（物理）物理微元法解决物理试题练习全集及解析
一、微元法解决物理试题
1．如图所示，某个力F ＝10 N 作用在半径为R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F 做的总功为（ ）
A ．0
B ．20π J
C ．10 J
D ．10π J
【答案】B 【解析】
本题中力F 的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，可以考虑把圆周分割为很多的小段来研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致，故所求的总功为W ＝F ·Δs 1＋F ·Δs 2＋F ·Δs 3＋…＝F (Δs 1＋Δs 2＋Δs 3＋…）＝F ·2πR ＝20πJ ，选项B 符合题意.故答案为B ．
【点睛】本题应注意，力虽然是变力，但是由于力一直与速度方向相同，故可以直接由W =FL 求出．
2．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为
m ，单位体积内粒子数量n 为恒量，为简化问题，我们假定粒子大小可以忽略；其速率均
为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂
直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m
n 、和v 的关系正确的是（ ）
A ．
21
6
nsmv B ．2
13
nmv
C ．
21
6
nmv D ．2
13
nmv t ?
【答案】B 【解析】 【详解】
一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量2I mv ?=，如图所示，
以器壁上面积为S 的部分为底、v t ?为高构成柱体，由题设可知，其内有1
6
的粒子在t ?时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数1
6
N n Sv t =
??，t ?时间内粒子给器壁的冲量21·3I N I nSmv t =?=?，由I F t =?可得21
3
I F nSmv t ==?，21
3
F f nmv S ==，故选B ．
3．如图所示，半径为R 的1/8光滑圆弧轨道左端有一质量为m 的小球，在大小恒为F 、方向始终与轨道相切的拉力作用下，小球在竖直平面内由静止开始运动，轨道左端切线水平，当小球运动到轨道的末端时，此时小球的速率为v ，已知重力加速度为g ，则( )
A 2FR
B ．此过程拉力做功为
4
FR π
C ．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为1
2Fv D ．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为22
Fv 【答案】B 【解析】 【详解】
AB 、将该段曲线分成无数段小段，每一段可以看成恒力，可知此过程中拉力做功为
11
44
W F R FR ππ=?=，故选项B 正确，A 错误；
CD 、因为F 的方向沿切线方向，与速度方向平行，则拉力的功率P Fv =，故选项C 、D 错
误。
4．一条长为L 、质量为m 的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，如图所示，在链条的另一端用水平力缓慢地拉动链条，当把链条全部拉到桌面上时，需要做多少功（ ）
A ．
1
6
mgL B ．
19
mgL C ．
1
18
mgL D ．
1
36
mgL 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
悬在桌边的13
l 长的链条重心在其中点处，离桌面的高度：
111236
h l l =?=
它的质量是1
3
m m '=
当把它拉到桌面时，增加的重力势能就是外力需要做的功，故有
111
3618
P W E mg l mgl =?=?=
A ．
1
6mgL ，与结论不相符，选项A 错误； B ．1
9mgL ，与结论不相符，选项B 错误；
C ．1
18
mgL ，与结论相符，选项C 正确； D ．
1
36mgL ，与结论不相符，选项D 错误； 故选C ． 【点睛】
如果应用机械能守恒定律解决本题，首先应规定零势能面，确定初末位置，列公式时要注意系统中心的变化，可以把整体分成两段来分析．
5．如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S ，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h ．打开底部中央的阀门K ，液体开始流动，最终两液面相平．在这
