 1 1813131=⨯⨯=⋅==∴∆--PD S V V PEF PEF D DEF P …………8分 (3)由(2)知PE ⊥PF, 又PE⊥PD ∴PE⊥平面PDF…………10分 ∴∠PDE 为DE 与平面PDF 所成的角， …………………………11分 在Rt △PDE 中．2 1,2541122==+ =+= PE PE PD DE ……………l2分 55 2 5 21 sin = ==∠∴DE PE PDE …………14分 7．解：(1)连BD ，四边形ABCD 菱形，∵AD⊥AB，∠BAD=600 ,△ABD 为正三角形，Q 为AD 中点，∴AD⊥BQ ,∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，AD⊥PQ ,又BQ∩PQ=Q．∴AD⊥平面PQB ， ⊂AD 平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD (2)当3 1 = t 时，PA∥平面MQB, 下面证明，若PA∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N, 由AQ∥BC ,可得ANQ ∆∽BNC ∆,2 1 ==∴NC AN BC AQ 即 3 1 =NC AN ∵PA∥平面MQB ，⊂PA 平面PAC, 平面PAC∩平面MQB=MN ，∴PA∥MN 3 1 ==AC AN PC PM 即：PC PM 3 1=,31 =∴t (3)由PA=PD=AD=2，Q 为AD 的中点，则PQ⊥AD.又平面 PAD⊥平面ABCD ，所以PQ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图 所示的坐标系，则各点坐标为)3,0,0(),0,0,0(),0,3,0(),0,0,1(P Q B A )0,3,0(),3,3,2(),0,3,2(),0,2 3 , 0(=--=-QB PC C N 令()c b a M ,,,则)3,,(-=c b a PM ,由PC PM 31 =, 得点的坐标)332,33,32(-- M ,),332,63,3 2(-=MN 设平面MQB 的法向量为)1,,(y x n =,可得 ⎪⎩⎪⎨ ⎧=⋅=⋅00MN n QB n ,MN PA // ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0 PA n QB n ,解得)1,0,3(=n 取平面ABCD 的法向量()2 1 ,cos 1,0,0= ⋅>= <=n m n m n m m 又因为二面角M —BQ —C 为锐二面角，所以其大小为600 。 8(1)略证：作ME⊥AC，连接NE ，可证得AB⊥平面MNE,即得MN⊥AB……4分 过A 作AF 垂直DN 且与DN 的延长线相交于点F ，连接SF 在△DBN 中,2 1 tan == ∠BN DB DNB ,55sin =∠∴DNB 在Rt△AFN 中,5 52sin = ∠⋅=DNB AN AF 在Rt△SAF 中,55 5 22 tan === ∠AF SA SFA (3) 过点A 作AH ⊥SF 于H ，由(2)知平面SAF⊥平面SND∴AH⊥面SND ∴AH 的长为点A 到平面SND 的距离 在Rt △AHF 中，3 6 630552sin =⨯= ∠⋅=SFA AF AH 故点A 到平面SND 的距离为 3 6 ……………………14分 解法二： (向量法) B 为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图）， 由题意得M(1，2，1），N(0，2，0) 所以),0,2,0(),1,0,1(=--=AB MN AB MN AB MN ⊥∴=⋅,0 设平面SND 的法向量为),,(z y x m = 则0=⋅SN m ，且0=⋅DN m ， 令解z=1得：x=2， y=-1 ()1,1,2-=∴m 又平面AND 的法向量为)1,0,0(=n 6 6 cos = ⋅= n m n m α (3)36 | |=⋅=m m AN d 厦门一中立体几何专题 一、选择题（10 X 5' =50 '） 1•如图，设0是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心， 过0的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记 为 Q 、R 、S ,则-1 1 1 （ ） PQ PR PS A. 有最大值而无最小值 B. 有最小值而无最大值 C. 既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等 D. 是一个与平面QRS 位置无关的常量 2•在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 （ A. , B. , C. 0, D. n n 2 n 的面积的取值范围是 （ ） 若B €a ,C €3 ,则厶ABC 的周长的最小值是 （ ） B. 2 .7 5. 如图，正四面体 A-BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上, 使得詈 Cy =入（0＜入＜+m ），记f （入）=a x + 3入，其中a 入表示EF 与AC 所成的角，3入表示EF 与BD 所成的角，贝U （ ） A. f （入）在（0,+ g ）单调增加 B. f （入）在（0,+ g ）单调减少 C. f （入）在（0,1）单调增加，在（1,+ g ）单调减少 D. f （入）在（0,+ g ）为常数 合是 （） A. 一条直线 B. —个平面 C.两条平行直线 D.两个平面 7. 正四棱锥底面积为 Q ,侧面 积为S ,则它的体积为 （ ） A. 1 Q （S 2 Q 2） B. 1 Q （S 2 Q 2） 6 • 3 ' C. 1 -Q(S 2 Q 2) 2 3•正三棱锥P-ABC 的底面边长为 2a,点E 、F 、G 、H 分别是 PA 、PB 、BC 、AC 的中点，则四边形 EFGH A.(0,+ g ) B. C. D. ^a 2 , 2 4.已知二面角a -a-3为60°,点A 在此二面角内，且点 A 到平面a 、3的距离分别是 AE=4, AF=2, 6.直线a //平面3，直线a 到平面3的距离为 1，则到直线a 的距离与平面3的距离都等于 7的点的集 第5题图 D.f QS 第1题图 高考数学《立体几何》练习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 立体几何 1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．2 B ．1 C ． D ． 【答案】B 2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题] 【答案】D 【解析】 3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关 D ．与y 有关，与x 无关 【答案】B 4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题] 5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为 A．32 2 B． 2 3 C．35 D．45 【答案】C 6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题] 【答案】D 【解析】 7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角A-BD-C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是 A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BE C．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B 【答案】D 8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题] 【答案】D 【解析】 高考数学理数立体几何大题训练(含答案) 1.（2020·新课标Ⅲ·理）在长方体中，点P、Q分别在棱AB、CD上，且AP=CQ.（1）证明：点PQ平分长方体的体对角线；（2）若PQ在平面BCFE内，求二面角的正弦值． 2.