八年级上册
勾股定理
1、如图，在四边形ABCD 中，,3,2,90,60===∠=∠=∠CD BC D B A
则=AB ( ) A.4 B.5 C.32 D.
33
8
2、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是
30，那么这个三角形的形状是（ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
3、如图，在ABC Rt ?中,
90=∠BAC ,过顶点A 的直线ACB ABC BC DE ∠∠、,//的平分线分别交DE 于点D E 、,若10,6==BC AC ,则DE 的长为
（ ） A.14 B.16 C.18 D.20
4、如图，P 为ABC ?边BC 上的一点，且PB PC 2=,已知,60,45
=∠=∠APC ABC 则
ACB ∠的度数是_____。
5、如图，四边形ABCD 中，已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且
90=∠B ,则______=∠DAB 。
6、如图，四边形ABCD 中，,26,24,8,6cm DA cm CD cm BC cm AB ====且
90=∠ABC ,则四边形ABCD 的面积是2_____cm 。
7、如图，P 是长方形ABCD 内一点，已知5,4,3===PC PB PA ,那么2
PD 等于_____。8、矩形纸片ABCD 中，3=AB 厘米，4=BC 厘米，现将C A ,重合，
使纸片折叠压平，设折痕为EF ，重叠部分?AEF 的面积为____。
9、如图，已知B A ∠=∠,111,,PP BB AA 均垂直于11B A ，A
A
B
B C
C P
题图）
第4(D
题图）第5(D A B
C
题图）第6(题图）（第7A
B C
D
P
12
,20,16,1711111====B A BB PP AA
2222AD CD BD =+\则_____=+PB AP 。
10、如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是3，那么另一条直角边的长是______。
11、如图，在ABC ?中，D AC AB BAC ,,90==∠
是BC 上的点，求证： 12、如图，在ABC ?中，BE AD CD AE CA BC AB 、,,===相交于P ,AD BQ ⊥于Q ,求证：PQ BP 2=
13、如图，在等腰直角ABC ?的斜边上取异于C B ,的两点F E ,,
使,45 =∠EAF 求证：以CF BE EF ,,为边的三角形是直角三角
形。
14、如图，在ABC Rt ?中，
90=∠A ,D 为斜边BC 中点，DF DE ⊥,
求证：2
2
2
CF BE EF +=
A 1
A B
1B 1P P
题图）
第9
(题图）
第14(
勾股定理的逆定理 测试试题 一、基础加巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）. 图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6 3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=4 1AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图18－2－7 6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形. 二、综合·应用 7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长，△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么△A 1B 1C 1是直角三角形吗？为什么？
8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8 9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？ 借助于网格，证明你的结论. 图18－2－9 10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状. 解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形. 问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________ ； ③本题的正确结论是_________ _. 11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形 状. 12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积. 图18－2－10
勾股定理知识点 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是 勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角 形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。
八年级上册学生辅导材料－－勾股定理 1、 勾股定理： 几何语言： 如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90° 根据勾股定理：222c b a =+ 1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为_________ 斜边上的中线长为_____________，斜边上的高长为_________________ 2、在Rt △ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ，，∠C=90°，（要求画出草图） ①已知a=5，b=12，求c ？ ②已知a=15，c=25，求b ？ ③若a ∶b=3∶4，c=10求ABC S ?？ 3、如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆， 求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离． 4、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为 （ ） A 、13 B 、5 C 、13或5 D 、无法确定 5、下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，求第4个直角三角形斜边长 度是 cm 练习： 6、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、4
7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ） A 、6 B 、6 C 、5 D 、4 8、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部 抵着地面，此时，顶部距底部有 m ； 9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，AB=60m,BC=84m, AE=100m,?则这条小路的面积是多少? 10、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？ 2、勾股定理的逆定理： ______________________________________________________________. 判断一个三角形是否为直角三角形 方法：（1）先确定最大边（如c ） （2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 勾股数： 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 11、如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： 从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点上，且长度分别为 （1）32； （2）25； (3) 10 (4)13 12. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C ＝３０°， 求∠B 的大小． 13. 如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 已知 8km C A B 6km
新人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理教案 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、教学重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。 四、合作探究： 方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 A B
§3.1勾股定理 【知识点梳理】 一、格点图形的面积 在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.利用网格可以求出格点图形的面积. 例1：如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.图中的四边形ABCD 就是一个“格点多边形”，求四边形ABCD 的面积. 二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.若把直角三角形的两条直角边和斜边分别记为c b a 、、（如图3.1.1），则222c b a =+ 例2：在Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）如果AC=3,BC=4，那么AB= (2)如果AB=25，BC=24,那么AC= 三、勾股定理的验证 勾股定理的推导方法有很多种，到目前为止，能够验证勾股定理的方法有近500种.课本上是利用图形的“截、割、补、拼”来说明表示相同图形面积的代数式之间的恒等关系，既具有严密性，又具有直观性. 例3：如图，分别以边长分别为c b a 、、（c 为斜边）的直角三角形的3边为边向外作三个正方形拼成如图所示的图形，是利用面积知识验证勾股定理. 四、勾股定理的应用 勾股定理揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，只要知道直角三角形中任意两条边的长度就可以求出第三条边的长度. 例4：如图，滆湖有A 、B 两点，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C 处测得CA=13米，CB=12米，求AB 长.
