《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.6
12arctan lim
)
21ln(arctan lim
3
3
-
=-=+->->-x
x
x x x x x x （等价小量与洛必达）
2.已知2
3
)
(6lim
0)
(6sin lim
x
x f x
x xf x x x +=+>->-，求
解：2
3
3'
)(6cos 6lim
)
(6sin lim
x
xy x f x x
x xf x x x ++=+>->-
72)0(''06
)
0(''32166
'
''''36cos 216lim
6'
''26sin 36lim 0
=∴=+-=
++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x
362
722
''lim
2'lim
)
(6lim
2
==
==+>->->-y x
y x
x f x x x （洛必达）
3.121
)1
2(
lim ->-+x x
x x x （重要极限）
4.已知a 、b 为正常数，x x
x x b
a 3
)2
(
lim +>-求
解：令]2ln )[ln(3ln ,)2
(
3
-+=
+=x
x x x
x b a x
t b
a t
2
/300
)
()
ln(2
3)ln ln (3lim
ln lim ab t ab b b a a b
a t x
x x
x
x x =∴=
++=>->-（变量替换）
5.)
1ln(1
2
)
(cos lim x x x +>-
解：令)ln(cos )
1ln(1ln ,)
(cos 2
)
1ln(1
2
x x t x t x +=
=+
2
/10
212tan lim
ln lim ->->-=∴-
=-=e
t x
x t x x （变量替换）
6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim
2
2
=⎰
⎰
>-x x x dt
t f x
dt
t f
（洛必达与微积分性质）
7.已知⎩
⎨⎧=≠=-0,0
,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
解：令2/1/)ln(cos lim 2
-==>-x x a x （连续性的概念）
三、补充习题（作业） 1.3cos
11lim
-=---->-x
x x e x
x （洛必达）
2.)1sin 1(
lim 0
x
x
ctgx x -
>- （洛必达或Taylor ）
3.11lim 2
2
=--->-⎰x
x
t
x e
dt
e
x （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理
会用定理证明相关问题
3.应用
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.⎩⎨⎧=+-==5
2arctan )(2t
e ty y t
x x y y 由决定，求dx dy 2.x y x y x x y y sin )ln()(3
2+=+=由决定，求
1|0==x dx
dy
解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy
+==2
)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线)2/,2
/πθρρπθ
e e （），在（==处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2
/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθ
θ
θ
θy e y x e y e x
x e
y -=-2
/π
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取x->0的极限有：f(1)=0
)
6(22)1('8)1('4])
1()1(3
)
1()1([lim sin )
sin 1(3)sin 1(lim
sin 0
-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t
f t f t
f t f x x f x f t t
x x
C.导数应用问题
6.已知x e x f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，
)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令⎩⎨⎧<>>>==
=-0
,00,0)(''000
10000x x x e e
x f x x x
x 代入，，故为极小值点。 7.2
3
)
1(-=
x x
y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x
：斜
：铅垂；；拐点及驻点2100''3
00'+===⇒===⇒=x y x x y x x y
8.求函数x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：101'arctan 2/22
-==⇒++=
+x x e
x
x x y x
与驻点π，2)2(-=-=x y x e y 与渐：π
D.幂级数展开问题
9.
⎰
=-x
x dt t x dx
d 0
2
2
sin )sin(
⎰
⎰
⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-
=-⋅
⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=
-+---+⋅⋅⋅+-+--
=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+--
-=----+-x
n n
n n
x n n n n
x
n x
x x dt t x dx
d n n x
x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 0
2
)
12(26
2
2
1
47
3
2
1
41
7
3
2
)
12(262
2sin )!
12()
1(!
31)sin()!
12)(14()1(7
!313
1)sin()!12)(14()
()
1()(7
!31)(3
1)sin()!
12()
()
1()(!
31)()sin(
或：2
2
2
sin sin )(sin x du u dx
d du u dx
d u t x x
x
==
-⇒
=-⎰
⎰
10.求)0(0)1ln()()
(2
n f n x x x x f 阶导数处的在=+=
解：)(2
)
1(3
2
()1ln(2
2
1
3
2
2
2---+--+⋅⋅⋅-+
-
=+n n n x
o n x
x
x
x x x x
=)(2
)
1(3
2
1
5
4
3
n n
n x o n x
x
x
x +--+⋅⋅⋅-+
-
- 2
!)
1()0(1
)
(--=∴-n n f
n n
E.不等式的证明
11.设)1,0(∈x ，2
1
1)1ln(112ln 1)1(ln )122<-+<-<++x x x x x ，求证（
证：1）令0)0(,)1(ln )1()(22=-++=g x x x x g
；得证。
单调下降，
单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0
)0('')0(',0)
1()1ln(2)('''),(''),('2
<<<∈∴==<++-
=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g
2）令单调下降，得证。,0)('),1,0(,1)
1ln(1)(<∈-
+=
x h x x
x x h
F.中值定理问题
12.设函数]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，
0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使
证：3
2
)('''!
31)0(''!