（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M、N分别为BC、B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若 AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN 所成角的正弦值. 3.（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆 锥底面的圆心，底面是内接正三角形ABC，P为上一点，AP 为底面直径，DP⊥底面．（1）证明：DP平分∠ADC；（2） 求二面角平面APD与平面ABC的余弦值． 4.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正 方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l 上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 5.（2020·天津）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点P、Q分别在棱AB、A1B1上，且AP=A1Q，平面PQC1为棱 BC1的中垂面，M为棱AC的中点．（Ⅰ）求证：PM∥B1Q，且PM=B1Q；（Ⅱ）求二面角平面PQC1与直线PM所成角的正弦值；（Ⅲ）求直线B1Q与平面PQC1所成角的正弦值． 6.（2020·江苏）在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=1， AC=2，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E 为AC上一点，DE⊥平面BCD，DE=1.（1）求直线AB与 DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC， 设二面角F-DE-C的大小为θ，求sinθ的值． 7.（2020·北京）如图，正方体ABCD-EFGH中，E为AD 的中点，P为BF上一点．（Ⅰ）求证：PE∥CG；（Ⅱ）求直线PE与平面CGH所成角的正弦值． 8.（2020·浙江）如图，三棱台DEF-ABC中，面ADFC⊥ 面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，XXX．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值． 9.（2020·扬州模拟）如图，在等边三角形ABC的三棱锥ABCD中，D为底面的中点，E为线段AD上一动点，记 DE=λAD.（1）当λ=1时，求证：DE与平面ABC垂直；（2）当λ=2时，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值． 立体几何 1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．2 B ．1 C ． D ． 【答案】B 2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题] 【答案】D 【解析】 3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关 D ．与y 有关，与x 无关 【答案】B 4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题] 5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为 A．32 2 B． 2 3 C．35 D． 45 【答案】C 6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题] 【答案】D 【解析】 7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角A-BD-C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是 A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BE C．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B 【答案】D 8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题] 【答案】D 【解析】 专题三 立体几何专题【1】 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 5 2分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ，由题意得2227m n k ++=，22 6m k +=1n ⇒=，21k a +=，21m b +=，所以22(1)(1)6 a b -+-=228a b ⇒+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ⇒+≤当且仅当2a b ==时取等号． 高三数学立体几何专题训练 【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直(垂直关系)；4求二面角的平面角；5求线面 角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。 【复习建议】 本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1)问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范， 如能建系。也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用 空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于900 )、线面所成角(此类题最容易错，记 住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量 还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。 【题例】 1.如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，342=PB ．F 是线段PB 上一点，3417 15 = CF ,点E 在线段AB 上且EF⊥PB． (I)证明：PB⊥平面CEF ； (Ⅱ)求二面角B —CE-F 的正切。选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解) 练好规范；判定是否适用向量。 2．翻折问题．体积问题．函数导数)如图6所示，等腰△ABC 的底 边66=AB ,高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B,D 的动点，点F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE⊥AE，记BE=x ，V(x)表示四棱锥P 一ACEF 的体积. (1)求V(x)的表达式； (2)当x 为何值时，V(x)取得最大值? (3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 高三数学总复习专题9 立体几何 方法点拨 1．求解几何体的表面积及体积的技巧 （1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． （2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解． 2．判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． （2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断． 3．利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤 （1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． （2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． （4）根据运算结果解释相关问题． 4．