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八年级上册勾股定理复习资料

八年级上册勾股定理复习

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Prepared on 22 November 2020

八年级上册学生辅导材料－－勾股定理

1、勾股定理：

几何语言：如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90°

根据勾股定理：222c b a =+

1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为_________ 斜边上的中线长为_____________，斜边上的高长为_________________

2、在Rt △ＡＢＣ中，ＡＢ＝c ，ＢＣ＝a ， AC ＝b ，，∠C=90°，（要求画出草图） ①已知a=5，b=12，求c ②已知a=15，c=25，求b ③若a ∶b=3∶4，c=10求ABC

S ?

3、如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离．

4、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为（）

A 、13

B 、5

C 、13或5

D 、无法确定

5、下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，求第4个直角三角形斜边长度是 cm 练习：

6、正方形的面积是4，则它的对角线长是（） A 、2 B 、2 C 、22 D 、4

7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（）

A 、6

B 、6

C 、5

D 、4

8、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m ；

9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，AB=60m,BC=84m,

AE=100m,?则这条小路的面积是多少

10、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防

海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住

2、勾股定理的逆定理：______________________________________________________________. 判断一个三角形是否为直角三角形

方法：（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系

（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。

勾股数：满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。

如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41

11、如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：

从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点上，且长度分别为（1）32；（2）25； (3) 10 (4)13

12. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＡＣ＝23， ∠C ＝３０°，求∠B 的大小．

13. 如图，AD ⊥CD ，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，已知∠C ＡＢ＝α，求∠B ．

8km

B 6km

B C

14、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师

傅量得这个零件各边尺寸如图，请问这个零件符合要求吗

15、如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC, △ADC 的面积为30， DC=12,AB=3,BC=4,求△ABC 的面积练习

1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x ，试求出x 的所有可能值．

2.如图，已知CD ＝６m ， AD ＝８m ， ∠ADC ＝９０°， BC ＝２４m ，ＡＢ＝２６m ．求图中阴影部分的面积．

3. 如图，四边形ＡＢＣD 中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD ＝３，ＤＡ＝１，且∠B ＝９０°，求∠D ＡＢ的度数．

4. 有一块四边形地ＡＢＣD （如图），∠B ＝９０°，ＡＢ＝４m ，ＢＣ＝３m ， CD ＝１２m ， DA ＝１３m ，求该四边形地的面积． 3、勾股定理的应用： (一)面积问题：

1.如右图，字母“A ”所代表的正方形的面积为________________；

2．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．

3. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、 B 、 C 、 D 的面积和= ．

4.如右图, 在Rt △ABC 中，分别以三边为直径半圆，若三个半圆的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 2与S 3的大小关系是…………( )

A B

A N A

N A. S 1+S 2﹥S 3 B. S 1+S 2=S 3 C. S 1+S 2﹤S 3 D. 无法确定

5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积= ．（二）勾股定理在立体图形中的应用：

例1如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到０.０１cm ）

图练习1：一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD 的中点O ，已知底面周长为8,高为6,试求出爬行的最短路程。（精确到）

2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于36cm ，10cm 和6cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只小虫子，想到B 点去吃可口的食物。请你想一想，这只小虫子从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少例2、一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，问吸管要做多长

练习3、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少㎝．(保留1位小数) （三）方程思想：一、利用方程求线段长

1.如图，一架长为5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子底端距离墙ON 有3米。

①求梯子顶端与地面的距离OA 的长。

②若梯子顶点滑1米到C 点，求梯子的底端向右滑到距离。

2.已知等腰直角三角形斜边的长为2cm ，这个三角形的周长是_________ △ABC 中，∠ C=90°，若两直角边a,b 满足12,7==+ab b a ，则=c 4.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）

A. 5

C. 7

5.国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m ，拉着绳子下端离开旗杆5m 时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高为_______．

6.如图一棵大树被台风吹倒，树的顶部落在离树跟底部8米且（1）发现折断的部分长和没倒下的部分长的比值是5:3，求折断的部分多长

（2）发现折断的部分比没倒下的部分长4米，求大树未断前的长度 7.如图，公路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄， DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路AB 上建一车站E ，

（1）若使得C ，D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少km 处DE 与CE 的位置关系

（2）若使得C ，D 两村到E 站的距离最短，E 站建在离A 站多少km 处二、利用方程解决翻折问题 1. 如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知cm AB 8=，cm BC 10=，求EC 的长；

