考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
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第四章 不定积分
⎧⎪
⎧⎪
⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法
原函数不定积分分部积分法
简单分式的积分分段函数的积分
1
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数的定义
原函数：若对于,有或,称为在区间内的原
函数。
I x ∈∀∈
)()(x f x F
='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f I
2
原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。 )(x f I )(x F x
∈I )()(x f x F
='
3
【例1】设是在上的一个原函数,则
在上（ )
（A ）可导 （B ）连续
（C)存在原函数 （D)是初等函数 【答案】（C ）
)(x F )(x f (,)a b ()()fx F x
(,)a b
4
【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为
（A ）. （B ）。 （C ）。 （D). 【答案】（B ）
)(x f x sin )(x f x sin 1
+x sin 1-x cos 1
+x cos 1-
5
二、不定积分的定义
不定积分：在区间内,的带有任意常数
I )(x f
6
项的原函数称为在区间内的不定积分，
记为:，即 计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数即可。
C x F
+)()(x f I ⎰dx x f )(⎰
+=C x F dx x f )()(C
不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇-—无穷多条积分曲线,被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。
7
8
【例3】若的导函数是，则的原函数是
【答案】
【例4】某曲线过点，且其上任一点切
线之斜率为该点横坐标之2倍,求此曲线方程。
【答案】
()f x sin x ()f x _____.
12s i n x C x C -++)2,1(12
+=x y
三、不定积分的性质
(1） 或
（2） 或
（3）
='⎰))((dx x f ⎰=))((dx x f d =⎰'dx x F )(⎰=)(x dF ⎰=+dx x g x f ))()((
(4)
【例5】(90二）设函数在上连续，则等于
（A ） （B) (C) (D ）. 【答案】（B ）
⎰=dx x kf )()(x f ),(
+∞-∞[]⎰dx x f d )()(x f dx x
f )(C x
f +)(dx x f )('
【例6】(89三)在下列等式中，正确的结果是（ )
（A ）. （B ）。
⎰=')()(x f dx x f ⎰=)()(x f x df
【答案】（C ）
【例7】（95三）设
，则
x
x f +='1)(ln
。
【答案】
=)(x f ()x
fx
x e C =++
四、基本积分表
⎰kdx （1)=
（2)
(3）
（4） ；
(5）
(6)
=⎰dx x μ
=⎰x dx =⎰dx a x =⎰dx e x
=
⎰+2
1x dx =⎰-2
1x dx
（7） （8）
（9） （10）
（11)
=⎰xdx cos =⎰xdx sin =⎰=⎰xdx dx x 2
2sec cos 1⎰=⎰xdx dx x 2
2csc
sin 1=⎰xdx x tan sec
（12）
【例8】 求下列不定积分
（1）; (2）；
【答案】（1）；（2）
=⎰xdx x cot csc dx x ⎰31⎰-dx x x )5(2
21
2C
x
-+
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第四章 不定积分 ⎧⎪ ⎧⎪ ⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪ ⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法 原函数不定积分分部积分法 简单分式的积分分段函数的积分
1 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数的定义 原函数：若对于,有或,称为在区间内的原 函数。 I x ∈∀∈ )()(x f x F ='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f I
2 原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。 )(x f I )(x F x ∈I )()(x f x F ='
3 【例1】设是在上的一个原函数,则 在上（ ) （A ）可导 （B ）连续 （C)存在原函数 （D)是初等函数 【答案】（C ） )(x F )(x f (,)a b ()()fx F x (,)a b
4 【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为 （A ）. （B ）。 （C ）。 （D). 【答案】（B ） )(x f x sin )(x f x sin 1 +x sin 1-x cos 1 +x cos 1-
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'=' dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）?=dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。
