第一讲 极限与连续
主要内容归纳（略）
要点题型解说
一、极限问题
种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：
（ 1） lim
1
1
1
；
n
1
3 3
5
(2n
1)(2n 1)
（ 2） lim
n
k 3 1 ；
1
nk 2
k 3
n
（ 3） lim [
n
k 1
1
] n ；
k (k 1)
2．求以下极限：
（ 1） lim
1
1
1
；
2
2
2
n
4n 1
4n
2
4n
n
3．求以下极限：
（ 1） lim
1
1
1
；
2
2
2
2
2
n
n 2 n n
2
1 n
（ 2） lim n
n!
；
n
n
n 1
（ 3） lim
。 n
i
2
i 1
1
n
n
种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：
（ 1） lim cos x cos x
cos x
(x
0) ；
( n 1) n 1
1
2 n （ 2） lim
n
sin
；
n
2
2
2
n
n
n
2．求以下极限：
1
（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；
x 0
1
1
（ 3） lim
1 tan x x 3
ln(1 2 x)
（4） lim cos
1 sin x
；
x
x 0
x
种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题
1．求以下极限：
x 2
；
（ 1） lim
1 tan x 1 sin x ；
（ 2） lim
e tan x
e x ；
x 0
x(1 cosx) x 0
x(1 cosx)
（ 3） lim
1 2 cos x
x
1] ；
（ 4） lim (
1
1
) ；
x 3 [(
3)
x 2
tan 2
x 0
x
x
（ 5） lim
(3 x) x
3 x
2
；
x 0
x
ln(1 f (x) ) f (x)
（ 6）设 lim sin x
A ，求 lim 。
x
2
x 0 a 1 x 0 x
x 2
2．求以下极限： lim cos x e 2
3
x 0
x sin x
种类四：极限存在性问题：
1．设 x 1 1, x n 1
1 x n
0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。
n
n
n
2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a n
f (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：
k
1
1
lim a n 存在。
n
种类五：夹逼定理求极限问题： 1．求 lim
1
sin n x ；
1
dx
n
x
1
2． lim (a
n
b
n
c n
) n
(a,b,c 非负 ) ；
n
x 2 n
3． lim n 1
x n
(x 0) 。
n
2
种类六：含参数的极限问题：
1．设 lim ( x 3 sin 3x
ax 2
b) 0 ，求 a, b ；
x 0
2．设 lim
x 2
1
b) 3，求 a, b ；
ax x
x 1
种类七：中值定理法求极限：
1、 lim n 2 (arctan
arctan
) ； n
n
n
1
1
1
2、 lim x 2 (e 2 x 1
e 2 x 1 ) 。
x
种类八：变积分限函数求极限：
x
x 2
x e t
costdt
2
1、 lim
x 1 。 x 0
( x tan x)( 1)
1
x
f ( xt)dt
2、设 f ( x) 连续，且 f (1)
1 ，则 lim 1
3
。
x 1
x 1
二、连续与中断的判断
ln(1x) , x0
x
1．设f ( x)0, x0，议论函数 f ( x) 在 x0 处的连续性。
1 x 1x
, 1 x0
x
11
2．议论f ( x)(2 x1)(2 x1) , x 0
在 x0 处的连续性。
1, x0
三、连续性命题的证明
1．设f ( x) C [a,) 且 lim f ( x) 存在，证明 f ( x) 在 [ a,) 上有界。
x
2．设f ( x)在[ a,b]上连续，任取p0, q 0 ，证明：存在(a,b) ，使得pf (a)qf (b)( p q)) f ( ) 。
第二讲微分学
第一部分一元函数微分学
内容复习（略）
要点题型解说
（一）与导数定义有关的问题
1．设f
f (x0h) f ( x0h)
0) 。(x0 ) 存在，求lim
h
(
h 0
2f ( x)
在 x1处连续，且lim f ( x)2，求 f (1) 。
．设
x 1
x21
3．设f ( x)在(,) 上有定义，对随意的x, y 有 f ( x y) f (x) f ( y) ，且 f (0) 1 ，求f ( x) 。
4．设f ( x)二阶连续可导，且lim f ( x)1， f(0) e，则lim e f ( x)2e x______ 。
x 0x x0x
5．设f ( x)在(,) 上有定义，且对随意的x 有f (x1) 2 f ( x) ，又当 x [ 0,1]时，有f ( x)x(1x2 ) ，议论 f ( x)在x0处的可导性。
（二）各种求导数的问题
1．设y e
sin x
1 x
e x，求 y ；1
1x
1x
2．设y
arctan
x，求 y ；e1
3．y x(x1)( x2) (x100)，求 y ( 0), y(101)；
x t
ln(1 t)
2
y ；
4．设 y
f ( x) 由
t 3 t 2
确立，求 d
y dx 2
5．设 x y
y x
，求
dy
；
dx
6．设 e xy
tan(xy)
y ，求
dy
；
dx x 0
7．设 y
x te t
确立，求
dy
；
y( x) 由
tan t 2 3sin y
ty 2 5
dx
8．设 f ( x)
sin x 2ae x , x 0
在 x 0 处可导，求 a, b ；
9 arctan x 2b( x
1)3 , x
9．求以下函数的导数：
（ 1）设 y
2 x cost 2 dt ，求 dy
；
x
dx
（ 2）设 y
tf (t
2
x 2 )dt ，求
dy
；
x
dx
10．设 f ( x) 连续，
( x)
f (x) A ，求
( x) ，并议论
( x) 在 x 0处
f ( xt)dt ，且 lim
1
x 0
x
的连续性。
11．设 f (x)
g( x) cosx , x 0
x
，此中 g(x) 二阶可导且 g (0) 1。
a, x 0
（ 1）当 a 为什么值
时， f ( x) 在 x 0 处连续；（ 2）求 f ( x) ；（ 3）研究 f (x) 在 x
0 处的连续
性。
解答：
（ 1） lim f ( x) lim g (x)
cosx lim [ g (x)
g(0) g(0)
cosx ] x 0
x 0
x
x
x
x
lim [ g(x) g( 0)
1 cos x ] g (0) ，
x 0
x
x
于是当 a
g (0) 时， f ( x) 在 x 0 处连续。
（ 2）当 x 0 时， lim
f ( x)
x 0 x
g( x) cos x g (0) x
lim
x 2
x 0
即 f (0)
1
[1 g (0)] ；
2
x[ g ( x)
g( x) cosx f (0)
g (0)
lim
x
x
x
lim g ( x)
g (0) sin x 1
[1 g (0)] ，
x 0
2x
2
sin x] g( x) cos x 当 x 0 时， f ( x)
x
2
，于是
1
[1 g (0), x 0 f (x)
2
。
x[ g ( x)
sin x]
g( x) cos x , x
x 2
（ 3）由于 lim f (x)
lim x[ g (x) sin x] g( x) cos x
x 2
x 0
x 0
lim [
g ( x)
sin x
g( x) 2 cos x ]
1
[1 g (0)] f (0) ，
x 0
x
x 2
因此 f
( x) 在 x 0 处连续。
12 ． 设 f ( x) 在 [
1,1] 上 可 导 ， f ( x) 在 x
0 处 二 阶 可 导 ， 且 f (0) 0, f ( 0) 4 ， 求
f ( x)
f [ln( 1 x)] lim
x
3
。
x 0
13．设 f (x)
lim x 2e n( x 1)
ax b
，求 f (x) ，并议论 f ( x) 的连续性和可导性。
1 e
n( x 1)
n
（三）高阶导数问题
1．设 y
e x sin x ，求 y (n) ；
2．设 y ln( x 2 3x 2) ，求 y ( n) 。
3．设 f ( x) x ln(1
x 2 ) ，求 f (49) (0) 。
第二部分 一元函数微分学的应用
内容复习（略）
附：中值定理部分的推行
1．设 f ( x) 在 x
x 0 的邻域内 n 阶连续可导，则有
f ( x)
f ( x 0 ) f (x 0 )( x x 0 )
f (n)
( x 0 )
( xx 0 )n
o(( x x 0 )n ) 。
n!