2.如图，在矩形ＡＢＣD 中，ＡＢ＝6cm ，ＡD=10cm,在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边ＢＣ上一点F 处。 A

D E A D

B C

（1）写出图中相等的线段，看谁写的多！（2）求线段BF 的长。

（3）试着求线段CE 、EF 的长。

3. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于_________

=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗

5.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中

心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险

第13题图

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

(完整版)新人教版数学八年级勾股定理测试题(含答案)

勾股定理的逆定理测试试题一、基础加巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）. 图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6 3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=4 1AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－7 6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形. 二、综合·应用 7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长，△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么△A 1B 1C 1是直角三角形吗？为什么？

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8 9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－9 10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状. 解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形. 问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________ ； ③本题的正确结论是_________ _. 11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状. 12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积. 图18－2－10

八年级上册勾股定理复习资料

八年级上册学生辅导材料－－勾股定理 1、勾股定理：几何语言：如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90° 根据勾股定理：222c b a =+ 1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为_________ 斜边上的中线长为_____________，斜边上的高长为_________________ 2、在Rt △ＡＢＣ中，ＡＢ＝c ，ＢＣ＝a ， AC ＝b ，，∠C=90°，（要求画出草图） ①已知a=5，b=12，求c ？ ②已知a=15，c=25，求b ？ ③若a ∶b=3∶4，c=10求ABC S ?？ 3、如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离． 4、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为（） A 、13 B 、5 C 、13或5 D 、无法确定 5、下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，求第4个直角三角形斜边长度是 cm 练习： 6、正方形的面积是4，则它的对角线长是（） A 、2 B 、2 C 、22 D 、4

7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（） A 、6 B 、6 C 、5 D 、4 8、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m ； 9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，AB=60m,BC=84m, AE=100m,?则这条小路的面积是多少? 10、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？ 2、勾股定理的逆定理： ______________________________________________________________. 判断一个三角形是否为直角三角形方法：（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。勾股数：满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 11、如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点上，且长度分别为（1）32；（2）25； (3) 10 (4)13 12. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＡＣ＝23， ∠C ＝３０°，求∠B 的大小． 13. 如图，AD ⊥CD ，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，已知 8km C A B 6km

勾股定理知识点总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；（2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

勾股定理知识点与常见题型总结

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勾股定理复习一.知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证

八年级上册勾股定理测试题修订版

八年级上册勾股定理测试题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

八年级上册第一章勾股定理测试题班级姓名得分一、选择题（4分*5=20分） 1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A. 7，12，15; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15. 2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( ) A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形 3、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（） A、6厘米 B、8厘米 C、厘米 D、厘米 4、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 5、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里二、填空题（4分*5=20分） 6、在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝． 7、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为三角形。 8.如果8,a,17是勾股数,则a= 9、在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,则此三角形的面积等于． 10、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2 三、解答题 11、如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远（ 10分） 12、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是多少（ 10分） 19、19.如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识 (1)求△ABC的面积 (2)判断△ABC是什么形状并说明理由. （10分）

苏科版八年级数学上册勾股定理章节知识点

§3.1勾股定理【知识点梳理】一、格点图形的面积在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.利用网格可以求出格点图形的面积. 例1：如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.图中的四边形ABCD 就是一个“格点多边形”，求四边形ABCD 的面积. 二、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.若把直角三角形的两条直角边和斜边分别记为c b a 、、（如图3.1.1），则222c b a =+ 例2：在Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）如果AC=3,BC=4，那么AB= (2)如果AB=25，BC=24,那么AC= 三、勾股定理的验证勾股定理的推导方法有很多种，到目前为止，能够验证勾股定理的方法有近500种.课本上是利用图形的“截、割、补、拼”来说明表示相同图形面积的代数式之间的恒等关系，既具有严密性，又具有直观性. 例3：如图，分别以边长分别为c b a 、、（c 为斜边）的直角三角形的3边为边向外作三个正方形拼成如图所示的图形，是利用面积知识验证勾股定理. 四、勾股定理的应用勾股定理揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，只要知道直角三角形中任意两条边的长度就可以求出第三条边的长度. 例4：如图，滆湖有A 、B 两点，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C 处测得CA=13米，CB=12米，求AB 长.