一过程中，液体的重力加速度为g 液体的重力势能（ ）
A ．减少
21
4
gSh ρ B ．增加了21
4gSh ρ C ．减少了21
2gSh ρ D ．增加了
21
2
gSh ρ 【答案】A 【解析】
打开阀门K ，最终两液面相平，相当于右管内 2
h 的液体流到了左管中，它的重心下降了
2h ，这部分液体的质量1
22
h m V S Sh ρρρ===，由于液体重心下降，重力势能减少，重力势能的减少量：211
224
p h E mgh Sh g Sgh ρρ?='=??=，减少的重力势能转化为内能，故选项A 正确．
点睛：求出水的等效重心下移的高度，然后求出重力势能的减少量，再求出重力势能的变化量，从能量守恒的角度分析答题．
6．打开水龙头，水顺流而下，仔细观察将会发现连续的水流柱的直径在流下的过程中，是逐渐减小的（即上粗下细），设水龙头出口处半径为1cm ，安装在离接水盆75cm 高处，如果测得水在出口处的速度大小为1m/s ，g =10m/s 2，则水流柱落到盆中的直径 A ．1cm B ．0.75cm C ．0.5cm D ．0.25cm
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
设水在水龙头出口处速度大小为v 1，水流到接水盆时的速度v 2，由22
212v v gh -=得：
v 2=4m/s
设极短时间为△t ，在水龙头出口处流出的水的体积为
2111V v t r π=V g
水流进接水盆的体积为
2
2
224
d V v t π??= 由V 1=V 2得
222
11
24
d v t r v t ππ??=g g 代入解得：
d 2=1cm ．
A ．1cm ，与结论相符，选项A 正确；
B ．0.75cm ，与结论不相符，选项B 错误；
C ．0.5cm ，与结论不相符，选项C 错误；
D ．0.25cm ，与结论不相符，选项D 错误；
7．如图所示，某力10N F =，作用于半径1m R =的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为（ ）
A ．0J
B ．20J π
C ．10J
D ．20J
【答案】B 【解析】 【详解】
把圆周分成无限个微元，每个微元可认为与力F 在同一直线上，故
W F s ?=?
则转一周中做功的代数和为
2π20πJ F R W ?==
故选B 正确。 故选B 。
8．位于光滑水平面上的小车受到水平向右的拉力作用从静止开始运动，已知这一过程中拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2，所用时间为t ，小车的位移为s ，小车末速度为v 。则下列判断正确的是（ ） A ．小车增加的动能等于()121
2
F F s + B ．小车增加的动能大于
()121
2
F F s +
C ．小车增加的动量等于()121
2
F F t + D ．小车的位移小于12
vt 【答案】BCD 【解析】 【详解】
AB ．因为拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2，而小车做加速运动，位移在单位时间内增加的越来越大，所以若将位移s 均分为无数小段，则在每一小段位移内F 增加的越来越慢，如图所示（曲线表示题所示情况，直线表示拉力随s 均匀变化情况），而图像的面积表示拉力做的功。
其中拉力随s 均匀变化时，拉力做功为：
()121
2
W F F s =
+， 故当拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2时（曲线情况），做功大于
()121
2
F F s +，根据动能定理可知小车增加的动能大于
()121
2
F F s +，A 错误B 正确； C ．因为拉力是随时间均匀增大，故在t 时间内拉力的平均值为：
()121
2
F F F +=
， 所以物体动量增加量为：
()121
2
p F F t ?=
+， C 正确；
D ．根据牛顿第二定律可知在力随时间均匀增大的过程中物体运动的加速度逐渐增大，即
v t -图像的斜率增大（图中红线所示，而黑线表示做匀加速直线运动情况）。
根据v t -图像的面积表示位移可知小车的位移小于1
2
vt ，D 正确。 故选BCD 。
9．根据量子理论，光子的能量为E=hv ，其中h 是普朗克常量．
（1）根据爱因斯坦提出的质能方程E=mc 2，光子的质量可表示为m=E/c 2，由动量的定义和相关知识，推导出波长为λ的光子动量的表达式p=h/λ；
（2）光子能量和动量的关系是E=pc ．既然光子有动量，那么光照到物体表面，光子被物体吸收或反射时，都会对物体产生压强，这就是“光压”．