2．（导数零点定理） 设 f ( x) C[a,b] ，在 (a, b) 内可导，且 f (a) f (b) 0 ，则存在
(a, b) ，
使得 f ( ) 0 。
3．（导数介值定理）设设
f ( x) C[ a,b] ， 在 (a, b) 内 可 导 ， 且 f ( a) f (b) ， 不如 设
f (a) f (b) ，则对随意的 [ f (a), f (b)] ，存在
(a,b) ，使得 f (
)
。
4．设 f ( x) C[a, b] ，且 f (x) 0(
0) ，则有
f ( x) ( ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ，等号成立当且仅当 x
x 0 。
要点题型解说
（一）中值定理等式的证明
种类一：目标表达式中仅含 不含端点字母，且导数之间相差一阶
1．设 f ( x) 在 [ 0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) 1, f (1) 0 ，证明：存在
(0,1) ，使
得
2 f ( )
f ( )
0 。
1
2．设 f ( x) 在 [ 0,1] 上可微，且 f (1) 3 3 e x
1
f ( x) dx ，证明：存在
(0,1) ，使得
f ( ) f ( ) 0 。
3．设 f ( x) 在 [ 0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导， f (0) 0, f ( 1
) 1, f (1) 0 。证明：
( 1
,1) ，使得 f (
2
（ 1）存在
)
；
2
（ 2）对随意的 k ( , ) ，存在
(0, ) ，使得
f ( ) k[ f ( )] 1。
种类二：目标表达式中含两此中值
1．设 f ( x) 在 [ a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f (x) 0 ，证明：存在 , (a, b) ，使得
f ( ) e b e a e 。 f ( ) b a
2．设 f ( x) 在 [ a,b] 上连续，在 ( a, b) 内可导， f (a) f (b)
1 ，证明：存在 ,
( a, b) ，使
得
f ( ) f ( ) e 。
3．设 f ( x) C[0,1] ，在 (0,1) 内可导，且 f (0)
0, f (1) 1，证明：对随意的正数
a,b ，存在
,
(0,1) ，使得
a
b a b 。
f ( )
f (
)
4．设 f ( x) C[ a, b] ，在 ( a,b)内可导（ a 0），证明：存在
1,2,3
(a,b) ，使
f ( 1 ) (a b)
f ( 2 ) (a 2 ab b 2 ) f ( 3 ) 。
2 2
3 32
种类三：目标表达式中含有端点和中值
1．设 f ( x), g ( x)
[a, b] ，在 ( a,b)内可导，且 g ( x) 0，证明：存在 (a, b) ，使得
f (a) f ( )
f ( ) 。
g( )
g(b)
g ( )
种类四：目标表达式为
f ( n ) () 0
1．设函数 f (x)在区间[0,3]上连续，在(0,3) 内可导，且 f (0) f(1) f ( 2) 3 ， f(3) 1，证明：存在(0,3)，使得 f( )0 。
3．设f ( x)在[ 0,1]上三阶可导，且 f (0) f (1)0, H ( x)x3 f ( x) ，证明：存在(0,1) ，使得 H()0。
4．设f ( x)C[ a, b] ，且f (a) f(b)0 ，证明：存在(a,b) ，使得 f ( )0 。
种类五：目标表达式为
f (n ) () C0（此中 C0为常数）
1．设f ( x)C[ a, b] ，在 ( a,b)内二阶连续可导，证明：存在(a, b) ，使得
f (b) 2 f a b f (a)(b a)2f() 。
24
2．设f ( x)在[1,1] 上三阶连续可导，且 f (1)0,f (1) 1, f (0)0 ，证明：存在( 1,1) ，使得 f() 3 。
3．设a1a2a n为 n 个不一样的实数，函
数 f ( x) 在[ a1,a n]上有n阶导数，并知足
f (a1 ) f (a2 ) f (a n )0 ，则对每个 c[a1 ,a n ] ，存在(a1 , a n ) 知足等式
f ( c)(c a1 )(c a2 )(c a n ) f(n )( )。
n!
（二）中值定理不等式的证明
1．f (x)C[a,b] ，在 (a,b) 内可导， f ( a) f (b) ，且 f ( x) 不是常数，证明：存在(a, b) ，使得f()0 。
2．设f ( x) C [ a, b] ，在 ( a,b) 内可导，且曲线y f (x) 非直线，证明：存在(a, b) ，使
得|f(
f (b) f (a)
) |
b a。
3．f ( x)C[ a,b] ，在 (a, b)内二阶可导，且f (a) f (b)0, f (a)0 ，证明：存在(a, b) ，使得 f ()0 。
4．设f ( x)在[ a,b]上知足f( x) | 2 ，且 f (x) 在 (a,b) 内取到最小值，证明：
| f(a) || f(b) |2(b a) 。
5． f ( x) 二阶可导，且 f (0)
f (1)
0, min f (x)
1，证明： max f (x)
8 。
0 x 1
0 x 1
6 ．设 f (x) 在 [ a, b] 上二阶可导， f ( x) 0 ，对随意的
x i [a,b] （ 1
i
n ）及 k i 0
（ 1 i n ），证明：
f (k 1 x 1 k 2 x 2
k n x n ) k 1 f ( x 1 ) k 2 f ( x 2 )
k n f ( x n ) 。
7．设 lim f ( x)
1且 f (x)
0 ，证明： f ( x) x 。
x 0
x
8 ．设 f (x) 在 [ 0, ) 上有定义且
f ( x)
0, f (0) 0 ，证明：对随意的
a
0,b
0 ，有
f ( a b) f (a)
f (b) 。
9．设 f ( x) 在 [ a,b] 上二阶可导，且 f (a) f (b) 0 ，证明：存在
(a,b) ，使得
| f ( ) | 4 | f (b)
f (a) | /(b a) 2 。
10．设 f ( x) 在 x 0 的邻域内四阶可导，且 | f ( 4) (x) | M (M
0) ，证明：对此邻域内任一不一样
于 x 0 的 a ，有
| f (x 0 )
f (a) f (b) 2 f (x 0 )
M 2
(a x 0 )2
|
( a x 0 )
，
12
此中 b 是 a 对于 x 0 的对称点。
11．设 f (x) 在 [0,1] 上二阶可导， f
(0)
f (1) 且 | f ( x) |
2 ，证明：对随意的 x [0,1] ，有
| f ( x) | 1 。
12．一质点从时间 t 0 开始直线运动，挪动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都
为零。证明：在运动过程中存在某个时辰点，其加快度绝对值不小于
4。
（三）求中值定理中
的极限问题
1．设 f ( x) 二阶连续可导，且 f ( x) 0 ，又 f ( x h)
f (x)
f ( x h) h （ 0
1 ）。
证明： lim
1 。
h 0
2
2．设 x
1
x
1
(x 0) ，证明：
1
( x)
1 。
2 x
( x)
4
2
（四）与极值、最值有关的命题
1．设 f ( x), g( x) 在 [ a, b] 二阶可导，知足 f (x) f ( x)g ( x) f (x) 0 ，且
f ( a) f (b) 0(a b) ，证明： f ( x) 0(x
[ a, b]) 。
2．求数列 { n n} 2 中的最大者。
（五）不等式的证明问题
1．设f (0)g (0), f (0) g ( 0), f (x) g ( x)( x 0) ，证明：当x 0 时， f ( x)g( x) 。2．证明：1 x ln( x1x2 )1x2。
3．证明：当x 0时，有( x21) ln x( x 1) 2。
4．设b a
b2(b a)
。
0 ，证明： ln
a b
a
5．当x0时，证明 arctanx21。
ln(1 x)2
（六）方程根的个数议论
1．议论方程xe x a(a0) 的根的个数。
2．设[ 0,) 内有 f( x)0 ，且 f(0)1, f(0) 2，证明： f (x) 0 在 (0,) 内有且仅有
一个根。
x
1cos 2xdx 在 (0,) 内有且仅有两个根。
3．证明方程ln x
e
（七）选择题
1．设f ( x)在x 0处二阶可导，且lim f ( x)f( x) 2 ，则（）
x0x
（ A ）f (0)是f ( x)的极大值 .（ B）f (0)是f ( x)的极小值 .
（ C）(0, f (0))是曲线y f ( x) 的拐点.（ D）f ( 0)不是f ( x)的极值点，(0, f (0))也不是曲线 y f (x) 的拐点.
