用微元法建立物理规律的数学表达式
文／胡建军沈晨
物理竞赛中，常有一类求解物理规律的数学表达式的问题，例如求某质点运动的轨迹，光传播的路径，具有某种物理性质的界面的方程，一个物理量随另一个物理量变化的函数关系式，等等．这类问题通常是先根据相应的物理定律建立起物理量之间的某种局部的间接的关系，而后将这种关系推至直接与全体．从数学的角度而言，前者是建立被积表达式或微分方程，后者则是求原函数或微分方程的特解．这样的数学背景，使不具备高等数学知识的中学生难以处理．本文作者在对我省理科班进行数理方法教学的探索时，为拓展物理微元方法在ＣＰｈＯ中的应用，多有关于高等数学的“降解”问题的研究，以期达到只须借助中学数学工具，在以微元方法解决物理问题的基础上，通过求和、求积、反推或数学归纳等数学过程，即可求出对应为抛物线、正弦曲线、圆乃至以ｅ为底的指数函数等物理规律的表达式．本文对此作一初步介绍，与同行交流．
例1一个装有液体的圆柱形容器，固定在一个旋转的水平圆板中心，圆板旋转的角速度是ω．一定时间后，液体表面呈凹面型，试求液面与过转轴的竖直平面的交界线之形状．
解法一求和法
如图1所示，曲线C为题述交界线，Oｙ为转动轴，Oｘ为水平方向．曲线上任一点的坐标为（ｘ，ｙ）．求出ｙ＝ｆ（ｘ）的函数式即可确定曲线Ｃ的形状． 将横坐标ｘ均匀细分成ｎ等分，ｎ→∞．对应地，曲线C上有无穷个分点
（0，0）、（ｘ
１，ｙ
１
）、（ｘ
２
，ｙ
２
）……（ｘ
ｉ
，ｙ
ｉ
）……（ｘ，ｙ）．由于曲
线Ｃ被无穷分割，故每相邻两分点间的曲线可近似看做直线段，取其中第ｉ小段微元——它是一极小液元来考察．设其质量为Δｍ，它受到内部液体的弹力Ｎ、重力Δｍｇ的作用而做角速度为ω的匀速圆周运动．对该微元，由牛顿第二定律，可得
图1
Δｍｇｔｇα＝Δｍ（ｉ·ｘ／ｎ）ω２，
式中ｔｇα＝（Δｙ
ｉ
）／（ｘ／ｎ）．于是有
Δｙ
ｉ
＝（ω２／ｇ）（ｘ／ｎ）２·ｉ．
此式为一个等差数列的通项式，对该式求和后取极限便可得到ｙ对ｘ的函数即曲线C的方程，即
．
这是一个抛物线的标准方程．于是可知容器中液体表面与过转轴的竖直面之
交界线呈抛物线，整个液面为一抛物面．
解法二反推法
本题中如若将纵坐标ｙ均匀细分成ｎ等分，ｎ→∞．即取Δｙ＝（ｙ／ｎ），对曲线Ｃ上第ｉ小段质量为Δｍ的微元，有Δｍｇｔｇα＝Δｍ·ｘω２，
则 Δｙ／（Δｘ
ｉ
）＝（ω２／ｇ）ｘ．①
上式给出了曲线C上某一微元对应的斜率与自变量ｘ之间的关系，实际上是
一个微分方程．通过观察，我们看到未知函数的斜率（Δｙ）／（Δｘ
ｉ
）是ｘ的一次函数，原函数可猜测为抛物线，令原函数为ｙ＝ａｘ２，用微元法求所设函数的斜率，有
．
将此式与①式相对照可知，ａ＝ω２／（2ｇ），于是所求曲线Ｃ的方程为ｙ＝ω２／（2ｇ）·ｘ２．
例2 已知光学纤维的折射率ｎ沿径向依ｎ２＝ｎ
０
２（1－ａ２ｒ２）分布，式
中ｎ
０
为光纤中心的折射率，ａ为比1小得多的正数．试求光线在光纤中传播的轨迹．
解析 光学纤维是一种带涂层的透明细丝，涂层的折射率小于芯层的折射率，使进入纤维端面的光线能在涂层与芯层的界面上经多次全反射而传播到另一端．由于光学纤维可以对光按所需途径进行导播，被用于传播图像．本题讨论的是光纤内光线的轨迹，由对称性，只需分析光纤轴截面内的光线路径即可．由折射定律确定在某折射层面的路径，进而用反推法求出光传播的轨迹．
取如图2所示坐标，光纤轴线为ｘ轴，横截面的径向为ｒ轴，将ｘｒ平面均分成Ｎ（Ｎ→∞）层平行于ｘ轴的窄条，每一条的厚度为Δｒ＝ｒ／Ｎ．设光
从O点进入芯层，入射角为θ，各层中的折射率依次为ｎ
１，ｎ
２
…ｎ
ｉ
…ｎ
Ｎ
，
各层界面上光的入射角依次为θ
１，θ
２
…θ
ｉ
…θ
Ｎ
，由折射定律,即可得
图2
ｎ
０ｓｉｎθ
０
＝ｎ
ｉ
ｓｉｎθ
ｉ
．
由于折射率的分布沿径向递减，开始一段，光传播的路径大致如图2所示．现在来考察第ｉ层中光的路径：由于Δｒ极小，光在这薄层中的路径可视作一段直线，由几何关系可知
Δｒ／Δｘ＝ｃｔｇθ
ｉ
＝，
将ｎ
０ｓｉｎθ
０
＝ｎ
ｉ
ｓｉｎθ
ｉ
和ｎ２＝ｎ
０
２（1－ａ２ｒ２）的物理条件代入
上式并整理，得
Δｒ／Δｘ＝
===．①
这样，我们便得到待求的表示光传播路径的函数ｒ（ｘ）与其斜率Δｒ／Δｘ之间关系的方程．观察并推测该方程，若令（ａ／ｃｏｓθ）ｒ＝ｓｉｎωｘ，斜率变化（即导函数)为一余弦函数，ｒ（ｘ）即为一正弦函数，即ｒ＝（ｃｏｓθ／ａ）ｓｉｎωｘ，此为正弦函数标准方程，振幅为（ｃｏｓθ／ａ），尚待确定ω值．用微元法对所设函数ｒ＝（ｃｏｓθ／ａ）ｓｉｎωｘ求斜率，有
