第一讲 极限与连续
主要内容概括(略)
重点题型讲解
一、极限问题
类型一:连加或连乘的求极限问题 1.求下列极限: (1)???
?
??+-+
+?+
?∞
→)12)(12(1
5
313
11lim n n n ; (2)1
1lim 3
3
2
+-=∞→k k n
k n π
;
(3)∑
=∞
→+n
k n
n k k 1
])
1(1
[lim ;
2.求下列极限: (1)????
?
?++
+++
+∞→n n n n n 2
2
2
41
2
411
41lim ; 3.求下列极限: (1)????
?
?
++
+++
+∞→222
2
2
21
2
11
1lim n n n n n ; (2)n
n n
n !lim ∞
→;
(3)∑
=∞
→++
n
i n n
i n 1
2
11lim
。
类型二:利用重要极限求极限的问题 1.求下列极限: (1))0(2
cos
2
cos
2
cos
lim 2
≠∞
→x x x x n
n ; (2)n
n
n n
n n 1sin
)1(lim
1
+∞
→+;
2.求下列极限: (1)()
x
x x
cos 11
2
sin 1lim -→+;
(3))
21ln(1
03
sin 1tan 1lim x x
x x x +→?
?
? ??++; (4)2
1cos lim x
x x ?
?? ?
?
∞→;
类型三:利用等价无穷小和马克劳林公式求极限的问题 1.求下列极限:
(1))cos 1(sin 1tan 1lim
x x x
x x -+-+→; (2))
cos 1(lim
tan 0
x x e
e
x
x
x --→;
(3)]1)3
cos 2[(
1lim
3
-+→x
x x
x
; (4))tan
11(
lim 2
2
x
x
x -
→;
(5)2
3
)3(lim
x
x x
x
x -+→;
(6)设A a x x f x
x =-+
→1
)
sin )
(1ln(lim
,求2
)(lim
x
x f x →。
2.求下列极限:x
x e
x x
x sin cos lim
3
2
2
-→-
类型四:极限存在性问题:
1.设01,111=-+=+n n x x x ,证明数列}{n x 收敛,并求n n x ∞→lim 。
2.设)(x f 在),0[+∞上单调减少、非负、连续,),2,1()()(1
1
=-
=?
∑
=n dx x f k f a n
n
k n ,
证明:n n a ∞
→lim 存在。
类型五:夹逼定理求极限问题: 1.求?
+∞
→1
1sin
lim
dx x
x
n
n ;
2.),,()(lim 1
非负c b a c b a n n
n
n
n ++∞
→;
3.)0(21lim
2≥???
? ??++∞
→x x x n
n
n
n 。 类型六:含参数的极限问题: 1.设0)3sin (lim 2
3
=++--→b ax
x x
x ,求b a ,;
2.设3)11lim 2=???
?
??+-++∞→b ax x x x ,求b a ,; 类型七:中值定理法求极限:
1、)1
arctan (arctan
lim 2
+-∞
→n n n n ππ;
2、)(lim 1
21
1
212
+-+∞
→-x x x e
e
x 。
类型八:变积分限函数求极限:
1、)
11)(tan (2
cos lim
2
-+--
-?
→x x x x
x tdt e x
t
x 。
2、设)(x f 连续,且1)1(=f ,则1
)(lim 3
1
1
1
-?
→x dt xt f x
x 。
二、连续与间断的判断
1.设???
?
?
??
