物理专题汇编物理微元法解决物理试题(一)含解析
一、微元法解决物理试题
1．如图所示，长为l 均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小扰动使铁链向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时速度大小为（ ）
A 2gl
B gl
C 2
gl D 1
2
gl 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为
244l l l H =
-= 链条下落过程，由机械能守恒定律，得：
2142
l mg mv ?
= 解得：
2
gl v =
2gl A 项与题意不相符； gl B 项与题意不相符； 2
gl
与分析相符，故C 项与题意相符； D.
1
2
gl D 项与题意不相符．
2．估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45mm 。查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。据此估算该压强约为（ ）（设雨滴撞击唾莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg/m 3） A ．0.15Pa B ．0.54Pa
C ．1.5Pa
D ．5.1Pa
【答案】A
【解析】 【分析】 【详解】
由于是估算压强，所以不计雨滴的重力。设雨滴受到支持面的平均作用力为F 。设在△t 时间内有质量为△m 的雨水的速度由v =12m/s 减为零。以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理有
()0F t mv mv ?=--?=?
得到
m
F v t
?=
? 设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在△t 时间内水面上升△h ，则有
m S h ρ?=? =h F Sv
t
ρ?? 所以有压强
33
45101012Pa 0.15Pa 3600
F h P v S t ρ-??===??=?
即睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强为0.15Pa 。 故A 正确，BCD 错误。 故选A 。
3．如图所示，有一条长为2m L =的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，链条由静止释放后开始滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（g 取210m /s ）（ ）
A ．2.5m /s
B ．
52
m /s 2
C 5m /s
D ．
35
m /s 2
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
设链条的质量为2m ，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
113
2sin 302024248
p k L L E E E mg mg mgL =+=-???-??+=-
链条全部滑出后，动能为
21
22
k
E mv '=?
重力势能为
22
p L
E mg '=-?
由机械能守恒定律可得
k p E E E ''=+
即
23
8
mgL mv mgL -=- 解得
52
m /v s =
故B 正确，ACD 错误。 故选B 。
4．如图所示为固定在水平地面上的顶角为α的圆锥体，其表面光滑．有一质量为m 、长为L 的链条静止在圆锥体的表面上，已知重力加速度为g ，若圆锥体对圆环的作用力大小为F ，链条中的张力为T ，则有（ ）
A ．F=mg
B ．
C ．
D ．
【答案】AD 【解析】
试题分析：因为圆环受重力和圆锥体对圆环的作用力处于平衡，则圆锥体对圆环的作用力等于圆环的重力，即F=mg ，故A 对B 错．取圆环上很小的一段分析，设对应圆心角为θ，分析微元受力有重力0m g 、支持力N 、两边圆环其余部分对微元的拉力T ，由平衡条件
02sin
2tan
2
m g T θ
α
=，由于微元很小，则对应圆心角很小，故sin
2
2
θ
θ
=
，0R
m mg L
θ=
，
而2L
R π
=
，联立求解得：．故C 错D 对．故选AD ．
考点：物体平衡问题．
【名师点睛】本题为平衡问题，在求解圆锥体对圆环作用力时，可以圆环整体为研究对象进行分析．在求解圆环内部张力时，可选其中一个微元作为研究对象分析．由于微元很小，则对应圆心角很小，故sin
2
2
θ
θ
=
，0R
m mg L
θ=
，而2L
R π
=
，然后对微元进行受力分析，列平衡方程联立求解即可．
