第八章空间解析几何和向量代数第一节向量及其线性运算
—、向量的概念与向量的表示法
1 v向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：不或硏瓦
以为起点，必2为终点的有向线段向量的模：向量的大小.INI或I疋瓦I 单位向量：模长为1的向量。
零向量：模长为0的向量9 Oo
自由向量：不考虑起点位置的向量。
相等向量：大小相等且方向相同的向量。
负向量：大小相等但方向相反的向量：-a 向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的
2、向量的坐标表示
以原点0为起点，以点M为终点的向量
OM = (x9j9z)o若向量N的起点不是坐标原点，则可以将向量N的起点移至坐标原点。设点M的坐标为向量云的坐标9记力=（兀』，Z）。
设云= （%%“），b =（b x,b y,b z）,则
a =
b <^>a x =b x,a y = b y,a z =b z o
设给定点陆=（£』*）（心1，2）,则以M］为起
点，以A/?为终点的向量为
=(X2-X1,J2-J1,Z2-Z1)O
3、向量的长度与方向余弦
设云=（工』忆），则云的长度为\a\= y/x2 + y2
+ z2设沿三个坐标轴方向的单位向量分别记为1,1,k o向量不与TJ,k的夹角分别记作v a^i >，v a J >,< a^k >,若令
= a^< a J >= /?,< a^k >=/, 则称a，0』为不的方向备9称cos a,cos0，cos /为U的方向余弦，且有
x D y z
cos a =——，cos B =——,cosr =——
INI " lai Z lai
cos2a + cos2p + cos2厂=1。
二、向量的加减法与数乘运算
1、运算及运算律加法：a +b
特殊地：若矗//几分为同向和反向同向时\c\=\a\ + \b 19方向与不相同(方的方向); 反向时\c\= \a\-\b
I,方向与模长大的相同。
向量的加法符合下列运算规律:
①交换律：a +b =b +a
②结合律：a+b +c =(d + b)-^-c
③力 + (-«) = 0
减法：向量加法的逆运算——a-b=a+(-b) 向量与数的乘法：财规定为：
①2>0$财与孑同向,1251= 21 a I ；
②2 = 0, Aa = 0 ；
③JlvOy 财与不反向,I1=121 • I« I O 数与向量的乘积符合下列运算规律：
①结合律：2(0) = “(2云)
②分
:(2 + ju)a =财+ 0 ；A(a +方)=加+ 2
方两个向量的平行关系：定理：设®量心乞那么兀丨币o存在唯一的实数兄| 彳寻方=久〃O
求单位向量的方法：设於:与非零向量不同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，则有
a =\a \a Q——= a°o
Ml
2、用坐标表示向量的运算：
T^,a=(a x,a y,a z), b = (b x,b y,b z), 2为任意数，贝lj
①N ±b = (a x±b x,a y±b y,a z±b z)
②衍=(Aa x y Aa y，处)
③云加O’〒話
x J z
三、向量的数量积、向量积以及混合积
1、向量的数量积（点积或内积）
①定义：a-b=\a\\b\cos
②数量积的坐标表示
设不=（a x ,a y皿）b = （b x ,b y ,b z）,
则云方= a x b x +a y b y + a z b z o
③数量积的运算性质
—►—►—►
(Aa)-b =Z(ab)i
④数量积的几何应用
a2 =a^a =la I2
矗的长度：I万1= A/N•五
N与方的夹角＜丽＞ (不大于兀的角):
—►cos
a -
b \a\\b
不与方垂直u＞力•方=0
2、向量的向量积（叉积或外积）
①定义：axb o
大小：\axb 1=1 a lift I sin < a^b >
方向：同时垂直于云与b^.a,b,axb符合右手法贝lj
②向量积的坐标表示
T^a=(a x,a y,a z), b =(b x,b y,b z),
—►—►—►
i J k
则万x万=a a v a7
y
b b b
X y z
③向量积的运算性质
—►—►> —►
axb =-(bxa)；(a +b)xc =axc +b xc；
(Aa)xb = A(a xb) = ax(Ab)
④向量积的几何应用
N与方共线u>/x方=6
3、向量的混合积
①定义=(axbYc
②混合积的坐标表示
设云=(“吹)b
° =
则
③
混含积的富算性质 _
(axb)-c = (b xc) a =(c xa)-b
④ 向聲:积的几何应用+
a \
b \ E 共面U >(^X F)・E = 0 以向量莎、丿、0为相邻三棱的平行六面体的体积 等于I0x 万)・EI
(a xb)^c = b x
a
y
C
y
2 ={2，一3，兀}, 【例1 ］已知^={1,2-3},
a3 ={一2,兀，6}
(1)如陽丄“2，则兀= _______
(2)如ajg、贝吹= ___________
小借昜】Z=IM纠陆I|=<56P>=y '$£ + % =理强【£『0】
第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小
历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。
考研高等数学必看知识点 不能因为提分不显著，就在最后关头放弃数学的复习，11月死磕这些知识点，你的数学也许会让你惊喜！一起看看高数部分应该跟哪些知识点“较劲”到底吧！ 第一章函数、极限与连续 1、函数的有界性 2、极限的定义（数列、函数） 3、极限的性质（有界性、保号性） 4、极限的计算（重点）（四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理） 5、函数的连续性 6、间断点的类型 7、渐近线的计算 第二章导数与微分 1、导数与微分的定义（函数可导性、用定义求导数） 2、导数的计算（“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表：“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程；高阶导数） 3、导数的应用（切线与法线、单调性（重点）与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率（数一、二）） 第三章中值定理 1、闭区间上连续函数的性质（最值定理、介值定理、零点存在定理） 2、三大微分中值定理（重点）（罗尔、拉格朗日、柯西） 3、积分中值定理 4、泰勒中值定理 5、费马引理 第四章一元函数积分学 1、原函数与不定积分的定义 