第四章 不定积分 §4-1 不定积分的概念与性质 一、不定积分的概念 1.原函数定义 定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一x I ，都有 () ()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。 例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数； 1 (sin 1)(sin )(sin 3)cos 2 x x x x ，则都是cos x 的原函数。 2.原函数性质 定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。 定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则() F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与 ()F x 只差一个常数。 例：验证 2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2 211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x x x ，则三个函数都是sin 2x 的原函数 3.不定积分定义 定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，() f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。 说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数 ，则() F x C 就是()f x 的不定积分，即 ()()f x dx F x C
例1：求 23x dx 解：因为3 2()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数 则23 3x dx x C 例2：求1dx x 解：当0x 时，1(ln ) x x 当0x 时，11ln() x x x 所以 1 ln ||(0)dx x C x x 4.不定积分几何意义 在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()y F x 沿y 轴平移得到。 例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与2 31y x x 重合，求该曲线方程 解：设2 () 31f x x x C 由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C 2 ()31f x x x
《高等数学》不定积分课后习题详解 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不定积分 4 – 1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。 2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以arcsinx是______的一个原函数。
4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。二．是非判断题 1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx. [ ] ? 4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x) +c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）
F(x)+G(x)=c; (D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2任意常数。 ?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又F(x)?xf(x)?x2，则f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设f?(sin2x)?cos2x，则f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c; (B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c; (D)x2?1x4?c; 2222 2 2 6.设a是正数，函数f(x)?ax,?(x)?axlogae,则______.(A)f(x)是?(x)的导数；(B)?(x)是f(x)的导数； (C)f(x)是?(x)的原函数；(D)?(x)是f(x)
第四章 不定积分 一、基本内容 （一）主要定义 【定义4.1】 若在()f x 的定义区间M 上均满足()()F x f x '=，则称函数()F x 是 ()f x 在M 上的一个原函数. 【定义4.2】 ()f x 的原函数的一般表达式()F x C +称为 ()f x 的不定积分，记成 ()().f x dx F x C =+⎰ （二）性质与定理 【定理4.1】 设()f x 在(,)a b 上连续，则必存在原函数. 性质 以下均假设()f x 和()g x 在所讨论的区间上连续，则 1、 (())()f x dx f x '=⎰, ()()d f x dx f x dx = ⎰. 2、 ()()f x d x f x C '=+⎰, ()()df x f x C = +⎰. 3、 (()())()()f x g x d x f x d x g x d x ±=±⎰⎰⎰. 4、 ()(),kf x dx k f x dx =⎰⎰ 常数0.k ≠ （三） 基本积分公式 1、11(1)1x dx x C α ααα+= +≠-+⎰ ， 2、1 ln ,dx x C x =+⎰ 3、(0,1)ln x x a a dx C a a a =+>≠⎰， 4、,x x e dx e C =+⎰ 5、sin cos xdx x C =-+⎰ 6、cos sin xdx x C =+⎰
7、tan ln cos xdx x C =-+⎰ 8、cot ln sin ,xdx x C =+⎰ 9、sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 10、csc ln csc cot ,xdx x C =-+⎰ 11、2sec tan xdx x C =+⎰ 12、2 csc cot ,xdx x C =-+⎰ 13、 2211tan x dx arc C a a a x =++⎰ 14、22 11ln ,2a x dx C a a x a x +=+--⎰ 15、 arcsin x C a =+ 16、ln .dx x C =+ （四）基本积分方法 第一类换元法（凑微分法） (())()(())()f x x dx f x d x φφφφ'=⎰⎰ 令()u x φ= ()()(())f u du F u C F x C φ= =+=+⎰ 常见的几种凑微分形式: 1、1 ()()(),0f ax b dx f ax b d ax b a a +=++≠⎰⎰ 2、 2221 ()(2)()(),f ax bx c ax b dx f ax bx c d ax bx c a +++=++++⎰⎰ 3、 1(ln ) (ln )ln ,dx f x f x d x x a =⎰ ⎰ 4、2f f =⎰⎰ 5、(sin )cos (sin )sin ,f x xdx f x d x =⎰⎰ 6、(cos )sin (cos )cos ,f x xdx f x d x =-⎰⎰ 7、2(tan )sec (tan )tan ,f x xdx f x d x =⎰ ⎰ 8、 (sin (sin )sin ,f arc x f arc x darc x =⎰ ⎰