＝ω（ｃｏｓθ／ａ）ｃｏｓωｘ．
将此式与①式比较，有
ｃｔｇθ＝（ｃｏｓθ／ｓｉｎθ）ｃｏｓωｘ＝ω（ｃｏｓθ／ａ）ｃｏｓωｘ，
可得 ω＝ａ／ｓｉｎθ，ｒ＝（ｃｏｓθ／ａ）ｓｉｎ［（ａ／ｓｉｎθ）·ｘ］．
若光从O点向右下方入射，则轨迹方程为
ｒ＝（ｃｏｓθ／ａ）ｓｉｎ［（ａ／ｓｉｎθ）·ｘ＋π］．可见，光在光纤中的轨迹为正弦曲线．这样，我们成功地在初等数学范畴内处理了一个变量可分离的微分方程．
例3如图3所示，在匀强磁场区域与磁感应强度B垂直的水平面中有两根足够长的平行导轨，
在它们上面放着两根平行导体棒，棒的长度均为ｌ、质量均为ｍ、电阻均为R，其余部分电阻不计．导体棒可在导轨上无摩擦地滑动，开始时左棒静止，右
棒获得向右的初速度ｖ
０．试求右导体棒运动速度ｖ
１
随时间ｔ的变化．
图3
解析 右棒向右运动产生感应电动势，回路中产生逆时针方向的电流，使左棒受到向左的安培力而加速，同时使右棒受向左的安培力而减速，右棒和左棒的速度随时间的变化将分别按指数衰减和按指数增加．这样一个复杂的物理规律，我们也可用微元法求出其数学表达式．
设从右棒起动始经过时间ｔ，右棒速度达到ｖ１，左棒速度为ｖ２．由动量守恒可知两速度关系为
ｍｖ０＝ｍｖ１＋ｍｖ２， 则ｖ２＝ｖ０－ｖ１， 回路中的电动势为
Ｅ＝Ｂｌ（ｖ１－ｖ２）＝Ｂｌ（2ｖ１－ｖ０）．
取时间元Δｔ＝（ｔ／ｎ）（ｎ→∞），某时间元内，右棒满足牛顿第二定律，有
［Ｂ２ｌ２（2ｖ１ｉ－ｖ０）］／（2Ｒｍ）＝［ｖ１（ｉ－１）－ｖ１ｉ］／Δｔ ＝[（2ｖ１（ｉ－１）－ｖ０）－（2ｖ１ｉ－ｖ０）]／（2ｔ／ｎ）． 对上式整理可得
[（2ｖ１（ｉ－１）－ｖ０）－（2ｖ１ｉ－ｖ０）]／（2ｖ１ｉ－ｖ０）＝（Ｂ２ｌ２ｔ）／（Ｒｍ·ｎ）， 即 （2ｖ１（ｉ－１）－ｖ０）／（2ｖ１ｉ－ｖ０）＝（1＋（Ｂ２ｌ２ｔ）／（Ｒｍ·ｎ）． 上式等号左边表示右棒在第ｉ－1时间元内相对于左棒的速度与第ｉ时间元内相对于左棒的速度之比，等式右边告诉我们这个比值为定值，也就是说两棒运动时，各时间元内的相对速度成一等比数列，那么。 （2ｖ１（ｉ－１）－ｖ０）／（2ｖ１ｉ－ｖ０）＝[1＋（Ｂ２ｌ２ｔ）／（Ｒｍ·ｎ）]ｎ
，
ｖ０／（2ｖ１－ｖ０）＝[1＋（Ｂ２ｌ２ｔ）／（Ｒｍ·ｎ）]（Ｒｍ·ｎ）／（Ｂ２ｌ２ｔ）·（Ｂ２ｌ２ｔ）／（Ｒｍ）
． 利用特殊极限
＝ｅ，可知
＝ｅ，
于是有 ｖ０／（2ｖ１－ｖ０）＝ｅ（Ｂ２ｌ２ｔ）／（Ｒｍ）， 由此可得右棒运动速度ｖ１随时间ｔ变化的规律是 ｖ１＝（1／2）ｖ０（1＋ｅ[（Ｂ２ｌ２）／（Ｒｍ）ｔ]）． 这里，我们先根据物理定律，在一个元过程中对右棒建立起速度与时间的关系，而后用初等数学的求积法替代原本用高等数学中解微分方程的积分运算，巧
妙地求出了右棒运动速度ｖ
１
随时间ｔ依ｅ指数递减的变化规律的数学式．
例4 如图4所示，平板玻璃的折射率ｎ随ｘ变化的规律为ｎ（ｘ）＝ｎ
０／［1－ｘ／ｒ］．式中ｎ
０
＝1．2，ｒ＝13ｃｍ．光线从ｘ＝0处沿ｙ轴入射，经平板玻璃后从A点射出．试求光线在平板玻璃中的轨迹．
图4
解析与前面各例做法相仿，我们将平板玻璃分成与ｙ轴平行的Ｎ个薄层（Ｎ→∞），各层的折射率可视为不变，光在各层传播时遵循光的折射定律．第
ｉ层的折射率为ｎ
ｉ，光在该薄层两界面上的折射角与入射角均为θ
ｉ
，在下一
层的折射角与入射角均为θ
ｉ＋１，每经过一薄层，光传播方向改变Δθ
ｉ
，如图
5所示．由光的折射定律可得
图5
ｎ
０＝ｎ
１
ｓｉｎθ
１
＝ｎ
２
ｓｉｎθ
２
＝…＝ｎ
ｉ
ｓｉｎθ
ｉ
＝…
由题给条件ｎ（ｘ）＝ｎ
０
／[1－ｘ／ｒ]，可得
（ｘ／ｒ）＝1－（ｎ
０／ｎ），ｘ＝[1－（ｎ
０
／ｎ）]ｒ，
则有 Δｘ＝（ｎ
０／ｎ
ｉ
－ｎ
０
／ｎ
ｉ＋１
）ｒ＝（ｓｉｎθ
ｉ
－ｓｉｎθ
ｉ＋
１
）ｒ
＝（2ｃｏｓ[（θ
ｉ＋θ
ｉ＋１
）／2]ｓｉｎ[（θ
ｉ
-θ
ｉ＋１
）／2]ｒ，
当Ｎ→∞时上式有Δｘ＝ｒΔθ
ｉ·ｃｏｓθ
ｉ
．由图5所示几何关系可知，光
在第ｉ层轨迹曲线长度
Δｓ＝Δｘ／ｃｏｓθ
ｉ
，
即 Δｓ／Δθ
ｉ＝Δｘ／（Δθ
ｉ
·ｃｏｓθ
ｉ
）＝（ｒ·Δθ
ｉ
·ｃｏｓθ
ｉ）／（Δθ
ｉ
·ｃｏｓθ
ｉ