2．设f ( x)二阶连续可导，lim f ( x)2
，则（）
x
2 ( x2) 33
( A) f (2)是 f (x) 的极小值； ( B) f (2) 是 f (x) 的极大值；
(C ) (2, f ( 2)) 是曲线 y f ( x) 的拐点；
(D ) f (2) 不是函数 f ( x) 的极值点， (2, f ( 2)) 也不是曲线 y f ( x) 的拐点。
3．设f ( x)二阶连续可导，且lim f ( x)1，则（）
x0x
( A) f (0) 是 f (x) 的极小值；(B) f (0) 是 f ( x) 的极大值；
(C )(0, f (0)) 是曲线 y f (x) 的拐点；( D )x0 是 f ( x) 的驻点但不是极值点。
4．设k0，则函数 f (x) ln x x
k 的零点个数为（）e
(A)0个；(B) 1个；(C)2个；(D)3个。
x 21
5．曲线y
1
e x 1的渐近线的条数为（）x1
(A)0条；(B) 1条；(C)2条；(D)3条。
第三部分多元函数微分学
内容复习
（一）基本观点
1．多元函数的极限：设z f ( x, y) 的定义域为 D ，M0(x0, y0)为平面上一点，若对于随意的
0 ，总存在0，当 0( x x0 )2( y y0 )2时，有
| f (x, y) A | ，
则称 f (x, y) 当x x0 , y y0时以A为极限，记为lim f ( x, y) A。
x x0
y y0
2 ．多元函数的连续：设z f ( x, y)在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的邻域内有定义，若
l i mf ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 z f (x, y) 在点M0(x0, y0)处连续。
x x0
y y0
3．偏导数：设z f ( x, y) 在点M0( x0, y0)的邻域内有定义，若
lim f (x
0x, y0 )
f ( x
, y
)
存在，称函数z f ( x, y) 在点M0( x0, y0)处对x可偏导，极限
x0x
记为 f x ( x0 , y0 ), f
,
z
x
( x0 , y0 )x
f ( x0 , y0y) f (x0, y0 )
；若 l i m
y
存在，称函数
y 0
( x0 , y0 )
z f ( x, y) 在点M0( x0, y0)处对 y 可偏导，极限记为 f y (x0 , y0 ),f
,
z
y
( x0 , y0 )
y
。
( x0 , y0 )
4．可微与全微分：设z f ( x, y) 在点M0(x0, y0)的邻域内有定义，记
z f ( x0x, y0y) f (x0 , y0 ) ，
若 z A x B y o() ，此中 A, B 为常数，( x) 2( y)2，则称z f ( x, y) 在点M 0 ( x0 , y0 ) 处可微，称 A x B y 为 f ( x, y) 在点M0( x0, y0)处的全微分，记为dz A x B y 。
讲解：
（ 1）若z f ( x, y) 在点M0( x0
f f
, y0 ) 处可微，则A, B
x
(x0 , y0 )y
；
( x0 , y0 )
（ 2）若z f ( x, y) 为可微函数时， dz f
dx f；x y
5．方导游数：设 z f ( x, y) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有定义，从点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 印一条射线 l ，
设 M ( x 0 x, y 0
y) l ，令
( x) 2 ( y) 2 。
若 lim
f (x 0
x, y 0
y) f (x 0 , y 0 ) 存在，称此极限为函数
z f ( x, y) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 处沿
射线 l 的方导游数，记为
f |M 0 。
l
讲解：
（ 1）设 z
f ( x, y) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 处可微，则 f
|
M 0
f |M 0 cos
f
|M 0 sin
（此中
l x
y
为射线 l 与 x 轴正方向的夹角） 。
（ ）设 u
f ( x, y, z) 在点
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处可微，则
2
f |M 0 f |M 0 cos f |M 0 cos
f
|M 0 cos ，（此中
,
, 为射线 l 与 x 轴、 y 轴、 z 轴
l x
y
z
正方向的夹角） 。
6 ．梯度：设 u
f (x, y, z) 为二元可微函数，称
u i u j
u k { u , u , u
} 为函数
x
y
z
x y
z
u
f ( x, y, z) 的梯度，记为
gradf ( x, y, z)
z z u
u u u i
j
k
,
,
。
x
y
z
x y
z
讲解：梯度的方向即为函数在一点处方导游数最大的方向，梯度的模即为方导游数的最大值，
由于
f
f
cos
f
cos
f
cos
u , u , u cos ，cos ，cos
l x y z
x y z
u , u ,
2
2
2
u e 0
u u u cos （此中
为 l 与 gradf 的夹角），
x y z
x
y
z
2
u 2
2
因此当
0 时， cos
1 ，此时方导游数最大，且最大值为
u
u 。
x
y
z
（二）偏导数求法
1．显函数求偏导数；
2．复合函数求偏导数：
（ 1） z
f (u, v) ，此中 u
(t), v
(t ) ，求 dz
；
dt
（ 2） z
f (u, v) ，此中 u
u( x, y), v v( x, y) ，求 z
, z ；
x y
（ 3） z
f (u, v, x) ，此中 u
u( x, y), v
v( x, y) ，求 z , z ；
x y
3．隐函数（组）求偏导数：
（ 1）设F ( x, y)0 ，求dy
；dx
（ 2）设F ( x, y, z)0 ，求z , z；
x y
（ 3）设 F ( x, y, z)0,，求dz
，
dz
；
G( x, , y, z)0,dx dy
（ 4）F ( x, y, u, v)0,，求
u
,
u
及
v
,
v
。
0,
G( x, , y,u, v)x yx y
（三）多元函数微分学在函数极值上的应用1．无条件极值
求函数 z f ( x, y) 极值的步骤：
（ 1）确立函数z f ( x, y) 的定义域；
（ 2）由z x0
求出函数的驻点；z y0
（ 3）利用鉴别定理，设(x0 , y0 ) 为一个驻点，令
A f xx ( x0 , y0 ),
B f xy ( x0 , y0 ),
C f yy ( x0 , y0 ) ，
Case I 若AC B 20，则点(x0, y0)为函数的极值点，当 A 0 时，(x0, y0)为极小点；当 A0时， (x0 , y0 ) 为极大点。
Case II 若AC B20 ，则(x0, y0)不是极值点。
Case III 若AC B20，则没法确立点(x0 , y0 ) 能否为极值点。
2．条件极值
在( x, y) 0 下求函数 z f ( x, y) 的极值点与极值，采纳Lagrange 乘数法，步骤为：
（ 1）令F f (x, y)( x, y) ；
F x f x x （2）由F y f y y
F( x, y)
0求出可能的极值点；0
（ 3）对可能的极值点进行确立。
（四）多元函数微分学在几何上的应用（数学一，该内容包括在空间分析几何部分）
1．空间曲线的切线与法平面
x(t)
（1）设: y(t) ，取参数t t0，对应的曲线上的点为M 0 ( x0 , y0 , z0 )，切线的方向向z(t)
量为 T
{ (t 0 ), (t 0 ), (t 0 )} ，
切线方程为：
x
x
y y 0
z z 0
，
(t 0 )
(t 0 )
(t 0 )
法平面为：
(t 0 )( x x 0 ) (t 0 )( y y 0 ) (t 0 )( z
z 0 ) 0 。
（2）设 :
F (x, y, z) 0
G( x, y, z) ，点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
，则切线的方向向量为
。
T ({ F x , F y , F z } { G x , G y , G z } ) M 0
2．空间曲面的切平面与法线
设空间曲面
: F ( x, y, z) 0 ，点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
，则切平面的法向量为
n { F x , F y , F z } ，
M 0
切平面方程为： F x (M 0 )( x x 0 ) F y (M 0 )( y y 0 ) F z ( M 0 )( z z 0 ) 0 ，
法线方程为：
( x x 0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
。
F x (M 0 ) F y ( M 0 ) F z (M 0 )
要点题型解说
（一）多元函数的观点、极限与连续 1．求以下极限：
sin( xy)
x 2 y 2 4
2
（1） lim (1 xy)
x
2
（ 2） lim
；
2 2
。
x
x
x y
y a
y 0
xy ,( x, y)
(0,0)
x 2
2．议论函数 f (x, y)
y 2
在点 (0,0) 处的连续性。
0, (x, y)
(0,0)
x 2 y
,( x, y) (0,0)
3．议论函数 f (x, y)
x 4 y 2 在点 (0,0) 处的连续性、可偏导性与可微性。
0, (x, y) (0,0)
xy sin
1 ,( x, y) ( 0,0)
x 2
y 2
4．议论函数
f (x, y)
在点 (0,0) 处的连续性、可偏导性与可
0, ( x, y)
(0,0)
微性。
（二）偏导数的求法
1．设 u
x y z ，求 du ；
2．设 f , g 二阶连续可微， u
yf ( x
y
2
u
2
u
) xg (
) ，求 x x 2 y
。
y
x
x y
3．设 f (t) 二阶可导， g(u,v) 二阶连续可偏导，且
z
f (2x
y) g ( x, xy) ，求
2
z 。
x y
4．设 z
f (e x sin y, x
2
y 2
) ，且 f 二阶连续可微，求
2
z 。
x y
5．设 z
f ( x
y g( x
y z)) ，此中 f , g 可微，求
z z
,
。
x
y
6．设 u
f ( z) ，且 z 是由 z
y x ( z) 确立的 x, y 的函数， f ( z), ( z) 可微，证明：
