不等式的基本性质
知识导引
不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式． 本讲的主要知识点：
1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于．
2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集．
3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变； 不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；
不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；
4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义．
5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解．
6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法．
典例精析
例1：下列四个命题中，正确的有（ ）
①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ．
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（ ）
A 、ab ＞bc
B 、a ＋b ＞b ＋c
C 、a －b ＞b －c
D 、
c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，3
12+=a P 的大小关系为（ ） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N
例3：解不等式54
56110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．
例3—1：请你写出一个满足不等式2x －1＜6的正整数x 的值： ．
例3—2：若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ．
例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%，为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．
（1）为了保证所有工人每月的工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（精确到分）
（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，则小张在六月份至少应加工多少套童装？
探究活动
例：三边均不相等的△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
学力训练
A 组 务实基础
1、若a ＞b ，c 为有理数，则下列各式一定成立的是（ ）
A 、ac ＞bc
B 、ac ＜bc
C 、22bc ac >
D 、22bc ac ≥
2、不等式12
1>-x 的解集是（ ）
A 、21->x
B 、2->x
C 、2- D 、2 1- A 、P ＞R ＞S ＞Q B 、Q ＞S ＞P ＞R C 、S ＞P ＞Q ＞R D 、S ＞P ＞R ＞Q 4、如果不等式（a －1）x ＞a －1的解为x ＜1，则a 必须满足（ ） A 、a ＜1 B 、a ＞1 C 、a ＞0 D 、a ＜0 5、已知三角形的两边分别是2，6，第三边长也是偶数，则三角形的周长是 ． 6、关于x 的方程2（x ＋a ）＝a ＋x －2的解是非负数，在a 的取值范围是 ． 7、如果x ≥－5的最小值是a ，x ≤5的最大值是b ，则a ＋b ＝ ． 8、规定一种新运算：a △b ＝ab －a －b ＋1，如3△4＝12－3－4＋1，请比较：（－3）△4 4△（－3）（填“＞”、“＜”或“＝”）． 9、已知关于x 的方程3（x －2a ）＋2＝x －1的解适合不等式2（x －5）≥8a ，求a 的取值范围． 10、关于x 的不等式 64141a x x ->-+的解都是不等式2 214x x -<-的解，求a 的取值范围． B 组 瞄准中考 1、（邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（ ） A 、x ≤1 B、x ≥1 C、x ＜1 D 、x ＞1 2、（烟台中考）不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、（深圳中考）已知a 、b 、c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是（ ） A 、a ＋c ＞b ＋c B 、c －a ＜c －b C 、22c b c a > D 、22b ab a >> 4、（凉山中考）下列不等式变形正确的是（ ） A 、由a ＞b ，得ac ＞bc B 、由a ＞b ，得－2a ＜－2b C 、由a ＞b ，得－a ＞－b D 、由a ＞b ，得a －2＜b －2 5、（乐山中考）下列不等式变形正确的是（ ） A 、由a ＞b ，得a －2＜b －2 B 、由a ＞b ，得－2a ＜－2b C 、由a ＞b ，得b a > D 、由a ＞b ，得2 2b a > 6、解不等式x x 3 29721-≤ -，得其解的范围为（ ） A 、61≥x B 、61≤x C 、23≥x D 、23≤x 7、（永州中考）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需的电话费至少为（ ） A 、0.6元 B 、0.7元 C 、0.8元 D 、0.9元 8、（临沂中考）有3人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共210kg ，每捆材料重20kg ，电梯的最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料． 9、（重庆中考）解不等式3 132+< -x x ，并把解集在数轴上表示出来． 10、（苏州中考）解不等式：1)1(23<--x ． 11、（广州中考）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案．