）＝ｒ．
以上结果表明，对于光传播路径上的任意一段Δｓ都有相同的曲率半径ｒ，
可知该轨迹是圆的一部分，考虑初始条件ｘ＝0处，ｙ＝0，则光线在平板玻璃中传播的轨迹方程为
（ｘ－13）２＋ｙ２＝169．
我们用初等数学方法，通过证明轨迹各处曲率相同因而为圆，得到了原本需
通过求解微分方程的结果．这里，我们是将高等数学中弧微分问题“降解”了．例5 如图6所示，ｚ轴竖直向上，ｘｙ平面是一绝缘的、固定的刚性平面．在Ａ（ｘ
０
，0，0）处放一带电量为－ｑ（ｑ＞0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端Ｂ穿过位于坐标原点Ｏ的光滑小孔，可通过它牵引小物块．现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直于ｘ轴，与ｚ轴的夹角为θ．设小物块和绝缘平面间的动摩擦因数μ＝ｔｇθ，且静摩擦因数和动摩擦因数相同，不计重力．现通过细线来牵引小物块，使之移动，不得沿ｚ轴向上移动；小物块移动得非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态．若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程．
图6
解析 在本题中，小物块在绳拉力T、滑动摩擦力ｆ＝μｑＥｃｏｓθ和电场力沿ｙ轴方向分力Ｆ＝ｑＥｓｉｎθ三力作用下，在ｘｙ平面运动．我们取O 点为极点，ｘ轴为极轴，在其运动的ｘｙ平面建立极坐标系，则初始时刻小物块
的坐标为ρ
０＝ｘ
０
，φ
０
＝0，轨迹曲线设为Ｃ，如图7所示．考察小物块运动
过程中到达的任意一点M（ρ，φ），均有如图7中所示的三力平衡的矢量关系，由于Ｆ＝ｆ＝ｑＥｓｉｎθ，不难得到图中标示的角度，这说明，小物块匀速移动的角度与矢径ρ的角速度是相同的．
图7图8
现在我们来建立ρ与φ间的关系，取Δφ＝φ／Ｎ，当Ｎ→∞，得到小物体所
在位置与极点所连的矢径ρ
１、ρ
２
、…ρ
ｉ－１
、ρ
ｉ
、ρ
ｉ＋１
…，相邻两矢径间夹角Δφ，
相邻两位置间的曲线段长度，亦即小物体匀速移动所通过的路程相等，故对如图8所示两相邻曲边三角形，有
ρ
ｉ－１２＋ρ
ｉ
２－2ρ
ｉ－１
ρ
ｉ
ｃｏｓΔφ
＝ρ
ｉ２＋ρ
ｉ＋１
２－2ρ
ｉ
ρ
ｉ＋１
ｃｏｓΔφ，
整理后可得递推式 ρ
ｉ－１＋ρ
ｉ＋１
＝2ρ
ｉ
ｃｏｓΔφ，
由初始条件ρ
０＝ｘ
０
，φ
０
＝0，又Δφ→0，可得
ρ
１＝ｘ
０
＝ｘ
０
ｃｏｓΔφ，
利用递推式，可得
ρ
２=2ρ
１
ｃｏｓΔφ－ρ
０
＝ｘ
０
（2ｃｏｓ２Δφ－1）＝ｘ０ｃｏｓ２Δφ，
ρ
３＝2ρ
２
ｃｏｓΔφ－ρ
１
＝ｘ
０（2ｃｏｓ
２
Δφ－ｃｏｓΔφ）
＝ｘ
０
ｃｏｓ3Δφ，
若 ρ
Ｎ－２＝ｘ
０
ｃｏｓ（Ｎ－2）Δφ，
ρ
Ｎ－１＝ｘ
０
ｃｏｓ（Ｎ－1）Δ，
则 ρ
Ｎ＝2ρ
Ｎ－１
ｃｏｓΔφ－ρ
Ｎ－２
＝ｘ
０
［2ｃｏｓ（Ｎ－1）Δφ·ｃｏｓΔ－ｃ
ｏｓ（Ｎ－2）Δφ］＝ｘ
０
ｃｏｓＮ·Δφ，
即 ρ＝ｘ
０
ｃｏｓφ．
如是，我们通过递推数列法处理递推式，得到了小物体的运动轨迹是一圆心
极坐标为（ｘ
０／2，0）、半径为ｘ
０
／2的半个圆，在ｘＯｙ坐标系中，轨迹方
程为
［ｘ－（ｘ
０／2）］２＋ｙ２＝ｘ
０
２／4．
微元法在几何与物理中的一些应用 摘要：微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用，是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程，对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元，在解决实际问题时，应先将实际问题合理转化为适合的数学模型，设定积分变量，然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式，从而可将讨论问题表示为定积分。 