21)0(')0()(x f x f x f f x f η+
+
+=
其中]1,1[),,0(-∈∈x x η
将x=1，x=-1代入有
)
('''6
1)0(''2
1)0()1(1)
('''6
1)0(''2
1)0()1(021ηηf f f f f f f f +
+
==-
+=-=
两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f
3)](''')('''[2
1)('''][2121=+=
∍∈∃ηηξηηξf f f ，，
13.2
e b a e <<<，求证：)(4ln ln 2
2
2
a b e
a b ->
-
证：)(')()(:
ξf a
b a f b f Lagrange =--
令ξ
ξ
ln 2ln
ln ,
ln )(2
2
2
=
--=a
b a
b x x f
令2
2
2
2ln )()(0ln 1)(',ln )(e
e t
t t t
t t >
∴
>∴<-=
=
ξ
ξ
ϕξϕϕϕ
)(4ln ln
2
2
2
a b e
a b ->- （关键：构造函数）
三、补充习题（作业） 1.2
3)0('',11ln
)(2
-
=+-=y x
x x f 求
2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+⎪⎩⎪⎨⎧==x y t
e y t
e x t
t
处切线为在
3.e
x y x x
e x y 1)0)(1ln(+
=>+
=的渐进线方程为
4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x
证：令32
2
2)
1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(x
x x g x g x g x x x x g -=---=
02)1(''0)1(')1(>===g g g ，
00
'),,1(0'),1,0(0''2'',0'''),,1(2
'',0'''),1,0(>∴⎩⎨
⎧>∞∈<∈⇒>⇒⎭⎬⎫>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x
第三讲 不定积分与定积分
一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）
会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分
理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算
1.⎰
⎰
+-=--=
-C x x dx x x dx 2
2arcsin
)
2(4)
4(2
2.⎰⎰⎰+=+=
+C x e
xdx e
xdx e
dx x e x
x
x
x tan tan 2sec
)1(tan 222
222
3.设x
x x f )
1ln()(ln +=
，求⎰dx x f )(
解：⎰
⎰+=dx e
e dx x
f x
x
)
1ln()(
⎰+++-=+-
+
+=--C e e
x dx e
e
e e
x
x
x
x x
x
)1ln()1()11()1ln(
4.⎰
⎰
∞
∞
>-∞
+
=
+-
+-
=1
1
2
12
2ln 2
14
)11(
lim
|arctan 1arctan b
b dx x
x x
x x
dx x
x π
B.积分性质
5.)(x f 连续，⎰
=1
)()(dt xt f x ϕ,且A x
x f x =>-)(lim
，求)(x ϕ并讨论)('x ϕ在0=x 的连
续性。
解：x dy y f x xt y f x
⎰
=
⇒===0
)()(,0)0()0(ϕϕ
)0('2/)0('lim 2
)0(')()()('02
0ϕϕϕϕ==∴=-
=>-⎰
A A x
dy
y f x xf x x x
6.
⎰
⎰
---
=-x
x
x t d t x f dx
d dt t x tf dx
d 0
2
2
2
20
2
2)()(2)(
)()()(22
2
x xf y d y f dx
d x
⎰
==
C.积分的应用
7.设)(x f 在[0，1]连续，在（0，1）上0)(>x f ，且2
2
3)()('x a x f x xf +
=，又)
(x f 与x=1,y=0所围面积S=2。求)(x f ，且a=?时S 绕x 轴旋转体积最小。 解：
⎰
-=∴=+=
⇒=
1
2
42)(2
3)(2
3))((a c dx x f cx x a x f a x
x f dx d
⎰
-=∴==-+=∴1
2
2
50)'(')14(2
3)(a dx y V x x a x f π
8.曲线1-=x y ，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x 轴所围图形绕x 轴旋转的
表面积。
解：切线2/x y =绕x 轴旋转的表面积为ππ522
=
⎰yds
曲线1-=
x y 绕x 轴旋转的表面积为)155(6
22
1
-=
⎰π
πyds
总表面积为
)1511(6
-π
三、补充习题（作业） 1.⎰
+---=C x x x x dx x
x cot 2sin ln cot sin
sin ln 2
2.⎰+-+dx x x x 13
652
3.⎰dx x
x
arcsin
第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求 1.向量代数
理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分
理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange 乘数法求极值
4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法 A.求偏导、全微分
1.)(x f 有二阶连续偏导，)sin (y e f z x =满足z e z z x
yy xx 2''''=+，求)(x f
解：u u e c e c u f f f -+=⇒=-21)(0'' 2.y
x z y x y xy f x
z ∂∂∂++=
2
)()(1，求
ϕ
3.决定由0),,(),()(),(=+===z y x F y x xf z x z z x y y ，求dx dz /
B.空间几何问题
4.求
a z y x =++
上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。
解：a d a z z y y x x =⇒=
++000/
/
/
5.曲面21322
2
2
=++z y x 在点)2,2,1(-处的法线方程。
C.极值问题
6.设),(y x z z =是由01821062
2
2
=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点与极值。
三、补充习题（作业） 1.y
x z
x y
g y
x xy f z ∂∂∂+=2
),(),
(求
2.x
z
x y g y x
xy f z ∂∂+=求
)),(,
( 3.dz x
y y x u u z 求,arctan
,ln
,2
2
=+==ϕϕ
第五讲 多元函数的积分
一、理论要求
1.重积分
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球） ⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=D
r r b a
x y x y rdr r f d dy
y x f dx dxdy y x f 2
1
)
(2)(1)(2)(1),(),(),(θθθθθθ ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧=V
r r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f βαθϕθϕϕθϕθθθθθϕϕθϕθθθ)(2)(1)
,(2),(12
21)(2)(1),(2),(1)(2)(1)
,(2),(1sin ),,(),,(),,(),,(
会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
⎰⎰
++=
⇒=D
y x dxdy z z A y x f z 2
2''1),(
2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
⎰
⎰⎰⎰⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧+⇒=+⇒⎩⎨⎧==+⇒==L
t t b
a x d r r r r f r r L dt y x t y t x f t y y t x x L dx
y x y x f x y y L dl y x f βαβα
θ
θθθ222
