不等式性质
一、选择题
1、已知0a b <<，下列不等式恒成立的是（ ）
2
2
.A a b < .1a B b < 11.C a b < 11
.D a b
<
2、已知0,1a b <<-，下列不等式恒成立的是（ ）
2.a a A a b b >
> 2.a a B a b b >> 2.a a C a b b >> 2.a a
D a b b
>> 3、若,,,a b c d 四个数满足条件：()()()1;2;3d c a b c d a d b c >+=++<+，则（ ）
.Ab c d a >>> .B a d c b >>> .C d b a c >>> .D b d c a
>>> 4、如果,,,0,a b c c b a ac <<<满足且则以下选项中不一定成立的是（ ）
.A ab ac > ().0B c b a -> 22.C cb ab < ().0D ac a c -<
5、下列命题中正确的是（ ）
*.,k k Aa b k N a b >∈?> 11
.,1c c B a b c b a
--<>?
< ()
()2
2
.,C a b c d a b c d >>?->- .0,0a b D a b c d d c
>>>>?>
6、如果,0a b ab <是满足的实数，则（ ）
.A a b a b +>- .B a b a b -<- .C a b a b
-<+ .D a b a b +<+ 7、若0,0,a b >>则不等式1
b a x
-<<的解为（ ）
11.00A x x b a -<<<<或 11.B x a b -<< 11.C x x a b <->或 11.D x x b a
<->或
二、填空题
8、若0,0,0,,,,m n m n m n m n <>+<--则的大小关系为
9、若()11,23,a b c a b c -<<<-<<-则的取值范围是 10、若01,a <<给出下列四个不等式，其中正确的是
○
1()1log 1log 1a a a a ??+<+ ???○2()1log 1log 1a a a a ??+>+ ???
○31
11a a
a a ++<○41
11a a a a ++< 11、()()()023c d
ab bc ad a b
>-
<->已知三个不等式：1，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成 个正确的命题。
12、设23
2
4,38,49,x x x y xy y y
≤≤≤≤为实数，且满足则的取值范围是
三、解答题
13、（1）设2
23,43,,,,,a b a b a b a b ab b a
<<-<<-+-求的取值范围。
（2）设()()()311,223,f x y f f -≤≤-≤≤二次函数的图像关于轴对称，且求()3f 的
最大值和最小值。
14、（1）已知22111
0,1,1,,211a A a B a C D a a
-
<<=+=-==+-，试将,,,A B C D 按从小到大的顺序排列，并说明理由。
（2）已知()
3
0,a b c
a b c
a b c a b c abc ++>>>比较与的大小。
15、火车站有某公司待运的甲种货物1530,1150t t 乙种货物。现用,A B 两种型号车厢共50节
运送这批货物。已知3515t t 甲种货物和
乙种货物可装满一节A 型货厢；25t 甲种货物和35,t B A B 乙种货物可装满一节型货箱，据此安排两种货箱的节数，共有几种方案？若每
节0.50.8A B 型货箱运费是万元，每节型货箱运费是万元，哪种方案的运费最少？
【精品】分数的意义和性质单元易错题 一、分数的意义和性质 1．和这两个分数（）。 A. 意义相同 B. 分数单位相同 C. 大小相同 【答案】 C 【解析】【解答】和这两个分数的意义和分数单位都不同，但是它们的大小相同。故答案为：C。 【分析】根据题意可知，这两个分数的分母不同，所以分数的意义和分数单位都不同，将约分可得，据此解答。 2．工程队8天修完一段9千米的路，平均每天修了这段路的（）。 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】【解答】解：根据分数的意义可知，平均每天修了这段路的。 故答案为：D。 【分析】把这条路的总长度看作单位“1”，8天修完就是平均分成8份，每天修1份，也就是每天修这段路的。 3．大于小于的分数有（）个． A. 5 B. 4 C. 无数 【答案】 C 【解析】【解答】大于小于的分数有无数个. 故答案为：C. 【分析】在两个分数之间有无数个分数，据此解答. 4．甲数的与乙数的相等，甲数（）乙数。 A. > B. < C. = 【答案】 B 【解析】【解答】根据条件可得：甲数×=乙数×，因为＞，所以甲数＜乙数.