关键词：微元法；微元；几何应用；物理应用 Micro Element Method In Geometrical And Physical Abstract：Micro element method has widely application in geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important method to solve the definite integral problem .This paper expounds the principle and process of micro element method, to discuses the application problems of geometrical problems and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstly let the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral. Keywords：Micro element method; Micro element; Geometric applications; Physics application
高考物理微元法解决物理试题及其解题技巧及练习题 一、微元法解决物理试题 1．超强台风“利奇马”在2019年8月10日凌晨在浙江省温岭市沿海登陆，登陆时中心附近最大风力16级，对固定建筑物破坏程度非常大。假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积为s，风速大小为v，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，则风力F 与风速大小v关系式为( ) A．F =ρsv B．F =ρsv2C．F =ρsv3D．F=1 2 ρsv2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 设t时间内吹到建筑物上的空气质量为m，则有： m=ρsvt 根据动量定理有： -Ft=0-mv=0-ρsv2t 得： F=ρsv2 A．F =ρsv，与结论不相符，选项A错误； B．F =ρsv2，与结论相符，选项B正确； C．F =ρsv3，与结论不相符，选项C错误； D．F=1 2 ρsv2，与结论不相符，选项D错误； 故选B。 2．估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45mm。查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s。据此估算该压强约为（）（设雨滴撞击唾莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg/m3） A．0.15Pa B．0.54Pa C．1.5Pa D．5.1Pa 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由于是估算压强，所以不计雨滴的重力。设雨滴受到支持面的平均作用力为F。设在△t时间内有质量为△m的雨水的速度由v=12m/s减为零。以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理有 () F t mv mv ?=--?=?
高中奥林匹克物理竞赛解题方法 微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 赛题精讲 例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程 △t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端 C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度h H Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=??-=??='→?' →?00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶 端C 点做匀速直线运动. 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能 忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=?
