勾股定理
中考考点
掌握勾股定理的内容,能利用勾股定理进行计算与证明。
考点讲解
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即:c2=a2+b2(c为斜边)。
它反映了直角三角形三边之间的数量关系,是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角
形的主要依据之一。
一、问题的提出:
小明放学回家要经过一块长方形的麦地。如图:
1、小明本来应走大路从A经B到C可是他却直接从
A到C,为什么?
2、为什么近、近多少?
3、用数学知识如何解答?
二、量一量,算一算:
1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝,4㎝和5㎝,12㎝请你量出斜边的长度。
2、进行有关的计算。
3、得出结论:
三、证明结论:
利用拼合三角形的方法,如下:(1)A
B
C
D 3cm
6cm
8cm
由(1
由(2
(2)如图:
练习:
1、判断:
(1)已知a、b、c是三角形的三边,则
c
a
b a
c b b c
b
a a
c
( )
(2)在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 ( )
(3 90=B
( )
2(1)如果a=3,b=4,则c= (2)如果a=6,b=8,则c= (3)如果a=5,b=12,则c= (4) 如果a=15,b=20,则c= 3、 解决新课开始提出的问题 中考考点 1.把握勾股定理的逆定理;
2,用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
考点讲解
1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系:
a 2
+b 2
= c 2
,那么这个三角形是直角三角形。
注意:勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定
定理。 1.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤: (1)首先求出最大边(如c );
(2)验证a 2
+b 2
与c 2
是否具有相等关系;
若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C=90°的直角三角形。 若c 2 ≠a 2+b 2,则△ABC 不是直角三角形。
2.直角三角形的判定方法小结:
(1)三角形中有两个角互余; (2)勾股定理的逆定理;
3.紧记一些常用的勾股数,将为我们应用勾股定理逆定理带来方便,如3、4、5;5、
12、13;6、8、10;12、16、20等。
四、典型例题
例1.
D ,求证:
(1
(2
分析:
以求证。 证明:
(1
C
A D B
(2
例2、
AC
边上的高线的长。
分析:首先通过所给的三角形的三边长,判断出所求高线长的三角形为直角三角形,并且要求的为斜边上的高线,通过勾股定理可解,未知量可用方程的思想求得。
B
12 5
C 13
D A
D
答:AC
例3.已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 上任一点,
求证:AB 2-AD 2=BD ·DC
思路分析:通常遇到等腰三角形问题,都是作底边上的高转化为直角三角形,再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE ⊥BC 于E ,便出现两个全等的直角三角形。
由AB ==EC
结论又以平方差“面目”出现,也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法,那么在Rt △ABE ,Rt △ADE 中,由勾股定理,得
由于BE 、DE 均在一条直线BC 上,通常是平方差公式进行因式分解,转化为求同一条线段的和差问题,使结论明朗化,于是 AB 2-AD 2=(BE +DE )(BE -DE ) 结合图形知:BE +DE =BD BE -DE =CE -DE =CD
例4.如图,已知四边形ABCD 的四边
DA 的长分别为3、4、13、12,∠CBA =90°,求S 四边形ABCD 思路分析:遇到四边形,通常是连对角线转化为三角形问题,对本例连对角线AC 为佳,因∠CBA =90°,便出现了直角三角形ABC ,由勾股定理可求
AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25
在△CAD 中,我们又可发现: AC 2+AD 2=25+122=169 DC 2=132=169
∴AC 2+AD 2=CD 2,由勾股定理逆定理知 ∴△ACD 为Rt △,且∠DAC =90°
此时,已清晰可知,这个四边形由两个直角三角形构成,求其面积便容易了。
S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD
例5、在正方形ABCD 中, F 为DC 的中点, E 为BC 上一点, 且
EC 求证: ∠EF A = 90?
分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找那就是
要通过勾股定理逆定理来完成。 证明: 设正方形ABCD 的边长为4a 则EC = a , BE = 3a , CF = DF = 2a
在
在
在
为且AE是最大边, 即∠AFE = 90?