故答案为：B. 【分析】两个算式的乘积相等，一个因数越大，与它相乘的另一个因数就越小，据此解答. 5．如果，那么（）。 A. a>b B. a=b C. a，那么a>b。 故答案为：A。 【分析】一个数乘一个比1大的数，所得的积比这个数大，比1大的数，它的分子大于分母。 6．分数的分子扩大2倍，要使分数的大小不变，分母必须（）。 A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 与分子式相邻的自然数 【答案】 A 【解析】【解答】解：分数的分子扩大2倍，要使分数的大小不变，分母必须也扩大2倍。 故答案为：A。 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 7．把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段相比( )。 A. 第一段长 B. 第二段长 C. 一样长 【答案】 B 【解析】【解答】解：两段相比第二段长。 故答案为：B。 【分析】因为第二段占全长的，说明第一段占全长的1-=，>，所以两段相比第二段长。 8．被2、3、5除都余1的最小数是（）。 A. 21 B. 31 C. 61 D. 121 【答案】 B 【解析】【解答】解：2、3、5的最小公倍数是2×3×5=30，30+1=31，所以被2、3、5除
不等式的性质和证明 一、基础知识 1．性质 对称性a＞b?b＜a 传递性a＞b，b＞c T a＞c 加法单调性a＞b T a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 T ac＞bc；a＞b，c＜0 T ac＜bc开方法则a＞b＞0 T移项法则a+b ＞c T a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d T a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 T ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 T a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 T 2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法 证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性 3．主要公式及解题思路 公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R） a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+） 思路：① ② ③ ④正数x，y且x+y=1，求证：≥ 二、例题解析 1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． （2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（） A．x2+y2B．x+y C．2xy D．
（3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为（） A．4B．3C．2D．1 （4）下列函数中，y的最小值是4的是（） A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10 （5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（） A. a2+b2+c2＞1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为 （2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为 （3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5 （4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为 （5）已知：x+2y=1，则的最小值为 （6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为 （7）若x＞0，则，若x＜0，则 （8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。 （9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为 3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥ 5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证：
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 2.1等式性质与不等式性质 (一) 1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 大. 2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系). 3.差值比较法比较两个实数的大小. (二) 1.掌握差值比较法. 2.会用差值比较法比较两个实数的大小. (三) 1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯. ●教学重点 理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a －b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ●教学难点 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的 基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号. ●教学方法 ●教具准备 投影片两张. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. Ⅱ. (一)打出投影片§6.1.1 A ［师］数轴的三要素是什么? ［生］原点、正方向、单位长度. ［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： 213-,5-,0,-4,2 3 ［生］ ∴213-＜-4＜0＜2 3＜｜－５｜. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. (二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A ，§６.1.1 B)，在解决了投影片 §６.1.1 A 问题基础上解决下列问题： ［师］若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0. ［生］若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然. ［师］“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ［生］显然，“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价. ［师生共析］ 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了. (三) ［例1］比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小. ［师］比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） ［例2］已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. ［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1） ＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1） ＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝x 2 五年级数学下册 分数的意义和性质易错题 一、 填空 1．把3米长的绳子平均剪成4段，每段长（ ）米，每段是全长的（ ） 2. 5 3千克既可以看做3千克的（ ），也可以看做1千克的（ ） 3.“一箱苹果吃去了34 。”这是把（ ）看做单位“1”，把它平均分成了（ ）份，吃去的苹果有这样的（ ）份，由此可以推出剩下这箱苹果的( )( ) 4．王师傅8分钟制作了5个零件，他每分钟能制作（ ）个零件，制作一个零件要（ ）分钟 5．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿都会剩下一个，这筐苹果至少有（ ）个 6．分母是8的所有最简真分数的和是（ ） 7．分母是8的所有真分数的和是（ ） 8．一个分数的分子扩大3倍，分母缩小2倍，分数值（ ） 10．58 米是（ ）米的18 ，还可以是（ ）米的（ ）（ ） 11．自然数A 是B 的11倍，A 和B 的最大公因数是（ ），A 和B 的最小公倍数是（ ） 12．①自然数A 是B 的18 ，A 和B 的最大公因数是（ ），A 和B 的最小公倍数是（ ） ②自然数A 是B 的因数，A 和B 的最大公因数是（ ），A 和B 的最小公倍数是（ ） 13．9÷（）=（ ）10 =0.6=72（ ） =9×515+（ ） 14．一批零件，10个合格，1个不合格，不合格的占总数的（ ） 15．68 的分子加上9，分母加（ ）分数的大小才不会变 16．全班有学生44人,女生有24个,女生占全班的( ),男生占全班的( )男生是女生的( ),如果把男女生分成人数相等的小组,能分( )个组,每组最多( )个 17．把3kg水果平均分给4个小朋友，每个小朋友分得这3kg水果的（），每个小朋友分到（）kg 18．单位换算： 100分钟= （）小时（填分数） 45分钟=（）小时（填分数） 225平方厘米=（）平方米（填分数） 18小时=（）天（填分数） 45ml=( )L(填分数) 68分=（）时(填分数) 32时=（）日(填分数) 二、判断题 1、最简分数就是分子分母都是质数的分数。( ) 2、分母是8的所有真分数的和是2。( ) 1、把一个苹果分成3份，每份占这个苹果的1 3 。（） 2、真分数总是小于1，假分数总是大于1。（）4、分子，分母都是质数的分数叫做最简分数。( ) 5、男生人数是女生人数的3 4 ，则女生人数是男生人数的 4 3 。( ) 选择题（每题1分，共5分） 1、一根绳子，连续对折三次，每段是全长的（） A、1 3 B、 1 4 C、 1 6 D、 1 8 2、一本200页的书，小明计划20天看完。那么他5天看了这本书的（） A、 1 20 B、 1 5 C、 1 4 D、 1 40 3、小明和小李、小凯三人读同篇朗读稿，小明用了 2 15 小时，小李用了 1 6 小时，小凯 用了3 10 小时，谁读得最快？（） A、小明 B、小李 C、小凯 D、无法比较 专题15 不等式性质，线性规划及基本不等式 考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中 的不等关系,了解不等式 (组)的实际背景 理解 2017山 东,7; 2016北 京,5; 2013陕 西,10 选择题★★☆ 分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题. 考点内容解读要求高考示例常考题 型 预测热 度 1.平面区 域 问题①会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组; ②了解二元一次不等式的 几何意义,能用平面区域 表示二元一次不等式组 理解 2016浙江,3;2016山 东,4; 2015课标Ⅰ,15;2014 课标Ⅰ,9 选择题 填空题 ★★★ 2.线性规 划 问题会从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问 题,并能加以解决 理解 2017课标全国Ⅱ,5; 2017课标全国Ⅰ,14; 2017课标全国Ⅲ,13; 2016课标全国Ⅲ,13 选择题 填空题 ★★★ 分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查及平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题. 