电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律” 江苏省特级教师，江苏省丰县中学——戴儒京 所谓：“微元法” 所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。 1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。 2. 关于微元法。在时间t ?很短或位移x ?很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ?=?，s x l t lv ?=?=?。微元法体现了微分思想。 3. 关于求和 ∑ 。许多小的梯形加起来为大的梯形，即 ∑?=?S s ， （注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0v v v -=?∑，当末速度 0=v 时，有∑=?0v v ，或初 速度00=v 时，有 ∑=?v v ，这个求和的方法体现了积分思想。 4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法. 如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。 微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。 电磁感应中的微元法 一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为BL v E =，感应电流为R B L v I = ，受安培力为v R L B B I L F 2 2==，因为是变力问题，所以可以用微元法. 1.只受安培力的情况 例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场。质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。 （1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ； （2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关 系，并画出x v -关系草图。 （3）求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为S/4、S/2时的速度1v 、2v ；
最新物理微元法解决物理试题专项习题及答案解析 一、微元法解决物理试题 1．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F 做的功为 A ．0 B ．2πrF C ．2Fr D ．-2πrF 【答案】B 【解析】 【分析】 cos W Fx α=适用于恒力做功，因为推磨的过程中力方向时刻在变化是变力，但由于圆周 运动知识可知，力方向时刻与速度方向相同，根据微分原理可知，拉力所做的功等于力与路程的乘积； 【详解】 由题可知：推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长2L r π=，所以拉力所做的功2W FL rF π==，故选项B 正确，选项ACD 错误． 【点睛】 本题关键抓住推磨的过程中力方向与速度方向时刻相同，即拉力方向与作用点的位移方向时刻相同，根据微分思想可以求得力所做的功等于力的大小与路程的乘积，这是解决本题的突破口． 2．超强台风“利奇马”在2019年8月10日凌晨在浙江省温岭市沿海登陆， 登陆时中心附近最大风力16级，对固定建筑物破坏程度非常大。假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积为s ，风速大小为v ，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，则风力F 与风速大小v 关系式为( ) A ．F =ρsv B ．F =ρsv 2 C ．F =ρsv 3 D ．F = 12 ρsv 2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 设t 时间内吹到建筑物上的空气质量为m ，则有： m=ρsvt
微元法在高中物理中的应用 江苏省靖江市斜桥中学夏桂钱 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 一、挖掘教材中微元素材，认知微元思想 微元法思想在新课标教材（人教版）上时有渗透。如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+△t这段时间间隔内，△t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。在此基础上，再提出若△t趋向于零时，就可以认为△t的平均速度就是t时刻的瞬时速度。正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可。 必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。这两个功的计算，前者的难点在于物体运动的路径是曲线，后者的难点在于力的大小在变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想，后者采用了“化变为恒”的思想。
（物理）物理微元法解决物理试题练习全集 一、微元法解决物理试题 1．我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平．若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为4110kW ?，排泥量为31.4m /s ，排泥管的横截面积为20.7 m ，则泥泵对排泥管内泥浆的推力为（ ） A ．6510N ? B ．7210N ? C ．9210N ? D ．9510N ? 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设排泥的流量为Q ，t 时间内排泥的长度为： 1.420.7 V Qt x t t S S = === 输出的功： W Pt = 排泥的功： W Fx = 输出的功都用于排泥，则解得： 6510N F =? 故A 正确，BCD 错误． 2．如图所示，半径为R 的1/8光滑圆弧轨道左端有一质量为m 的小球，在大小恒为F 、方向始终与轨道相切的拉力作用下，小球在竖直平面内由静止开始运动，轨道左端切线水平，当小球运动到轨道的末端时，此时小球的速率为v ，已知重力加速度为g ，则( ) A ．此过程拉力做功为2 2 FR B ．此过程拉力做功为 4 FR π C ．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为1 2Fv D ．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为22 Fv 【答案】B 【解析】
AB 、将该段曲线分成无数段小段，每一段可以看成恒力，可知此过程中拉力做功为 11 44 W F R FR ππ=?=，故选项B 正确，A 错误； CD 、因为F 的方向沿切线方向，与速度方向平行，则拉力的功率P Fv =，故选项C 、D 错误。 3．估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45mm 。查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。据此估算该压强约为（ ）（设雨滴撞击唾莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg/m 3） A ．0.15Pa B ．0.54Pa C ．1.5Pa D ．5.1Pa 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由于是估算压强，所以不计雨滴的重力。设雨滴受到支持面的平均作用力为F 。设在△t 时间内有质量为△m 的雨水的速度由v =12m/s 减为零。以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理有 ()0F t mv mv ?=--?=? 得到 m F v t ?= ? 设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在△t 时间内水面上升△h ，则有 m S h ρ?=? =h F Sv t ρ?? 所以有压强 33 45101012Pa 0.15Pa 3600 F h P v S t ρ-??===??=? 即睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强为0.15Pa 。 故A 正确，BCD 错误。 故选A 。 4．水柱以速度v 垂直射到墙面上，之后水速减为零，若水柱截面为S ，水的密度为ρ，则水对墙壁的冲力为（ ） A ． 1 2 ρSv B ．ρSv C ． 1 2 ρS v 2 D ．ρSv 2 【答案】D