方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．一直小敏5月1日前不是该商店的会员． （1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？ （2）请帮小敏算一算：所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？ C 组 冲击金牌 1、?????????=++=++=++=++=++5 2154154 354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x ，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且1a ＞2a ＞3a ＞4a ＞5a ，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是（ ） A 、1x ＞2x ＞3x ＞4x ＞5x B 、4x ＞2x ＞1x ＞3x ＞5x C 、3x ＞1x ＞4x ＞2x ＞5x D 、5x ＞3x ＞1x ＞4x ＞2x 2、不等式100<+y x 有 组整数解． 3、已知1 21219991998++=M ，121220001999++=N ，那么M ，N 的大小关系是 ． 4、已知x ＜0，－1＜y ＜0，将x ，xy ，2 xy 按从小到大的顺序排列． 5、实数a ，b 满足不等式b a a b a a +-<+-)(，试判定a ，b 的符号． 6、解不等式：1325<+--x x ． 7、已知：正有理数1a 是3的一个近似值，设1 2112++=a a ，求证：3介于1a 和2a 之间． 8、某地区举办初中数学联赛，有A 、B 、C 、D 四所中学参加．选手中，A ，B 两校共16名，B ，C 脸两校共20名，C ，D 两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A 、B 、C 、D 中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数． 不等式的基本性质参考答案 典例精析 1、C 1—1、B 2、D 3、x ≤2，数轴上表示略 3—1、1或2或3 3—2、3 4、（1）设企业每套奖励x 元，由题意得：200＋60%×150x ≥450，解得x ≥2.78，因此，该企业每套至少应奖励2.78元．（2）设小张在六月份加工y 套，由题意得：200＋5y ≥1200，解得y ≥200．因此，小张在六月份至少应加工200套童装． 探究活动 解：设长度为4和12的高所对的边为a 、b ，又设第三边及其边上的高为c 、h ，则4a ＝12b ＝ch ．a ：b ＝3：1＝3h ：h ，b ：c ＝h ：12，∴a ：b ：c ＝3h ：h ：12，可设三边长为3hk ，hk ，12k （k 为正整数），∵3hk ＞hk ，∴3hk ＋hk ＞12k ，hk ＋12k ＞3hk ，即3＜h ＜6，又∵h 是整数，∴h ＝4（舍去），5，∴h ＝5． 学力训练 A 组 1、D 2、C 3、D 4、A 5、14 6、a ≤－2 7、0 8、＝ 9、a ≤－6.5 10、a ≤14.5 B 组 1、D 2、C 3、D 4、B 5、B 6、A 7、B 8、42 9、解集为x ＜2，数轴上表示略． 10、x ＞2 11、（1）120×0.95＝114（元），所以实际应支付114元．（2）设购买商品的价格为x 元，由题意得：0.8x ＋168＜0.95x ，解得x ＞1120，所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算． C 组 1、C 2、19702 3、m ＞n 4、∵x －xy ＝x （1－y ），且x ＜0，－1＜y ＜0，所以x （1－y ）＜0，即x ＜xy ，∵0)1(2<-=-y xy xy xy ，∴xy xy <2，因为)1)(1(2y y x xy x =+=-＜0，∴2xy x <，综上所述，x ＜2xy ＜xy ． 5、a 为负，b 为正 6、x ＜－7或3 1> x 7、略 8、A 校7人，B 校9人，C 校11人，D 校23人． 《不等式的基本性质》教案 教学目标 (一)教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. (二)能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. (三)情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. 教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式. ［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a 所以，在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. ［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3×21＜5×2 1. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜5 3×(－2)＞5×(－2) 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×3 3×31＜4×3 1 3×(－3)＞4×(－3) 3×(－31)＞4×(－3 1) 3×(－5)＞4×(－5) 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0)，情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导. ［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l ＞16 2 l 的正确性 ［师］在上节课中，我们知道周长为l 的圆和正方形，它们的面积分别为π42l 和16 2 l ， 环球雅思教育学科教师讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“＞”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x＋y=y+ｘ②4+x＞5③-3＜０④a＋b≤ｃ+ｂ⑤ａ≠0⑥２ｘ-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1)a是正数；(2）y与２的差是非负数;(３）ａ与6的和大于7；（4)y的一半不小于3;(5)8与x的３倍的和不大于1。 