??<≤---+=>+=01,110,00,)
1ln()(x x x x x x x x x f ,讨论函数)(x f 在0=x 处的连续性。
2.讨论?????=≠+-=0
,10,)12()12()(1
1
x x x f x x
在0=x 处的连续性。
三、连续性命题的证明
1.设),[)(+∞∈a C x f 且)(lim x f x +∞
→存在,证明)(x f 在),[+∞a 上有界。
2.设)(x f 在],[b a 上连续,任取0,0>>q p ,证明:存在),(b a ∈ξ,使得
)())()()(ξf q p b qf a pf +=+。
第二讲 微分学
第一部分 一元函数微分学
内容复习(略)
重点题型讲解
(一)与导数定义相关的问题 1.设)(0x f '存在,求)0()
()(lim
000
≠--+→αβαβh h x f h x f h 。
2.设)(x f 在1=x 处连续,且21
)(lim
2
1
=-→x x f x ,求)1(f '。
3.设)(x f 在),(+∞-∞上有定义,对任意的y x ,有)()()(y f x f y x f =+,且1)0(='f ,求)(x f 。
4.设)(x f 二阶连续可导,且1)(lim
=→x
x f x ,e f ='')0(,则______lim
2
)
(0
=-→x
e
e
x
x f x 。
5.设)(x f 在),(+∞-∞上有定义,且对任意的x 有)(2)1(x f x f =+,又当]1,0[∈x 时,
有)1()(2x x x f -=,讨论)(x f 在0=x 处的可导性。 (二)各类求导数的问题 1.设x
x
e
x
x e
y +-+
=111sin
,求y ';
2.设x
x e
y +-=11arctan
,求y ';
3.)100()2)(1(+++=x x x x y ,求)101(),0(y y ';
4.设)(x f y =由???+=+-=2
3)1ln(t
t y t t x 确定,求22
dx y
d ; 5.设x y y x =,求
dx
dy ;
6.设y xy e xy =+)tan(,求
=x dx
dy ;
7.设)(x y y =由?????=++=5
sin 3tan 2
2y t ty te
x t
确定,求dx dy ;
8.设?????≥-+<+=0
,)1(2arctan 90
,2sin )(3
x x b x x ae x x f x
在0=x 处可导,求b a ,;
9.求下列函数的导数: (1)设dt t x y x
?
=0
2
2
cos ,求
dx
dy ;
(2)设?
-=
x
dt x t tf y 0
2
2
)(,求dx
dy ;
10.设)(x f 连续,?
=1
)()(dt xt f x ?,且A x
x f x =→)(lim
,求)(x ?',并讨论)(x ?'在0
=x 处的连续性。
11.设??
?
??=≠-=0,0,cos )()(x a x x
x
x g x f ,其中)(x g 二阶可导且1)0(=g 。 (1)当a 为何值时,)(x f 在0=x 处连续;(2)求)(x f ';(3)研究)(x f '在0=x 处的连续性。 解答:
(1)]cos )0()
0()([
lim cos )(lim
)(lim 0
x
x
g x
g x g x x
x g x f x x x -+
-=-=→→→
)0(]cos 1)
0()([
lim 0
g x
x
x
g x g x '=-+-=→,
于是当)0(g a '=时,)(x f 在0=x 处连续。
(2)当0=x 时,x
g x
x
x g x
f x f x x )
0(cos )(lim
)
0()(lim
'--=-→→
)]0(1[2
12sin )0()(lim
)0(cos )(lim
2
g x
x
g x g x x
g x x g x x ''+=+'-'='--=→→,
即)]0(1[2
1)0(g f ''+=';
当0≠x 时,2
cos )(]sin )([)(x
x
x g x x g x x f +-+'=',于是
???
???
?≠+-+'=''+='0,cos )(]sin )([0),0(1[2
1
)(2x x x x g x x g x x g x f 。 (3)因为2
cos )(]sin )([lim
)(lim x
x
x g x x g x x f x x +-+'='→→
)0()]0(1[2
1]cos )(sin )([
lim 2
f g x
x
x g x
x
x g x '=''+=
--
+'=→,
所以)(x f '在0=x 处连续。
12.设)(x f 在]1,1[-上可导,)(x f 在0=x 处二阶可导,且4)0(,0)0(=''='f f ,求
3
)]
1[ln()(lim
x
x f x f x +-→。
13.设)
1()
1(21lim
)(--∞
→+++=x n x n n e
b
ax e
x x f ,求)(x f ,并讨论)(x f 的连续性和可导性。
(三)高阶导数问题 1.设x e y x sin =,求)
(n y
;
2.设)23ln(2
+-=x x y ,求)
(n y 。
3.设)1ln()(2
x x x f +=,求)0()
49(f
。
第二部分 一元函数微分学的应用
内容复习(略)
附:中值定理部分的推广
1.设)(x f 在0x x =的邻域内n 阶连续可导,则有
))(()(!