u
u
x
(z)
。
y
7．设 y
f ( x, t ) ，且 t 是由 G ( x, y,t ) 0 确立的 x, y 的函数， f (x,t ),G ( x, y,t ) 可微，求
dy
。
dx
8．设 F ( x
z , y
z z z z
xy
。
y )
0，且 F 可微，证明： x
y
x
x
y
9．设u f ( x, y, z) 连续可偏导，且 z
z( x, y) 由 xe x ye y
ze z 确立，求 du 。
10 ． y z
x
z ( y x) z ， 若 经 过 变 换 u x
2
y 2
, v
1 1
, w ln z ( x y) , 其 中
x
y
x
y
w w(u, v) ，求原方程化成的方程形式。
解答：由
w 1 z 1, w
1 z 1 得
z
z(1
w
), z z(1 w
) ，
x z x
y z y
x
x y
y
又
w
w u w v 2x w 1
w , w
w u w v
2 y w 1 w ，
x
u x v x
u x 2 v y
u y
v y
u y 2 v
代入原方程得
w 0。
v
11 ． f (x, y) 知足方程 ( f )
2
( f ) 2 4 ，利用 x
uv, y
1
(u 2 v 2 ) 把函数 f (x, y) 变为
x
y
2
g(u, v) ，且知足 a( g )2 b( g )2 u 2 v 2 ，求常数 a, b 。
u 1 (u 2 v 解答： g(u,v) f [uv, v 2
)] ，
2
g f u f , g u f v f ，代入上述关系式得
v y v x
u x y
a(v f u f ) 2 b(u f v f ) 2 u 2 v 2 ，即
x y x y
(av
2
bu 2
)( f ) 2
(2a 2b)uv f
f
(au
2
bv 2
)( f
) 2 u 2
v 2 ，
x
x y
y
则 2a 2b
0, a b ，于是
a(u
2
v 2
)[( f ) 2 ( f
) 2
]
u
2
v 2
，进而 a
1
,b
1 。
x y
4
4
（三）偏导数在极值上的应用
1．求由方程 2x 2 2 y 2 z 2
8xz z 8 0 所确立的函数 z
z(x, y) 的极值。
解 答 ： 由 z x
4x 8z 0, z y
4 y 0 得 x
2z, y 0 ， 代 入 原 方 程 得
2 z 8x 1 2z 8x 1
z 1 1, z 2 8 ，因此驻点为 ( 2,0), (16
,0) 。
7 4 , B 7
4
16
在 ( 2,0) 处， A z xx z xy 0, C z yy ， AC
B 2
0 ， A 0，函数在
15 15
225
z
z( x, y) 取极小值 z 1；
在 (
16
,0) 处， A z xx
4 , B z xy 0, C z yy 4 ， AC
B 2
16 0 ， A 0 ，函
7
15
15
225
数在点 (
16
,0) 处取极大值 z
8 。
7
7
2．求 f ( x, y) x 3 4x 2 2xy y 2 在地区 D
{( x, y) | 1 x 4, 1
y 1} 上的最大值与最
小值。
解答：由
f x
3x 2 8x 2 y 0
x 0 ， 根 据 判 别 法 知 f (0,0)
0为极大值。令
得
f y 2x 2 y 0
y
L 1 : x 1( 1 y 1), L 2 : y 1( 1 x 4), L 3 : x 4( 1 y 1), L 4 : y 1( 1 x 4) 在
L 1 上 f ( 1, y)
5 2 y y 2 ，由于 f ( 1, y)
2( y 1)
0 ，因此 f ( 1, y) 单一减少，故
f ( 1, 1)
4 最大， f ( 1,1)
8最小 。
在 L 2 上 f ( x, 1)
x 3 4 x 2 2x 1，令 f ( x, 1) 3x 2 8x
2 0，得 x 1, 2
4
22 ，
3
min{ f ( 1, 1), f ( x 1 , 1), f ( x 2 , 1), f ( 4, 1)}
44 22 226 ，
27
max{ f ( 1, 1), f ( x 1, 1), f ( x 2 , 1), f (4, 1)
44 22 226
1) 在 L 2 上的最大值
27
分别为 f (x,
与最小值。
近似可得在 L 3 上 f (4, y) 的最大值与最小值分别为
f ( 4,1) 7 与 f (4, 1)
9，在 L 4上
f ( x,1) 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 f (4,1) 7 与 f ( 1,1) 8 ， 综 上 所 述 ， f (4,1) 7 与
f (
422
, 1)
44 22 226 分别为 f ( x, y) 在 D 上的最大值与最小值。
3
27
3．求函数 z x 2 12xy 2 y 2 在地区 D : 4x 2 y 2 25上的最值。
解答：
（ 1）在 4 2 y 2
25 内，由
z x
2x 12 y
0, z y
12x 4 y
得 x
0, y 0 。
x
（2）在 4
2
y 2
25
上，令 F
x 2
12xy
2 y 2
(4x 2
y 2
25) ，
x
F x 2x 12 y 8 x 0 3
, 4)，
由 F y 12x 4 y 2 y 0 得 ( x, y) ( 2, 3), (
F 4x
2
y
2
25
0 2
由于 z(0,0)
0, z( 2, 3)
50, z(
3 , 4) 106 1
，因此函数在地区上的最大值为 106 1
，最
50 。
2 4
4
小值为
4．求椭球
x 2 y 2
z 2 1( a 0, b
0, c
0) 内接长方体的最大概积。
a
2
b 2
c
2
解答：设内接长方体在第一卦限的极点坐标为
( x, y, z) ，则 V 8xyz 。
令 F
xyz
( x 2
y 2 z 2 1) ，
a 2
b 2
c 2
由 F x
yz 2 x 0, F y
xz
2 y
0, F z
xy 2 z 0, F
x 2 y 2 z 2 0 得
a 2
a 2
a 2 a 2
b 2
1
c 2
x
a , y
b , z
c ，则最大概积为 V max
8 3abc 。
3 3
3
9
（四）偏导数在几何上的应用
1．求曲线 x
2
y 2 z z 2 6
在点 (1, 2,1) 处的切线与法平面。
x
y 0
10x 2 y 2z 27
2 2
2
27 的切平面，求此切平面方程。
2．过直线
作曲面
x
y
z
x
y z
3
解答：
F ( x y z 3 x 2 y 2 z 2
27 ，则 n
{ 6x,2 y, 2 z}
，过直线的平面束为
, , )
10 x 2 y 2z 27
(x y z) 0 ，
其法向量为
{10
,2
, 2
} 。
设所求的切点为
(x 0 , y 0 , z 0 ) ，则有
(10) / 6x0(2) / 2 y0(2) / 2z0
3x02y02z0227 0，
(10) x0(2) y0( 2)z00
( x0 , y0 , z0 )(3,1,1)( x0 , y0 , z0 )( 3,17, 17)
解得
1或许
19
，
故所求的切平面方程为9x y z 27 0 或许 9 x17 y 17z 270 。
x t 2
3．曲面4z x2y2上一点M的切平面为，若过的曲线:y t在 t 1 的切线为
z3(t1)
L ，求平面。
解答：切线 L 的方程为x
1y1
z
，曲面上点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的法向量为213
n{x
0 ,
y
0 ,1} ，22
则切平面方程为x0( x x0 )y0( y y0 )( z z0 )0，即
xx0yy02z2z0。
22
由于 L，而 (1,1,0), (3,2,3)L ，
x0y02z0
(12, 6
,
9
) 或许(2,2,2)
因此
3x0 2 y062z0，解得切点的坐标为，x02y024z0
555
故平面: 6x3y5z9 或许: x y z 2 。
4．设曲面S :x 2
y2
z2
1，平面: 2x2y z 5 0 。24
（ 1）求曲面S上与平行的切平面；（ 2）曲面S与平面之间的最短距离。
解答：（ 1）S上M处切平面法向量为1z}，平面的法向量为 n2{ 2,2,1} ，
n{ x,2 y,
2
由 12
得x 2 y z
t
或 x2t, y t , z2t ，代入 S 得
t
1
，则
n // n2222
1
1,1
,1) ，切平面方程为2x 2 y z 40 或许 2x 2 y z 4 0 。
M 1(1, ,1), M 2 (
2
2
（ 2）d13, d21，因此曲面 S 与平面之间的最短距离为 1 。
33
（五）方导游数与梯度
1．设n是曲面2x23y 2z2 6 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求 u16x 28 y2在 P
z
点处沿方向 n 的方导游数。
解答：令
F (,,
z
)2
x
23
y
2
z
2 6 ，则
{ F x , F y , F z} |P{ 4x,6 y,2z} |P{ 4,6,2}
，x y
取 n
{ 2,3,1} ， 则 n
{
2
,
3
, 1
} ， 而 u
6x
, u
8y
，
14 14 14
x z 6 x 2 8 y 2
y z 6x 2
8y 2
u
1 6x
2 8 y 2 ，因此 u
u
2
u
3 u
1 11 。 z
z 2
n |P x |P
14
y |P 14
z |P
14
7
第三讲
积分学
第一部分
不定积分
内容复习（略）
要点题型解说
（一）积分观点与直接积分法
1．设 f ( x) 的一个原函数为
sin x
，求 xf (x)dx 。
x
2． e |x|dx 。
3． max(1, x 2 }dx 。 （二）换元积分法
1．计算以下不定积分
（1）
1
dx ；
（2）
1
dx ； x 2
5x
6
x 2
2x
2
（ 3）
x 4 dx ；
（ 4）
x 3
dx ；
x 2 5x
6
x 2
2x
2
（ 5）
2 100
1 x 7
；
x(1 x ) dx ；
（ ）
x 7 )
dx
6
x(1
（ 7）
1
dx 。
1 x 4
2．计算以下不定积分
（1）
e x
x
dx ；
（ 2）
1 1
e
x 2
cos
dx ；
x
2
5
dx ；
3
（ 3）
ln( x
1 x
) （ 4） ( xln x) 2 (1 ln x) dx 。
1 x 2
（5）
ln x
2
dx ；
（6）
1 ln x
2 dx ；
x ln x(1
x ln 2
x) ( x ln x)
3．计算以下不定积分
（ ）
1
dx ；
（ ）
1
dx 。
1
e x
2
e 2 x )
1
e x (1
4．计算以下不定积分
（ 1）
1
dx ；
（ 2）
x
dx ；
x(4
x)
1 x x 2
dx （3）
；