提示:注意一个数的＂和"，"差"，＂倍","分＂的表示法以及＂大于＂，＂不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0,负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数＂可表示为"＜0"，"非负数＂可表示为"≥０"。?参考答案: （1）a＞0 (2)y-２≥0 （3)a+6>７ (４）≥３（５)8+3ｘ≤1 ,+ 4,－４，４.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算２ｘ+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于５则不等式成立;若不小于５则不等式不成立。 参考答案：当x=-1,０,-2.5,－4时,不等式2x+1＜5成立。 说明:因为当x=１，0,-2．５，-4时，不等式2x+１<5成立，当x=2,＋４,４.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1,0，-2．5-4是不等式２x+1＜5的解，而2,+4，４.5不是不等式2x+１＜5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (１)由２a＞5，得a＞(2）由ａ-7>，得a>7 (3)由- a>０，得a＜0 （4)由3a>2a-１,得a>-1。 例５.设a>b；用＂>"或＂<＂号填空: (１） (2)a-5 b-5 (3）- ａ- b (4)６ａ６b (５)－（6）－ a -ｂ 参考答案：(1）＞（２)> （3）< （４)> (５)＜（6)< 例５．试比较下列两个代数式值的大小: (1）5ａ+２与4a+2 （2)x3+3x2-7与x3+２x2-7 提示:我们知道,若ａ-b＞0,则a＞b;若a-b=0,则a=b；若a－ｂ<0，则a＜ｂ,所以要比较a与ｂ的大小,可以先求出a与ｂ的差,再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案：(１)（5a+２）－（4ａ＋２)=5a+２-4a－2=ａ ∵a可取正数,负数或零,∴５a+２和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时，5a＋2＞4a+2 ②当a=0时,５ａ+2=4a＋2?③当ａ＜0时,５a＋ 2<4a+2。?（2)（x３+3x２-７）－(x3＋２x２－7)=x３+3x2-2ｘ2+７＝ｘ2∵ｘ2≥０(对任意x) ∴ｘ3+3x2-７≥x3＋2x2－7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。 §1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.2 A） 第二张：（记作§1.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. ［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a 3－a＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. ［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3× 21＜5×2 1. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜5 3×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×3 3× 31＜4×3 1 3×（－3）＞4×（－3） 3×（－31）＞4×（－3 1 ） 3×（－5）＞4×（－5） 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导. ［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l ＞16 2 l 的正确性 ［师］在上节课中，我们知道周长为l 的圆和正方形，它们的面积分别为π 42 l 和 162l ，且有π42l ＞16 2 l 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？ ［生］∵4π＜16 ∴ π41＞16 1 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2 得 π42l ＞16 2 l 3.例题讲解 将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －5＞－1; （2）－2x ＞3; （3）3x ＜－9. ［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 八年级数学上册《不等式的基本性质》教案 教学目的： 通过操作，分析得出不等式的基本性质1。 重点：不等式的概念和基本性质1。 难点：简单的不等式变形。 教学过程： 一、创设问题情景回顾不等式概念 (出示投影1) ⑴水果店的小王从水果批发市场购进100千克梨和84千克苹果，你能用“＞”或“＜”连接梨和苹果的进货量吗？ ⑵几天后，小王卖出梨和苹果各a千克，你能用“＞”或“＜连接梨和苹果的剩余量吗？教师提示：⑴100 ________84； ⑵100－a________84-a 学生活动：学生在练习本上完成上述问题，并展开讨论。 二、想一想，认识不等式的基本性质1 1、提出问题：在不等式5＞3的两边同时加上或减去2，在横线上填“＞”或“＜”号 5＋2________3＋2；5－2________3－2 2、学生活动：⑴自己写一个不等式，在它的两边同时加上、减去同一个数，看看有什么结果？⑵讨论交流，大胆说出自己的“发现”。 3、教师活动：⑴让学生多次尝试；⑵参与学生讨论； ⑶归纳指出：不等式的两边同时加上(或都减去)同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变。用字母表示：若a>b，则a+c>b+c用a-c>b-c。 