a. 一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为P 0=103W ，发出的一细束激光束的横截面积为S=1mm 2．若该激光束垂直照射到物体表面，且光子全部被该物体吸收，求激光束对该物体产生的光压P 0的大小；
b. 既然光照射物体会对物体产生光压，科学家设想在遥远的宇宙探测中，可以用光压为动力使航天器加速，这种探溅器被称做“太阳帆”．设计中的某个太阳帆，在其运行轨道的某一阶段，正在朝远离太阳的方向运动，太阳帆始终保持正对太阳．已知太阳的质量为2×1030kg ，引力常量G=7×10-11Nm 2/kg 2，太阳向外辐射能量的总功率为P=4×1026W ，太阳光照到太阳帆后有80%的太阳光被反射．探测器的总质量为m=50kg ．考虑到太阳对探测器的万有引力的影响，为了使由太阳光光压产生的推动力大于太阳对它的万有引力，太阳帆的面积S 至少要多大？（计算结果保留1位有效数字）
【答案】（1）证明见解析；（2）a.0 3.3Pa P = ；b. 42310s m =? 【解析】 【分析】 【详解】
（1）光子的能量 E=mc 2
E ＝h ν＝h c
λ
光子的动量 p=mc 可得
E h p c λ
＝＝
（2）一小段时间△t 内激光器发射的光子数
0 P t
n c h
λ
V ＝
光照射物体表面，由动量定理
F △t=np 产生的光压 I ＝ F S
解得
I ＝
P cS
带入数据解得：
I =3.3pa
（3）由（2）同理可知，当光80%被反射，20%被吸收时，产生的光压
9 5P
I cS
＝
距太阳为r 处光帆受到的光压
2954P
I c r
＝
π? 太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力
IS ′＞G 2 Mm r
解得
S ′＞
20 9cGMm
P
π 带入数据解得
42310S m ?'≥
【点睛】
考查光子的能量与动量区别与联系，掌握动量定理的应用，注意建立正确的模型是解题的
关键；注意反射的光动量变化为2mv ，吸收的光动量变化为mv ．
10．守恒定律是自然界中某种物理量的值恒定不变的规律，它为我们解决许多实际问题提供了依据．在物理学中这样的守恒定律有很多，例如：电荷守恒定律、质量守恒定律、能量守恒定律等等．
(1)根据电荷守恒定律可知：一段导体中通有恒定电流时，在相等时间内通过导体不同截面的电荷量都是相同的．
a ．己知带电粒子电荷量均为g ，粒子定向移动所形成的电流强度为，求在时间t 内通过某一截面的粒子数N ．
b ．直线加速器是一种通过高压电场使带电粒子加速的装置．带电粒子从粒子源处持续发
出，假定带电粒子的初速度为零，加速过程中做的匀加速直线运动．如图l 所示，在距粒子源l 1、l 2两处分别取一小段长度相等的粒子流I ?．已知l l :l 2=1:4，这两小段粒子流中所含的粒子数分别为n 1和n 2，求：n 1:n 2．
(2)在实际生活中经常看到这种现象：适当调整开关，可以看到从水龙头中流出的水柱越来越细，如图2所示，垂 直于水柱的横截面可视为圆．在水柱上取两个横截面A 、B ，经过A 、B 的水流速度大小分别为v I 、v 2；A 、B 直径分别为d 1、d 2，且d 1：d 2=2:1．求：水流的速度大小之 比v 1:v 2．
(3)如图3所示：一盛有水的大容器，其侧面有一个水平的短细管，水能够从细管中喷出；容器中水面的面积S l 远远大于细管内的横截面积S 2;重力加速度为g ．假设 水不可压缩，而且没有粘滞性．
a ．推理说明：容器中液面下降的速度比细管中的水流速度小很多，可以忽略不计：
b ．在上述基础上，求：当液面距离细管的高度为h 时， 细管中的水流速度v ．
【答案】（1）a. Q It N q q
=
= ；b. 21:2:1n n =；（2）2
21221::1:4v v d d ==；（3）a.设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v ．按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv =,由12S S >>，可得12v v <<．所以：液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计．
b. v 【解析】 【分析】 【详解】 (1)a.电流Q I t
=
， 电量Q Nq = 粒子数Q It N q q
==
b.根据v =
可知在距粒子源1l 、2l 两处粒子的速度之比：12:1:2v v =
极短长度内可认为速度不变，根据x v t
?=?， 得12:2:1t t =
根据电荷守恒，这两段粒子流中所含粒子数之比：12:2:1n n = (2)根据能量守恒，相等时间通过任一截面的质量相等，即水的质量相等.