x
3
x
5．计算以下不定积分
（ 1）
cot x dx ； （ 2）
cos2x
dx ；
sin x
3 sin x cos x
（ 3）
dx
；
（ 4）
sin 2x
sin 2 x 2 cos 2
dx(a b) ；
x
a 2 cos 2 x
b 2 sin 2 x
（ 5）
sin x cos x dx ； （ 6）
1
dx ；
(cos x sin x)5 1 2 tan x （ 7） 1 sin x e x dx ；
（ 8）
sin x dx ；
1 cos x
1 sin x
（ 9）
1
dx ；
1
sin x cos x
（ 10）
1
dx 。
2
sin x cos x
（三）分部积分法计算不定积分
1． x 2arc cot xdx ；
第二部分
定积分及其应用
内容复习（略） 要点题型解说
（一）基本不定积分的计算 1．计算以下定积分
5
1 2 ) n
dx ；
（1）
4
(1
sin 4
x)dx ；
（ 2） I n
(1 x
4
（3） 4
sin 2 x
；
（ 4）
x
；
xe
e x
dx
1
x) 2
dx
4
1
(1
（5）
x sin 2 x
sin 4 xdx ；
（6） I
1
ln(1 x)
dx ；
0 1 x 2
（ 7）
20
cos
6
xdx ______。
2．计算以下定积分
sin 7 x
1
n
n （1） 2
( 10
) dx ； （ 2）
| cosx | dx ； （ 3）
x | cosx | dx ；
2 1 x 1
cosx
（ 4）设 f ( x)
C [
,
] ，且 f ( x)
x
f (x) sin xdx ，求 f ( x) ；
1 cos 2
x
（ 5）设 f ( x)
x
e t 2 dt ，求 1 x 2
f ( x) dx ；
1
（ 6）设f ( x)可微，且f (0) 0, F (x)
x
t n ) dt ，求lim t n 1 f (x n
0x 0
1
, x0
12x5
3．设f ( x)，求 f ( x1)dx 。
1
, x01
4x 2
4．设f ( x)为连续函数，且 F ( x)
x
2t ) f (t )dt ，证明：( x
（1）若f ( x)为偶函数，则F ( x)也是偶函数；（2）若f ( x)为非增函数，则 F ( x)为非减函数。
5．设g ( x)为可微函数， f ( x) 为其反函数（ x0 ），且f ( x )
g(t )dt 0
x
（ 2）求lim及 lim
6．设e t dt xe x，（ 1）求；。
0x 0x F (x) 。
x 2n
13
2
8) ，求 f ( x) 。
(x
3
7．设f ( x)
b
f ( x)dx b0，证明：函数 f (x) 在 (a,b) 内起码两个零C[ a,b] ，且xf (x)dx
a a
点。
（二）定积分等式的证明
1．设f ( x) C [a, b] ，证明：b
f ( x)dx b b x) dx。a
f (a
a
2．设f ( x) C [a, b] ，证明：b
f (x)dx1(b a) x]dx
。a
(b a) f [ a
3．设f ( x), g ( x)在[ a, b]上连续，证明：存在( a,b) ，使得
f ( )b g( ) f ( x)dx 。
g(x)dx
a
4．设f ( x) f (x)A, g(x) 为偶函数，
a
A a2 |sin x |arctane x dx 。（ 1）证明： f ( x) g( x)dx g(x)dx ；（2）计算
a0
2
5．设f ( x)是连续函数，证明：
x u x
( x u) f (u) du。[ f (t) dt]du
00
6．设f (x)C[ 2,4], f (3)0 ，证明：存在(2,4) ，使得f ()
4
3 f ( x)dx 。2
7．设f ( x)C[0, a] ，证明：
a
f ( x)dx a 1 [a 2 。
f ( y)dy f (t )dt ]
0x20
1
8．设f ( x)在区间[ 0,1]上可导，f (1) 22 x 2 f (x)dx ，证明：存在(0,1) ，使得
2 f ( ) f ()0。
9．设f ( x)0为以 T为周期的连续函数，证明：
1x1T
lim f (t )dt f (t) dt 。x x0T0
汤家凤高等数学辅导讲义 一、导言 数学作为一门基础学科，对于学生们的学习和发展起着重要的作用。作为数学教师，我们要提供有效的教学资源，帮助学生更好地理解和 掌握高等数学的知识。本文将从以下几个方面进行阐述，包括基本概念、常见问题以及解题技巧等。 二、基本概念 1. 极限 在高等数学中，极限是一个重要的概念。它用于描述函数在某一点 上的趋势，并被广泛应用于微积分、泰勒展开等多个领域。我们将详 细讲解极限的定义、性质以及求解方法。 2. 导数 导数是函数变化率的表示，也是微积分的核心概念之一。我们将介 绍导数的几何和物理意义，以及导数的定义和计算方法。此外，我们 还会提供一些常见函数的导数表格，方便学生进行实际应用和习题练习。 三、常见问题 1. 泰勒展开
泰勒展开是一种将一个复杂函数表示为无穷级数的方法。我们将详细介绍泰勒展开的原理和计算步骤，以及一些常用函数的泰勒展开公式。这对于理解函数在某一点附近的近似值具有重要意义。 2. 一元函数积分 一元函数积分是微积分中的重要概念之一，用于计算曲线下面积、求解变量之间的关系等。我们将讲解不定积分和定积分的定义和计算方法，并提供一些常见函数积分的表格，方便学生理解和应用。 四、解题技巧 1. 抽象问题的建模 数学问题通常具有一定的抽象性，而合理的建模是解决问题的第一步。我们将介绍常见的建模方法，包括利用函数、方程和不等式等工具进行建模。通过学习这些技巧，学生可以更好地理解数学问题的本质，并能够将其转化为可求解的数学模型。 2. 解题思路与步骤 解题思路和步骤对于解决高等数学问题至关重要。我们将提供一些常见问题的解题思路和步骤，包括构造证明、利用已知条件和使用合适的公式等。通过培养正确的解题思维，学生可以更加熟练地解决各种高等数学问题。 五、总结
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日
公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。
汤家凤高等数学辅导讲义 【最新版】 目录 一、汤家凤《高等数学辅导讲义》简介 二、讲义的主要特点和优势 三、讲义的内容和结构 四、如何有效利用讲义进行高等数学学习 五、结论 正文 一、汤家凤《高等数学辅导讲义》简介 汤家凤《高等数学辅导讲义》是一本针对考研数学一、数学二、数学三考试的辅导书籍。本书由考研数学辅导老师汤家凤编写，总结了全国硕士研究生招生考试数学部分涉及的高等数学基础知识，包括基本概念、基本原理和基本公式，精选了典型的基本题型和综合题型，并对解题方法进行了详尽的讲解。 二、讲义的主要特点和优势 1.全面系统：汤家凤《高等数学辅导讲义》系统全面地总结和概括了考研数学涉及的高等数学部分的基础知识，帮助考生深入了解考试重点。 2.精选题型：本书精选了 76 种题型，涵盖了 36 类知识点，可以帮助考生全面掌握考试中可能出现的各种题型。 3.详尽讲解：汤家凤老师在书中对每个题型的解题方法进行了详尽的讲解，并附有典型例题，方便考生学习和参考。 4.适用广泛：本书适用于数学一、数学二、数学三的考生，无论您报考哪一类数学，都可以从本书中找到适合自己的学习内容。
三、讲义的内容和结构 汤家凤《高等数学辅导讲义》共分为若干章，每章内容包括：考察要求、核心题型、题型解析和练习题。书中按照考试大纲编写，既注重基础知识的讲解，又注重解题技巧的传授。 四、如何有效利用讲义进行高等数学学习 1.熟悉考试大纲：在学习讲义之前，要先了解考试大纲的要求，明确学习目标和重点。 2.系统学习：按照讲义的章节顺序进行学习，从基础知识开始，逐步掌握题型和解题方法。 3.多做练习：通过做练习题来检验自己的学习效果，及时发现并弥补知识漏洞。 4.及时复习：学习过程中要适时进行复习，加深对知识点的理解和记忆。 5.交流讨论：与同学或老师进行交流和讨论，共同进步。 五、结论 汤家凤《高等数学辅导讲义》是一本非常适合考研数学考生的辅导书籍，全面系统地总结了考试重点和解题技巧。
第一讲 极限与连续 主要内容归纳（略） 要点题型解说 一、极限问题 种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限： （ 1） lim 1 1 1 ； n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) （ 2） lim n k 3 1 ； 1 nk 2 k 3 n （ 3） lim [ n k 1 1 ] n ； k (k 1) 2．求以下极限： （ 1） lim 1 1 1 ； 2 2 2 n 4n 1 4n 2 4n n 3．求以下极限： （ 1） lim 1 1 1 ； 2 2 2 2 2 n n 2 n n 2 1 n （ 2） lim n n! ； n n n 1 （ 3） lim 。 n i 2 i 1 1 n n 种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限： （ 1） lim cos x cos x cos x (x 0) ； ( n 1) n 1 1 2 n （ 2） lim n sin ； n 2 2 2 n n n 2．求以下极限： 1 （ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ； x 0 1 1 （ 3） lim 1 tan x x 3 ln(1 2 x) （4） lim cos 1 sin x ； x x 0 x 种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求以下极限： x 2 ； （ 1） lim 1 tan x 1 sin x ； （ 2） lim e tan x e x ； x 0 x(1 cosx) x 0 x(1 cosx) （ 3） lim 1 2 cos x x 1] ； （ 4） lim ( 1 1 ) ； x 3 [( 3) x 2 tan 2 x 0 x x