考研高数知识点总结 高等数学是研究数与其变化规律的一门基础课程，是理工科学生学习的重要课程之一。在考研数学中，高等数学是必考科目之一，占有较大比重。下面就考研高等数学知识点进 行总结，希望对考生们有所帮助。 一、函数与极限 1. 基本概念：函数、反函数、复合函数、有界函数、周期函数等。 2. 极限的定义：数列极限的定义、函数极限的定义等。 3. 极限的性质：极限的唯一性、有界性、局部有界原理等。 4. 极限运算法则：加减乘除、复合函数的极限等相关运算法则。 5. 无穷大与无穷小：无穷大和无穷小的概念、性质及相关推论。 二、导数与微分 1. 导数的定义：函数在某一点的导数、导数的几何意义、物理意义等。 2. 基本导数公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的导 数。 3. 高阶导数：二阶导数、高阶导数及其相关概念。 4. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。 5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数的导数、参数方程的导数等相关内容。 三、微分中的应用 1. 函数的极值与最值：函数的极值点的判定、极值、最值等相关概念。 2. 函数的单调性与凹凸性：函数的单调区间、凹凸区间等相关概念。 3. 泰勒公式与泰勒展开：泰勒公式的表达形式、泰勒展开的求解方法及应用。 4. 微分的应用：函数的近似计算、误差估计、最优化问题等。 四、不定积分 1. 不定积分的概念：定义、性质及运算法则。
2. 基本不定积分公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的不定积分公式。 3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法及其应用。 4. 分部积分法：分部积分法的原理、应用条件及相关例题。 5. 有理函数积分法：有理函数积分的基本思路及方法。 五、定积分及其应用 1. 定积分的定义：定积分的严格定义及其几何意义。 2. 定积分的性质：定积分的线性性、定积分的区间可加性等性质。 3. 定积分的基本定理：牛顿-莱布尼茨公式及其几何意义。 4. 定积分的应用：面积、定积分表示的物理量、定积分的几何应用等。 总结： 考研高等数学是考研数学中的重要科目，对其中的知识点需要牢固掌握。以上所提到的内容仅是高等数学知识点的一部分，希朼考生们能够系统学习，多做题目，增强对高等数学知识点的理解和运用能力。祝广大考生都能在考研数学中取得优异的成绩！
2021考研数学：高等数学每章知识点汇总第一章：函数与极限 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2.会建立简单应用问题中的函数关系式。 3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。 4.掌握基本初等函数的性质及图形。 5.理解复合函数及分段函数的相关概念，了解反函数及隐函数的概念。 6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。 7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存有与左右极限间的关系。 8.掌握极限存有的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9.掌握极限性质及四则运算法则。 10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第二章：导数与微分 1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函 数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性， 会求初等函数的微分。 3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的 高阶导数。 第三章：微分中值定理与导数的应用 1.熟练使用微分中值定理证明简单命题。 2.熟练使用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。 3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二 分法、切线法。 4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。 第四章：不定积分 1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。 2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分 3.掌握不定积分的分步积分法。 4.掌握不定积分的换元积分法。 第六章：定积分的应用 1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。 2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积) 及函数的平均值。
10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用） 好久没有更新高数的内容了，之前一直更新的是概率论和线性代数的内容，其中概率基本更完了，线性代数还没，知识点有点多，道阻且长，哭唧唧T_T！！ 下面是之前更新的内容，请自取 10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用） 10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用） 10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用） 10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注 如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容 也可以点击下方链接加入社群 --------------分割线--------------- 首先简单介绍下积分，积分是导数的一个反向求解过程，很多人在高中的时候是学过导数的，所以在大学再学的时候会觉得比较简单，但是到了积分这一节，会突然卡住，发现怎么那么