高中物理解题方法----微元法 一、什么是微元法： 在所研究是物理问题中，往往是针对研究对象经历某一过程或处于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此对象的物理量可能是不变的，而更多则可能是变化的。对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是把全过程分割成很多短暂的小过程或把研究对象整体分解为很多的微小局部的研究而归纳出适用于全过程或整体的结论。这些微小的过程或微小的局部常被称为“微元”，此法也被称为：“微元法”。 二、对微元的理解：简单地说，微元就是时间、空间或其它物理量上的无穷小量，（注：在数学上我们把极限为“零”的物理量，叫着无穷小量）。当某一连续变化的事物被分割成无数“微元”（无穷小量）以后，在某一微元段内，该事物也就可以看出不变的恒量了。所以，微元法又叫小量分析法，它是微积分的理论基础。 三、微元法解题思想： 在中学物理解题中，利用微元法可将非理想模型转化为理想模型（如把物体分割成质点）；将曲面转化为平面，将一般的曲线转化为圆弧甚至直线段；将变量转化成恒量。从而将复杂问题转化为简单问题，使中学阶段常规方法难以解决的问题迎刃而解。 微元法的灵魂是无限分割与逼近。用其解决物理问题的两要诀就是取微元----无限分割和对微元做细节描述----数学逼近。所谓取微元就是对整体对象作无限分割，分割的对象可以是各种几何体，得到“体元”、“面元”、“线元”、“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；也可以对某一物理量分割，得到诸如“元功”、“元电荷”、“电流元”、“质元”等相应元物理量，它们是被分割成的要多么小就有多么小的无穷小量，而要解决整体的问题，就得从它们下手，对微元作细节描述即通过对微元的性质做合理的近似逼近，从而在微元取无穷小量的前提下，达到向精确描述的逼近。 例1、如图所示，岸高为h ，人用不可伸长的绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，人收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？ 例2、如图所示，长为L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？ 例3、如图所示，半径为R ，质量为m 的匀质细圆环，置于光滑水平面上，若圆环以角 速度ω绕环心O 转动，试证明：（1）圆环的张力π ω22R m T = (2)圆环的动能2)(2 1 R m E k ω= 例4、一根质量为M ，长度为L 的匀质铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？ 例5、如图所示，半径为R 的半圆形绝缘细线上、下1/4圆弧上分别均匀带电+q 和－q ，求圆心处的场强. 例6、如图所示，在离水平地面h 高的平台上有一相距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ，充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2，求棒落在离平台多远的位置. 例7、（1）试证明：质量为M 的匀质球壳，对放置在空腔内任意一点的质量为m 的质点的万有引力为零。 （2）若将上述质点移至球壳外距球心O 距离为r 处，求此时系统具有的引力势能为多少？规定∞→r 时，系统引力势能为零
微元法在几何与物理中的一些应用邓智维
微元法在几何与物理中的一些应用 摘要：微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用，是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程，对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元，在解决实际问题时，应先将实际问题合理转化为适合的数学模型，设定积分变量，然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式，从而可将讨论问题表示为定积分。 关键词：微元法；微元；几何应用；物理应用 Micro Element Method In Geometrical And Physical Abstract：Micro element method has widely application in geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important method to solve the definite integral problem .This paper expounds the principle and process of micro element method, to discuses the application problems of geometrical problems and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstly let the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral. Keywords：Micro element method; Micro element; Geometric applications; Physics application
高考物理微元法解决物理试题答题技巧及练习题 一、微元法解决物理试题 1．我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平．若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为4110kW ?，排泥量为31.4m /s ，排泥管的横截面积为20.7 m ，则泥泵对排泥管内泥浆的推力为（ ） A ．6510N ? B ．7210N ? C ．9210N ? D ．9510N ? 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设排泥的流量为Q ，t 时间内排泥的长度为： 1.420.7 V Qt x t t S S = === 输出的功： W Pt = 排泥的功： W Fx = 输出的功都用于排泥，则解得： 6510N F =? 故A 正确，BCD 错误． 2．如图所示，某个力F ＝10 N 作用在半径为R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F 做的总功为（ ） A ．0 B ．20π J C ．10 J D ．10π J 【答案】B 【解析】 本题中力F 的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，可以考虑把圆周分割为很多的小段来研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致，故所求的总功为W ＝F ·Δs 1＋F ·Δs 2＋F ·Δs 3＋…＝F (Δs 1＋Δs 2＋Δs 3＋…）＝F ·2πR ＝20πJ ，选项B 符合题意.故答案为B ． 【点睛】本题应注意，力虽然是变力，但是由于力一直与速度方向相同，故可以直接由W =FL 求出．
3．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为 m ，单位体积内粒子数量n 为恒量，为简化问题，我们假定粒子大小可以忽略；其速率均 为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂 直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m n 、和v 的关系正确的是（ ） A ． 21 6 nsmv B ．2 13 nmv C ． 21 6 nmv D ．2 13 nmv t ? 【答案】B 【解析】 【详解】 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量2I mv ?=，如图所示， 以器壁上面积为S 的部分为底、v t ?为高构成柱体，由题设可知，其内有1 6 的粒子在t ?时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数1 6 N n Sv t = ??，t ?时间内粒子给器壁的冲量21· 3I N I nSmv t =?=?，由I F t =?可得213 I F nSmv t ==?，21 3F f nmv S ==，故选B ． 4．为估算雨水对伞面产生的平均撞击力，小明在大雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得10分钟内杯中水位上升了45mm ，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。设雨滴撞击伞面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为3 3 110kg/m ?，伞面的面积约为0.8m 2，据此估算当时雨水对伞面的平均撞击力约为（ ）