22')sin ,cos ()(:''))(),(()()(:'1))(,()(:),(
熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系
熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⋅⨯∇=⋅⋅∇=⋅++=
=L
S
S V
Dxy
y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy
z z y x z y x f dS z y x f 旋度）
通量，散度）
()(:(:''1)),(,,(),,(2
2)
,(:
二、题型与解法 A.重积分计算
1.Ω+=⎰⎰⎰Ω
,)(2
2
dV y x I 为平面曲线⎩⎨⎧==0
22x z
y 绕z 轴旋转一周与z=8的围域。
解：3
1024)(20
2
20
8
22
28
2
2πθ
π
=
=
+=
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
≤+z
z
y x rdr r d dz dxdy y x dz I
2.⎰⎰
--+=
D
D dxdy y
x a y
x I ,42
2
2
2
2为)0(2
2>-+-=a x a a y 与x y -=围域。
（)2
116
(
2
2
-
=π
a I
3.⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他
,00,21,),(2x
y x y x y x f ，
求⎰⎰≥+D
x y x D dxdy y x f 2:,),(2
2 (49/20)
B.曲线、曲面积分 4.⎰-++-=
L
x
x
dy ax y e dx y x b y e
I )cos ())(sin (
)0,0(2)0,2(2
O x ax y a A L 至沿从-=
解：令A y O L 至沿从01=
3
2
20
1
1
2
)22
(
)()(a b a dx bx dxdy a b I a
D
L L L π
π
-
+=--
-=
-
=
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
+
5.⎰
+-=
L
y
x ydx xdy I 2
2
4,为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(>R L 。
解：取包含(0,0)的正向⎩⎨⎧==θ
θsin cos 2:1r y r x L ，
π==
∴
=-
=
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
-1
1
1
0L L
L L
L L
6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S ，
0)()(2=--⎰⎰
S
x
zdxdy e
dzdx x xyf dydz x xf ，且)(x f 在x>0有连续一阶导数，
1)(lim
0=+
>-x f x ,求)(x f 。
解：⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
Ω
Ω
--+=
⋅∇=
⋅=
s
x
dV e
x xf x xf x f dV F S d F ))()(')((02
)1(1)11(
'2-=
⇒=
-+x
x
x
e x
e
y e
x
y x
y
第六讲 常微分方程
一、理论要求 1.一阶方程
熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法
2.高阶方程 会求))(')(',('')),(')(',(''),()(y p y y y f y x p y y x f y x f y n =====
3.二阶线性常系数
⎪⎩
⎪⎨⎧+=→±=+=→=+=→≠⇒=++⇒=++)sin cos ()(0
0'''21121121211212
21x c x c e y i e
x c c y e c e c y q p q py y x x
x
x βββαλλλλλλλαλλλ(齐次) ⎪⎩⎪⎨⎧=→==→==→≠⇒=x n x n x
n x
n e
x x Q y and xe x Q y or e x Q y e
x P x f ααααλλαλλαλα22212212)()()()()((非齐次) ⎪⎩⎪⎨
⎧=+=→=±+=→≠±⇒+=)
,max((sin )(cos )((sin )(cos )(()
sin )(cos )(()(22j i n x x r x x q xe y i x
x r x x q e y i x x p x x p e
x f n n x
n n x
j i x
ββλβαββλβαββααα(非齐次)
二、题型与解法 A.微分方程求解
1.求0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x 通解。（)322c x y x xy =--
2.利用代换x
u y cos =
化简x e x y x y x y =+-cos 3sin '2cos ''并求通解。
（x
e
x c x
x c y e u u x
x
cos 5sin 2cos 2cos ,4''21
+
+==+） 3.设)(x y y =是上凸连续曲线，),(y x 处曲率为2
'
11y +，且过)1,0(处切线方程为
y=x+1，求)(x y y =及其极值。 解：2ln 2
11,2ln 2
11|)4
cos(
|ln 01'''max 2
+
=+
+-=⇒=++y x y y y π
三、补充习题（作业）
1.已知函数)(x y y =在任意点处的增量)1(,)0(),(12
y y x o x
x y y 求π=∆++∆=∆。(4π
πe ）
2.求x
e y y 24''=-的通解。（x
x
x
xe
e
c e
c y 222214
1+
+=-）
3.求0)1(),0(0)(2
2
=>=-++
y x xdy dx y x y 的通解。（)1(2
12
-=
x y ）
4.求1)0(')0(,0'2''2===--y y e y y x
的特解。（x e x y 2)23(4
14
1++
=
第七讲无穷级数
一、理论要求
1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p级数敛散条件
正项级数的比较、比值、根式判别法
交错级数判别法
2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）
Taylor与Maclaulin展开
3.Fourier级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理
会求]
l 的Fourier级数与]
,
[l
,0[l正余弦级数
第八讲线性代数
一、理论要求
1.行列式会用按行（列）展开计算行列式
2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）
矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式
矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆
矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价
用初等变换求矩阵的秩与逆
理解并会计算矩阵的特征值与特征向量
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件
掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法
掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示
掌握线性相关、线性无关的判别
理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩
了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法
了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质
4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件
理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解
掌握用初等行变换求解线性方程组的方法
5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换
二次型的标准形、规范形及惯性定理
掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法
了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法
第九讲概率统计初步