难，正着做会，反着就不会了，那么下面重点讲讲不定积分的求解吧 一、原函数与不定积分的基本概念 1、原函数 设 f(x),F(x) 为定义在区间 I 上的函数，若对一切的 x\in I ，有 F'(x)=f(x) ，则称 F(x) 为 f(x) 的原函数 备注： （1）函数 f(x) 是否存在原函数与区间 I 有关 （2）连续函数一定存在原函数，反之不对 （3）有第一类间断的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数（这句话还有另一种表达方式：即某个函数的导函数不一定连续），如 F(x)=x^{2}sin\frac{1}{x}(x\ne0) ,F(x)=0(x=0)f( x)=2xsin\frac{1}{x}- cos\frac{1}{x}(x\ne0) ,f(x)=0(x=0) 显然 F'(x)=f(x) ，但 x=0 为 f(x) 的二类间断点，即导函数不连续 （4）若 f(x) 有原函数，则一定有无数个原函数，且任意两个原函数之差为常数 （5）原函数、函数及导函数对比 2、不定积分 设 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的所有原函数 F(x)+C 称为 f(x) 的不定积分，记为 \int f(x)dx=F(x)+C
高等数学 第四章 不定积分的概念和性质1—2节 课堂笔记及 练习题 主 题：第四章 不定积分的概念和性质1—2节 学习时间：2015年11月30日—12月6日 内 容： 这周我们将学习第四章不定积分的概念和性质（1—2节）。积分运算与微分运算互为逆运算，它们同是高等数学的重点，需要充分重视。其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、理解原函数与不定积分的概念 2、非常熟练地掌握求不定积分的基本方法：基本积分公式、不定积分的性质、换元法。 基本概念：原函数和不定积分的概念 知识点：基本积分公式、不定积分的性质、换元法 知识结构图 一元函数积分学 原函数不定积分 定义运算法则计算方法 直接积分法换元法 第一类换元法 全体 个体 第二类换元法 第一节、不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念（要求理解各概念） 定义1：设)(x f 为某区间I 上 的函数，如果存在函数)(x F ，使在该区间上 有)()(x f x F ='或,)()(dx x f x dF =则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。 原函数存在定理：如果)(x f 在区间I 上连续，则在区间I 上)(x f 的原函数一定存在。 说明：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，显然c c x F ()(+为任意常数）也是)(x f 的原函数，这说明)(x f 如果存在原函数，应有无穷多个，)(x f 的
全体原函数是一个函数族。c x F +)(为)(x f 全体原函数的一般表达式。 定义2：设)(x F 是)(x f 在区间I 的一个原函数，则)(x f 的全体原函数 c x F +)(称为)(x f 在区间I 的不定积分，记⎰+=c x F dx x f )()( 其中⎰叫积分号，)(x f 叫被积函数，dx x f )(叫被积表达式 ，x 叫积分 变量，c 为任意常数叫积分常数。 范例解析： 1、单选题：设)(x f 的一个原函数为 x 1 ，则=')(x f （ ） A 、||ln x B 、x 1 C 、21x - D 、32x 解题思路：因为x 1为)(x f 的原函数，所以21 )1()(x x x f -='=，从而 32 )(x x f ='。 答案：D 2、单选题：设)(x f 的一个原函数为x 2cos ，则='⎰dx x f )(（ ） A 、x 2cos B 、 C x +2cos C 、C x +-2sin 2 D 、x 2sin 2- 解题思路：因为C x f dx x f +='⎰)()(，其中C 为任意常数。 又因为x 2cos 为)(x f 的一个原函数，所以x x x f 2sin 2)2(cos )(-='=。 因此C x dx x f +-='⎰2sin 2)( 答案：C 二、基本积分表 基本积分表：(要求全部背下来) (1)C kx kdx +=⎰(k 是常数) (2)C x dx x ++= +⎰11 1 μμμ (3)C x dx x +=⎰||ln 1 (4)C e dx e x x +=⎰
一元函数积分学 （一）不定积分 1、原函数的存在性 积不出来。 故这些不定积分均称为不能用初等函数表示，被积函数有原函数，但等。 不一定是初等函数初等函数的原函数 上原函数一定存在，但在区间连续，则在区间设⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx e dx x dx x x dx x x dx x dx x eg I x f I x f x 2,ln 1 ,cos ,sin ,)cos(,)sin(:)()(222、基本积分公式 ⎰⎰⎰≠>+=+=-≠++=+)1,0(ln ;||ln 1),1(1 1a a C a a dx a C x dx x u C u x dx x x x u u ；实常数 For personal use only in study and research; not for commercial use ⎰⎰ ⎰⎰+-==+==C x dx x xdx C x dx x xdx cot sin 1csc ;tan cos 1sec 22 22 ⎰⎰⎰⎰+=+-=+-=+=; |sin |ln cot ;|cos |ln tan ; csc csc cot ;sec sec tan C x xdx C x xdx C x xdx x C x xdx x ⎰⎰+-=++=C x x xdx C x x xdx |cot csc |ln csc ;|tan sec |ln sec 补充公式： ⎰⎰⎰⎰>+±+=±>+-+=->+=+>+=-)0(||ln 1);0(||ln 211);0(arctan 11;)0(arcsin 1 2 2 2222222a C a x x dx a x a C x a x a a dx x a a C a x a x a a C a x dx x a 要求：会推导，会背！！！ 3、换元积分法和分部积分法 （1）第一类换元积分法（凑微分法----整体代换----复合函数求导数的逆运算） ⎰⎰⎰⎰+=+==='+=C x F C u F du u f x u x d x f dx x x f x x C u F du u f )]([)()()()()]([)()]([) ....()()()(ϕϕϕϕϕϕϕ令变量的一个函数看成一个新把可导，则，又设 要求积分公式能够倒背如流，可以顺利的凑出中间变量！！！ 常用的几种凑微分形式：见练习本 <1> ⎰ ≠≠++= +-)0,0)(()(1 )(1n a b ax d b ax f na dx x b ax f n n n n <2>⎰⎰-=+)1(arctan )1(arctan 1) 1 (arctan 2 x d x f dx x x f <3> )0))((ln()][ln()] [ln(22222 222>±+±+=±±+⎰⎰ a a x x d a x x f dx a x a x x