)
())(()()(000)
(000n
n n x x o x x n x f
x x x f x f x f -+-+
+-'+= 。
2.(导数零点定理)设],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内可导,且0)()(<''-+b f a f ,则存在
),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf 。
3.(导数介值定理)设设],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内可导,且)()(b f a f -+'≠',不妨设)()(b f a f -+'<',则对任意的)](),([b f a f -+''∈η,存在),(b a ∈ξ,使得ηξ=')(f 。
4.设],[)(b a C x f ∈,且)0(0)(<>''x f ,则有
))(()()()(000x x x f x f x f -'+≤≥,等号成立当且仅当0x x =。
重点题型讲解
(一)中值定理等式的证明
类型一:目标表达式中仅含ξ不含端点字母,且导数之间相差一阶
1.设)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,且0)1(,1)0(==f f ,证明:存在)1,0(∈ξ,使得 0)()(2='+ξξξf f 。
2.设)(x f 在]1,0[上可微,且?-=31
1)(3)1(dx x f e f x ,证明:存在)1,0(∈ξ,使得
0)()(=+'ξξf f 。
3.设)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,0)1(,1)2
1
(,0)0(===f f f 。证明:
(1)存在)1,2
1
(∈η,使得ηη=)(f ;
(2)对任意的),(+∞-∞∈k ,存在),0(ηξ∈,使得 1])([)(=--'ξξξf k f 。
类型二:目标表达式中含两个中值
1.设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且0)(≠'x f ,证明:存在),(,b a ∈ηξ,使
得η
ηξ---=''e
a
b e e f f a
b
)
()(。
2.设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,1)()(==b f a f ,证明:存在),(,b a ∈ηξ,使得
ξ
ηηη-='-e f f )()(。
3.设]1,0[)(C x f ∈,在)1,0(内可导,且1)1(,0)0(==f f ,证明:对任意的正数b a ,,
存在)1,0(,∈ηξ,使得
b a f b f a +='+
')
()
(ηξ。
4.设],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内可导(0≥a ),证明:存在),(,,321b a ∈ξξξ,使 2
3
32
2
2
213)()
(2)()
()(ξξξξξf b ab a f b a f '++='+='。
类型三:目标表达式中含有端点和中值ξ
1.设],[)(),(b a x g x f ∈,在),(b a 内可导,且0)(≠'x g ,证明:存在),(b a ∈ξ,使得
)
()()
()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=
--。
类型四:目标表达式为0)()
(=ξn f
1.设函数)(x f 在区间]3,0[上连续,在)3,0(内可导,且3)2()1()0(=++f f f ,1)3(=f ,
证明:存在)3,0(∈ξ,使得0)(='ξf 。
3.设)(x f 在]1,0[上三阶可导,且)()(,0)1()0(3x f x x H f f ===,证明:存在)1,0(∈ξ,使得0)(='''ξH 。
4.设],[)(b a C x f ∈,且0)()(<''-+b f a f ,证明:存在),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf 。 类型五:目标表达式为0)
()(C f
n =ξ(其中0C 为常数)
1.设],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内二阶连续可导,证明:存在),(b a ∈ξ,使得 )(4)()(22)(2
ξf a b a f b a f b f ''-=
+??
? ??+-。
2.设)(x f 在]1,1[-上三阶连续可导,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:存在
)1,1(-∈ξ,使得3)(='''ξf 。
3.设n a a a <<< 21为n 个不同的实数,函数)(x f 在],[1n a a 上有n 阶导数,并满足
0)()()(21====n a f a f a f ,则对每个],[1n a a c ∈,存在),(1n a a ∈ξ满足等式
)(!
)
())(()()
(21ξn n f
n a c a c a c c f ---=
。
(二)中值定理不等式的证明
1.],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内可导,)()(b f a f =,且)(x f 不是常数,证明:存在),(b a ∈ξ,使得 0)(>'ξf 。
2.设],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内可导,且曲线)(x f y =非直线,证明:存在),(b a ∈ξ,
使得 a
b a f b f f -->')()(|)(|ξ。
3.],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内二阶可导,且0)(,0)()(>'==+a f b f a f ,证明:存在
),(b a ∈ξ,使得0)(<''ξf 。