一、理论要求 1.随机事件与概率
了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率
掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式 2.随机变量与分布
理解随机变量与分布的概念
理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度
掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数
3.二维随机变量
理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念
掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度
会求两个随机变量简单函数的分布
4.数字特征 理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念
掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望
5.大数定理 了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace 定理与列维-林德伯格定理
6.数理统计概念
理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解2χ分布、t 分布、F 分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布
7.参数估计
掌握矩估计与极大似然估计法
了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性
会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 8.假设检验
掌握假设检验的基本步骤
了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
第十讲 总结
1.极限求解
变量替换（∞1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换） 1.2
))1((...)2()[(1lim
a x n
a
n x n
a x n
a x n n +
=-+
+++
++
∞
>- (几何级数)
2.2
//10
)
arccos 2
(
lim ππ
->-=e
x x
x (对数替换)
3.2
tan
1
)
2(lim x
x x π->-
4.2
1
)
63(
lim -∞
>-++x x x
x
5.2
1)
()
()(lim
a x a x na
a x n n n a
x ----->-
6.⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
>=<-=⎰)0(cos 0,40
,2cos 1)(02
x x tdt
x x x x x f x
，求)(lim 0
x f x >-
2.导数与微分 复合函数、隐函数、参数方程求导 1.]')()()[(b a x a
x
x
b
b
a
2.
0)sin(arctan =--+y x x x
y ，求dy/dx
3.⎪⎩⎪⎨⎧==t
e y t e x t
t
sin cos 决定函数)(x y y =，求dy
4.已知1ln 22=-y y x ，验证0')12(422=-+y y x xy
5.bx x v v u e
y u
sin ,ln 3
1,3
2==
=,求x y '
3.一元函数积分
1.求函数⎰
+-+=
x
dt t t t x I 0
2
1
13)(在区间]1,0[上的最小值。（0）
2.⎰
---2
2
2
|
1|1dx x x
3.⎰-1
2
/32
)
1dx x （ 4.⎰
+dx x x )
1(1
5.⎰
-1
2
t t dt
6.⎰
-+dx x
x 2
4141
4.多元函数微分
1.),(
2xy
e
y
x
f z =，求y x z z ','
2.),(y x z z =由0),(=+
+
x
z y y
z x F 给出，求证：xy z yz xz y x -=+''
3.求xy y x y x u 2),(22+-=在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。
4.)ln(sin y x x u +=，求y
x u ∂∂∂2
6.证明)(
2
x
y f x z n =满足nz yz xz y x =+'2'
7.求18:44),(2222≤+---=y x D y x y x y x f 在内的最值。
5.多元函数积分
1.求证：b rot a a rot b b a div
-=⨯)( 2.⎰⎰≤+--=D
y y x D dxdy y x I 2:,)4(2
2
3.⎰⎰
≤++=
D
y y
x D dxdy y x I 2:,)(2
2
4.改变积分次序⎰
⎰+-2
2
1
),(x dy y x f dx
5.⎰⎰====
D xy x y x D dxdy y x I 1,2,2:,)(2围域。
6.常微分方程
1.求01ln 122=++++dx y dy xdx y 通解。
2.求x e y y y 325'2''=++通解。
3.求x e y y y 265'2''=--通解。
4.求0)()(2
2
=++-dy x xy dx y y x 通解。
5.求0)0()0('),2cos (2
14''==-=
+y y x x y y 特解。
6.求1)0(',,0)0(,4''===-y y xe y y x
特解。
《高等数学考研题型分析》
填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、
变上限定积分
选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限
计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品 高等数学基础知识篇一 1、函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。 2、一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 3、一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 4、向量代数与空间解析几何（数一） 主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）)解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5、多元函数微分学 重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6、多元函数积分学 重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。 7、无穷级数（数一、数三） 重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8、常微分方程及差分方程
考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料 考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料的全部内容。
第四章 不定积分 ⎧⎪ ⎧⎪ ⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪ ⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法 原函数不定积分分部积分法 简单分式的积分分段函数的积分
1 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数的定义 原函数：若对于,有或,称为在区间内的原 函数。 I x ∈∀∈ )()(x f x F ='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f I
2 原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。 )(x f I )(x F x ∈I )()(x f x F ='
3 【例1】设是在上的一个原函数,则 在上（ ) （A ）可导 （B ）连续 （C)存在原函数 （D)是初等函数 【答案】（C ） )(x F )(x f (,)a b ()()fx F x (,)a b
4 【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为 （A ）. （B ）。 （C ）。 （D). 【答案】（B ） )(x f x sin )(x f x sin 1 +x sin 1-x cos 1 +x cos 1-