三、做一做，进行简单的不等式变形 1、(出示投影2) 例1、用“＞”或“＜”填空 ⑴已知a>b，a+3________b+3；⑵已知a>b，a-5________b-5。 学生活动：学生独立完成此题。 [说明]解此题的理论依据就是根据不等式的性质1进行变形。 2．例2．把下列不等式化为x>a或x 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 一. 教学内容： 1. 不等式及其基本性质． 2. 一元一次不等式（组）的解法． 3. 一元一次不等式（组）的应用． 二. 知识要点： 1. 不等式的基本性质与等式的基本性质类似，但特别应注意不等式的基本性质3；在不等式两边都乘以（或除以）同一个__________时，不等号要__________． 2. 一元一次方程的标准形式为ax ＋b ＝0（a ≠0），类似地，一元一次不等式的标准形式为ax ＋b __________0或ax ＋b __________0（a ≠0）． 3. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程的过程类似，所不同的是：在“去分母”或“系数化为1”时，如果乘数或除数是负数，要__________． 4. 将一元一次不等式的解集在__________上表示出来，可以加深对一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的理解，也便于直观地得到一元一次不等式组的解集． 5. 一元一次方程的解只有唯一一个，在数轴上用一个点表示；而一元一次不等式的解集中含有__________个数，在数轴上用__________点的集合表示． 6. 解一元一次不等式组分两个步骤： （1）________________________________________； （2）________________________________________． 7. 不等式的知识来源于生活，而我们又运用它来解决实际生活中的问题，因此我们要学会分析现实世界中量与量之间的不等关系，并抽象出__________，当求出不等式或不等式组的解集以后，还要认真检验其中哪些解__________，从而合理解释实际问题． 三. 重点难点： 重点是不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解法，难点是一元一次不等式（组）的实际应用问题． 四. 考点分析： 不等式的问题在中考当中是必考内容，一般是以填空题和选择题的形式出现，主要的考查有两点：一是不等式和不等式组的解法以及如何把不等式（组）的解集在数轴上表示出来，二是不等式（组）的应用问题．所占分值不高，大约6分． 【典型例题】 例1. （1）用不等式表示“x 的绝对值的相反数不是正数”是__________． （2）如果a ＜b ，那么－12a __________－1 2 b （填“>”或“<”）． 分析：（1）x 的绝对值的相反数表示为－︱x ︱，不是正数则为0或负数，即小于或等于0．（2） 经观察发现不等式的两边都乘以了－12．因为－1 2 ＜0，所以不等号的方向改变． 环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案： （1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 课题不等式的基本性质 【学习目标】 1通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探究过程，初步体会不等式与等式的异同. 2 ?掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为式. 【学习重点】 理解并掌握不等式的基本性质. 【学习难点】 初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为X>a”或X 【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明： (1)如果a b c +>，那么a c b >-； (2)如果,a b c d >>，那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明： 如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明： 如果0a b >>，那么110a b < <. 【知识再现】 1.不等式性质的基础： a b >? ；a b =? ；a b >，则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >，则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>，则 ; 若,0a b c ><，则 . 3.几条比较有用的推论： 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>，则 ； 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>，则 ； 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>，则 ； 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>，则 *()n N ∈； 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>，则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系： (1)a 是非负实数， ; (2)实数a 小于3，但不小于2-， ； (3)a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9， . 2.判断下列语句是否正确，并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >，则a b c c >；( ) (2)若ac bc <，则a b <；( ) (3)若a b <，则1 1 a b <； ( ) (4)若22ac bc >，则a b >；( ) (5)若a b >，则n n a b >；( ) (6)若0,0a b c d >>>>，则a b c d >；( ) 3.