【典例展示】题型一格点图形中的距离问题例1：如图，每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点B到AC所在直线的距离为题型二运用勾股定理求直角三角形的边长例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，求：（1）DE的长；（2）△ADB的面积. 题型三折纸中勾股定理的运用例3：如图，四边形ABCD是一张边长为9的正方形，将其沿MN折叠，使点B落在边CD上的点B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 题型四运用勾股定理进行说理例4：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D、E，F为BC的中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．

勾股定理知识点总结及练习

第课时第十八章勾股定理一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=?，则 2 2 c a b = +，22 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 3：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2 2 21,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

八年级数学勾股定理练习题

勾股定理练习一．填空题： 1. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______. 2．在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________. 3．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE=4， AC=10，则AB=_____________. 4．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。 5．已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条 6．如图，在△ABC 中，则DE 的长为_______. 7的正方形的边和长为7cm 。 (第3题) 8．在一棵树的10的A 处。另一只爬到树顶9．有两棵树，一棵高6的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.则四边形ABCD 的面积 20dm 、3dm 、2dm ，A 和 A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则 _____________. （第9题）（第10题）（第11题）二．选择题： 1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A 、a=1.5，b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4,c=5 C A B C D 20 32A B

八年级上册勾股定理

八年级上册勾股定理 1、如图，在四边形ABCD 中，,3,2,90,60===∠=∠=∠CD BC D B A 则=AB ( ) A.4 B.5 C.32 D. 33 8 2、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是 30，那么这个三角形的形状是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 3、如图，在ABC Rt ?中, 90=∠BAC ,过顶点A 的直线ACB ABC BC DE ∠∠、,//的平分线分别交DE 于点D E 、,若10,6==BC AC ,则DE 的长为（） A.14 B.16 C.18 D.20 4、如图，P 为ABC ?边BC 上的一点，且PB PC 2=,已知,60,45 =∠=∠APC ABC 则 ACB ∠的度数是_____。 5、如图，四边形ABCD 中，已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且 90=∠B ,则______=∠DAB 。 6、如图，四边形ABCD 中，,26,24,8,6cm DA cm CD cm BC cm AB ====且 90=∠ABC ,则四边形ABCD 的面积是2_____cm 。 7、如图，P 是长方形ABCD 内一点，已知5,4,3===PC PB PA ,那么2 PD 等于_____。8、矩形纸片ABCD 中，3=AB 厘米，4=BC 厘米，现将C A ,重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，重叠部分?AEF 的面积为____。 9、如图，已知B A ∠=∠,111,,PP BB AA 均垂直于11B A ，A A B B C C P 题图）第4(D 题图）第5(D A B C 题图）第6(题图）（第7A B C D P 12 ,20,16,1711111====B A BB PP AA

勾股定理知识点总结

第十七章勾股定理知识点总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A

初二上勾股定理(经典题型)

初二上勾股定理(经典题型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

- 2 - 第十九章几何证明 ——勾股定理及两点之间的距离公式【知识回顾】 1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。） 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 4、常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)….. 5、勾股定理的证明图 6、两点之间的距离公式：2 122 12)()(y y x x AB -+-= 【例题讲解】例题1、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含n （n 是整数数）的等式表示上述变化规律；

（2）求出的值。例题3、已知等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长？若能，请把它们求出来，若不能，要说明理由。例题2、如图所示，已知△ABC的三边 15= = =AC BC AB求△ABC , 20 25 , , 最长边上的高？例题4、已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且 ∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2． - 3 -

- 4 - 例题5、如图，已知0090,60=∠=∠=∠D B A ，AB=2，CD=1，求BC 、AD 的长。例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是多少？

八年级上册数学第一章勾股定理同步练习(含答案)

第一章勾股定理 1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理 1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= . 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 . 3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 . 4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）. A．30 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2 5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离. 6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，

要从树底开始爬多高？ 7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长. 参考答案： 1．（1）13；（2）8；（3）6，8． C F

2．2.5m． 60cm． 3． 13 4．D． 5．25km． 6．4． 7．3 cm． 1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理 1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52. （1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？ 2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.

八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习知识讲解

八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习

勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理: . 勾股数： . 常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25。要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例1、若Rt ABC 中，90C ?∠=且a=5,b=12,则c= , 例2、Rt △ABC 中，若c=10,a ∶b=3∶4,则a= ,b= . 例3、如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm 4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。其中是勾股数的有（）组 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 练习 1、在△ABC 中，∠C=90°,c=37,a=12，则b=（） A 、50 B 、35 C 、34 D 、26 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（） A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10 3、若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25 知识点二：勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：例1、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2 ,则此三角形是 ( ).

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.doczj.com/doc/594198131.html, 勾股定理全章知识点归纳总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.doczj.com/doc/594198131.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A