《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.6 12arctan lim ) 21ln(arctan lim 3 3 - =-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2 3 ) (6lim 0) (6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 3 3' )(6cos 6lim ) (6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06 ) 0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6' ''26sin 36lim 0 =∴=+-= ++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 722 ''lim 2'lim ) (6lim 2 == ==+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121 )1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 )2 ( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2 ( 3 -+= +=x x x x x b a x t b a t 2 /300 ) () ln(2 3)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴= ++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 ) (cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x += =+ 2 /10 212tan lim ln lim ->->-=∴- =-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =⎰ ⎰ >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知⎩ ⎨⎧=≠=-0,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x （连续性的概念）
第一章 函数、极限、连续 第二章 §1.1 函数 （甲）内容要点 一、函数的概念 1.函数的定义 设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集 {}|(),Z y y f x x D ==∈ 称为函数的值域。 2.分段函数 如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。 例如 2 1<1 () -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩ 是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分
别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。 3.隐函数 形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。 4.反函数 如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1 ()x f y -=。有时也用1 ()y f x -=表示。 二、基本初等函数 1.常值函数 y ＝C （常数） 2.幂函数 y x α =（α常数） 3.指数函数 x y a =（a ＞0，a ≠1常数） x y e =（e ＝2.7182…，无理数） 4.对数函数 log a y x =（a ＞0，a ≠1常数） 常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x == 5.三角函数 sin ;cos ;tan .y x y x y x === cot ;sec ;csc .y x y x y x === 6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x == arctan ;cot .y x y arc x == 基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经 常会用 lim arctan x x →+∞ ；lim arctan x x →-∞ ；1 lim x x e +→； 1 lim x x e - →；0 lim ln x x + →等等，就需要
第四章 常微分方程 §4.1 基本概念和一阶微分方程 （甲） 内容要点 一、基本概念 1、 常微分方程和阶 2、 解、通解和特解 3、 初始条件 4、 齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广 1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy ) 2、齐次方程：?? ? ??=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广 1、)()(x Q y x P dx dy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy 四、全微分方程及其推广（数学一） 1、 y P x Q dy y x Q dx y x P ??=??=+满足,0),(),( 2、 y RP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ??=????≠??=+)()(),(,0),(),(，使但存在
§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要） （甲）内容要点 二、线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合 )()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。 2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日
公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。
第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 （甲） 内容要点 一、 基本概念与性质 1、 原函数与不定积分的概念 设函数f(x)和F(x)在区间I 上有定义，若()F x '= f(x)在区间I 上成立。则称F(x)为f(x)在区间I 的原函数，f(x)在区间I 中的全体原函数成为f(x)在区间I 的不定积分，记为 ?f(x)dx 。 其中 ? 称为积分号，x 称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx 称为被积 表达式。 2、 不定积分的性质 设? f(x)dx ＝F(x)＋C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C 为任意常数。 则 (1)()?'dx x F ＝F(x)＋C 或? )x (d F ＝F(x)＋C (2)[ ]' ?f(x )dx = f(x) 或 d []?f(x)dx ＝f(x)dx (3)?dx )x (kf ＝k ? dx )x (f (4) []dx )x (g )x (f ?±=??±dx )x (g dx )x (f 3、原函数的存在性 设f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如dx )sin(x 2 ? ，dx )x (cos 2 ? ， dx x sinx ?，dx x cosx ?，?lnx dx ，dx e 2 x ?－等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。 二、 基本积分表（略） 三、 换元积分法和分部积分法 1、 第一换元积分法（凑微分法） 设 ()f (u)du F(u)+C, x ?=?又可导， ()()()() f x x dx f x d x ????'??????????则＝()x u ?＝令?du u )(f =F(u)+C=F[()x ?]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如 流” ，也就是非常熟练地凑出微分。 2、 第二换元积分法 设x ＝()t ?可导，且()t 0?'≠，若()[]()()C G ＋＝t dt t t f ??'? ，则()()t x dx x f ?＝令?
