八年级勾股定理练习题及答案
1. 在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2
2
2AC
BC+
+的值是()
A.2
B.4
C.6
D.8
2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10 cm,
∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是______ cm(结果不取近似值).
3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______.
4.一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,
旗杆在断裂之前高多少m?
5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3
4米处,那么这棵树折断之前的高度是米.
6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距
离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?
7. 如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处
有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥
的蜘蛛,所走的最短路线的长度.
8. 一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。求CD的长.
9. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB 的长.
10. 如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所
走的最短路程是多少?
11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,
长13m ,宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米
18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?
12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?
第一课时答案:
1.A ,提示:根据勾股定理得122
=+AC BC
,所以AB 222AC BC ++=1+1=2;
2.4,提示:由勾股定理可得斜边的长为5m ,而3+4-5=2m ,所以他们少走了4步.
3.
13
60 ,提示:设斜边的高为x ,根据勾股定理求斜边为131695122
2==+ ,再利用面积法得,13
60
,132112521=??=??x x ;
4. 解:依题意,AB=16m ,AC=12m , 在直角三角形ABC 中,由勾股定理,
222222201216=+=+=AC AB BC ,
所以BC=20m ,20+12=32(m ),
故旗杆在断裂之前有32m 高.
5.8
6. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得
BC=
30004000500022=-(米),
所以飞机飞行的速度为
5403600
203
=(千米/小时) 7. 解:将曲线沿AB 展开,如图所示,过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R 90,=∠?CEF
CEF t ,EF=18-1-1=16(cm ),
CE=
)(3060
.21
cm =?,
由勾股定理,得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+
8.
解:在直角三角形ABC 中,根据勾股定理,得
254322222=+=+=AB AC BC
在直角三角形CBD 中,根据勾股定理,得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169,所以CD=13.
9. 解:延长BC 、AD 交于点E.(如图所示)
∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°又∵CD=3,∴CE=6,∴BE=8,
设AB=x ,则AE=2x ,由勾股定理。得33
8
,8)
2(222
=
=-x x x 10. 如图,作出A 点关于MN 的对称点A ′,连接A ′B 交MN 于点P ,则A ′B 就是最短路线. 在Rt △A ′DB 中,由勾股定理求得A ′B =17km
11.解:根据勾股定理求得水平长为
m 125132
2=-,
地毯的总长 为12+5=17(m ),地毯的面积为17×2=34()2
m ,
铺完这个楼道至少需要花为:34×18=612(元)
第10题
走了12千米,即OA=12.
乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时,
走了5千米,即OB=5.
在Rt△OAB中,AB2=122十52=169,∴AB=13,
因此,上午10:00时,甲、乙两人相距13千米.
∵15>13,∴甲、乙两人还能保持联系.
勾股定理的逆定理(2)
一、 选择题
1.下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是( ) A.9,12,15 B.4
3,
1,4
5
C.0.2,0.3,0.4
D.40,41,9 2.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.三个内角比为1∶2∶1
B.三边之比为1∶2∶5
C.三边之比为
3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶3
3.已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为( )
A.
2 B.10
2 C.10224或 D.以上都不对
4. 五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确
的是( )
15
24
25
207
15
2024
25
7
25
20
24
257
202415
(A)
(B)
(C)
(D)
A B C D 二、填空题
5. △ABC 的三边分别是7、24、25,则三角形的最大内角的度数是 .
6.三边为9、12、15的三角形,其面积为 .
7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ,8=c
,则此三角形为 三角
形.
8.在三角形ABC 中,AB=12cm ,AC=5cm ,BC=13cm ,则BC 边上的高为AD= cm .
三、解答题
9. 如图,已知四边形ABCD 中,∠B =90°,AB =3,BC =4,CD =12,AD =13,求四边形ABCD 的面积.
10. 如图,E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点,且AB =4,CE =41
BC ,F 为CD
的中点,连接AF 、AE ,问△AEF 是什么三角形?请说明理由.
11. 如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C 处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.