【典例展示】 题型一格点图形中的距离问题 例1：如图，每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点B到AC所在直线的距离为 题型二运用勾股定理求直角三角形的边长 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，求：（1）DE的长；（2）△ADB的面积. 题型三折纸中勾股定理的运用 例3：如图，四边形ABCD是一张边长为9的正方形，将其沿MN折叠，使点B落在边CD上的点B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 题型四运用勾股定理进行说理 例4：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D、E，F为BC的中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE． （1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．
八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ， ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 2 22() 2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠ =?，则c =，b ，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
八年级上册 勾股定理 1、如图，在四边形ABCD 中，,3,2,90,60===∠=∠=∠CD BC D B A 则=AB ( ) A.4 B.5 C.32 D. 33 8 2、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是 30，那么这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 3、如图，在ABC Rt ?中, 90=∠BAC ,过顶点A 的直线ACB ABC BC DE ∠∠、,//的平分线分别交DE 于点D E 、,若10,6==BC AC ,则DE 的长为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 4、如图，P 为ABC ?边BC 上的一点，且PB PC 2=,已知,60,45 =∠=∠APC ABC 则 ACB ∠的度数是_____。 5、如图，四边形ABCD 中，已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且 90=∠B ,则______=∠DAB 。 6、如图，四边形ABCD 中，,26,24,8,6cm DA cm CD cm BC cm AB ====且 90=∠ABC ,则四边形ABCD 的面积是2_____cm 。 7、如图，P 是长方形ABCD 内一点，已知5,4,3===PC PB PA ,那么2 PD 等于_____。8、矩形纸片ABCD 中，3=AB 厘米，4=BC 厘米，现将C A ,重合， 使纸片折叠压平，设折痕为EF ，重叠部分?AEF 的面积为____。 9、如图，已知B A ∠=∠,111,,PP BB AA 均垂直于11B A ，A A B B C C P 题图） 第4(D 题图）第5(D A B C 题图）第6(题图）（第7A B C D P 12 ,20,16,1711111====B A BB PP AA
北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析 本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 全章分为两节： 18。1勾股定理。本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。 18。2勾股定理的逆定理。本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。 课标对本章的要求（本章学习目标）：
第一章勾股定理 1.1 探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 1．若△ABC中，∠C=90°， （1）若a=5，b=12，则c= ； （2）若a=6，c=10，则b= ； （3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= . 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 . 3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 . 4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）. A．30 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2 5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离. 6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，
要从树底开始爬多高？ 7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长. 参考答案： 1．（1）13；（2）8；（3）6，8． C F
2．2.5m． 60cm． 3． 13 4．D． 5．25km． 6．4． 7．3 cm． 1.1 探索勾股定理 第2课时验证勾股定理 1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52. （1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？ （2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？ 2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.