考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A, B 的积，记为A B 。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A, B 的和事件，记为A+ B 。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A, B 的差事件，记为A- B 。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A⊂ B 。若 A ⊂ B 且B⊂ A ，称两事件相等，记A= B 。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即A B = φ ，称事件A, B 不相容或互斥。 3、对立事件—若A B = φ 且A+ B = ∧ 称事件A, B 为对立事件。 【注解】（1）A= ( A - B) + AB ，且A- B 与A B 互斥。 （2）A+ B = ( A - B) + (B - A) + AB ，且A- B, B - A, AB 两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）A B ⊂ A(或B) ⊂ A + B ；（2）A B = BA, A + B = B + A ； 2、（1）A⋃ A = A, A ⋂ A = A ； （2）A⋂ (B ⋃ C) = ( A ⋂ B) ⋃ ( A ⋂ C), A ⋃ (B ⋂ C) = ( A ⋃ B) ⋂ ( A ⋃ C) ； 3、（1）A= ( A - B) ⋃ A ；（2）(A - B) ⋂ A = A - B ； （3）A+ B = ( A - B) ⋃ AB ⋃ (B - A) 。 4、（1）A+ A = ∧ ；（2）A⋂ A = φ 。 二、概率的定义与性质
课程配套讲义说明 1、配套课程名称 2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时） 2、课程内容 此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。 3、主讲师资 汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！ 主讲：高等数学、线性代数。 4、讲义 20页（电子版） 文都网校 2011年9月15日
2013考研数学高分导学班讲义 线性代数部分—矩阵理论 一、矩阵基本概念 1、矩阵的定义—形如?? ?? ? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 21222 2111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。 特殊矩阵有 （1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。 （2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。 （3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。 （4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。 2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。 3、矩阵运算 （1）矩阵加、减法： ?? ?? ? ? ? ??=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 2 1222 21112 112 1 22221 11211,，则 ?? ?? ? ? ? ??±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A 2 21122222221 21 11121211 11。 （2）数与矩阵之积： ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 2 1 22221 11211。 （3）矩阵与矩阵之积：
2024考研汤家凤高等数学辅导讲义 【原创实用版】 目录 1.2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义概述 2.汤家凤辅导讲义的内容特点 3.如何获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义 4.汤家凤辅导讲义对考研数学的帮助 正文 一、2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义概述 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义是一本针对考研数学的高等数学 辅导资料，由著名数学教育专家汤家凤编写。该书全面、系统地总结和概括了全国高等数学的考试要点，为考研数学的学习提供了有力的帮助。 二、汤家凤辅导讲义的内容特点 汤家凤辅导讲义具有以下特点： 1.内容全面：本书覆盖了高等数学的全部考试内容，包括函数、极限、导数、积分等各个方面，帮助考生全面掌握考试知识点。 2.重点突出：汤家凤辅导讲义对考试重点进行了明确的标注和详细的讲解，有助于考生把握命题规律，快速提高考试成绩。 3.技巧归纳：本书整理了大量的解题技巧和方法，为考生提供了丰富的解题思路，有助于提高解题效率。 4.适用广泛：汤家凤辅导讲义适用于数学一、数学二、数学三各类考研考生，无论您的数学基础如何，都可以从本书中受益。 三、如何获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义 为了获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义，您可以采取以下途径：
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高等数学考研教材书目一览在进行高等数学考研准备的过程中，选择适合自己的教材是非常重要的。良好的教材对于理解数学概念、掌握解题技巧以及提升数学能力都具有至关重要的作用。本文将为大家介绍一些常用的高等数学考研教材，供大家参考选择。 1.《高等数学（上、下）》李建民等：该教材是许多学校采用的教材之一，以其全面、系统的数学内容和清晰的表达而闻名。上下两册分别涵盖了高等数学的基础知识和一些拓展内容，适合对高等数学概念基础不太牢固的考生。此教材还配有大量的例题和习题，供考生进行练习。 2.《数学分析教程（上、下）》汤家凤：该教材是一套经典的高等数学教材，以其严谨的数学推导和详尽的解题方法而受到广大考生的喜爱。教材由浅入深，系统地讲解了高等数学的基本概念、定理和证明，适合具备一定数学基础的考生。此外，该教材还包含了一些常见的高等数学题型，供考生进行深入理解和巩固练习。 3.《高等数学教程（上、下）》同济大学数学系编：该教材是同济大学数学系编写的，内容全面，适合对高等数学有一定了解基础的考生，特别是对于一些证明性的题目和高级应用题有很好的讲解。教材部分章节还附有一些历年考研真题的解析，供考生进行练习和考查。 4.《高等数学选讲与考研试题精解》胡丹：该教材是一本研究生考试的辅导用书，主要针对高等数学考研中的一些重点和难点进行详细
解析和讲解。书中包含了大量的例题和习题，并配有详细的答案和解析，供考生进行针对性复习和巩固练习。 5.《高等数学学习指导与习题解析》孙家贵等：该教材结合了理论 知识和解题技巧的讲解，旨在帮助考生快速有效地掌握高等数学的知 识点。教材附有大量的习题和解析，帮助考生检验自己的学习效果并 找出薄弱环节。 总结起来，高等数学考研教材的选择应根据自己的数学基础和学习 能力进行判断。选择一本适合自己的教材，并结合教材中的例题和习 题进行深入理解和练习，将有助于考生在考研数学中取得更好的成绩。希望以上介绍对大家有所帮助，祝愿大家取得满意的考研成绩！
汤家凤辅导讲义 一、引言 汤家凤是中国著名的教育家和辅导专家，他以其深厚的学识和丰富的教学经验被广大学生和家长所推崇。本讲义旨在介绍汤家凤辅导的方法和理念，帮助读者更好地了解他的教学思想和实践。 二、汤家凤的背景 汤家凤出生于一个教育世家，从小就接受了良好的教育。他在大学期间对教育产生了浓厚的兴趣，并决心将来从事这个领域。毕业后，他进入一所著名高中任教，并开始研究并实践自己的辅导方法。 三、汤家凤辅导方法 1.个性化辅导 汤家凤坚信每个学生都是独特的个体，需要根据其特点和需求进行个性化辅导。他会与每个学生进行深入交流，了解其学习情况、目标和困惑，并根据这些信息制定相应的辅导计划。 2.启发式教学 汤家凤注重培养学生的创造力和思维能力，他采用启发式教学方法，引导学生主动思考和解决问题。他会提出一系列开放性的问题，激发学生的思维，并帮助他们找到解决问题的方法。 3.强化训练 汤家凤认为只有通过反复练习才能夯实基础知识。他会设计大量的习题和练习，让学生进行反复演练，并及时给予指导和反馈。通过强化训练，学生可以逐渐提高自己的能力。 4.情感关怀 汤家凤非常重视与学生之间的情感交流。他会倾听学生的心声，理解他们的困惑和压力，并给予必要的帮助和鼓励。他相信只有建立良好的师生关系，才能更好地辅导学生。
四、汤家凤辅导经验分享 1.时间管理 汤家凤认为时间管理是成功学习的关键。他鼓励学生合理安排时间，制定明确的学习计划，并严格执行。他建议学生分解任务，设定小目标，并逐步完成，以提高效率和成果。 2.积极心态 汤家凤鼓励学生保持积极的心态。他认为学习是一个长期的过程，遇到困难和挫折是正常的。他会教导学生如何面对挑战，保持自信，并坚持不懈地努力。 3.合理休息 汤家凤强调学习与休息的平衡。他建议学生在高强度学习之余，合理安排休息时间，进行适当的放松和娱乐活动。他相信只有身心健康才能更好地投入学习。 五、总结 汤家凤以其独特的辅导方法和深厚的教育经验在教育界享有盛誉。本讲义介绍了汤家凤辅导的方法和理念，包括个性化辅导、启发式教学、强化训练和情感关怀等方面。通过采用这些方法，汤家凤帮助无数学生取得了优异的成绩，并培养了他们全面发展的能力。我们应该向汤家凤学习，将其宝贵经验运用到自己的学习和教育实践中，不断提升自己的能力和素质。
汤家凤2024零基础讲义pdf 首先你要搞清楚汤家凤2024《高等数学辅导讲义·零基础篇》是个什么东西。 如果你对高数纯纯的没有一点儿基础，那我建议你先看这本。 一、汤家凤2024《高等数学辅导讲义·零基础篇》是什么？（封面长这样↓） 既然叫“零基础篇”，那么这本书的重点就在于帮助大家先理解基本概念，再掌握基本原理，最后学会基本的公式推导。 书的章节设置非常贴心。 1.在第一章前面增加预备章（即：零基础高等数学入门 知识，包括第一节：集合、运算与关系，第二节：三角 函数与反三角函数，第三节：常见不等式及数列），目 的是帮助大家回忆起高中数学知识，更好地进入高数学 习。 2.书中每一章开头都有本章思维导图，方便大家在学习 每章之前整体了解本章的知识架构。 在解题方法方面，这本书没有做过多说明，只是起到一个入门的作用。 二、汤家凤2024《高等数学辅导讲义》是什么？（封面长这样↓） 这本书是当你看完了《零基础篇》以后，对高数有点儿基础了，再来看的一本书。如果你有高数基础，可以完全不用买《零基础篇》，直接上这本书完事。