三种空间角与空间向量的关系 （1）线线角：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos a b a b θ⋅=⋅． （2）线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ满足sin l n l n θ⋅=． （3）二面角 ①如图(Ⅰ)，AB ，CD 是二面角αβ--l 的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=； ②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，1n ，2n 分别是二面角αβ--l 的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足121212 cos cos ,n n n n n n θ⋅==． 5．利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 6．求空间多面体的外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解． （2）利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径． （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可． 经典试题汇编 一、选择题． 1．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）在△ABC 中，已知AB ⊥BC ， 2020届高三数学立体几何专题(文科) 吴丽康2019-11 1.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的点.（Ⅰ）证明：PB 2. 如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF 若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． 3如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AC ，PA ＝AD ＝2， 四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点， 且 PE PB ＝PF PC ＝λ(λ≠0)． (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)当λ＝1 2时，求点D 到平面AFB 的距离． 4.如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形． (1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)若平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ，证明：B 1D 1∥l . 5..如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点， M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 7.(2018北京通州三模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PA B⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,△PAB为等边三角形,E是PB中点,平面AED与棱PC交于点F. (1)求证:AD∥EF; (2)求证:PB⊥平面AEFD; (3)记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出的值. 8...如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形， 侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点． (1)求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD 并证明你的结论． 高三数学立体几何专项练习题及答案 一、选择题 1. 下列哪个几何体的所有面都是三角形？ A. 正方体 B. 圆柱体 C. 正六面体 D. 球体 答案：C 2. 一个有8个面的多面体，其中6个面是正方形，另外2个面是等边三角形，它的名字是？ A. 正八面体 B. 正十二面体 C. 正二十面体 D. 正二十四面体 答案：C 3. 空间中任意一点到四个角落连线的垂直距离相等的四棱锥称为？ A. 正四棱锥 B. 圆锥台 C. 四棱锥 D. 无法确定 答案：C 4. 任意多面体的面数与顶点数、棱数的关系是？ A. 面数 + 顶点数 = 棱数 + 2 B. 面数 + 棱数 = 顶点数 + 2 C. 顶点数 + 棱数 = 面数 + 2 D. 顶点数 + 面数 = 棱数 + 2 答案：A 5. 求下列多面体的棱数： （1）正六面体 （2）正八面体 （3）正十二面体 答案： （1）正六面体的棱数为 12 （2）正八面体的棱数为 24 （3）正十二面体的棱数为 30 二、填空题 1. 下列说法正确的是：一棱锥没有底面时，它的底面是一个______。 答案：点 2. 铅垂线是指从一个多面体的一个顶点到与它相对的棱上所作的垂线，它与该棱垂足的连线相交于该多面体的______上。 答案：中点 3. 对正八面体，下列说法不正确的是：_____条对角线与_____两两 垂直。 答案：六，相邻面 三、计算题 1. 一个棱锥的底面是一个边长为6cm的正三角形，其高为8cm。求 棱锥体积。 解答： 底面积 S = (1/2) ×底边长 ×高 = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm² 棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 24 × 8 = 64 cm³ 所以，棱锥的体积为64 cm³。 2. 一个正四棱锥的底面是一个边长为10cm的正方形，其高为12cm。求四棱锥的体积。 解答： 底面积 S = 边长² = 10² = 100 cm² 四棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 100 × 12 = 400 cm³ 所以，四棱锥的体积为400 cm³。 3. 一个正六面体的棱长为6cm。求正六面体的表面积。 解答： 六个面的面积都相等，所以一个面的面积为 S = 长 ×宽 = 6 × 6 = 36 cm²。 正六面体的表面积为6 × S = 6 × 36 = 216 cm²。 所以，正六面体的表面积为216 cm²。 四、解答题 高三数学文一轮复习专题突破训练 立体几何 一、选择、填空题 1、（2016年全国I 卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283 π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 2、（2016年全国卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ） 32 3 π （C ）8π （D ）4π 3、（2016年全国I 卷）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α 平面 ABCD m =，α 平面11ABB A n =，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32 （B ） 2 2 （C ） 33 （D ）13 4、（2016年全国卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的 三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 5、（2016年全国卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 α A A 1 B B 1 D C C 1 D 1 （A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 6、（2016年全国卷）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥， 6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 （A ）4π （B ） 92 π （C ）6π （D ） 323 π 7、（2015年全国I 卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 8、（2015年全国I 卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径 为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9、（广东省2016届高三3月适应性考试）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） 2022届高三数学压轴题专练——立体几何 1．