2019考研数学基础阶高数之不定积分 跨考教育——成建军 “不定积分”是考研数学——微积分的基本运算。不定积分是导数的逆运算，同时也是后续定积分及多元积分的基础。不定积分是微积分的重要基石，很多考生微积分学不好，感觉积分很难算。在考研数学中直接考察不定积分的运算很少，但其它的考点如果不定积分不会算往往导致结果得不到。比如一个二重积分运算题，首先化成累次积分，其次累次积分计算往往是定积分运算，而定积分要想算出需要不定积分计算能够熟练运用。不定积分计算作为微积分的三大支柱之一，如果不会，基本上微积分是学不会的。因此，2019的考生在基础阶复习时一定要搞定不定积分计算。 为帮助2019同学掌握基本不定积分计算的方法，确保基础阶掌握不定积分计算，跨考教研室的成建军老师给各位梳理出一个严密的不定积分计算流程。 不定积分计算流程：⎩⎨⎧⇒⇒第一换元 有理积分可化有理积分分部积分 A 、有理积分 ()()()()⎩⎨⎧+++=+++=----⎰0 1 10 1 1:a x a x a x Q b x b x b x P dx x Q x P n n n n m m m m 1、n m ≥除法降次 ()() () ()x S x R x P x Q ()()()()()()()()dx x Q x R dx x S dx x Q x R x S dx x Q x P ⎰⎰⎰⎰+=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+= 示例1、12 1111 22 22 4 42 ----+++x x x x x x x () dx x x x dx x dx x dx x x ⎰⎰⎰⎰++-=++-=++1 23112111232224 2、分母分解处理() ()dx x Q x R ⎰
第四章不定积分 教学目的与要求 1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。 2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。 3．求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一。 4.1 不定积分的概念与性质 一原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。 例如，x^2是2x的原函数，lnx是1/x的原函数因，，故是的原函数。 注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数 2．那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I上连续，则f(x)在I上一定有原函数。
注意：并不是任意在I 上有定义的函数都有原函数，反例⎩⎨ ⎧<≥=0 ,00 ,1)(x x x f 定理2：设f(x)在区间I 上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则 1． f(x)的任意两个原函数相差一个常数 2． F(x)+C 也是f(x)的原函数 定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在 区间上的不定积分，记作 。 其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变 量。 由此定义及前面的说明可知，如果 是在区间上的一个原函数，那么 就是 的不定积分，即 。 因而不定积分可以表示的任意一个原函数。 第一，如果有，那么，对任意常数C ，显然也有 ，即如 果 是 的原函数，那 也是 的原函数。
第四章 不定积分 知识结构图： ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧分部积分法第二换元积分法第一换元积分法 直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．；；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义 定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此， 我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）2 5x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=⎰)()(
第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =, 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =， 求出质点的位移函数 ()s s t =． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1。1。1原函数 定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0), x x x =>所以ln x 是 1 x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出。 关于原函数，不难得到下面的结论： 若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个． 假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一