§8．1 常数项级数 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．基本概念 无穷多个数 ,,,,,321n u u u u ，依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称为数项级数（简称级数） () ,3,2,13211 =++++== ∑=n u u u u u S n n k k n 称为级数的前n 项的部分和。 {}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。 若() S S n n =∞ →存在lim ，则称级数 ∑∞ =1n n u 是收敛的，且其和为S ，记以 S u n n =∑∞ =1 若n n S ∞ →lim 不存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。） 2．基本性质 （1）如果 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 皆收敛，b a ,为常数，则 ()∑∞ =+1 n n n bv au 收敛，且等于∑∑∞ =∞ =+1 1 n n n n v b u a （2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。 发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4）级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是0lim =∞ →n n u 。 （注：引言中提到的级数 ()∑∞ =+-1 11n n ，具有1)1(lim +∞→-n n 不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故() ∑∞ =+-1 1 1n n 发散。调和级数∑∞ =11n n 满足01 lim =∞→n n ，但∑∞=11n n 却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件
第一讲 极限与连续 主要内容归纳（略） 要点题型解说 一、极限问题 种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限： （ 1） lim 1 1 1 ； n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) （ 2） lim n k 3 1 ； 1 nk 2 k 3 n （ 3） lim [ n k 1 1 ] n ； k (k 1) 2．求以下极限： （ 1） lim 1 1 1 ； 2 2 2 n 4n 1 4n 2 4n n 3．求以下极限： （ 1） lim 1 1 1 ； 2 2 2 2 2 n n 2 n n 2 1 n （ 2） lim n n! ； n n n 1 （ 3） lim 。 n i 2 i 1 1 n n 种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限： （ 1） lim cos x cos x cos x (x 0) ； ( n 1) n 1 1 2 n （ 2） lim n sin ； n 2 2 2 n n n 2．求以下极限： 1 （ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ； x 0 1 1 （ 3） lim 1 tan x x 3 ln(1 2 x) （4） lim cos 1 sin x ； x x 0 x 种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求以下极限： x 2 ； （ 1） lim 1 tan x 1 sin x ； （ 2） lim e tan x e x ； x 0 x(1 cosx) x 0 x(1 cosx) （ 3） lim 1 2 cos x x 1] ； （ 4） lim ( 1 1 ) ； x 3 [( 3) x 2 tan 2 x 0 x x
第六章多元函数微积分（上） 本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。 第一节多元函数微分学 多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。 【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。 【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。 在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。 在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。 【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。 一、多元函数微分学的基本概念及其关系 定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时， 。 定义2 如果连续。 如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。 定理1 最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。 定理2 介值定理；在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值与最大值之间的任何值。 定义3 偏导数的定义；设函数的某个邻域内有定义，如果极限 存在，则称此极限为函数处对x的偏导数，
精选高数复习资料，轻松备战2023考研2023考研复习备战工作正式拉开帷幕，高数复习成为考研复习中不可避免且关键的一部分。想要在高数方面轻松备战2023考研，必须在备战之前有一个充分的准备工作，具备完整的高数知识体系，并掌握一些好用的复习资料。本文将为考研2023的同学们推荐一些精选的高数复习资料，希望可以帮助大家轻松备战2023考研。 一、《高等数学辅导讲义》 《高等数学辅导讲义》是一本由中科院数学与系统科学研究院编写的高数辅导资料。它侧重于重难点的讲解，结合具体的算例，对于高数的概念、定理、公式等内容进行了深入浅出的讲解。 此外，这本讲义还配有丰富的习题，不仅覆盖了历年考研的重点难点，而且针对性强，难易程度分明。同学们可以通过不断地练习，巩固知识点，提高解题能力。 二、《高等数学教材详解》 《高等数学教材详解》是一本由高等教育出版社出版的高数辅导资料。它详细地讲解了高数教材中的每一个知识点，对于定理、公式的证明和公式的应用，均有详尽的解释。 在讲解的过程中，还通过具体的例子，让读者更好地理解和掌握高数知识。此外，在每一章节的末尾，还配有大量的习题，这些习题涵盖了历年考研的重点难点，可以帮助考生更好地掌握高数知识。 三、《高等数学试题集》