5．如图所示，小球质量为m ，悬线的长为L ，小球在位置A 时悬线水平，放手后，小球运动到位置B ，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力f 的大小不变，重力加速度为
g ，关于该过程，下列说法正确的是（ ）
A ．重力做的功为mgL
B ．悬线的拉力做的功为0
C ．空气阻力f 做的功为mgL -
D ．空气阻力f 做的功为2
fL π
-
【答案】ABD 【解析】 【详解】
AB ．如图所示，因为拉力T 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即
T 0W =
重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A 、B 两点连线在竖直方向上的投影，为L ，所以
G W mgL =
故AB 正确；
CD ．空气阻力所做的总功等于每个小弧段上f 所做功的代数和，即
()f 12π2
W f x f x fL =-?+?+???=-
故C 错误，D 正确。 故选ABD 。
6．根据量子理论，光子的能量为E=hv ，其中h 是普朗克常量．
（1）根据爱因斯坦提出的质能方程E=mc 2，光子的质量可表示为m=E/c 2，由动量的定义和相关知识，推导出波长为λ的光子动量的表达式p=h/λ；
（2）光子能量和动量的关系是E=pc ．既然光子有动量，那么光照到物体表面，光子被物体吸收或反射时，都会对物体产生压强，这就是“光压”．
a. 一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为P 0=103W ，发出的一细束激光束的横截面积为S=1mm 2．若该激光束垂直照射到物体表面，且光子全部被该物体吸收，求激光束对该物体产生的光压P 0的大小；
b. 既然光照射物体会对物体产生光压，科学家设想在遥远的宇宙探测中，可以用光压为动力使航天器加速，这种探溅器被称做“太阳帆”．设计中的某个太阳帆，在其运行轨道的某一阶段，正在朝远离太阳的方向运动，太阳帆始终保持正对太阳．已知太阳的质量为2×1030kg ，引力常量G=7×10-11Nm 2/kg 2，太阳向外辐射能量的总功率为P=4×1026W ，太阳光照到太阳帆后有80%的太阳光被反射．探测器的总质量为m=50kg ．考虑到太阳对探测器的万有引力的影响，为了使由太阳光光压产生的推动力大于太阳对它的万有引力，太阳帆的面积S 至少要多大？（计算结果保留1位有效数字）
【答案】（1）证明见解析；（2）a.0 3.3Pa P = ；b. 42310s m =? 【解析】 【分析】 【详解】
（1）光子的能量 E=mc 2
E ＝h ν＝h c
λ
光子的动量 p=mc 可得
E h p c λ
＝＝
（2）一小段时间△t 内激光器发射的光子数
0 P t
n c h
λ
V ＝
光照射物体表面，由动量定理
F △t=np 产生的光压 I ＝ F S
解得
I ＝
P cS
带入数据解得：
I =3.3pa
（3）由（2）同理可知，当光80%被反射，20%被吸收时，产生的光压
9 5P
I cS
＝
距太阳为r 处光帆受到的光压
2954P
I c r
＝
π? 太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力
IS ′＞G 2 Mm r
解得
S ′＞
20 9cGMm
P
π 带入数据解得
42310S m ?'≥
【点睛】
考查光子的能量与动量区别与联系，掌握动量定理的应用，注意建立正确的模型是解题的
关键；注意反射的光动量变化为2mv ，吸收的光动量变化为mv ．
7．如图所示，两条光滑足够长的金属导轨，平行置于匀强磁场中，轨道间距0.8m L =，两端各接一个电阻组成闭合回路，已知18ΩR =,22ΩR =，磁感应强度0.5T B =，方向与导轨平面垂直向下，导轨上有一根电阻0.4Ωr =的直导体ab ，杆ab 以05m /s v =的初速度向左滑行，求：
（1）此时杆ab 上感应电动势的大小，哪端电势高？ （2）此时ab 两端的电势差。 （3）此时1R 上的电流强度多大？
（4）若直到杆ab 停下时1R 上通过的电量0.02C q =，杆ab 向左滑行的距离x 。
【答案】（1）杆ab 上感应电动势为2V ，a 点的电势高于b 点；（2）ab 两端的电势差为
1.6V （3）通过R 1的电流为0.2A ；（4）0.5m x =。 【解析】 【详解】
（1）ab 棒切割产生的感应电动势为
0.50.85V 2V E BLv ==创=
根据右手定则知，电流从b 流向a ，ab 棒为等效电源，可知a 点的电势高于b 点； （2）电路中的总电阻
121282
0.4282
R R R r R R ΩΩ′++++＝
＝＝ 则电路中的总电流
2
A 1A 2
E I R =
＝＝ 所以ab 两端的电势差为
ab 210.4V 1.6V U E Ir =-=-?