用“>”或“<”号填空： (1)若a b >，则a - b -; (2)若0,0a b >>，则b a 1b a +； (3)若,0a b c >>，则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><，则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><，则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >，那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>，那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈，使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 . 不等式及其基本性质测试题 7.1不等式及其基本性质测试卷 一、填空 1．在式子① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中属于不等式的有.（只填序号）2．如果，那么. 3.若，用＜＞填空. ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ 二、选择 4．的倍减的差不大于，那么列出不等式正确的是（）A．B. C．D. 5.已知，则下列不等式正确的是（） A．B. C. D. 6.下列说法正确的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则D．若，则 7.已知，a为任意有理数，下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 8.已知4 3,则下列结论正确的（） ① ② ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.某种品牌奶粉合上标明蛋白质，它所表达的意思是（） A．蛋白质的含量是20%. B．蛋白质的含量不能是20%. C．蛋白质大含量高于20%. D.蛋白质的含量不低于20%. 10．如图7-1-1天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，那么图中显示物体的质量范围是（） A．大于2千克B.小于3千克 C．大于2千克小于3千克 D．大于2千克或小于3千克 11.如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（） A. B. C. D. 12. 下列判断正确的是（） A．＜＜2 B．2＜＋＜3 C．1＜－＜2 D．4＜＜5 13. 用a,b,c 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（） A．B． C．D. 三、解答题 14.用不等式表示下列句子的含义. ⑴ 是非负数. ⑴ 老师的年龄比赵刚的年龄的倍还大. ⑴ 的相反数是正数. ⑴ 的倍与的差不小于. 15.用不等式表示下列关系. ⑴ 与3的和的2倍不大于-5. ⑴ 除以2的商加上4至多为6. ⑴ 与两数的平方和为非负数. 16.（1）用两根长度均为㎝的绳子，分别围成正方形和圆，如图7-1-2 2．2 《不等式的基本性质》练习题 一、选择题（每题4分，共32分） 1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ） A 、m －9＜n －9 B 、－m ＞－n C 、1 1 n m > D 、1m n > 2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ） A 、a ＞b B 、ab ＞0 C 、0a b < D 、－a ＞－b 3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜b a ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a≤0 B 、a ＜0 C 、a≥0 D 、a ＞0 4、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ） A 、a ＋t ＞a B 、a ＋t ＜a C 、a ＋t≥a D 、不能确定 5、如果34a a <--，则a 必须满足（ ） A 、a≠0 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a 为任意数 6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ） a 0b c A 、cb ＞ab B 、ac ＞ab C 、cb ＜ab D 、c ＋b ＞a ＋b 7、有下列说法： （1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0； （3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ； （5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y --<， 则x ＞y 。 其中正确的说法有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、2a 与3a 的大小关系（ ） A 、2a ＜3a B 、2a ＞3a C 、2a ＝3a D 、不能确定 二、填空题（每题4分，共32分） 9、若m ＜n ，比较下列各式的大小： （1）m －3______n －3 （2）－5m______－5n 不等式的基本性质（一） 一、教学目的： 1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 二、教学重点：比较两实数大小． 三、教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 四、教学过程： 1、 复习： 不等式的基本性质 1 ： 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质 2 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的基本性质 3 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变 3、作差法： b a b a b a b a b a b a ?>-000 4、例题分析： c b c a b a ±>±>，则即：若()0,>>?