分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分. 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 分数的意义和性质易错题练习 一、填空题 1、把3米平均分成4份，每份占3米的 （）（），每份占1米的（）（），是（）（）米。 2、如果（ ）表示“1”，那么（）用分数表示是（ ）。 3、85 的分母加上40，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）。 4、分数a b (a 不等于0)，当（ ）时，它是假分数；当（ ）时它是真分数；当（ ）时，它是这个分数的分数单位；当（ ）时它是最简分数。 5、把下面各数中的带分数化成假分数，假分数化成带分数。 1154= 1041=821=9 91= 6、20 18的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的单位是1。 7、“红气球是气球总数的65”中，把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）份，红气球是这样的（ ）份。 8、（ ）个81是1，12个51是（ ），1里有（ ）个 10 1，3里有（ ）个61。 9、分母是a 的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ）。 10、分子是10的最大假分数是（ ），最小假分数是（ ）。 11、把4吨煤平均分给5户居民，平均每户居民分得总吨数的 （）（），每户居民分得（）（）吨。 12．小明看一本书要8天看完，小强看同样的一本书需要10天看完，二人都看了4天，小明剩下全书的（ ），小强剩下全书的（ ）。 13．根据分数与除法的关系确定：分子相当于除法中的（ ），分数值相当于11中的（ ）。 ①被除数 ②除数 ③商 14. 18 12分母加上9，要使分数的大小不变，分子应加上（ ） ①6 ②4 ③8 ④9 15.大于41而小于4 3的分数有（ ）。 ①一个 ②无数个 ③有限的 ④没有 三、判断题 1．分数的分子和分母都不能是0。（ ） 2．两个分数相比较，只要分数单位大的这个分数值就大。（ ） 3．分数的分子和分母同时乘以任何数，分数大小都不变。（ ） 4．假分数都比真分数大。（ ） 5．因为任何带分数都能化成假分数，所以任何假分数都能化成带分数。（ ） 6． 8小时就是31日。（ ） 7．把2 85化成小数是2.875。（ ） 8．16千克黄豆可以做56千克豆腐，每千克豆腐需要用3 千克黄豆。（ ） 9．一个三角形，其中一个内角度数占三个内角度数和的21，这个三角形肯定是直角三角形。（ ） 10.分子比分母小的分数是最简分数。（ ） 11.4千克的51与2千克的52相等。（ ） 12. 88和 1212的大小相等，它们的分数单位也相等。（ ） 3.一条路长87千米三天修完,第一天修了全长的83,第二天修了全长的82,第三天要修全长的几分之几? 要点重温之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由 x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0 1 专题2.1 等式性质与不等式性质 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( ) A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m) B.?? ?≥≤) (10) /(120m d h km v C ．v ≤120(km/h) D ．d ≥10(m) 【答案】B 【解析】最大限速与车距是同时的，故选B. 2．已知0N C ．M ＝N D ．M ≥N 五年级下册典型错例 采集样本 42 错误率 32.8% 采集者 郑国平 采集 学校 鹤池苑小学 错题来源 第四单元 题 型 基本 时 机 课时 √ 课 型 新授课 题目出处 作业本 综合 √ 单元 练习课 √ 相关知识 分数的意义 拓展 总复习 复习课 知识属性 陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识 教学简述 本题是学习了分数的意义后对分数意义的综合性练习题，学生已掌握了分数的意义，但仅局限于对某个分数意义的理解，如 6 5 表示将单位“1”平均分成6份，表示其中的5份，如果是一些具体的实际问题，由于受各方面因素的影响，一些学生就会遇到一些困难。 ◆典型错题 把5米长的铁丝平均截成6段，每段长（ ）米，每段是这根铁丝的（ ）。 错解：1/5 、5/6或其他一些答案 正解：1/6、5/6 ◆原因分析 学生方面： 1．学生的思维只停留在求平均数时总数比份数大这一方面上，通过学生访谈，发现如果总数比份数大，在求每份数时是非常快速和准确的，比如把10米长的铁丝平均分成5份，那么每份是10÷5=2米等一些类似的问题，哪怕学困生也比较容易地解答出来，但一旦变成总数比份数小时，比如把5米长的铁丝平均截成6段时，问题马上就出来了，答案五花八门。说明学生对每份数=总数÷份数还是掌握的，问题出在总数和份数的大小上面。 2．遇到问题后学生解决问题的方法单一，此类题目可以通过画图等数形结合的方法比较容易理解。 3．学生对两个问题的理解不够清楚，没有理解它们真正的含意和区别，即份数和数量。 教师方面：平时引导此类题目时不够到位，对两个问题的概念讲解不够清晰。 ◆教学建议 分数是小学数学学习中的一个重点。尤其是刚开始接触到分数时，学生不能准确理解哪是份数，哪是数量，这也是理解分数的难点所在。 1．在教学中，我是这样引领学生区分份数和数量的。像这样“每份占总量的几分之几”、“甲是乙的几分之几”所表示的就是份数。求份数首先要有标准量，如上面的“总量”、“乙”就是标准量，份数是没有单位的。像这样“每段长几分之几米”、“每分是几分之几时” 所表示的就是数量，数量是有单位的。 把5米长的钢管平均截成6段，每段占全长的几分之几，每段长多少米？ ｛分析与解答｝问题1“每段长多少米？” 求的是数量。把5米平均分成份，列式就是5÷6＝6 5 ，问题2“每段占全长的几分之几”，求的是份数。