如图，在三棱锥D ABC -中， 1 2 AD CD AE CE BC ====，CD AD ⊥，记二面角 D AC B --的平面角为θ． (1)若 π 3 θ=，2 BC=，求三棱锥D ABC -的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 2．如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直． (1)求异面直线AE与BD所成角的大小； (2)在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且BM x BD =， EN y EA =，试用x，y来表 示线段MN的长度； (3)在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段? 3．如图，已知四棱锥P ABCE -中，PA⊥平面ABCE，平面PAB⊥平面PBC，且 1 AB=，2 BC=，BE=A在平面PCE内的射影恰为PCE的重心G. （1）证明：BC AB ⊥； （2）求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值. 4．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且 AP TQ CR x AD TA CT ===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α. （1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{} ,,a b c 表示向量TD ； （2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上. 5．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =3π ，∠B 1BD = 6 π ，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B === 2023年高三数学立体几何练习题及答案 1. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为a，O为 ABCDA1B1C1D1的重心，P为平面ABC1所在平面上一点，且OP⊥ 平面ABC1，求证：BP⊥PD1。 解析： 首先，我们需要明确BP⊥PD1的含义，即BP和PD1两条线段垂直。 证明： 由于O为立方体ABCDA1B1C1D1的重心，根据性质可知BO和 OD1平分角BAD1。 又因为BP⊥平面ABC1，且PD1⊥平面ABC1，故可得P为平面ABC1上高的垂足，P也位于平面AD1C1的高。 由此可知，BP垂直于平面AD1C1，同时与PD1重合，故BP⊥PD1，证毕。 2. 已知四棱锥ABCD1的底面为菱形ABCD，AB=2，AC=√3，垂直 于底面ABCD、PA、PB两直线与底面的交点分别是E和F，证明： AE=EB。 解析： 根据题意，我们需要证明AE=EB，即底面菱形ABCD的两条对角 线等长。 证明： 连接AF、BF，并设∠AFB=x，∠APE=∠BPE=∠BDE=∠ADE=y。 由于垂直于底面的PA、PB分别与底面的交点为E和F，故可得 ∠EAF=x，∠EBF=x。 又因为∠APE=∠ADE=y，∠BPE=∠BDE=y。 根据三角形内角和定理可得，∠APE+∠EAF+∠EBF=180°， ∠APE+∠APE+y=180°，2∠APE+y=180°。 同理，2∠BPE+y=180°。 将上述两个等式相加可得2∠APE+y+2∠BPE+y=360°。 化简得4∠APE+4∠BPE+2y=360°，即2(∠APE+∠BPE)+2y=360°，2x+2y=360°。 进一步简化得x+y=180°。 同时，根据三角形ABC和三角形CBD的内角和定理可得 ∠ABC+∠CAB+∠BCA=180°，∠ABC+∠CAB+x=180°， ∠BCA+x=180°。 故∠ABC+∠BCA=∠CAB。 由菱形ABCD的定义可知，对角线等长，即∠ABC=∠BCA。 将上述两个等式相等，可得∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCA，即 x+y=180°。 2019年高三数学立体几何专项训练想要在2019年高考中取得好成绩，高三下学期的备考起着关键性的作用。查字典数学网提供了高三数学立体几何专项训练，希望大家好好作答。 2019年高三数学立体几何专项训练 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求). [对应学生用书P109] 【梳理自测】 一、空间几何体的结构特征 1.(教材改编)下列说法正确的是() A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 2.如图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是() 答案：1.D 2.B ◆以上题目主要考查了以下内容： 多面体棱柱棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形. 棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. 棱台棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是平行且相似的多边形. 旋转体圆柱圆柱可由矩形绕其任意一边所在直线旋转得到. 圆锥圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到. 圆台圆台可由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. 球球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 二、三视图 1.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个() A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个 【冲击高分系列】高考数学（文）难题专项训练：立体几何初步 1.(河南省十所名校高三第三次联考，12,5分) 四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，且AB＋BD＝AC＋CD．则下列结论中错误的是() A．若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面 B．若分别作△B AD和△CAD的边AD上的高，则这两条高长度相等 C．AB＝AC且DB＝DC D．∠DAB＝∠DAC 2.(北京西城区高三三月模拟，8,5分) 如图，正方体中，是棱的中点，动点在底面内，且，则点运动形成的图形是() （A）线段（B）圆弧（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分 3.(北京海淀区一月期末，8,5分)如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是( ) A． B. C. D. 4.(山西大学附中十月月考，12,5分已知正方体的棱长为, 长为的线段 的一个端点在棱上运动, 另一端点在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积（） A． B． C． D． 5.