三、举例 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光 滑球面放在水平桌面上，球面上放臵一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不 能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=? 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和， 即 ∑∑∑?=?=?= θρθρθcos cos L g Lg T T 观察 θcos L ?的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小， 所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ， 所以 ∑=?R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=?=gR L g T ρθρcos 例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量 为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈 的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上， 使弹性绳圈水平停留在平衡位臵上，如图3—5所示，若 平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k. 解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙. 先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角 是△θ，则每一小段的质量 M m π θ 2?=? △m 在该平面上受 拉力F 的作用，合力为 2 sin 2)2 cos( 2θθ π?=?-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ ?=?=F F T 2 2 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，
物理学中微元法的应用 编稿：李传安 审稿：张金虎 【高考展望】 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。 【知识升华】 “微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 【方法点拨】 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典型例题】 类型一、微元法在运动学、动力学中的应用 例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物 体的位移与时间的关系式为2 012 x v t at =+ ，试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ?极短，写出v t -图像下微元的面积的表 达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ?极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ?时间内第i 段的位移为i i x v t =?，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑?，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。
微元法在物理学中的应用 在物理学问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或外于某些状态来进行研究，而在这些过程或状态之间，描述研究对象的物理量有的可能是不变的，更多的则是变化的，对于那些变化量的研究，有一种方法是把全过程分成很多微小的局部来考察，然后通过这些小过程或微小局部的研究而归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这些微小过程或者微小局部常被称为微元法。 微元法也是一种转化问题的手段，这种转化的目的主要体现在以下几点： 1、将变化的问题转化为恒定的问题，比如，物体做变速直线运动，物体运动的速度是变化的，但只要取一段很小的过程，在这一段很小过程中，就可以认为物体运动的速度是不变的。 将弯曲的转化为直线的，如果物体运动的轨迹是一条曲线，只要在曲线上取段足够短的长度，这个长度就可以看成是直线的。 微元法只是解题的一种手段，或者说是一种中间过程，这种“微”的无限收缩就变成了瞬时状态，而“微”的无限累积又可以演变为全过程，所以学习和掌握微元法不但要弄清楚这种方法的基本思路，还要知道这两种不同的发展趋势。 粗细忽略，质量分布均匀，半径分别为与的两圆环相切，若在切点处放一质点m ，恰好使其两边圆环对m 的万有引力的合力为零，问大小圆环的线密度须满足什么样的条件？ 分析：连接O 1、O 2交两圆于A 、B ，过切点P 作弦交 两圆于C 、D ，设α=∠=∠DBP CPA αcos 2R CP = αc o s 2r CD = 将CD 绕P 点顺时针转动到C 'D '，如图且α?='∠='∠D DP C CP ，再由C C '向O 1；D D '向O 2连线，则α?='∠='∠221D DO C CO 故，R C C α?='2 r D D α?='2 所以C C '所对应的质量与D D '所对应的质量对质点的引力若满足 ()()2 22 122DP m r G CP m R G αραρ?=? α ρα ρ2 2 22 2 1c o s 4c o s 4r r R R = r R 2 1 ρρ= 试证明质量均，厚度均匀的球壳内一质点，受到球壳万有引力为零。 证明：设球壳单位面积的质量为ρ，球壳内P 点外有一质点m ，过P 点作两个顶角很小的锥面，截球壳的面积为1S ?和2S ?，且P 点到两球壳的距离分别为1r 2r ，所以1S ?和2S ?所对应的质量对P 质点的万有引力之和为2 2 22 1 1r m S G r m S G F ?-?=ρρ 由图可知，由于1S ?和2S ?都很小
物理微元法解决物理试题练习 一、微元法解决物理试题 1．超强台风“利奇马”在2019年8月10日凌晨在浙江省温岭市沿海登陆， 登陆时中心附近最大风力16级，对固定建筑物破坏程度非常大。假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积为s ，风速大小为v ，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，则风力F 与风速大小v 关系式为( ) A ．F =ρsv B ．F =ρsv 2 C ．F =ρsv 3 D ．F = 1 2 ρsv 2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 设t 时间内吹到建筑物上的空气质量为m ，则有： m=ρsvt 根据动量定理有： -Ft =0-mv =0-ρsv 2t 得： F =ρsv 2 A ．F =ρsv ，与结论不相符，选项A 错误； B ．F =ρsv 2，与结论相符，选项B 正确； C ．F =ρsv 3，与结论不相符，选项C 错误； D ．F = 12 ρsv 2 ，与结论不相符，选项D 错误； 故选B 。 2．如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S ，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h ．打开底部中央的阀门K ，液体开始流动，最终两液面相平．在这一过程中，液体的重力加速度为g 液体的重力势能（ ） A ．减少 21 4 gSh ρ B ．增加了 21 4 gSh ρ