也即：2
··
4
v d π
处处相等 故这两个截面处的水流的流速之比：22
1221::1:4v v d d ==
(3)a .设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v .
按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv = 由12S S >>，可得:12v v <<.
所以液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计. b.根据能量守恒和机械能守恒定律分析可知：
液面上质量为m 的薄层水的机械能等于细管中质量为m 的小水柱的机械能． 又根据上述推理：液面薄层水下降的速度1v 忽略不计，即10v =. 设细管处为零势面，所以有：2
1002
mgh mv +=+
解得:v =
11．随着电磁技术的日趋成熟，新一代航母已准备采用全新的电磁阻拦技术，它的原理是，飞机着舰时利用电磁作用力使它快速停止。为研究问题的方便，我们将其简化为如图所示的模型。在磁感应强度为B 、方向如图所示的匀强磁场中，两根平行金属轨道MN 、PQ 固定在水平面内，相距为L ，电阻不计。轨道端点MP 间接有阻值为R 的电阻。一个长为L 、质量为m 、阻值为r 的金属导体棒ab 垂直于MN 、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。飞机着舰时质量为M 的飞机迅速钩住导体棒ab ，钩住之后关闭动力系统并立即获得共同的速度v ,忽略摩擦等次要因素，飞机和金属棒系统仅在安培力作用下很快停下来。求
（1）飞机在阻拦减速过程中获得的加速度a 的最大值；
（2）从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中R 上产生的焦耳热Q R ； （3）从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中运动的距离x 。
【答案】（1）22()()B L v R r M m ++；（2）2()2()R M m v R r ++；（3）22
()()M m R r v
B L ++
【解析】 【分析】 【详解】
（1）产生的感应电动势
E BLv =
E
I R r
=
+ ()F BIL M m a ==+安
解得
22()()
B L v
a R r M m =++
（2）由能量关系；
21
()2
M m v Q += R R
Q Q R r
=
+ 解得
2
()2()
R R M m v Q R r +=+
（3）由动量定理
-t t 0()I BIL BLq M m v ??=-??=-=-+安
()M m v
q BL
+=
q I t =??
E
I R r
=
+ E t
?Φ
=
?
BLx ?Φ=
解得
22
()()M m R r v
x B L ++=
12．从微观角度看，气体对容器的压强是大量气体分子对容器壁的频繁撞击引起的．正方体密闭容器中有大量运动的粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内的粒子数量为n ．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；速率均为v ，且与容器壁各面碰撞的机会均等；与容器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与容器壁垂直，且速率不变． ①利用所学力学知识，推导容器壁受到的压强p 与m 、n 和v 的关系；
②我们知道，理想气体的热力学温度T 与分子的平均动能E 1成正比，即1T E α=，式中α为比例常数．请从微观角度解释说明：一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与热力学温度成正比．
【答案】①2
13p nmv = ②见解析
【解析】 【分析】 【详解】
①在容器壁附近，取面积为S ，高度为v t ?的体积内的粒子为所究对象，该体积中粒子个数2N Sv tn =?
可以撞击任一容器壁的粒子数为
21
6
N ， 一个撞击容器壁的气体分子对其产生的压力用F 来表示，根据牛顿第三定律容器壁对气体分子的力大小也为F ， 由
2F t mv ?=
得
2mv
F t
=
? 容器壁受到的压强
22
1163
N F
p nmv S == ②由
21
3p nmv =，k T aE =，212
k E mv = 解得
23n
p T a
=
所以一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与热力学温度成正比．
13．如图所示，一质量为 2.0kg m =的物体从半径为0.5m R =的圆弧轨道的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）。拉力F 的大小始终为15N ，方向始终与物体所在处的切线成37?角。圆弧轨道所对应的圆心角为45?，BO 边沿竖直方向。求这一过程中：（g 取210m /s ，sin370.6?=，cos370.8?=） (1)拉力F 做的功； (2)重力G 做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力N 做的功。
【答案】(1)47.1J(2)－29.3J(3)0 【解析】 【详解】
(1)将圆弧AB 分成很多小段1l ，2l ，…，n l ，物体在这些小段上近似做直线运动，则拉力在每小段上做的功为12,W W ，…，n W ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体所在点的切线成
37?角，所以
11cos37W Fl ?= 22cos37W Fl ?=
…
cos37n n W Fl ?=
()1212πcos37cos3747.1J 4
F n n R
W W W W F l l l F ??=+++=+++=?