(东北三省四市第二次联考，12，5分)四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于 ，则球O的体积等于（） 6. (福建省高中毕业班质量检测，11,5分)一只蚂蚁从正方体经 正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 7.（沈阳高三模拟, 12, 5分）一个球的内接正四棱柱的侧面积与上下两底面面积的和之比为4∶1, 且正四棱柱的体积是4, 则这个球的体积是() A. π B. 2π C. 3π D. 4π 8.（云南高三二模, 12, 5分）如图, 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E、F分别是棱A1B1、BC的中点, 则异面直线AE与B1F所成的角的余弦值等于() A B C 第1题图A B C D 第1题图 立体几何大题 1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论． （2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值． 2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。 （Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积； （Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值. 3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B 的正切值. 4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值． 5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点. （Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积. 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。 （I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1； （III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。 A B C A1 B1 C1 M 第3题图 A B C D P A1 B 1 C1 D1 第6题图 M N 1 / 6 高三数学一轮复习【立体几何】练习题 1.空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列说法正确的有() A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b C.若a∥γ，b∥γ，则a∥b D.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c 答案AB 解析根据空间平行直线的传递性可知A正确；由直线与平面垂直的性质定理知B正确；若a∥γ，b∥γ，则a，b可能平行、相交或异面，故C错误；若a⊥b，b⊥c，则a，c可能相交、平行或异面，故D错误. 2.对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项正确的为() A.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥n C.若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β D.若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α 答案ACD 解析对A，令m，n分别为直线m，n的方向向量，因为m⊥α，n⊥β，所以 m⊥α，n⊥β，又α⊥β，所以m⊥n，即m⊥n，所以选项A正确； 对B，如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，令平面ABCD为平面α，平面 ABB1A1为平面β，直线A1C1为m，直线C1D为n，满足α⊥β，m∥α，n∥β，但 m与n既不平行也不垂直，所以选项B错误； 对C，若m⊄β，过m作一平面γ分别与平面α和平面β相交，且交线分别为a， b，则m∥a，a∥b，所以m∥b，所以m∥β；若m⊂β，符合题意，所以选项C 正确； 对D，若n⊂α，符合题意；若n⊄α，过直线n作一平面β与平面α相交，设交线为b，因为b⊂α，m⊥α，所以m⊥b，又m⊥n，且n，b在同一平面内，所以n∥b，所以n∥α，所以选项D正确. 综上，选ACD. 3.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中() A.AE∥CD B.CH∥BE C.DG⊥BH D.BG⊥DE 答案BCD 解析由正方体的平面展开图还原正方体如图，连接AH，DE，BG，BH，DG，HC. 由图形可知，AE⊥CD，故A错误； 因为HE∥BC，HE＝BC，所以四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故B正确； 因为DG⊥HC，DG⊥BC，HC∩BC＝C，HC，BC⊂平面BHC，所以DG⊥平面BHC，又BH⊂平面BHC，所以DG⊥BH，故C正确； 因为BG∥AH，而DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确.故选BCD. 【2020高三数学】 立体几何专题练习 一．单选题（每题5分，共12题，共60分） 1．在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ） A ．43 B ．94 C ．92 D ．3 2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥ABCD ，NB ⊥ABCD ．且MD ＝NB ＝1．则下列结论中： ①MC ⊥AN ②DB ∥平面AMN ③平面CMN ⊥平面AMN ④平面DCM ∥平面ABN 所有假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 4．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 5．已知正四棱柱中，，则CD 与平面所成角的正弦值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 6．在Rt ABC V 中，90ABC ∠=o ，P 为V ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，则四 面体P ABC -中直角三角形的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．已知直线//l α，直线a α⊂，则l 与α必定（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．无公共点 8．如图,各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点,且MN //平面11ACC A ,则这样的MN 有 ( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条 9．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ） A ．12 B ．32 C ．33 D ．63 10． 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1 D D ．A 1D 1 11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．22 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点,1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于（ ）(word完整版)高三数学立体几何经典例题
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2020高三数学--立体几何专题练习
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