以钢管的全长为标准，把1个整体平均分成份，每份就是6 1。 2．数形结合理解题意。可以画线段图或示意图等 一些方法来理解意 ◆资源链接 这样区分份数和数量 例1：把1米长的钢管平均截成3段，每段占全长的几分之几，每段长多少米？ ｛分析与解｝问题1“每段占全长的几分之几”，求的是份数。以钢管的全长为标准，把1个整体平均分成3份，每份就是 31。 问题2“每段长多少米？” 求的是数量。把1米平均分成份，列式就是1÷3＝ 3 1米 例2：把3块饼平均分给4个孩子，每个孩子分得几分之几块，是这些饼的几分之几？ 专题03 等式的性质与不等式的性质、基本不等式 一、知识结构思维导图 二、学法指导与考点梳理 知识点1 一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax>b 的解的情况： （1）当a>0时，a b x > ； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。 知识点2 分式方程、分式不等式的解法 1、分式方程的解法 ①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法． (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去． 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法． 2、分式不等式的解法： 分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． 3、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 x y O x 1 x 2 x y O x 0 x y O 知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 1、表中a ac b b x 2421---=，a ac b b x 2422-+-= 2、)0(02 ≠>++a c bx ax 恒成立???<-=?>?0 40 2 ac b a )0(02 ≠<++a c bx ax 恒成立???<-=?0时， ①a x a a x a x <<-??>2 2 ||或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如|()|()f x g x ≥和|()|()f x g x ≤的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 |()|()f x g x ≥?()()f x g x ≥或()()f x g x ≤；|()|()f x g x ≤?()()()g x f x g x -≤≤． 知识点5 基本不等式 1、基本不等式(或)均值不等式 ab b a ≥+2 2、基本不等式的变形与拓展 (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+； (2)若R b a ∈,,则22 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）． (3)若00a ,b >>,则 ab b a ≥+2 ； (4)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）； (5)若00a ,b >>,则2 2? ? ? ??+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． (6)若0x >,则12x x + ≥（当且仅当1x =时取“=”） ；若0x <,则1 2x x +≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x +≥,即12x x +≥或1 2x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 分数的意义易错题解析 一．选择题（共12小题） 1．把2米长的铁丝平均分成7段，每段占全长的（） A．B． 米C． 米 D． 考点：分数的意义、读写及分类． 分析：把2米长的铁丝平均分成7段，根据分数的意义，即将这根2米长的绳子当做单位“1”平均分成7份，则每段是全长的1÷7=． 解答： 解：根据分数的意义，每段是全长的：1÷7=． 故选：D． 点评：完成本题要注意是求每段占全长的分率，而不是每段具体的长度． 2．2的分数单位是（） A．B．C． 考点：分数的意义、读写及分类． 专题：分数和百分数． 分析： 将单位“1”平均分成若干份，表示其中这样一份的数为分数单位．由此可知，2的分数单位是． 解答：解：根据分数单位的意义可知， 2的分数单位是． 故选：C． 点评：一个分数的分母几，其分数单位就是几分之一． 3．把10克糖放入100克水中，糖是糖水的（） A．B．C．D． 考点：分数的意义、读写及分类． 分析：要想知道糖占糖水的几分之几，就要先求出糖水的克数，然后，用糖的克数除以糖水的克数． 解答： 解：10÷（100+10）== 故把10克糖放入100克水中，糖是糖水的 故选B． 点评：本题要注意弄清楚糖是占”水”还是“糖水”的几分之几，不要马虎． 4．大于小于的所有分数有（） A．1个B．2个C．无数个 考点：分数的意义、读写及分类． 专题：分数和百分数． 分析：本题可根据分数的基本性质进行分析： 根据分数的基本性质可知，大于小于的所有分数有无数个． 如=，=，则、、大于小于．同理可知，…大于小于，…． 解答： 解：根据分数的基本性质可知，大于小于的所有分数有无数个． 故选：C． 点评： 分母为7的大于小于的分数只有一个即． 5．与相等的分数是（） A．B．C．D． 考点：分数的基本性质． 专题：分数和百分数． 分析：运用分数的基本性质化简分数，化成最简分数再进行选择即可． 解答： 解：==； 故应选：D． 点评：本题运用分数的基本性质进行计算解答即可． 6．和相等的分数是（） A．B．C． 考点：约分和通分． 专题：计算题． 分析：观察题干，根据分数的基本性质，先把题干中不是最简分数的分数进行约分，化成最简分数，再比较即可选择． 解答： 解：==； ==； 所以与相等的分数是， 故选：B． 点评：此题考查分数的基本性质，并利用分数的基本性质把分数化为最简分数． 7．