课题：17.1 勾股定理教学设计（第1课时）（九年制义务教育课程标准实验教科书人教版八年级第十七章第一节） 一、内容和内容解析 1、教材地位作用 这节课内容为九年制义务教育课程标准实验教科书，人教版八年级第十七章第一节勾股定理第一课时。勾股定理是学生在学习了直角三角形有关性质的基础上进行本课学习，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，在实际生活中用途很大。 通过课题的学习，学生可以经历从实际问题观察、发现、抽象出数学问题，猜想并验证直角三角形三条边之间满足的数量关系，到综合应用已学知识联想、证明的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。 本节课学习过程中渗透了数形结合、从特殊到一般和方程思想等重要数学思想，同时为勾股定理逆定理和后续解直角三角形的学习奠定了基础，也为高中学习的一般三角形中余弦定理和平面解析几何的部分公式做铺垫。 2、教学重点 勾股定理的学习是建立在掌握一般三角形的性质、直角三角形以及三角形全等的基础上, 是直角三角形性质的拓展。本节课主要是对勾股定理的探索和勾股定理的证明。勾股定理的证明方法很多，本节课介绍的是等积法。通过本节课的教学，引领学生从不同的角度发现问题、用多样化策略解决问题，从而提高学生分析、解决问题的能力。 基于以上考虑，本节课的教学重点为：探索、验证、证明勾股定理过程 八年级学生已初步具备几何的观察能力和说理能力，也有了一定的空间想象和动手操作能力，但是他们的推理能力较弱、抽象思维能力不足。而本节课先采用的是等积法证明。对于其他的证明方法，由于需要合理的发散思维和联想，没有教师的启发引领，学生不容易独立想到。 二、目标和目标解析 八年级学生对新事物充满好奇，他们喜欢动手，勤于思考，乐于探究，已经具备了一定的探索新知的能力。因此，结合学生的实际水平，我制定如下教学目标： 本节活动课应当恰当发展学生的几何直观、推理能力和模型思想的数学核心观念与数学能力，还要注重发展学生的创新意识。 A．知识技能目标：①经历勾股定理的探索过程，理解并掌握勾股定理；
八年级上册数学第一章勾股定理知识点与 练习
勾股定理 知识点一：勾股定理 勾股定理: . 勾股数： . 常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25。 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例1、若Rt ABC 中，90C ?∠=且a=5,b=12,则c= , 例2、Rt △ABC 中，若c=10,a ∶b=3∶4,则a= ,b= . 例3、如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ， 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm 4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。其中是勾股数的有（ ）组 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 练习 1、在△ABC 中，∠C=90°,c=37,a=12，则b=（ ） A 、50 B 、35 C 、34 D 、26 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10 3、若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25 知识点二：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 例1、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2 ,则此三角形是 ( ).
勾股定理 练习题 温故而知新： 1.勾股定理 直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2. 2.勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示. 3.直角三角形的性质 两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系），30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用. 例1 （2013·安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行（） 米米 米米 解析：小鸟飞行的最短路线如图所示为线段AB；过点A向10米高的树作垂线，垂足为C，则易知AC=8米，BC=10-4=6（米）；根据勾股定理可得 AB=22 +=10（米）. 86 AC BC +=22 答案：B 小结：在解决实际问题时，往往根据题意把实际问题转化为数学问题，构造直角三角形利用勾股定理来解决.有时根据需要巧设未知数，借助勾股定理列方程求解，常可使问题简便. 例2 （2013·衢州）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（） cm cm
2 cm 2 cm 解析：如图所示在图中标上字母，过点A 作AD ⊥BD ， 垂足为D ，则AD=3 cm ； 因为∠ABD=30°，所以AB=2AD=6 cm ； 又△ABC 是等腰直角三角形，故BC=AB=6 cm ，根据勾股定理可得 AC=22AB BC +=2266+=62（cm ） 答案：D 小结：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，45°的直角三角形中，斜边是直角边的2倍. 例3 如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积. 解析：连结BD ，作CE ⊥BD ,交BD 于E 点， 构造含特殊锐角（30°或45°）的直角三角形求解. 答案：解：连结BD ，作CE ⊥BD ,交BD 于E 点. ∵DC=BC ，∴△BCD 是等腰三角形. ∵∠BCD=120°, ∴∠BCE=60°. 又BC=10m , 则EC=12 BC=5m ，∴BE=22BC EC -=53m ，BD=2BE=103m , ∴BDC S V =12EC ·BD=12 ×5×103=253（m 2）. 又∠DBA=∠CBA -∠CBE=90°，∠A=45°，∴△DBA 是等腰直角三角形. ∴DAB S V =12BD ·AB =12 ×103×103=150（m 2）. ∴这块草地的面积S=BDC S V +DAB S V =（150+253）m 2. 小结：对于本题中这类图形，适当添加辅助线，将图形切割为基本图形，再进行相关计算. 举一反三： 1.(2013·黔西南)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） B. 7 C. 5 或7 解析：分长为4的边为直角边和斜边两种情况考虑.