例6、已知:如图,在正方形ABCD中,E,F分别AB,AD上的点,又AB=12,
EF=10,△AEF的面积等于五边形EBCDF AE,AF
的长。
思路分析:依题意知△AEF为Rt△用勾股定理,立马而定,于是有
EF2=AE2+AF2
设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100 ①
本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.
五、专题检测:
1
中, ∠BAC = 90?, AD⊥BC于D,
则图中互余的角有
A.2对B.3对
C.4对D.5对
2、如果直角三角形的两边的长分别为
3、4,则斜边长为
3、已知:四边形ABCD中,BD、AC相交于O,且BD垂直AC,
4.
CD垂直BA延长线于D,求证:
D C
O
A
B
D
A
B C
5.
D在BC上,求
6.
7
AD为BC
中线,求证:
A
B D C
A
B C D
A
B D C
8、如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ,且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ,判断ΔABC 的形状。
9.如图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD ,点D 落在BC 边的点F 处,已知:AB =8cm ,BC =10cm ,求EC 的长。
10:已知:如图,?ABC 中,AB=AC =10,BC =16,点D 在BC 上,DA ⊥CA 于A 。 求:BD 的长。
分析:因为?ABC 中,AB=AC ,可作AE ⊥BC 于E ,构造直角三角形,由已知条件,AE ,CE ,可求。根据勾股定理可列方程式求解。 解:作AE ⊥BC 于E ∵AB=AC ,BC
=16
∴(等腰三角形的性质)
(勾股定理)设DE=x
几何部分: 2.
3 在中,
4. E
B D E C
5. E,
B E
C D
6. E,
中考数学勾股定理知识点总结及答案 一、选择题 1.如图,等腰直角△ABC中,∠C=90°,点F是AB边的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且∠DFE=90°,连接DE、DF、EF,在此运动变化过程中,下列结论:①图中全等的三角形只有两对;②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍;③CD+CE=2FA; ④AD2+BE2=DE2.其中错误结论的个数有() A.1个B.2个C.3个D.4个 2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判 断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=3DE.其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 3.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿4 cm的点A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm,则该圆柱底面周长为()cm. A.9 B.10 C.18 D.20 4.如图钢架中,∠A=15°,现焊上与AP1等长的钢条P1P2,P2P3…来加固钢架,若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23,则所有钢条的总长为() A.16 B.15 C.12 D.10 5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为
( ) A .5cm B .10cm C .14cm D .20cm 6.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是( ) A .1,2,6 B .3,5,4 C .5,12,13 D .3,2,13 7.A 、B 、C 分别表示三个村庄,AB 1700=米,800BC =米,AC 1500=米,某社区拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P 的位置应在( ) A .AB 的中点 B .BC 的中点 C .AC 的中点 D .C ∠的平分线与AB 的交点 8.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2,4BD =,则CF 的长为( ) A .6 B .42 C .8 D .10 9.如图,已知数轴上点P 表示的数为1-,点A 表示的数为1,过点A 作直线l 垂直于 PA ,在l 上取点B ,使1AB =,以点P 为圆心,以PB 为半径作弧,弧与数轴的交点C 所表示的数为( ) A .5 B .51- C .51+ D .51-+ 10.如图,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =4,将矩形沿AC 折叠,点B 落在点B ′处,则重叠部分△AFC 的面积为( )
勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中,不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后,得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ! 3.在测量旗杆的方案中,若旗杆高为21m,目测点到杆的距离为15m,则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m) ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12,则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm,对角线长为13cm,则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K,若SP=4,SQ=9,则Sk= . 三、解答题 @ 10.假期中,小明和同学们到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图,他们登陆后先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走了3千米,再折向北走了6千米处往东一拐,仅走了1千米就找到宝藏,问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米
为正方形ABCD内一点,将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置,若BP=a.求:以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空:剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a、b、c,· 如图①.(1)拼图一:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②③的形状,观察图②③可发现,图②中两个小正方形的面积之和__________ (填“大于”、“小于”或“等于”)图③中小正方形 《 的面积,用关系式表示为________ .(2)拼图二:用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状,观察图形可以发现,图中共有__________个正方形,它们的面积之间的关系是________ ,用 关系式表示为_____ .(3)拼图三:用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状,图中3个正方>
《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点: 1、勾股定理 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。 公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点: ①已知的条件:某三角形的三条边的长度. ②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有: (3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 )( 8,15,17 ) (9,12,15 ) 4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一:利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.