下面的分数（）化简后得． A．B．C． 2020-2021分数的意义和性质易错题 一、分数的意义和性质 1．一个分数用2约分了2次，用3约分了1次，得到的最简分数是．求原来的分数是________． 【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为： 【分析】根据分数的基本性质，把这个分数的分子和分母同时乘3、2、2即可求出原来的分数。 2．食堂有6吨煤，13天烧完，平均每天烧这堆煤的，每天烧________吨煤. 【答案】 【解析】【解答】解：6 13= （吨） 答：每天烧吨煤 3．填上适当的分数. 361平方分米=________平方米 2130毫升=________升 【答案】； 【解析】【解答】361平方分米=361÷100=平方米，2160毫升 =2130÷1000=升 【分析】解答此题首先要明确1平方米=100平方分米，1升=1000毫升，低级单位化成高级单位要除以进率，然后根据分数与除法的关系，用分数表示各个数字即可。 4．分母是16的最小真分数是________，最大真分数是________，最小假分数是________，最小带分数是________。 【答案】；；；1 【解析】【解答】解：分母是16的最小真分数是，最大真分数是，最小假分数是，最小带分数是 故答案为：；；；【分析】最小真分数的分子一定是1，最大真分数的分子比分母小1，最小假分数的分子等于分母，最小带分数的整数部分是1，分数部分的分子也是1。 5．在横线上填上“>”“<”或“＝”。 ________ ________ 2 ________ ________ 1 ________ 5 ________ 【答案】>；＝；＝；<；>；< 【解析】【解答】解：第一个是假分数，第二个是真分数，所以； ； ； ，所以； 第一个是带分数，第二个是真分数，所以； ，所以。 故答案为：＞；=；=；＜；＞；＜【分析】假分数、带分数都比真分数大；分母不相同，要先通分，然后按照同分母分数大小的比较方法比较大小。假分数和带分数比较大小要先统一然后比较大小。 6．自然数a除以自然数b，商是5，这两个自然数的最小公倍数是（）。 A. a B. b C. 5 D. a×b 【答案】 A 【解析】【解答】解：a是b的5倍，这两个自然数的最小公倍数是a。 故答案为：A。 【分析】较大数是较小数的倍数，两个数的最小公倍数是较大的数。 7．五一班有学生50人，其中男生有30人，男生人数占全班人数的几分之几？正确的是（） 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 专题05 等式与不等式的性质 知识梳理 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 2．恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b 2 －4ac 称为一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{2a ，2a }； (2)当Δ＝0时，方程的解集为??? ? ?? －b 2a ； (3)当Δ<0时，方程的解集为?． 2．一元二次方程根与系数的关系 若x 1，x 2是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ． 一、不等式的性质： （1）;a b b a （2） （3）;c b c a b a +>+?> （4）;,d b c a d c b a +>+?>> （5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （6）;0,0bd ac d c b a >?>>>> （7）;0n n b a b a >?>>、 （8）;0n n b a b a >? >> （9）;11,0,b a b a ab b a ≠且同号、 （10）.b a b a b a +≤±≤- 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； ;,c a c b b a >?>> “分数的意义和性质、分数加减法”易错题集锦 一、填空题 1、把3米平均分成4份，每份占1米的()()，是()()米。 2、如果（五个小正方形）表示“1”，那 么（五个小正方形加一个三角形）用分数表示是（ ）。 3、5/8的分母加上40，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）。 4、分数b/a(a 不等于0)，当（ ）时，它是假分数；当（ ）时它是真分数；当（ ）时，它是这个分数的分数单位；当（ ）时它是最简分数。 5、一个最简分数，若分子加上1，约分得21；若分子减去1，约分得4 1，这个分数是（ ）。 6、修一条4千米长的水渠，5天修完，平均每天修（ ）千米，相当于1千米的（ ）。 7、在21、45、1122、1515、12 78中，真分数有（ ），能化成带分数的假分数有（ ）。 8、把下面各数中的带分数化成假分数，假分数化成带分数。 1154= 1041= 821= 9 91= 9、20 18的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的单位是1。 10、“一块菜地的6 1种了黄瓜”中，把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）份，种黄瓜的是这样的（ ）份。 11、“红气球是气球总数的 65”中，把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）份，红气球是这样的（ ）份。 12、把5米长的绳子平均分成8段，每段长（） （）米。 13、把8公顷地平均分成15份，每份是这块地的（ ），每份是（ ）公顷。 14、在括号里填上适当的分数。 7厘米=（ ）米 35立方分米=（ ）立方米 53秒=（ ）时 25公顷=（ ）平方千米 15、把5/10、3/10和5/8按照从小到大的顺序排列为（ ）。 16、六（1）班种树56棵，五（1）班种树40棵，六（1）班种的棵树是五（1）班的 （）（），五（1）班种的棵树是六（1）班的（） （）。2.1 等式性质与不等式性质
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