12.如图,为修通铁路凿通隧道AC,量出∠A=40°∠B=50°,AB=5公里,BC=4公里,若每天凿隧道0.3公里,问几天才能把隧道AB凿通?18.2勾股定理的逆定理答案:
一、1.C;2.C;3.C,提示:当已经给出的两边分别为直角边时,第三边为斜边=;
10
2
6
22
2=
+当6为斜边时,第三边为直角边=2
4
2
62
2=
-;4. C;
二、5.90°提示:根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,所以最大的内角为 90°.6.54,提示:先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,面积为.541292
1
=??7.直角,提示:
2
222222864182100,1002,100)(c b a ab b a b a ===?-=+=++=+得;
8.
13
60,提示:先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形,再利用面积法求得
AD ??=??132
1
51221; 三、9. 解:连接AC ,在Rt △ABC 中,
AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25, ∴ AC =5.
在△ACD 中,∵ AC 2+CD 2=25+122=169, 而 AB 2=132=169,
∴ AC 2+CD 2=AB 2,∴ ∠ACD =90°. 故S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21AB ·BC +21AC ·CD =21×3×4+2
1
×5×12=6+30=36.
10. 解:由勾股定理得AE 2=25,EF 2=5,
AF 2=20,∵AE 2= EF 2 +AF 2,
∴△AEF 是直角三角形
11. 设AD =x 米,则AB 为(10+x )米,AC 为(15-x )米,BC 为5米,∴(x +10)2+52=(15-x )2,解得x =2,∴10+x =12(米) 12. 解:第七组,.1131112,112)17(72,15172=+==+??==+?=c b a
第n 组,1)1(2),1(2,12++=+=+=n n c n n b n a
勾股定理的逆定理 (3)
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5
D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ,AD ∥BC ,斜腰DC 的长为10 cm ,
∠D=120°,则该零件另一腰AB 的长是________ cm (结果不取近似值)
.
图18 图18-2-5 图18-2-6
3.如图18-2-5,以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为S 1、S 2、S 3,且S 1=4,
S 2=8,则AB 的长为_________.
4.如图18-2-6,已知正方形ABCD 的边长为4,E 为AB 中点,F 为AD 上的一点,且AF=41AD ,
试判断△EFC 的形状.
5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗?
图18-2-7
6.已知△ABC 的三边分别为k 2-1,2k ,k 2+1(k >1),求证:△ABC 是直角三角形.
二、综合·应用
7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长,△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ,那么△A 1B 1C 1
是直角三角形吗?为什么?
8.已知:如图18-2-8,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.
求证:△ABC是直角三角形.
图18-2-8
9.如图18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论
. 图18-2-9
10.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状. 12.已知:如图18-2-10,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3. 求:四边形ABCD的面积
.
图18-2-10
参考答案
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5
D.三内角之比为3∶4∶5
思路分析:判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法:①有一个角是直角或两锐角互余;②两边的平方和等于第三边的平方;③一边的中线等于这条边的一半. 由A 得有一个角是直角;B 、C 满足勾股定理的逆定理,所以应选D. 答案:D
2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ,AD ∥BC ,斜腰DC 的长为10 cm ,
∠D=120°,则该零件另一腰AB 的长是________ cm (结果不取近似值)
.
图18-2-4
解:过D 点作DE ∥AB 交BC 于E,
则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形, ∴AB=DE.
∵∠D=120°,∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半,∴CE=5 cm.
根据勾股定理的逆定理得,DE=3551022=- cm.
∴AB=
3551022=- cm.
3.如图18-2-5,以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为S 1、S 2、S 3,且S 1=4,S 2=8,则AB 的长为
_________.
图18-2-5 图18-2-6
思路分析:因为△ABC 是Rt △,所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3,所以S 3=12,因为S 3=AB 2,
所以AB=32123==S .
答案:32
4.如图18-2-6,已知正方形ABCD 的边长为4,E 为AB 中点,F 为AD 上的一点,且AF=4
1
AD ,试判断△EFC 的形状.
思路分析:分别计算EF 、CE 、CF 的长度,再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解:∵E 为AB 中点,∴BE=2. ∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.
同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25. ∵CE 2+EF 2=CF 2,
∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形.
5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角,工人师傅量得