S 3 S 2 S 1 2. 如图,以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系. 3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S 1、S 2、S 3,则它们之间的关系是( ) A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积。 考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边 1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ,2cm ,则斜边长为 . 2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12, 求斜边上的高. 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的( ) A . 2倍 B . 4倍 C . 6倍 D . 8倍 5、在Rt △ABC 中,∠C=90° ①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________; 6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-,2n (n>1),那么它的斜边长是( ) A 、2n B 、n+1 C 、n 2-1 D 、1n 2+ 7、在Rt △ABC 中,a,b,c 为三边长,则下列关系中正确的是( ) A. 222a b c += B. 222a c b += C. 222c b a += D.以上都有可能
初中数学勾股定理拔高综合训练 一.选择题(共15小题) 1.如图,在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC,要求点C也在格点上,这样的Rt△ABC能作出() A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 2.如图,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有() A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形的面积是1,那么①号正方形的面积是() A.4 B.8 C.16 D.32 4.分别以下列四组数为一个三角形的边长①6,8,10②5,12,13 ③8,15,16④4,5,6,其中能构成直角三角形的有() A.①④B.②③C.①②D.②④
5.如图,是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两条边是分别是a,b,则a+b和的平方的值() A.13 B.19 C.25 D.169 6.如图,一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上,梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米(即BO=7米),如果梯子顶部A下滑4米至A1,则梯子底部B滑开的距离BB1是() A.4米 B.大于4米C.小于4米D.无法计算 7.工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架,则截取下来的钢条长应为()A.80cm B. C.80cm或D.60cm 8.如图,A、B是4×5网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长都是1,图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图所示:数轴上点A所表示的数为a,则a的值是()
直角三角形与勾股定理 1.如图1是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道,则O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O 为点)是( ) A2m B.3m C.6m D.9m 图1 图2 图3 2.已知小龙、阿虎两人均在同一地点,若小龙向北直走160公尺,再向东直走80公尺后,可到神仙百货,则阿虎向西直走多少公尺后,他与神仙百货的距离为340公尺?( ) A . 100 B . 180 C . 220 D . 260 3.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图2,则三角板的最大边的长为( ) A. 3cm B. 6cm C. 32cm D. 62cm 4.如图3,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,∠B =30°,点P 是BC 边上的动点,则AP 长不可能是( ) (A )3.5 (B )4.2 (C )5.8 (D )7 5.如图4,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在AB,AC 上,将△ABC 沿DE 折叠,使点A 落在点A ′处,若A ′为CE 的中点,则折痕DE 的长为( ) A .21 B .2 C .3 D .4 图3 ' 图4 图5 图6 图7 6.下列命题中,其逆. 命题成立的是______________.(只填写序号)
①同旁内角互补,两直线平行; ②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等; ④如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形. 7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图5).图6由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3.若S 1,S 2,S 3=10,则S 2的值是 . 8.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图7所示.正方形DEFH 的边长为2米,坡角∠A =30°,∠B =90°,BC =6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE = 米时,有DC 2=AE 2+BC 2 . 9.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: 。 10.