>?>c c b c a c b c a b a ，则即：若()0,<c c b c a c b c a b a ，则即：若 例2 对任意实数 x ，比较（x +1)(x +2) 与 (x -3)(x +6) 的大小 ． 练习1、 练习2、 例3 ：( )() ()()22221111a a a a a a +-+++-+比较与的大小 练习3：111,1b 1 a b a <<--若比较与的大小 例4： 的大小与比较且如果2 2,0++>>a b a b b a a 的大小（与试比较（若)g )(, 12)(,13)2 2x x f x x x g x x x f -+=--=()()()()()()()()(){()的解析式。 求设x h x h x x x g x x x g x f x f x g x f x g ,,.,22,12,13x f ≥<=-+=--= 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 2．不等式的基本性质 一、学生知识状况分析 本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，开始研究简单的不等关系。学生已经掌握等式的基本性质，同时经历了解一元一次方程、二元一次方程组的研究过程及方法，为进一步学习不等式的基本性质奠定了基础。学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质。 二、教学任务分析 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。 本节课教学目标： （1）知识与技能目标： ①经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 ②掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。 （2）过程与方法目标： ①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。 ②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法。 ③进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。 （3）情感与态度目标： ①通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。 ②尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识与理解。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：情景引入，提出问题；第二环节：活动探究，验证明确结论；第三环节：例题讲解及运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。 第一环节：情景引入，提出问题 活动内容：利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？ 活动目的：让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，比较才是公平的，高的同学仍然高，矮的同学仍然矮，这是不可能改变的事实。 活动实际效果：学生对能自己参与的活动很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。 第二环节：活动探究，验证明确结论 活动内容：参照教材与多媒体课件提出问题： （1）还记得等式的基本性质吗？请用字母表示它。不等式有类似的性质吗？先猜一猜。 （2）用等号或不等号完成下面的填空。 如果2 < 3；那么 2 × 5 3 × 5； 2 × 3 ×； 2 × (-1) 3 × (- 1)； 2 × (- 5) 3 × (- 5)； 2 × (-) 3 × (-). （3）验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。 （4）与同伴交流你的结论，并展示。 《不等式的基本性质》教案 第一课时 教学目的 知识与技能：通过操作，分析得出不等式的基本性质1. 情感态度与价值观：培养学生的分析能力.训练学生的动手能力，提高综合分析解题能力.转化的数学思想.通过本节的学习，进一步渗透化归的数学美. 教学重点：不等式的概念和基本性质1. 教学难点：简单的不等式变形. 教学过程 一、创设问题情景，回顾不等式概念 回答问题： (1)水果店的小王从水果批发市场购进100千克梨和84千克苹果，你能用“＞”或“＜”连接梨和苹果的进货量吗？ (2)几天后，小王卖出梨和苹果各a千克，你能用“＞”或“＜”连接梨和苹果的剩余量吗？ 教师提示：(1)100________84；(2)100－a________84-a 学生活动：学生在练习本上完成上述问题，并展开讨论. 二、想一想，认识不等式的基本性质1 1、提出问题：在不等式5＞3的两边同时加上或减去2，在横线上填“＞”或“＜”号. 5＋2________3＋2；5－2________3－2 2、学生活动： (1)自己写一个不等式，在它的两边同时加上、减去同一个数，看看有什么结果？ (2)讨论交流，大胆说出自己的“发现”. 3、教师活动：(1)让学生多次尝试；(2)参与学生讨论；(3)归纳指出： 不等式的两边同时加上(或都减去)同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变.用字母表示：若a>b，则a+c>b+c用a-c>b-c. 三、做一做，进行简单的不等式变形 1、提出问题： 例1：用“＞”或“＜”填空 (1)已知a>b，a+3________b+3；(2)已知a>b，a-5________b-5. 学生活动：学生独立完成此题. 说明：解此题的理论依据就是根据不等式的性质1进行变形. 不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b （３）若a 第二节不等式的基本性质 1.2不等式的基本性质—目标导引 1.历经不等式基本性质探索，进一步体会不等式与等式的区别. 2.掌握并能灵活运用不等式的基本性质 1.2不等式的基本性质—内容全解 1.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向. 2.