4.设)(x f 在],[b a 上满足2|)(≤''x f ,且)(x f 在),(b a 内取到最小值,证明: )(2|)(||)(|a b b f a f -≤'+'。
5.)(x f 二阶可导,且1)(min ,0)1()0(1
0-===≤≤x f f f x ,证明:8)(max 1
0≥''≤≤x f x 。
6.设)(x f 在],[b a 上二阶可导,0)(>''x f ,对任意的],[b a x i ∈(n i ≤≤1)及0>i k (n i ≤≤1),证明:
)()()()(22112211n n n n x f k x f k x f k x k x k x k f +++≤+++ 。
7.设1)(lim
=→x
x f x 且0)(>''x f ,证明:x x f ≥)(。
8.设)(x f 在),0[+∞上有定义且0)0(,0)(=<''f x f ,证明:对任意的0,0>>b a ,有
)()()(b f a f b a f +<+。
9.设)(x f 在],[b a 上二阶可导,且0)()(='='b f a f ,证明:存在),(b a ∈ξ,使得 2
)/(|)()(|4|)(|a b a f b f f --≥''ξ。 10.设)(x f 在0x 的邻域内四阶可导,且)0(|)(|)4(>≤M M x f ,证明:对此邻域内任一不
同于0x 的a ,有 2
02
000)(12
|)
()
(2)()()(|x a M x a x f b f a f x f -≤
--+-
'',
其中b 是a 关于0x 的对称点。
11.设)(x f 在]1,0[上二阶可导,)1()0(f f =且2|)(|≤''x f ,证明:对任意的]1,0[∈x ,有1|)(|≤'x f 。
12.一质点从时间0=t 开始直线运动,移动了单位距离使用了单位时间,且初速度和末速度都为零。证明:在运动过程中存在某个时刻点,其加速度绝对值不小于4。 (三)求中值定理中θ的极限问题
1.设)(x f 二阶连续可导,且0)(≠''x f ,又h h x f x f h x f )()()(θ+'+=+(10<<θ)。 证明:2
1lim 0
=
→θh 。
2.设)0()
(211≥+=-+x x x x x θ,证明:2
1)(4
1<≤x θ。
(四)与极值、最值相关的命题
1.设)(),(x g x f 在],[b a 二阶可导,满足0)()()()(=-'+''x f x g x f x f ,且
)(0)()(b a b f a f <==,证明:]),[(0)(b a x x f ∈≡。
2.求数列+∞2}{n n 中的最大者。 (五)不等式的证明问题
1.设)0)(()(),0()0(),0()0(>''<'''='=x x g x f g f g f ,证明:当0>x 时,)()(x g x f <。 2.证明:221)1ln(1x x x x +≥+++。
3.证明:当0>x 时,有2
2)1(ln )1(-≥-x x x 。
4.设0>>a b ,证明:b
a a
b a
b +->
)(2ln
。
5.当0>x 时,证明
2
12)
1ln(arctan +≤
+x x 。
(六)方程根的个数讨论 1.讨论方程)0(>=-a a xe
x
的根的个数。
2.设),0[+∞内有0)(≥''x f ,且2)0(,1)0(='-=f f ,证明:0)(=x f 在),0(+∞内有且仅有一个根。 3.证明方程dx x e
x x ?
--
=π
2cos 1ln 在),0(+∞内有且仅有两个根。
(七)选择题
1.设)(x f 在0=x 处二阶可导,且2)
()(lim
='+→x
x f x f x ,则 ( )
(A ))0(f 是)(x f 的极大值. (B ))0(f 是)(x f 的极小值.
(C )))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点. (D ))0(f 不是)(x f 的极值点,))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点.
2.设)(x f 二阶连续可导,3
2)
2()(lim
3
2
=
-'→x x f x ,则 ( )
)(A )2(f 是)(x f 的极小值;)(B )2(f 是)(x f 的极大值; )(C ))2(,2(f 是曲线)(x f y =的拐点;
)(D )2(f 不是函数)(x f 的极值点,))2(,2(f 也不是曲线)(x f y =的拐点。
3.设)(x f 二阶连续可导,且1)(lim
-=''→x
x f x ,则( )
)(A )0(f 是)(x f 的极小值; )0()(f B 是)(x f 的极大值;
))0(,0)((f C 是曲线)(x f y =的拐点; 0)(=x D 是)(x f 的驻点但不是极值点。
4.设0>k ,则函数k e
x x x f +-
=ln )(的零点个数为 ( )
)(A 0个; )(B 1个; )(C 2个; )(D 3个。
5.曲线11
2
1
1-++=x e x x y 的渐近线的条数为 ( )
)(A 0条; )(B 1条; )(C 2条; )(D 3条。
第三部分 多元函数微分学
内容复习
(一)基本概念
1.多元函数的极限:设),(y x f z =的定义域为D ,),(000y x M 为平面上一点,若对于任意的0>ε,总存在0>δ,当δ<-+-<2
020)()(0y y x x 时,有
ε<-|),(|A y x f ,
则称),(y x f 当00,y y x x →→时以A 为极限,记为A y x f y y x x =→→),(lim 0
0。
2.多元函数的连续:设),(y x f z =在点),(000y x M 的邻域内有定义,若
),(),(lim 000
0y x f y x f y y x x =→→,则称函数),(y x f z =在点),(000y x M 处连续。
3.偏导数:设),(y x f z =在点),(000y x M 的邻域内有定义,若
x
y x f y x x f x ?-?+→?)