汤家凤《高等数学辅导讲义》最突出的三大特点是： 1.带你系统性复习高数，基础、强化、提高阶段都能 用。 2.基础知识点和题型覆盖全。这本书覆盖36类高数基础 知识点和76种基础题型，解题步骤完整，很多重难点都是掰开了揉碎了给你讲，基本上看书就能理解。 3. 24版根据考研新大纲全新升级，直击考点，大幅提高 你的应试能力。 这本书包含十二章，分别是： 三、汤家凤《接力题典1800》是什么？（封面长这样↓） 这套书分数一、数二、数三，每套书包含两本，分别是题目册和答案册。 因为学数学关键靠刷题，所以复习高数只看高数讲义是不够的，还要同步刷题提高计算能力和解题速度。 1800题目册里划分出基础篇和提高篇两部分。基础篇的题较为简单，提高篇的题则有些难度。有些人说1800很难，我想他大概说的是提高篇里的题。 如果你做基础篇的题仍然发现很困难，那我建议你还是重新看一下高数讲义、线代讲义和概率讲义，重新听听网课，先把基本概念和公式学明白吧。
2024考研汤家凤高等数学辅导讲义 摘要： 一、引言 二、汤家凤考研高等数学辅导讲义的特点 三、汤家凤考研高等数学辅导讲义的内容 四、使用汤家凤考研高等数学辅导讲义的注意事项 五、总结 正文： 一、引言 随着2024年考研的临近，许多考生已经开始着手准备复习资料。在众多的复习资料中，汤家凤的考研高等数学辅导讲义备受关注。本文将对汤家凤的考研高等数学辅导讲义进行详细介绍，帮助考生更好地了解该资料并合理使用。 二、汤家凤考研高等数学辅导讲义的特点 1.注重基础：汤家凤考研高等数学辅导讲义从基础知识入手，帮助考生打牢基础，为后续的提高和解题技巧学习做好准备。 2.系统性强：讲义内容涵盖了考研数学一、数学二、数学三的全部知识点，形成一个完整的知识体系，有助于考生系统地学习和掌握。 3.实用性强：讲义中的例题和习题紧扣考试大纲，针对性强，有助于考生熟悉考试题型，提高应试能力。 4.讲解清晰：汤家凤老师具有丰富的教学经验，讲解通俗易懂，深入浅
出，易于考生理解和掌握。 三、汤家凤考研高等数学辅导讲义的内容 1.高等数学基本概念与运算：包括函数、极限、连续、导数、积分等基础知识。 2.高等数学重要定理与公式：包括导数与微分、积分、级数等部分的重要定理和公式。 3.高等数学典型题型与解题技巧：包括选择题、填空题、解答题等题型的解题方法和技巧。 4.高等数学历年真题及解析：精选历年真题，并提供详细的解析过程，帮助考生了解考试趋势，提高应试能力。 四、使用汤家凤考研高等数学辅导讲义的注意事项 1.结合自身情况制定学习计划：考生应根据自身的基础和进度制定合理的学习计划，合理安排时间，避免盲目跟从他人。 2.注重基础知识的学习：基础知识是解题的基础，考生应确保对基础知识的理解和掌握，再进行解题技巧的学习。 3.及时复习与总结：学习过程中，考生应及时对所学知识进行复习和总结，加深对知识的理解和记忆。 4.多做练习题和真题：考生应多做练习题和真题，提高解题能力，了解考试趋势。 五、总结 汤家凤考研高等数学辅导讲义是一份针对性强、实用性高、讲解清晰的辅导资料，对考生的复习备考具有很好的指导作用。
汤家凤高等数学辅导讲义 摘要： 1.高等数学的重要性 2.汤家凤高等数学辅导讲义的特点 3.讲义内容的详细介绍 4.讲义对于学习高等数学的帮助 5.如何充分利用讲义提升学习效果 正文： 高等数学是理工科等专业的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力起着至关重要的作用。然而，许多学生在学习高等数学时，往往会遇到各种难题。为了帮助广大同学更好地学习高等数学，我国著名数学教育家汤家凤教授编写了一套高质量的辅导讲义。 汤家凤高等数学辅导讲义具有以下几个显著特点： 1.系统性强：讲义按照高等数学的教材体系进行编排，内容涵盖了高等数学的基本概念、方法和技巧，确保了知识的完整性。 2.重点突出：讲义对重点知识进行了详细解析，有助于学生深入理解高等数学的基本原理，并能在实际问题中灵活运用。 3.例题丰富：讲义配备了大量典型例题，既有基础题型，也有提高题型。通过解答这些题目，学生可以巩固所学知识，提高解题能力。 4.讲解通俗易懂：汤家凤教授善于用生动形象的语言阐述高等数学的抽象概念，使学生更容易理解并掌握知识。
5.注重实战应用：讲义强调数学在实际问题中的应用，帮助学生学会如何将所学知识运用到实际问题的分析和解决中。 在学习高等数学的过程中，使用汤家凤高等数学辅导讲义能够取得显著的效果。以下是一些建议，以帮助大家更好地利用讲义提升学习效果： 1.认真阅读讲义：在课堂学习之余，认真阅读讲义，加深对知识点的理解，提高自己的理论素养。 2.动手解题：在掌握知识点后，尝试解答讲义中的例题，巩固所学内容，培养解题技巧。 3.定期复习：学习新知识的同时，不要忘记定期复习旧知识，形成知识体系。 4.交流讨论：与同学、老师一起探讨讲义中的难题，互相学习，共同进步。 5.学以致用：将所学知识运用到实际问题的分析和解决中，提高自己的创新能力。 总之，汤家凤高等数学辅导讲义是一套极具价值的辅导资料，对于学习高等数学具有很好的指导作用。
文都教育 2014 考研数学春季基础班线性代数辅导讲义 文都教育 2014 年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义 主讲：汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 定义 1 逆序—设 i, j 是一对不等的正整数，若 i j ，则称 (i, j ) 为一对逆序。 定义 2 逆序数—设 i 1i 2 i n 是 1,2, , n 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序 数，记为 (i 1i 2 i n ) ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 a 11 a 12 a 1n 定义 3 行列式—称 D a 21 a 22 a 2 n 称为 n 阶行列式，规定 a n1 a n 2 a nn D ( 1) ( j 1 j 2 j n ) a 1 j a 2 j 2 a nj 。 j 1 j 2 j n 1 n a 11 a 12 a 1n 定义 4 D a 21 a 22 a 2 n 余子式与代数余子式—把行列式 中元素 a ij 所在的 i 行元 a n1 a n 2 a nn 素和 j 列元素去掉，剩下的 n 1行和 n 1 列元素按照元素原来的排列次序构成的 n 1阶行 列式，称为元素 a ij 的余子式，记为 M ij ，称 A ij ( 1) i j M ij 为元素 a ij 的代数余子式。 二、几个特殊的高阶行列式 a 1 0 0 a 1 0 0 1、对角行列式—形如 0 a 2 0 称为对角行列式， 0 a 2 0 a 1a 2 a n 。 a n a n a 11 a 12 a 1 n a 11 2、上（下）三角行列式—称 0 a 22 a 2n 及 a 21 a 22 0 为上（下）三角行 a nn a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 11 a 22 a 2n a 11 a 22 a nn ， a 21 a 22 a nn 。 列式， a 11 a 22 0 0 a nn a n1 a n2 a nn
第一讲 极限与连续 主要内容概括〔略〕 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1 531311lim n n n ； 〔2〕1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； 〔3〕∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim ； 3．求下列极限： 〔1〕⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++ ++++∞→2222221 211 1lim n n n n n ； 〔2〕n n n n !lim ∞ →； 〔3〕∑=∞→++ n i n n i n 1 211 lim . 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： 〔1〕)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n ；〔2〕n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： 〔1〕( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； 〔3〕) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++；〔4〕2 1cos lim x x x ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： 〔1〕) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→；〔2〕)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；
〔3〕]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； 〔4〕)tan 1 1(lim 220x x x -→； 〔5〕203)3(lim x x x x x -+→； 〔6〕设A a x x f x x =-+ →1 ) sin ) (1ln(lim ,求20)(lim x x f x →. 2．求下列极限：x x e x x x sin cos lim 32 02 - →- 类型四：极限存在性问题： 1．设01,111=-+=+n n x x x ,证明数列}{n x 收敛,并求n n x ∞ →lim . 2．设)(x f 在),0[+∞上单调减少、非负、连续,),2,1()()(1 1 =-= ⎰ ∑=n dx x f k f a n n k n ,证明： n n a ∞ →lim 存在. 类型五：夹逼定理求极限问题： 1．求⎰+∞→1 01sin lim dx x x n n ； 2．),,()(lim 1非负c b a c b a n n n n n ++∞ →； 3．)0(21lim 2≥⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++∞ →x x x n n n n . 类型六：含参数的极限问题： 1．设0)3sin (lim 2 3 =++--→b ax x x x ,求b a ,； 2．设3)11lim 2=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-++∞→b ax x x x ,求b a ,； 类型七：中值定理法求极限： 1、)1 arctan (arctan lim 2 +-∞ →n n n n π π ； 2、)(lim 1 211 21 2 +-+∞ →-x x x e e x . 类型八：变积分限函数求极限： 1、) 11)(tan (2 cos lim 2 00-+---⎰→x x x x x tdt e x t x .