等式性质与不等式性质的区别 其最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 第二课时 ●课题 §1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.2 A ） 第二张：（记作§1.2 B ） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. ［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. ［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3×21＜5×2 1. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜5 3×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×3 不等式及其基本性质 设u=f(x1，x2，…，x n)，v=g(x1，x2，…，x n)是两个取值为实数的函数，若u－v是正数，就说u大于v，记成u＞v，也说v小于u，记成v＜u． 用记号“＞”、“＜”、“≥”或“≤”连结两个这样的函数所组成的式子，叫做不等式． 设上面两个函数的定义域分别为D f，D g，则称D f∩D g为下列不等式的允许值集： f(x1，x2，…，x n)＞g(x1，x2，…，x n) (或f(x1，x2，…，x n)＜g(x1，x2，…，x n)， 或f(x1，x2，…，x n)≥g(x1，x2，…，x n)， 或f(x1，x2，…，x n)≤g(x1，x2，…，x n)． 不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等． 不等式具有如下的基本性质(本文所用字母除特别声明以外，均表示实数)． 定理1 若a＞b，b＞c，则a＞c． 定理2 在a＞b，a=b，a＜b中有且只有一个成立． 定理3 若a＞b，则a＋c＞b＋c． 推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边． 推论2 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d． 一般地，若a i＞b i，i=1，2，…，n，则 a1＋a2＋…＋a n＞b1＋b2＋…＋b n． 推论3 若a≥b，c＜d，则a－c＞b－d． 定理4若a＞b，则当c＞0时，ac＞bc；当c＜0时，ac＜bc；当c=0时，ac=bc． 推论1 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd． 一般地，若a i＞b i＞0，i=1，2，…，n，则 a1a2…a n＞b1b2…b n． 推论2 若a≥b＞0，0＜c＜d，则a/c＞b/d． 推论3 若a＞b＞0，整数n＞1，则a n＞b n． 含有绝对值符号的不等式还具有如下的常用性质． 定理5 设a＞0，则|x|＜a的充要条件是－a＜x＜a；|x|＞a的充要条件是x ＞a或x＜－a． 定理6 |a＋b|≤|a|＋|b|， 其中等号当且仅当ab≥0时成立． 推论1|a＋b|≥||a|－|b||． 推论2 |a1±a2±…±a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|． 课题：第7章一元一次不等式与不等式组 7.1 不等式及其基本性质 学习目标： 1.通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存有，不等关系是其中的一种； 2.了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系； 3.掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质对不等式实行变形；学习重点： 不等式的概念和不等式的性质 学习难点： 不等式的性质3以及准确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示。 一、学前准备 （一）自学提纲 1.认真看书24-26页内容 2.举出生活中一个不等量关系的例子。 3.填空： （1）不等式：；（2）不等式的基本性质： ① ② ③ ④ ⑤ （二）自学检测 1.用不等式表示下列关系 ①亮亮的年龄（记为x）不到14岁。_________ ____ ②七年级（1）班的男生数（记为y）不超过30人。_______ ③某饮料中果汁的含量（记为x）不低于20％.________ 2.试一试选择适当的不等号填空： (1) 2____3 (2) - 2 ____-3 （3）2a ____ 0 (4) a2+b2 ____ 0 (5) 若x≠y,则 -x____-y 二、探究活动 （一）探究性质1 1．明确定义 2.不等式的意义：表示生活中量与量之间不等关系的式子。 例题：1.“神七”速度v超过11200米/秒,才能脱离地球引力,飞入太空,怎样表示v和11200之间的关系? 3.想一想：（1）如果a＜b，用不等号连接下列各式的两边. ① a + 2 b + 2 ② a – 5 b – 5 （2）如果2x-8≥3 ,那么2x 11. 4.小结：不等式性质1： 即 （二）探究性质2和性质3 1.用不等号填空： ①已知5＜8，则5×3 8×3；5×（-3） 8×（-3） ②已知 -5＞-8，则-5×3 -8×3；-5×（-3） -8×（-3） 归纳：不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向； 不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向。 2.用不等号填空： ①已知6＜8，那么6÷2 8÷2；6÷(-2) 8÷(-2) ②已知-6＞-8，那么-6÷2 -8÷2；6÷(-2) -8÷(-2)浙教版八年级数学上册《不等式的基本性质》教案
七年级下册不等式及其基本性质讲义
1.2 不等式的基本性质-
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不等式的基本性质知识点
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【教案】不等式的基本性质北师大版八年级数学下册
2.1.1 不等式的基本性质(含答案)
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