（3）通过R 1的电流为
11 1.6
A 0.2A 8
ab U I R ＝＝＝
（4）由题意知，流过电阻1R 和2R 的电量之比等于电流之比，则有流过ab 棒的电荷量
1110.20.020.020.1C 0.2
I I q q q I --=+
=+?=总 ab 棒应用动量定理有：
-BIL t m v ?=?或-BLv
B
L t m v R
?=? 两边求和得：
BLq mv =总或22B L x
mv R
=
以上两式整理得：
q R x BL
=总
代入数据解得：
0.5m
x=
8．消防车的供水系统主要由水泵、输水管道和水炮组成．如图所示，消防水炮离地高度为H＝80 m，建筑物上的火点离地高度为h＝60 m，整个供水系统的效率η＝60%（供水效率η定义为单位时间内抽水过程水所获得的机械能与水泵功率的比值×100%）．假设水从水炮水平射出，水炮的出水速度v0＝30 m/s，水炮单位时间内的出水量m0＝60 kg/s，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．
（1）求水炮与火点的水平距离x，和水炮与火点之间的水柱的质量m；
（2）若认为水泵到炮口的距离也为H＝80 m，求水泵的功率P；
（3）如图所示，为流速稳定分布、体积不可压缩且粘性可忽略不计的液体（比如水）中的一小段液柱，由于体积在运动中不变，因此当S1面以速度v1向前运动了x1时，S2面以速度v2向前运动了x2，若该液柱前后两个截面处的压强分别为p1和p2，选用恰当的功能关系证明：流速稳定分布、体积不可压缩且粘性可忽略不计的液体水平流动（或者高度差的影响不显著）时，液体内流速大的地方压强反而小．
【答案】(1) 120kg (2) 1.25×102 kW (3)见解析；
【解析】
【分析】
【详解】
(1)根据平抛运动规律，有
H－h＝1
2
gt2 ①
x＝v0t ②联立上述两式，并代入数据得
t 2()
H h
g
-
2 s
x ＝v
2()
H h g
-＝60 m ③ 水炮与火点之间的水柱的质量 m = m 0t =120kg ④
(2)设在Δt 时间内出水质量为Δm ，则Δm = m 0Δt ，由功能关系得：
2
01
2
P t mv mgH η?=+⑤
即
2
0001
2
P t m tv m tgH η?=?+?
解得：
P ＝200012m v m gH η
+＝1.25×102 kW ⑥
(3)表示一个细管，其中流体由左向右流动．在管的a 1处和a 2处用横截面截出一段流体，即a 1处和a 2处之间的流体，作为研究对象．
a 1处的横截面积为S 1，流速为v 1，高度为h 1，a 1处左边的流体对研究对象的压强为p 1，方向垂直于S 1向右．
a 2处的横截面积为S 2，流速为v 2，高度为h 2，a 2处左边的流体对研究对象的压强为p 2，方向垂直于S 2向左．
经过很短的时间间隔Δt ，这段流体的左端S 1由a 1移到b 1．右端S 2由a 2移到b 2．两端移动的距离分别为Δl 1和Δl 2．左端流入的流体体积为ΔV 1=S 1Δl 1，右端流出的流体体积为ΔV 2=S 2Δl 2，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，ΔV 1=ΔV 2，记为ΔV ． 现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功． 作用在液体左端的力F 1=p 1S 1向右，所做的功
W 1=F 1Δl 1=(p 1S 1)Δl 1=p 1(S 1Δl 1) =p 1ΔV ．
作用在液体右端的力F 2=p 2S 2向左，所做的功
W 2=－F 2Δl 2=－(p 2S 2)Δl 2=－p 2(S 2Δl 2) =－p 2ΔV ．
外力所做的总功
W = W 1＋W 2=(p 1－p 2)ΔV ①
外力做功使这段流体的机械能发生改变．初状态的机械能是a 1处和a 2处之间的这段流体的机械能E 1，末状态的机械能是b 1处和b 2处之间的这段流体的机械能E 2．由b 1到a 2这一段，经过时间Δt ，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v 没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有
改变，这样机械能的改变(E 2－E 1)就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能．
由于m =ρΔV ，所以流入的那部分流体的动能为
221111
22
mv Vv ρ=? 重力势能为
mgh 1＝ρΔVgh 1
流出的那部分流体的动能为
22221122
mv Vv ρ=? 重力势能为
mgh 2＝ρΔVgh 2
机械能的改变为
21121222
1122
E E V Vv v Vgh Vgh ρρρρ-=
?-?+?-? ② 理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W 等于机械能的改变，即
W =E 2－E 1 ③
将①式和②式代入③式，得
()2212212111
2
2
p p V Vv Vv Vgh Vgh ρρρρ-?=?-?+?-? ④
整理后得
221112221122
p v gh p v gh ρρρρ+
+=++ ⑤ a 1和a 2是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处：
2
12
p v gh C ρρ+
+=（常量）⑥ ④式和⑤式称为伯努利方程．
流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为
2
12
p v C ρ+
=（常量）⑦ 从⑥式可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v 大的地方要强p 小，流速v 小的地方压强p 大． 【点睛】
9．我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其它星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计．此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动．
设想有一质量为M 的宇宙飞船，正以速度0v 在宇宙中飞行．飞船可视为横截面积为S 的圆柱体（如图所示）．某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云．
(1)已知在开始进入尘埃云的一段很短的时间t ?内，飞船的速度减小了v ?，求这段时间内飞船受到的阻力大小．
(2)已知尘埃云公布均匀，密度为ρ．
a ．假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面．若不采取任何措施，飞船将不断减速．通过监测得到飞船速度的倒数“1/v ”与飞行距离“x ”的关系如图所示．求飞船的速度由
0v 减小1%的过程中发生的位移及所用的时间．
b ．假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用．为了保证飞船能以速度0v 匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器．已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的．若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m ，加速电压为
U ，元电荷为e ．在加速过程中飞行器质量的变化可忽略．求单位时间内射出的阳离子数．
【答案】（1）v M t ??（2）a ．019919602M v S ρ b 2
2Sv eum
ρ 【解析】 (1)飞船的加速度?=
?v
a t
，根据牛顿第二定律有：=f Ma 则飞船受到的阻力v f M
t
?=? (2)a ．对飞船和尘埃，设飞船的方向为正方向，根据动量守恒定律有：
0099
()
100
Mv M Sx v ρ=+，解得99M x S ρ=
由
1
x v -图象可得：0
011100299t x v v ??=+ ???