2、不定积分的计算（变量代换、分部积分） 3、定积分的定义（几何意义、微元法思想（数一、二）） 4、定积分性质（奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理） 5、定积分的计算 6、定积分的应用（几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积（数一、二），物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力） 7、变限积分（求导） 8、广义积分（收敛性的判断、计算） 第五章空间解析几何（数一） 1、向量的运算（加减、数乘、数量积、向量积） 2、直线与平面的方程及其关系 3、各种曲面方程（旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面）的求法 第六章多元函数微分学 1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义 2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系
2024版考研数学高等数学辅导讲义 2024年版考研数学高等数学辅导讲义 我们来了解一下高等数学的基本概念。高等数学包括了微积分和数学分析两个部分，其中微积分是高等数学的核心内容。微积分主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点的极限，我们可以得到函数在该点的导数。导数是函数在某一点的变化率，它具有重要的几何和物理意义。积分是导数的逆运算，它可以求得函数的面积、体积等重要的几何量。 在高等数学的学习过程中，我们需要掌握一些重要的解题技巧。首先是函数的性质和图像的分析。通过对函数的性质和图像的分析，我们可以更好地理解函数的行为和特点，从而为解题提供便利。其次是函数的导数和积分的运算法则。掌握了导数和积分的运算法则，我们可以更快地计算函数的导数和积分。另外，我们还需要注意一些常见的函数和定理，如三角函数、指数函数、对数函数以及洛必达法则、泰勒展开等。 除了基本概念和解题技巧，我们还需要了解一些高等数学中的重要定理和公式。例如，微积分中的中值定理、费马定理、罗尔定理等，它们是解题过程中常用的工具。另外，我们还需要掌握一些常见的数列和级数的性质和判别法则，如等比数列、等差数列、收敛级数、
发散级数等。 在高等数学的学习中，我们还需要进行大量的习题训练。通过解题训练，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。在解题过程中，我们要注重思路和方法的灵活运用，遇到难题时要善于思考，多角度思考问题，找到解题的突破口。 总结起来，2024版考研数学高等数学辅导讲义是一本全面系统地介绍了高等数学的基本概念、解题技巧和重要定理的教材。通过学习该讲义，考研学生可以全面掌握高等数学的知识，提高解题能力，为考研数学的复习打下坚实的基础。希望大家能够认真学习，刻苦钻研，取得优异的成绩。
课程配套讲义说明 1、配套课程名称 2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时） 2、课程内容 此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。 3、主讲师资 汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！ 主讲：高等数学、线性代数。 4、讲义 20页（电子版） 文都网校 2011年9月15日
2013考研数学高分导学班讲义 线性代数部分—矩阵理论 一、矩阵基本概念 1、矩阵的定义—形如?? ?? ? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 21222 2111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。 特殊矩阵有 （1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。 （2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。 （3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。 （4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。 2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。 3、矩阵运算 （1）矩阵加、减法： ?? ?? ? ? ? ??=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 2 1222 21112 112 1 22221 11211,，则 ?? ?? ? ? ? ??±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A 2 21122222221 21 11121211 11。 （2）数与矩阵之积： ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 2 1 22221 11211。 （3）矩阵与矩阵之积：
第六章 多元函数微分学 §6．1 多元函数的概念、极限与连续性 甲 内容要点 一．多元函数的概念 1．二元函数的定义及其几何意义 设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。 二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。 例如 221y x z --=，1:2 2 ≤+y x D 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与n 元函数 ()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数 ()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 二．二元函数的极限