《高等数学试题集》是一本历年考研的高数试题集，是考生复习的必备资料。该试题集可以让考生了解历年考试的出题规律、考点分布和难度层次，在考试前有效地调整复习计划，提升复习效率。 在使用该试题集的过程中，考生可以和考试模拟试题配套使用，不断摸索出适合自己的做题方法和策略。同时，通过反复做题，还可以提高解题能力和心理素质，从而更好地备战高数。 四、《考研数学史上最全错题集》 《考研数学史上最全错题集》是由考研数学全国名师团队精心编写的，旨在帮助考生全面掌握考研数学知识点，解决数学难题，提升考研数学成绩的资料。 该资料重点针对历年考研难题进行总结和归纳，将考研数学所涉及的知识点进行了系统化整理和分类，并提供了大量的代表性错误解题思路，帮助考生更好地理解和掌握高数知识。 五、《高级数学习题课讲义》 《高级数学习题课讲义》是一本高质量、针对性强的高数辅导资料。这本讲义主要是针对高数习题的，每一个习题都是在历年考研中大量出现的。 习题解题方法和策略非常实用，而且每一个习题都给出了详细的解题步骤，非常清晰明了。此外，在习题讲解之后，作者还对该部分知识点进行了深入的讲解和总结，帮助考生更好地理解和掌握高数知识。 总的来说，高数是考研中比较难的一部分，需要考生们投入足够的时间和精力去准备。而以上介绍的高数复习资料，不仅具有针对性强、层次清晰的特点，而且完整地保留了历年考研的经验和规律，对
2024考研汤家凤高等数学辅导讲义 摘要： 一、引言 二、汤家凤考研高等数学辅导讲义的特点 三、汤家凤考研高等数学辅导讲义的内容 四、使用汤家凤考研高等数学辅导讲义的注意事项 五、总结 正文： 一、引言 随着2024年考研的临近，许多考生已经开始着手准备复习资料。在众多的复习资料中，汤家凤的考研高等数学辅导讲义备受关注。本文将对汤家凤的考研高等数学辅导讲义进行详细介绍，帮助考生更好地了解该资料并合理使用。 二、汤家凤考研高等数学辅导讲义的特点 1.注重基础：汤家凤考研高等数学辅导讲义从基础知识入手，帮助考生打牢基础，为后续的提高和解题技巧学习做好准备。 2.系统性强：讲义内容涵盖了考研数学一、数学二、数学三的全部知识点，形成一个完整的知识体系，有助于考生系统地学习和掌握。 3.实用性强：讲义中的例题和习题紧扣考试大纲，针对性强，有助于考生熟悉考试题型，提高应试能力。 4.讲解清晰：汤家凤老师具有丰富的教学经验，讲解通俗易懂，深入浅
出，易于考生理解和掌握。 三、汤家凤考研高等数学辅导讲义的内容 1.高等数学基本概念与运算：包括函数、极限、连续、导数、积分等基础知识。 2.高等数学重要定理与公式：包括导数与微分、积分、级数等部分的重要定理和公式。 3.高等数学典型题型与解题技巧：包括选择题、填空题、解答题等题型的解题方法和技巧。 4.高等数学历年真题及解析：精选历年真题，并提供详细的解析过程，帮助考生了解考试趋势，提高应试能力。 四、使用汤家凤考研高等数学辅导讲义的注意事项 1.结合自身情况制定学习计划：考生应根据自身的基础和进度制定合理的学习计划，合理安排时间，避免盲目跟从他人。 2.注重基础知识的学习：基础知识是解题的基础，考生应确保对基础知识的理解和掌握，再进行解题技巧的学习。 3.及时复习与总结：学习过程中，考生应及时对所学知识进行复习和总结，加深对知识的理解和记忆。 4.多做练习题和真题：考生应多做练习题和真题，提高解题能力，了解考试趋势。 五、总结 汤家凤考研高等数学辅导讲义是一份针对性强、实用性高、讲解清晰的辅导资料，对考生的复习备考具有很好的指导作用。
考研高数知识点总结 高等数学是研究数与其变化规律的一门基础课程，是理工科学生学习的重要课程之一。在考研数学中，高等数学是必考科目之一，占有较大比重。下面就考研高等数学知识点进 行总结，希望对考生们有所帮助。 一、函数与极限 1. 基本概念：函数、反函数、复合函数、有界函数、周期函数等。 2. 极限的定义：数列极限的定义、函数极限的定义等。 3. 极限的性质：极限的唯一性、有界性、局部有界原理等。 4. 极限运算法则：加减乘除、复合函数的极限等相关运算法则。 5. 无穷大与无穷小：无穷大和无穷小的概念、性质及相关推论。 二、导数与微分 1. 导数的定义：函数在某一点的导数、导数的几何意义、物理意义等。 2. 基本导数公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的导 数。 3. 高阶导数：二阶导数、高阶导数及其相关概念。 4. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。 5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数的导数、参数方程的导数等相关内容。 三、微分中的应用 1. 函数的极值与最值：函数的极值点的判定、极值、最值等相关概念。 2. 函数的单调性与凹凸性：函数的单调区间、凹凸区间等相关概念。 3. 泰勒公式与泰勒展开：泰勒公式的表达形式、泰勒展开的求解方法及应用。 4. 微分的应用：函数的近似计算、误差估计、最优化问题等。 四、不定积分 1. 不定积分的概念：定义、性质及运算法则。
2. 基本不定积分公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的不定积分公式。 3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法及其应用。 4. 分部积分法：分部积分法的原理、应用条件及相关例题。 5. 有理函数积分法：有理函数积分的基本思路及方法。 五、定积分及其应用 1. 定积分的定义：定积分的严格定义及其几何意义。 2. 定积分的性质：定积分的线性性、定积分的区间可加性等性质。 3. 定积分的基本定理：牛顿-莱布尼茨公式及其几何意义。 4. 定积分的应用：面积、定积分表示的物理量、定积分的几何应用等。 总结： 考研高等数学是考研数学中的重要科目，对其中的知识点需要牢固掌握。以上所提到的内容仅是高等数学知识点的一部分，希朼考生们能够系统学习，多做题目，增强对高等数学知识点的理解和运用能力。祝广大考生都能在考研数学中取得优异的成绩！
高等数学 第一章 函数、极限、连续 §1．1 函数 甲 内容要点 一．函数的概念 1．函数的定义 设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规则f ，对每一个D x ∈，都能对应唯一的一个实数y ，则这个对应规则f 称为定义在D 上的一个函数，记以()x f y =，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值， D 称为函数的定义域，并把实数集 (){} D x x f y y Z ∈==, 称为函数的值域 2．分段函数 如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。 例如 ()⎪⎩ ⎪⎨⎧>≤≤--<+==151111 2 x x x x x x x f y 是一个分段函数，它有两个分段点，1-=x 和1=x ，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数()x f y =在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调： 分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。 又()⎩⎨ ⎧<-≥==0 ,0 ,x x x x x x f ， ()⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>==0,10,00,1s g n x x x x x f ，都是分段函数 3．隐函数 形如()x f y =的函数称为显函数，由方程()0,=y x F 确定()x y y =称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，例如12 2 =+y x ，21x y -±=，（不一定一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。 4．反函数 如果()x f y =可以解出()y x ϕ=是一个函数（单值）则称它为()x f 的反函数，记以()y f x 1 -=。有时也 用()x f y 1 -=表示，例如()0,2≥=x x y 解出y x =，()0≥y 而()02≤=x x y 解出()0≥-=y y x 二．基本初等函数