解得：019919602M
t v S
ρ=
；
b ．设在很短时间t ?内，与飞船碰撞的尘埃的质量为m '，所受飞船的作用力为f '，飞船与尘埃发生弹性碰撞，
由动量守恒定律可知：012Mv Mv m v =+' 由机械能守恒定律可知：222012111222
Mv Mv m v '=+ 解得202M
v v M m '
=
+
由于M m >'，所以碰撞后尘埃的速度202v v =
对尘埃，根据动量定理可得：2f t m v ?=''，其中0m Sv t ρ'=?
则飞船所受到的阻力2
02f Sv ρ'=
设一个离子在电场中加速后获得的速度为v
根据动能定理可能得：e 212
mv = 设单位时间内射出的离子数为n ，在很短的时间t ?内，
根据动量定理可得：F t n tmv ?=?
则飞船所受动车=F nmv ，飞船做匀速运动，F f '=， 解得：2
02n Sv eum
ρ=
10．如图所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为L 质量为M 的铁链，使其1/3垂在桌边．松手后，铁链从桌边滑下，取桌面为零势能面．
（1）求整条铁链开始时的重力势能为多少？ （2）求铁链末端经过桌边时运动速度是多少？ 【答案】(1) 118mgL -223
gL 【解析】
试题分析：松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，对铁链不做功，只是垂在桌外部分的重力做功，因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的机械能守恒． (1) 取桌面为零势能面
桌外部分的质量为
13
m ，其重心在桌面下1
6L 处
此时铁链的重力势能为：111
3618
mg L mgL -?=-；
(2)铁链末端经桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下2
L 处 此时铁链的重力势能为：1
2
mgL -
设此时铁链的速度为v ，由机械能守恒定律有：
2111
1822
mgL mv mgL -
=-
解得：v =
点晴：绳子、铁链运动的问题，对于每一部分来讲都是变力，运用动能定理难以解决过程中变力做功，但运用机械能守恒定律只要知道绳子的两个运动状态，不必考虑运动过程，因此解题就简单了，注意选好参考平面，尽量使解题简捷．
11．光子具有能量，也具有动量．光照射到物体表面时，会对物体产生压强，这就是“光压”，光压的产生机理如同气体压强；大量气体分子与器壁的频繁碰撞产生了持续均匀的压力，器壁在单位面积上受到的压力就是气体的压强，设太阳光每个光子的平均能量为E ，太阳光垂直照射地球表面时，在单位面积上的辐射功率为P 0，已知光速为c ，则光子的动量为E
P c
=
，求： （1）若太阳光垂直照射在地球表面，则时间t 内照射到地球表面上半径为r 的圆形区域内太阳光的总能量及光子个数分别是多少？
（2）若太阳光垂直照射到地球表面，在半径为r 的某圆形区域内被完全反射（即所有光子均被反射，且被反射前后的能量变化可忽略不计），则太阳光在该区域表面产生的光压（用l 表示光压）是多少？ 【答案】（1）20r P t
n E
π=（2）0
2p I c
=
【解析】 【分析】 【详解】
（1）时间t 内太阳光照射到面积为S 的圆形区域上的总能量
0=E P St 总
解得 2
0E
r P t π=总
照射到此圆形区域的光子数
E n E
=
总 解得20r P t
n E
π=
（2）因光子的动量E p c
=
则达到地球表面半径为r 的圆形区域的光子总动量
p
nP =总
因太阳光被完全反射，所以时间t 内光子总动量的改变量
2p p ?=
设太阳光对此圆形区域表面的压力为F ，依据动量定理 Ft p =?