≈L L (2)重力G 做的功
()1cos 4529.3J G W mgR ?=--≈-
(3)物体受到的支持力N 始终与物体的运动方向垂直，所以
0N W =
14．如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手。 设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，求摆球从A 运动到竖直位置B 时，重力mg 、绳的拉力
F T 、空气阻力F 阻各做了多少功？
【答案】G W mgL =；T F 0W =；W F 阻=1
2
-F 阻πL 【解析】 【分析】 【详解】
因为拉力F T 在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即
T F 0W =
重力在整个运动过程中始终不变，小球在竖直方向上的位移为L ，所以
G W mgL =
如图所示，F 阻所做的功就等于每个小弧段上F 阻所做功的代数和。即
F 12)1
(π2
W F x F x F L =-?+?+=-L 阻阻阻阻
15．物理问题的研究首先要确定研究对象。当我们研究水流，气流等流体问题时，经常会选取流体中的一小段来进行研究，通过分析能够得出一些有关流体的重要结论。 (1)水刀应用高压水流切割技术，相比于激光切割有切割材料范围广，效率高，安全环保等优势。某型号水刀工作过程中，将水从面积S =0.1mm 2的细喷嘴高速喷出，直接打在被切割材料表面，从而产生极大压强，实现切割。已知该水刀每分钟用水600g ，水的密度为ρ=1.0×103kg/m 3
a ．求从喷嘴喷出水的流度v 的大小
b ．高速水流垂直打在材料表面上后，水速几乎减为0，求水对材料表面的压强p 约为多大。
(2)某同学应用压力传感器完成以下实验，如图所示，他将一根均匀的细铁链上端用细线悬挂在铁架台上，调整高度使铁链的下端刚好与压力传感器的探测面接触。剪断细线，铁链逐渐落在探测面上。传感器得到了探测面所受压力随时间的变化图象。通过对图线分析发现铁链最上端落到探测面前后瞬间的压力大小之比大约是N 1:N 2=3:1，后来他换用不同长度和粗细的铁链重复该实验，都得到相同结果。请你通过理论推理来说明实验测得的结果是正确的。（推理过程中需要用到的物理量的字母请自行设定）
【答案】(1)a ．100m/s ；b ．71.010pa p =?；(2)推导过程见解析 【解析】 【分析】 【详解】
(1)a ．一分钟喷出的水的质量为
m Svt ρ=
所以水的流速
m v St
ρ=
代入数据得v =100m/s
b ．选取t ?时间内打在材料表面质量为m ?水为研究对象，由动量定理得
0F t mv -?=-?
其中
=m Sv t ρ??
解得
2F Sv ρ=
根据牛顿第三定律，材料表面受到的压力
'F F =
则根据压强公式
'F p S
=
解得
27=1.010pa p v ρ=?
(2)设单位长度的铁链质量为b ，铁链的长度为L ，当铁链的最上端落在探测面上时，选取铁链最上端的一小段为研究对象，其质量
m bv t ?=?
根据自由落体运动公式
22v gL =
可知速度
2v gL 设向下方向为正，根据动量定理
0F t mv -?=-?
解得
2F bgL =
则探测面受到铁链最上端的压力为
'2F F bgL ==
此时除最上端外，其余部分的铁链已经落在探测面上，对探测面的压力
N mg =
其中
m bL =
则探测面受到的总压力为
1'3N N F bgL =+=
当铁链的最上端落在探测面上后，探测面受到的压力大小
2N mg bgL ==
由此可得
1231
N N = 实验结果是正确的。