C ．减少了21 2gSh ρ D ．增加了 21 2 gSh ρ 【答案】A 【解析】 打开阀门K ，最终两液面相平，相当于右管内 2 h 的液体流到了左管中，它的重心下降了 2h ，这部分液体的质量1 22 h m V S Sh ρρρ===，由于液体重心下降，重力势能减少，重力势能的减少量：211 224 p h E mgh Sh g Sgh ρρ?='=??=，减少的重力势能转化为内能，故选项A 正确． 点睛：求出水的等效重心下移的高度，然后求出重力势能的减少量，再求出重力势能的变化量，从能量守恒的角度分析答题． 3．如图所示，某力10N F =，作用于半径1m R =的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为（ ） A ．0J B ．20J π C ．10J D ．20J 【答案】B 【解析】 【详解】 把圆周分成无限个微元，每个微元可认为与力F 在同一直线上，故 W F s ?=? 则转一周中做功的代数和为 2π20πJ F R W ?== 故选B 正确。 故选B 。 4．如图所示，粗细均匀，两端开口的U 形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h ，管中液柱总长度为4h ，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度大小是（ ）
目录 摘要 (2) 关键字 (2) Abstract (2) Key Words (2) 绪论 1、微积分学中微元法思想的起源与发展 (3) 1.1微元法思想的起源 (3) 1.2 微积分的现代发展 (5) 1.3中国古代数学对微积分创立的贡献 (6) 2、微元法的基本思想 2. 1 微元法的概念及理论 2.2 微元法使用的一般条件 2.3 微元法的解题步骤 3、几何学中微元法思想及其应用 3.1 定积分中平面图形微元法的思想及几何应用 3.2 二重积分中微元法的思想及几何应用 4、微元法在其他学科中的应用 总结 参考文献 答谢
论积分学中的微元法思想及其应用 专业：数学与应用数学 摘要:积分学中微元法思想是这一学科的非常重要的思想，它的合理运用可以使原本复杂的问题变得更为简单易行,并且在实际生活中此理论也得到了非常广泛的应用，本论文将重点论述微元法的思想和它的几何应用,使读者对微元法有更深刻的理解,然后介绍微元法在物理学，经济学上的应用,解决一些具体的实际问题 关键词：微元法，定积分，几何应用，面积，基本思想 ABSTRACT Integral micro-element method is a very important ideological thinking of the discipline ，It can make rational use of the original problem becomes more complicated simple,And in real life, this theory has also been a very wide range of applications,This thesis focuses on the ideas of micro element method and its geometric applications,Micro-element method for the reader a deeper understanding ，Then describes the application of micro-element method in physics, economics ，Solve some specific practical problems
摘要： 微元法是分析、解决物理及数学等问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。用该方法可以使一些复杂的过程用我们熟悉的迅速地加以解决，使所求的问题简单化。 关键词： 微元法积分思维 英文题目 Abstract: Infinitesimal method is analysis, solving questions of physics and mathematics of the commonly used methods, but also from the part to the whole thinking method。 " Differential method" simple is the object of study is divided into an infinite infinitesimal portion removed, representative of a small part of analysis, from the local to the integrated consideration of scientific thinking method, in this method fully embodies the thought of integrated。 This method can make the complex process with our familiar quickly to try to solve, make the simple。 Key words: Infinitesimal method Integral Thinking 1 引言: 微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 2 研究问题及成果 2·1:微元法的取元原则 （1）可加性原则 由于所取的“微元”最终必须参加叠加演算，所以，对“微元”及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征； （2）有序性原则 为了保证所取的“微元”在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”； （3）平权性原则
高考物理专题汇编物理微元法解决物理试题(一)含解析 一、微元法解决物理试题 1．如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F 的作用下从坐标原点O 开始沿x 轴正方向运动，F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x 0处时的动能可表示为（ ） A ．0 B ． 1 2 F m x 0（1+π） C ． 1 2F m x 0（1+2π） D ．F m x 0 【答案】C 【解析】 【详解】 F -x 图线围成的面积表示拉力F 做功的大小，可知F 做功的大小W =1 2F m x 0+14 πx 02，根据动能定理得，E k =W =12F m x 0+14πx 02 =01122m F x π?? + ?? ?，故C 正确，ABD 错误。 故选C 。 2．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为 m ，单位体积内粒子数量n 为恒量，为简化问题，我们假定粒子大小可以忽略；其速率均 为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂 直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m n 、和v 的关系正确的是（ ） A ． 21 6 nsmv B ．2 13 nmv C ． 21 6 nmv D ．2 13 nmv t ? 【答案】B 【解析】 【详解】 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量2I mv ?=，如图所示，
以器壁上面积为S 的部分为底、v t ?为高构成柱体，由题设可知，其内有1 6 的粒子在t ?时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数1 6 N n Sv t = ??，t ?时间内粒子给器壁的冲量21·3I N I nSmv t =?=?，由I F t =?可得21 3 I F nSmv t ==?，21 3 F f nmv S ==，故选B ． 3．为估算雨水对伞面产生的平均撞击力，小明在大雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得10分钟内杯中水位上升了45mm ，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。设雨滴撞击伞面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为3 3 110kg/m ?，伞面的面积约为0.8m 2，据此估算当时雨水对伞面的平均撞击力约为（ ） A ．0.1N B ．1.0N C ．10N D ．100N 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 对雨水由动量定理得 Ft mv Shv ρ=?= 则 0.72N 1.0N Shv F t ρ= =≈ 所以B 正确，ACD 错误。 故选B 。