太阳光在圆形区域表面产生的光压I=F/S 解得0
2p I c
=
12．如图所示,一个粗细均匀的U 形管内装有同种液体,在管口右端盖板A 密闭,两液面的高度差为h,U 形管内液柱的总长度为4h.现拿去盖板,液体开始运动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度是多大?
18
gh 【解析】 【分析】
拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，液体的机械能守恒，即可求出右侧液面下降的速度，当两液面高度相等时，右侧高为h 液柱重心下降了1 4
h ，液体重力势能的减小量全部转化为整体的动能； 【详解】
设管子的横截面积为S ，液体的密度为ρ，则右侧高出左侧的水银柱的体积为Sh ， 所以其质量为：m Sh ρ=，全部的水银柱的质量：4M S h ρ=?
拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，右侧高为h 液柱重心下降了1 4
h 根据机械能守恒定律得：211
42
mg h Mv ?= 即：211
442
hSg h hSv ρρ?
=?
解得：1
8
v gh =． 【点睛】
本题运用机械能守恒定律研究液体流动的速度问题，要注意液柱h 不能看成质点，要分析其重心下降的高度．
13．如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手。 设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，求摆球从A 运动到竖直位置B 时，重力mg 、绳的拉力F T 、空气阻力F 阻各做了多少功？
【答案】G W mgL =；T F 0W =；W F 阻=1
2
-F 阻πL 【解析】 【分析】 【详解】
因为拉力F T 在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即
T F 0W =
重力在整个运动过程中始终不变，小球在竖直方向上的位移为L ，所以
G W mgL =
如图所示，F 阻所做的功就等于每个小弧段上F 阻所做功的代数和。即
F 12)1
(π2
W F x F x F L =-?+?+=-L 阻阻阻阻
14．如图所示，一个滑块质量为2kg ，从斜面上A 点由静止下滑，经过BC 平面又冲上另一斜面到达最高点D ．已知AB=100cm ，CD=60cm ，∠α=30°，∠β=37°，（g 取10m/s 2
）试求：
（1）滑块在A 和D 点所具有的重力势能是多少？（以BC 面为零势面）
（2）若AB 、CD 均光滑，而只有BC 面粗糙，BC=28cm 且BC 面上各处粗糙程度相同，则滑块最终停在BC 面上什么位置？
【答案】(1)10PA E J = 7.2PD E J = (2)S 16cm = 【解析】
10PA AB E mgs sin J α== 7.2PD CD E mgs sin J β==
功能关系得：A 到D :μmg 2.8J?BC PA PD s E E =-= ① 设滑块在BC 上的 路程为: n BC s , A 到最后停止,由动能定理得:
μmg n 0BC PA s E =-n ②
解出4n 3
7=， 故距C 点的距离为：4
s 2816cm 7
cm =?=.
15．CD 、EF 是水平放置的电阻可忽略的光滑平行金属导轨，两导轨距离水平地面高度为H ，导轨间距离为L ，在水平导轨区域存在磁感强度方向垂直导轨平面向上的有界匀强磁场（磁场区域为CPQE ），磁感应强度大小为B ，如图所示，导轨左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接，弯曲的光滑轨道的上端接有一电阻R ，将一阻值也为R 质量m 的导体棒从弯曲轨道上距离水平金属导轨高度h 处由静止释放，导体棒最终通过磁场区域落在水平地面上距离水平导轨最右端水平距离x 处。已知导体棒与导轨始终接触良好，重力加速度为g ，求：
(1)电阻R 中的最大电流和整个电路中产生的焦耳热； (2)磁场区域的长度d 。
【答案】（1）2BL gh I =，24mgx mgh H -；（2）2222)2mR g
d gh B L H =
【解析】 【分析】 【详解】
(1)由题意可知，导体棒刚进入磁场的瞬间速度最大，产生的感应电动势最大，感应电流最大， 由机械能守恒定律有
2112
mgh mv =
解得
1v =由法拉第电磁感应定律得
1E BLv =
由闭合电路欧姆定律得
2E I R
=
联立解得
I =
由平抛运动规律
2212x v t H gt ==
解得
2v =由能量守恒定律可知整个电路中产生的焦耳热为
2
221211224mgx Q mv mv mgh H
=-=-
(2)导体棒通过磁场区域时在安培力作用下做变速运动。由牛顿第二定律有
BIL ma =
又
?=
?v
a t
2BLv
I R
=
所以有
22
2B L v t m v R
?=? 两边求和得
222B L v t m v R
?=?∑∑
1
2,v t d v v
v ?=?=-∑∑
联立解得
222mR d B L =