汤家凤高数基础班讲义 一、导论 在汤家凤高数基础班中，我们将学习高等数学的基本概念和技巧。 高等数学是大学数学的核心课程之一，对于理工科学生来说尤为重要。本讲义将帮助学生建立高数的基础知识框架，并提供实用的解题方法，以帮助学生更好地应对高数学习。 二、函数与极限 1. 函数的定义与性质： 函数的定义及基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。 2. 一些常见函数： 介绍常见的函数类型，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函 数等，并讲述它们的基本性质。 3. 极限的概念与性质： 解释极限的概念并引入极限的性质，包括左极限、右极限、无穷 大与无穷小等。 三、导数与微分 1. 导数的定义与求导法则： 介绍导数的定义，包括导数的几何意义和物理意义，以及常用的 求导法则。
2. 高阶导数与隐函数求导： 讲解高阶导数的定义，以及如何求解隐函数的导数。 3. 微分与微分中值定理： 解释微分的概念，介绍微分中值定理的原理和应用。 四、积分与其应用 1. 不定积分与定积分： 引入不定积分与定积分的概念，讨论它们的性质和基本计算方法。 2. 牛顿-莱布尼茨公式： 介绍牛顿-莱布尼茨公式的原理和应用，解释它与积分的关系。 3. 定积分的应用： 探讨定积分在曲线长度、曲面面积和体积计算中的应用。 五、级数与幂级数 1. 级数的概念与性质： 解释级数的概念，介绍级数的性质，如收敛性、发散性和部分和 的计算方法。 2. 常见级数及其性质： 介绍常见级数，如几何级数、调和级数等，并讲述它们的性质与 求和方法。
3. 幂级数的收敛域： 讨论幂级数的收敛域的求解方法，并举例说明。 六、常微分方程 1. 常微分方程的基本概念： 介绍常微分方程的定义、解的存在唯一性定理，以及一阶常微分 方程的基本解法。 2. 高阶常微分方程： 讲解高阶常微分方程的基本概念、特解与常数变易法。 3. 稳定性与相图： 介绍稳定性的概念，讨论常微分方程的相图、稳定解和解的行为。 七、多元函数与偏导数 1. 多元函数的概念与性质： 引入多元函数的概念，介绍多元函数的极限、连续性以及偏导数。 2. 隐函数与全微分： 讲解隐函数的概念与求导方法，以及全微分的定义与应用。 3. 多元函数的极值与条件极值： 探讨多元函数的极值与条件极值的求解方法，包括拉格朗日乘数法。
汤家凤高数辅导讲义24页例题5 （原创版） 目录 一、汤家凤高数辅导讲义简介 二、例题 5 的题目及解题思路 三、例题 5 的详细解答过程 四、如何更好地学习高数辅导讲义 正文 一、汤家凤高数辅导讲义简介 汤家凤高数辅导讲义是针对考研数学的高等数学部分编写的一本辅 导书籍。本书由汤家凤老师编著，内容涵盖了高等数学的主要知识点，包括函数、极限、导数、积分等。书中提供了大量的例题和习题，旨在帮助学生更好地理解和掌握高等数学的知识点。 二、例题 5 的题目及解题思路 例题 5 的题目为：“设函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求 f(x) 在区间 [0, 6] 上的最大值。” 解题思路如下： 1.求函数的导数 f"(x) = 3x^2 - 12x + 9。 2.解关于导数的不等式 f"(x) > 0 和 f"(x) < 0，得到函数的单调区间。 3.在单调区间内找到函数的极值点，并比较极值点与端点的函数值，得到最大值。 三、例题 5 的详细解答过程 1.求导数：f"(x) = 3x^2 - 12x + 9。
2.解关于导数的不等式： 当 f"(x) > 0 时，有 3x^2 - 12x + 9 > 0，解得 x < 1 或 x > 3。 当 f"(x) < 0 时，有 3x^2 - 12x + 9 < 0，解得 1 < x < 3。 3.找到极值点：f"(x) = 0，解得 x = 1 或 x = 3。将极值点代入原函数，得到 f(1) = 4，f(3) = 9。 4.比较极值点与端点的函数值：f(0) = 0，f(6) = 54。因此，在区间 [0, 6] 上，函数的最大值为 9，取到的点为 x = 3。 四、如何更好地学习高数辅导讲义 1.结合视频课程学习：可以观看汤家凤老师的视频课程，辅助理解辅导讲义中的知识点和例题。 2.多做习题巩固：辅导讲义中的习题可以帮助巩固知识点，通过做题来提高自己的解题能力。 3.及时复习总结：学习高数的过程中，要适时进行复习和总结，加深对知识点的理解。
汤家凤高等数学教材 高等数学是大学数学的重要基础课程之一，对于各种理工科专业的学生而言都至关重要。而在高等数学教材中，汤家凤的著作一直以来都享有极高的声誉和广泛的应用。本文将介绍汤家凤高等数学教材的主要特点以及对学生学习的帮助。 首先，汤家凤高等数学教材的编写严谨，内容全面。在涉及到高等数学的各个领域，汤家凤教材都能给予详尽的解释和阐述。不仅涵盖了微积分、线性代数、概率统计等基础知识，还包括了一些拓展的内容如多元函数、级数和微分方程等。因此，学生可以通过该教材获得系统全面的高等数学知识，为日后更深一步的学习打下坚实的基础。 其次，汤家凤高等数学教材注重理论与实践的结合。在教材中，汤家凤通过大量的实例和应用问题来帮助学生理解抽象的数学概念和原理。他将数学与实际问题相结合，使学生能够更好地应用所学知识解决实际生活中的问题。这种理论联系实际的方法，不仅能够提高学生对数学的兴趣，还能够培养学生的实际运用能力。 另外，汤家凤高等数学教材注重逻辑推理和证明方法的讲解。数学是一门以逻辑推理为基础的学科，无论在理论证明还是实际应用中，逻辑思维都起着重要的作用。汤家凤在教材中对逻辑推理和证明方法进行了详细的讲解和演示，使学生能够更加深入地理解数学的思维方式和证明的技巧。这对于培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力具有重要意义。
此外，汤家凤高等数学教材还强调了数学的灵活性和创新性。数学是一门富有创造性的学科，汤家凤在教材中通过引入一些综合性的问题和难题，激发学生的思维，培养学生的创新能力和问题解决能力。这种培养学生创新意识和发散性思维的教学方法对于提高学生数学素养和解决实际问题能力是非常有效的。 综上所述，汤家凤高等数学教材以其严谨的编写、全面的内容和注重理论与实践的结合等特点而备受推崇。通过学习该教材，学生不仅能够获得系统全面的高等数学知识，还能够培养实际运用能力、逻辑推理能力和创新意识。相信随着对汤家凤高等数学教材的深入学习，学生们将能够更好地掌握高等数学知识，为未来的学习和科研打下坚实的基础。