八年级勾股定理练习题及答案 1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ “路” 4m 3m 第2题图第5题图 第7题图第9题图 第8题图 5m 13m 第11题
八年级下册勾股定理知识点归纳
形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错
A B C 30° D C B A A D B C 误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形： 二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222 a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+ ⑵22 8BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ C B D A
八年级数学 勾股定理及其常考题型 勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.结合直角三角形图形，用字母可表示为：2 2 2 a b c +=，如下图，a 、b 为直角边，c 为斜边。 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形统一”的数学思想，将初中几何与代数很好的联系起来。因此，学好勾股定理这一知识点对于我们解决数学问题有很大的帮助，下面我们具体来看看初中数学有关勾股定理的一些常见题型及其解答方法。 一、边的计算 1、在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若a =6，b =8，则c = ． 解：因为222 a b c +=，所以c=10。 评论：直接由勾股定理所以得 2、在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边上的高CD 的长为（ ） A ． 125 B ． 552 C ． 52 D ．57 解：由勾股定理知：AB=5，又因为S △ABC = 21AC ×BC=2 1 AB ×CD 即： 21×3×4=21 ×5×CD,所以CD=125 评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高。
3、若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ） A ．13 B ．13 C ．13或15 D ．15 解：当12当12对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由222 a b c +=得第三边的长为13 评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。 4．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121 B 、120 C 、132 D 、不能确定 解：设该Rt △的三边分别为a 、b 、c ，a 、b 为直角边，c 为斜边 由勾股定理知：222a b c +=，即：112＋b 2 = c 2 所以（b+c ）（c －b ）=121 因为b 、c 都为自然数，所以b+c ，c －b ，都为正自然数。 又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c －b=1。所以b=60，c=61 评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。 二、直角三角形的判定 5、 在△ABC 中中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，给出如下的命题： ①若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 为直角三角形；②若∠A ＝∠C 一∠B ，则△ABC 为直角三角形；③若4 5 c a = ，3 5 b a =，则△ABC 为直角三角形；④若a ：b ： c ＝5：3：4，则△ABC 为直角三角形；⑤若（a ＋c ）（a －c ）＝b 2， 则△ABC 为直角三角形；⑥若(a ＋c)2＝2ac ＋b 2，则△ABC 为直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,B Ｃ＝15, 则△ABC 为
北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 全章分为两节： 18。1勾股定理。本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。 18。2勾股定理的逆定理。本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的
三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理
。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。 课标对本章的要求（本章学习目标）： 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题； 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，它是几何中几个最重要的定理之一，揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 课时分配：本章教学时间约需8课时，具体安排如下（仅供参考）：
一、理论知识 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2．勾股定理逆定理：如果三角形的三条边a,b,c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。 3．勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数。 勾股定理的证明：拼图法 证明1：我国数学家赵爽的证法：将四个直角三角形按图2那样 摆放，构成了一个以直角三角形的斜边c （弦）为边长的正方形（弦图）， 其面积为2c 。四个直角三角形的面积和为2ab ，弦图中间是以勾、股之差 为边的正方形，面积为2()b a - 。于是，有222()ab b a c +-=。整理得 222a b c +=。 证明2：如图△ABC 和△CDE 是两个全等的直角三角形，这两个 直角三角形拼成了一个梯形。则ABC CDE ACE ABDE S S S S ++△△△梯形＝ 即21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 化简得222a b c += 二、典型题型 1．求线段长度 方程思想的运用，利用面积计算 例题1-1：如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处， 且AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。 思路：①折叠全等 ②方程思想－归入到一个三角形，利用勾股定理，待求 所在的三角形。 解：由折叠全等知道AF=AD=BC=10cm ，在Rt △ABF 中， 226BF AF AB =-=,FC=4cm ，设EC=x ，EF=8-x ，则利用勾股定理可求出EC 例题1-2：如图，直角三角形ABC 中，AD ，CE 是三角形的两条中线，其 长分别为5和210，那么这个直角三角形的斜边长为（ ） A.10 B. 410 C. 13 D. 213 解：设AB=x ，BC ＝y ，则在两个Rt △ABD ，Rt △CBE 中， 利用中线长度已知和勾股定理，可求出x 和y ，则可求出AC 例题1-3：如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ） A.2m B. 3m C. 6m D.9m 解：△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积即可求解 点O 到三条边的距离相等，所以可设为h 。
C 勾股定理评估试卷（1） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长 （A ）4 cm （B ）8 cm （C ）10 cm （D ）12 cm 3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7或25 4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）64 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 7 1524 25 20715 2024 25 157 25 20 24 257 202415 (A) (B) (C) (D) 6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) （A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2 2 +=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形. 9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.