第四章不定积分 一般来说，在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算.在第二章中，我们学习了导数与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数()f x 的导数或微分，能否求出()f x ？这是我们这一章要讨论的问题. 第一节不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任意x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数. 例如，因为,x R ∀∈(sin )cos x x '=，所以sin x 是cos x 的一个原函数；(1,1)x ∀∈-， 2(arcsin )1x x '= -，所以arcsin x 是2 1x -在区间(1,1)-内的一个原函数. 由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数()F x '，求原函数()F x . 事实上，研究原函数需要解决下面两个问题： (1)满足何种条件的函数存在原函数？(2)如果原函数存在，它是否唯一？ 关于第一个问题，我们用原函数存在定理回答. (原函数存在定理） 如果函数()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上一定有原 函数，即存在区间I 上的可导函数()F x ，使得对任一x ∈I ，有()()F x f x '=. 将在第五章给出此定理的证明.这个定理简单地说就是：连续函数一定有原函数. 关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一. 设()F x 是函数()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=,则[()]()F x C f x '+=，其中C 是任意常数.这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个. 不妨假设()F x 与()G x 是函数()f x 的任意两个原函数, 则有 ()()F x f x '=，()()G x f x '=. 从而有(()())0F x G x '-=，即()()F x G x C -=. 因此，()f x 的任意两个原函数之间只相差一个常数.换句话说()f x 的原函数的全体可表示为()F x C +,其中C 为任意常数.据此，我们给出下述定义. 在区间I 上，()f x 的带有任意常数项的原函数，称为()f x 在区间I 上的不定积 分，记作()d f x x ⎰.其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量. 由不定积分的定义，如果()F x 为()f x 的一个原函数，则 ()d ()f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）. ●●例1因为 3 2 ()3x x '=，所以23 3d x x x C =+⎰.
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+⎰ ★(2) dx - ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22 x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰ ⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2 21x dx x +⎰ 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4—1
1。求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习—-求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路： 被积函数52 x - =，由积分表中的公式(2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+⎰ ★(2) dx - ⎰ 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3）22 x x dx +⎰ （） 思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★（4) 3)x dx - 思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分. 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰ ⎰⎰ ★★（5）422331 1x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 22 3311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。 解:422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰
★★(6）2 21x dx x +⎰ 思路：注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出（5）（6)两题的解题思路是一致的.一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其 分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ⎰ 34 134 （ -+-）2 思路：分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+⎰ 思路：分项积分。 解： 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰ ⎰ ★★(9) 思路=？111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解： 715 8 88 .15x dx x C ==+⎰ ⎰ ★★（10) 221 (1)dx x x +⎰ 思路：裂项分项积分. 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰
第4章不定积分 习题4-1 ： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的根本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和根本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式〔2〕可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+⎰ ★(2) dx - ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22 x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰ ⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2 21x dx x +⎰ 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。