,(),(lim
00000
存在,称函数),(y x f z =在点),(000y x M 处对x 可偏导,
极限记为)
,()
,(000000,
),
,(y x y x x x
z x
f y x f ????';若y
y x f y y x f y ?-?+→?)
,(),(lim
00000
存在,称函数
),(y x f z =在点),(000y x M 处对y 可偏导,极限记为)
,()
,(000000,
),
,(y x y x y y
z y
f y x f ????'。
4.可微与全微分:设),(y x f z =在点),(000y x M 的邻域内有定义,记 ),(),(0000y x f y y x x f z -?+?+=?, 若)(ρo y B x A z +?+?=?,其中B A ,为常数,2
2
)()(y x ?+?=
ρ,则称),(y x f z =在
点),(000y x M 处可微,称y B x A ?+?为),(y x f 在点),(000y x M 处的全微分,记为 y B x A dz ?+?=。 注解:
(1)若),(y x f z =在点),(000y x M 处可微,则)
,()
,(0000,y x y x y
f B x
f A ??=
??=
;
(2)若),(y x f z =为可微函数时,y
f dx x
f dz ??+
??=
;
5.方向导数:设),(y x f z =在点),(000y x M 的邻域内有定义,从点),(000y x M 印一条射线l , 设l y y x x M ∈?+?+),(00,令2
2
)()(y x ?+?=ρ。
若ρ
ρ)
,(),(lim
00000
y x f y y x x f -?+?+→存在,称此极限为函数),(y x f z =在点)
,(000y x M 处沿射线l 的方向导数,记为0|M l f ??。
注解:
(1)设),(y x f z =在点),(000y x M 处可微,则
ααsin |cos ||000M M M y
f x
f l
f ??+
??=
??(其
中α为射线l 与x 轴正方向的夹角)。
(2)设),,(z y x f u =在点),,(0000z y x M 处可微,则 γβαcos |cos |cos ||0000M M M M z
f y
f x
f l f ??+
??+
??=
??,
(其中γβα,,为射线l 与x 轴、y 轴、z 轴正方向的夹角)
。 6.梯度:设),,(z y x f u =为二元可微函数,称
},,{
z
u
y u x u k z u j y
u i x u ??????=??+
??+
??为函数),,(z y x f u =的梯度,记为?
???????????=??+
??+
??=
z u y u x u k z u
j y
z i x
z z y x gradf ,,),,(。 注解:梯度的方向即为函数在一点处方向导数最大的方向,梯度的模即为方向导数的最大值, 因为
{}γβαγβαcos cos cos ,,cos cos cos ,,??
??
?????????=??+
??+
??=??z u y u x u z f
y f x f l f θcos ,,2
2
2
???
????+???
? ????+??? ????=
?????????????=z u y u x u e z u y u x u (其中θ为l 与gradf 的夹角), 所以当0=θ时,1cos =θ,此时方向导数最大,且最大值为2
2
2
???
????+?
??
? ????+??? ????z u y u x u 。 (二)偏导数求法
1.显函数求偏导数; 2.复合函数求偏导数:
(1)),(v u f z =,其中)(),(t v t u φ?==,求
dt
dz ;
(2)),(v u f z =,其中),(),,(y x v v y x u u ==,求
y z
x z ????,
; (3)),,(x v u f z =,其中),(),,(y x v v y x u u ==,求y
z
x z ????,
; 3.隐函数(组)求偏导数: (1)设0),(=y x F ,求
dx
dy ; (2)设0),,(=z y x F ,求
y
z
x z ????,
; (3)设?
??==,0),,,(,0),,(z y x G z y x F ,求dx dz ,dy dz
;
(4)??
?==,
0),,,,(,0),,,(v u y x G v u y x F ,求
y u x u ????,
及y
v
x v ????,。 (三)多元函数微分学在函数极值上的应用
1.无条件极值
求函数),(y x f z =极值的步骤: (1)确定函数),(y x f z =的定义域; (2)由???='='0
0y x
z z 求出函数的驻点;
(3)利用判别定理,设),(00y x 为一个驻点,令
),(),,(),,(000000y x f C y x f B y x f A yy xy xx
''=''=''=, Case I 若02>-B AC ,则点),(00y x 为函数的极值点,当0>A 时,),(00y x 为极小点;当