如图8,在Rt △ABC 中,∠ACB = 90°,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,若CD = 5cm ,则EF = _______cm . 图8 图9 图10 11.在直角三角形ABC 中,∠C = 90°,BC = 12,AC = 9,则AB = . 12.如图9,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6cm ,AC =8cm ,按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的C ′点,那么△ADC ′的面积是 . 13.如图10,将一副三角尺如图所示叠放在一起,若AB =14cm ,则阴影部分的面积是________cm 2. 14.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形.......... .求扩建后的等腰三角形花圃的周长. 15.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长; (2)问第一条边长可以为7米吗?为什么?请说明理由,并求出a 的取值范围; (3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由. A C E B A C E F
中考“勾股定理”题型归纳 勾股定理是我国劳动人民智慧的结晶,是研究几何的基础和数形结合的典型代表,更是历年中考不可缺少的组成部分,为了方便同学们的学习与运用,并及时了解中考中有关勾股定理的题型,现就中考试题归纳剖析如下,供参考. 一、求线段的长度 例1(滨州市)如图,已知△ABC中,AB=17,AC=10, BC边上的高AD=8,则边BC的长为() A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不对 分析由于AD是高,所以可得到两个直角三角形,这样可分别利用勾股定理求得线段BD和CD. 解因为AD是高,所以∠ADB=∠ADC=90°,即△ADB与△ADC都是直角三角形. 因为AB=17,AC=10,AD=8,所以由勾股定理,得BD = ==15,CD 6, 所以BC=BD+CD=15+6=21.故应选A. 说明利用勾股定理求解有关线段的大小是中考中随时都会遇到的问题,同学们一定要掌握其运用,并避免出现错误. 二、求图形的周长 例2(牡丹江市)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长. 分析由于两直角边长分别为6m,8m,于是,可利用勾股定理求出其斜边的长,而题目只说明扩充成等腰三角形,并没有指明等腰三角形的底边和腰,所以应分情况求解. 解在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理,得AB=10,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD应分以下三种情况:①如图1,当AB=AD=10时,可求CD=CB=6,于是,△ABD的周长为32m;②如图2,当AB=BD=10时,可求CD =4,由勾股定理,得AD= ABD的周长为 m;③如图3,当AB D B A
一、选择题 1.如图,在四边形ABCD 中,90B C ∠=∠=,DAB ∠与ADC ∠的平分线相交于BC 边上的M 点,则下列结论:①90AMD ∠=;②1=2ADM ABCD S S ?梯形;③AB CD AD +=;④M 到AD 的距离等于BC 的1 3 ;⑤M 为BC 的中点;其中正确的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 2.如图,已知45∠=MON ,点A B 、在边ON 上,3OA =,点C 是边OM 上一个动点,若ABC ?周长的最小值是6,则AB 的长是( ) A . 1 2 B . 34 C . 56 D .1 3.如图,在Rt ABC 中,90BAC ?∠=,以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形 'A BC ,'AB C △,'ABC △,若'A BC ,'AB C △的面积分别是10和4,则'ABC △的面积是( ) A .4 B .6 C .8 D .9
4.如图,已知圆柱的底面直径6 BC π = ,高3AB =,小虫在圆柱侧面爬行,从C 点爬到 A 点,然后再沿另一面爬回C 点,则小虫爬行的最短路程的平方为( ) A .18 B .48 C .120 D .72 5.如图,正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ,正方形CEFG 绕点C 旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE 2 +BG 2 =2a 2 +2b 2 ,其中正确结论有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 6.如图,在ABC 中,CE 平分ACB ∠,CF 平分ACD ∠,且//EF BC 交AC 于M ,若3CM =,则22CE CF +的值为( ) A .36 B .9 C .6 D .18 7.我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直 角三角形的两直角边分别是a 、b ,那么2 ()a b + 的值为( ). A .49 B .25 C .13 D .1 8.如图, 在ABC 中,CE 平分ACB ∠,CF 平分ABC 的外角ACD ∠,且EF //BC 交AC 于M ,若CM 4=,则22CE CF +的值为( )
初二数学上册教案模板勾股定理(2课时) 一、教学目标及重点 1、教学目标 (1)经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,通过自主学习体验获取数学知识的感受,培养学生的思维能力和语言表达能力。 (2)运用勾股定理解决实际问题。 (3)了解有关勾股定理的历史,通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育。 2、教学重点:勾股定理及其应用。 3、教学难点:通过有关勾股定理的历史讲解,了解数学发展史,激发学习兴趣,对学生进行德育教育。 二、探索发现:(在教师的引领下,小组合作,探索学习) 通过此案例引出:勾股定理(商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理)的渊源。 三、知识透析: 1.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,