第十二章无穷级数 '求定义在［斗,|］上的函数的傅里叶级数 码中丄如站 求定义在［0,l ］上函数的正弦或者余弦级数 傅里叶级数 已知函数的表达式求它的傅里叶级数和常数项级数求和 、 -狄利克来收敛定理 【本章网络结构图】 定义 性质 常 数 项 级 数 无 穷 级' 数 由定义判断 由收敛的必要条件判断级数的发散性 ' '收敛的充要条件 比较审敛法 十佔如蚪比较审敛法的极限形式 正项级数＜ 利用收敛判别法则« 比值审敛法 根 值审敛法 ［常用级数：P 级数和几何级数 卄口 如舲「交错级数（莱布尼茨判别法） 变号级数\ I 一般级数（绝对收敛和条件收敛） ［利用级数的若干性质（添项减项，加括号，去括号等等） 求和一转化为幕级数求和或者利用定义 判断敛散性 幕级数收敛性的特点 求幕级数的收敛域的方法 幕级数 幕级数和函数的性质 幕级数的求和 函数展开成幕级数 直接法 间接法
一、常数项级数的收敛与发散 给定一个数列U i ，U 2，U 3,…，U n ，…将各项依次相加，简记为 7 U n ，即7 U n = U 1 U 2 73 丁…- 「U n •…，称该式为无穷级数， n 4 n =4 其中第n 项u n 叫做级数的一般项，级数的前n 项和 n S n = 7 U k =山U 2，U 3亠'亠U n 称为级数的部分和。若 k=4 lim S n = S 存在，则称 无穷级数收敛，并称S 为级数的 和，记作 n _. s ：U n ；若n imSn 不存在，则称无穷级数发散。 当级数收敛时，称差值r n 二S-S n 二U n 4 - U n-^"为级数的余 项。显然lim r n =0。 n _jpc 【例1】（93三）级数 V 的和为 【答案】ln 3 2—l n3 发散 收敛级数的和 Q0 若V u n 收敛，则其和定义为 n =1 结论: 等比（几何）级数 Q0 、aq n n=0 :收敛 QO S 二、u n n 』 n Jm-U k Tm ：S n 。
0 / 65 第六章 定积分的应用 ⎧⎪ ⎧⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪ ⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ⎪⎪⎩⎩ 基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二） 简单的经济应用（数三）
第一节定积分的元素法 微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。 复习上一章第一节中的引例： 求由曲线() =及直线x a y f x =，x轴所 =，x b 围成的图形（曲边梯形）的面积A。 1 / 65
2 / 65 步骤：1、分割：1 n i i A A ==∆∑ 2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-∆≈⋅∆≤≤ 3、求和得：1()n i i i A f x ξ=≈⋅∆∑ 4、求极限：0 1 lim ()()n b i i a i A f x f x dx λξ→==⋅∆=∑⎰
3 / 65 取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +⇒+∆； x ξ⇒；dA A ⇒∆。事实上，因为A A =∆∑且 ()A f x dx dA ∆≈=，所以()A f x dx ≈∑，即： lim ()()b b a a A f x dx f x dx dA ===∑⎰⎰
4 / 65 一般地，若所求量A 满足： 1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性； 3）A 的部分量i A ∆可近似地表示为()i i f x ξ⋅∆，其差 别是i x ∆的高阶无穷小，则A 可用定积分 ()b a A f x dx =⎰计算.
2014考研高等数学 冲刺班讲义 目 录 目录 备战攻略 ................................................................................................................................... 1 一、函数极限 ........................................................................................................................... 2 二、数列极限 ........................................................................................................................... 3 三、一元函数微分学 ............................................................................................................... 4 四、中值定理 ........................................................................................................................... 6 五、一元函数积分学（重在计算） ....................................................................................... 8 六、微分方程 ......................................................................................................................... 10 七、多元函数微分学 ............................................................................................................. 12 八、二重积分（重在计算） ................................................................................................. 13 九、级数（数学一、数学三） ............................................................................................. 15 十、多元函数积分学（数一） (16) 备战攻略 一、手段与目的 1、 ++⎧⎨ ⎩全面总结（笔记书） 手段实战演练（模考题真题） 2、 ⎧⎨ ⎩查漏补缺目的科学预测 二、关于试卷 1、 答题整洁、干净 2、 答题顺序 →→→→选择填空线代大题概统大题高数大题 +60-70110-120选择填空 分钟大题 分钟