那么: 即:直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 2.注意:(1)勾股定理的条件是:只有在直角三角形中才使用;(2)勾股定理的变形:222a =-b c ;222b =-a c 3.勾股定理验证方法:(教师引导学生通过面积计算,实现勾股定理证明) (1)赵爽证明: (2)伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析: 题型1:勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中,,、、所对的边分别是a 、b 、c 。 (1)当a=3,b=4,则c= (2)若a=5,b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ,底边长为10cm ,则底边上的高为?( )
(随堂练习:教材3页1、2) 题型2:勾股定理验证 例3.请您用下图验证勾股定理 例4.教材5页第三问 (随堂练习:教材6页中间) 题型3:勾股定理应用 例5.有两棵树,一棵高10米,另一棵高4m,两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()(2013安顺中考) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 注:将应用题转化构造为直角三角形 例6.教材5页例题
§3.1勾股定理 【知识点梳理】 一、格点图形的面积 在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中,我们把每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的图形称为格点图形.利用网格可以求出格点图形的面积. 例1:如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.图中的四边形ABCD 就是一个“格点多边形”,求四边形ABCD 的面积. 二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.若把直角三角形的两条直角边和斜边分别记为c b a 、、(如图3.1.1),则222c b a =+ 例2:在Rt △ABC 中,∠C=90°.(1)如果AC=3,BC=4,那么AB= (2)如果AB=25,BC=24,那么AC= 三、勾股定理的验证 勾股定理的推导方法有很多种,到目前为止,能够验证勾股定理的方法有近500种.课本上是利用图形的“截、割、补、拼”来说明表示相同图形面积的代数式之间的恒等关系,既具有严密性,又具有直观性. 例3:如图,分别以边长分别为c b a 、、(c 为斜边)的直角三角形的3边为边向外作三个正方形拼成如图所示的图形,是利用面积知识验证勾股定理. 四、勾股定理的应用 勾股定理揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系,只要知道直角三角形中任意两条边的长度就可以求出第三条边的长度. 例4:如图,滆湖有A 、B 两点,从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C 处测得CA=13米,CB=12米,求AB 长.
【典例展示】 题型一格点图形中的距离问题 例1:如图,每个小方格的边长为1,A、B、C都在小方格的顶点上,则点B到AC所在直线的距离为 题型二运用勾股定理求直角三角形的边长 例2:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,若AC=6,BC=8,求:(1)DE的长;(2)△ADB的面积. 题型三折纸中勾股定理的运用 例3:如图,四边形ABCD是一张边长为9的正方形,将其沿MN折叠,使点B落在边CD上的点B′处,点A对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是() A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5 题型四运用勾股定理进行说理 例4:如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,F为BC的中点,BE与DF、DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE. (1)线段BH与AC相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;(2)求证:BG2-GE2=EA2.
八年级上册 勾股定理 1、如图,在四边形ABCD 中,,3,2,90,60===∠=∠=∠CD BC D B A 则=AB ( ) A.4 B.5 C.32 D. 33 8 2、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍,并且有一个角是 30,那么这个三角形的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 3、如图,在ABC Rt ?中, 90=∠BAC ,过顶点A 的直线ACB ABC BC DE ∠∠、,//的平分线分别交DE 于点D E 、,若10,6==BC AC ,则DE 的长为 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 4、如图,P 为ABC ?边BC 上的一点,且PB PC 2=,已知,60,45 =∠=∠APC ABC 则 ACB ∠的度数是_____。 5、如图,四边形ABCD 中,已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且 90=∠B ,则______=∠DAB 。 6、如图,四边形ABCD 中,,26,24,8,6cm DA cm CD cm BC cm AB ====且 90=∠ABC ,则四边形ABCD 的面积是2_____cm 。 7、如图,P 是长方形ABCD 内一点,已知5,4,3===PC PB PA ,那么2 PD 等于_____。8、矩形纸片ABCD 中,3=AB 厘米,4=BC 厘米,现将C A ,重合, 使纸片折叠压平,设折痕为EF ,重叠部分?AEF 的面积为____。 9、如图,已知B A ∠=∠,111,,PP BB AA 均垂直于11B A ,A A B B C C P 题图) 第4(D 题图)第5(D A B C 题图)第6(题图)(第7A B C D P 12 ,20,16,1711111====B A BB PP AA