设()y x f ,在点()00,y x 的邻域内有定义，如果对任意0>ε，存在0>δ，只要 ()()δ<-+-2020y y x x ，就有()ε<-A y x f , 则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0 或()()()A y x f y x y x =→,lim 0 0,, 称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在。 值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算 极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三．二元函数的连续性 1．二元函数连续的概念 若()()00,,lim 0 0y x f y x f y y x x =→→ 则称()y x f ,在点()00,y x 处连续。 若()y x f ,在区域D 内每一点皆连续，则称()y x f ,在D 内连续。 2．闭区域上连续函数的性质 定理1．（有界性定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，则()y x f ,在D 上一定有界. 定理2．（最大值最小值定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，则()y x f ,在D 上一定有最大值和最小值 ()()M y x f D y x =∈,max ,（最大值），()()m y x f D y x =∈,min ,（最小值） 定理3．（介值定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值。若M C m ≤≤，则存在()D y x ∈00,，使得()C y x f =00, 乙 典型例题
第八章；向量代数与空间解析几何 1.向量及其线性运算 1.1向量概念及线性运算 1.2 向量的方向角，方向余弦，在某轴的投影 例：(,,)OA x y z = ，则， cos ||||x x OA r α= =，cos ||||y y OA r β==，cos |||| z z OA r γ== 投影 ||cos b a a Prj ?= 2.向量的数量积，向量积，混合积： ||||cos a b a b θ?= ，||||||sin a b a b θ?= ， x y z x y z i j k a b a a a b b b ?= ()x y z x y z x y z a a a a b c b b b c c c ??= 3.平面 3.1 平面方程 （1） 平面的点法式方程：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= （2） 平面的一般方程:0Ax By Cz D +++= （3） 平面的截距式方程: 1x y z a b c ++= （知三点求平面方程：利用任意两点做差乘得法向量，在利用另一点用点法式可得） 3.2两平面的夹角 11111:0A x B y C z D ∏+++=22222:0A x B y C z D ∏+++= 夹角余弦：cos θ=
121212120A A B B C C ∏⊥∏??++=111 12222 //A B C A B C ∏∏?? == 4.空间直线 4.1 空间直线的方程 （1）一般式：可看作两平面交线 （2）对称式： 000 x x y y z z m n p ---== （3）参数式：000x x mt y y nt z z pt =+?? =+??=+? 4.2空间直线的位置关系 121212120L L m m n n p p ⊥??++=；111 12222 //m n p L L m n p ?? == 5.点线面距离： 66设()()()000011112222,,,,,,,,M x y z M x y z M x y z === （1）两点间距离公式： 12M M = （2）点线距离，直线过M1，方向向量为v ，|1| || MM v d v ?= （3）两直线间距离：设L1,L2 分别过M1,M2, 且方向向量分别为1s ，2s ， 则() 12 12|1|| MM s s d s s ??=? 6.曲面及其方程 6.1旋转曲面：平面曲线绕其坐标轴旋转时，则该坐标轴对应的变量不变，另一变量 改为该变量与第三个变量平方和的正负平方根，如设有曲线(,)0 :0f x y L z =?? =? 其绕x 轴旋转形成的旋转曲面方程为:(,0f x =
2024考研汤家凤高等数学辅导讲义 【原创实用版】 目录 1.2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义概述 2.汤家凤辅导讲义的内容特点 3.如何获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义 4.汤家凤辅导讲义对考研数学的帮助 正文 一、2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义概述 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义是一本针对考研数学的高等数学 辅导资料，由著名数学教育专家汤家凤编写。该书全面、系统地总结和概括了全国高等数学的考试要点，为考研数学的学习提供了有力的帮助。 二、汤家凤辅导讲义的内容特点 汤家凤辅导讲义具有以下特点： 1.内容全面：本书覆盖了高等数学的全部考试内容，包括函数、极限、导数、积分等各个方面，帮助考生全面掌握考试知识点。 2.重点突出：汤家凤辅导讲义对考试重点进行了明确的标注和详细的讲解，有助于考生把握命题规律，快速提高考试成绩。 3.技巧归纳：本书整理了大量的解题技巧和方法，为考生提供了丰富的解题思路，有助于提高解题效率。 4.适用广泛：汤家凤辅导讲义适用于数学一、数学二、数学三各类考研考生，无论您的数学基础如何，都可以从本书中受益。 三、如何获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义 为了获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义，您可以采取以下途径：
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精选高数复习资料，轻松备战2023考研2023考研复习备战工作正式拉开帷幕，高数复习成为考研复习中不可避免且关键的一部分。想要在高数方面轻松备战2023考研，必须在备战之前有一个充分的准备工作，具备完整的高数知识体系，并掌握一些好用的复习资料。本文将为考研2023的同学们推荐一些精选的高数复习资料，希望可以帮助大家轻松备战2023考研。 一、《高等数学辅导讲义》 《高等数学辅导讲义》是一本由中科院数学与系统科学研究院编写的高数辅导资料。它侧重于重难点的讲解，结合具体的算例，对于高数的概念、定理、公式等内容进行了深入浅出的讲解。 此外，这本讲义还配有丰富的习题，不仅覆盖了历年考研的重点难点，而且针对性强，难易程度分明。同学们可以通过不断地练习，巩固知识点，提高解题能力。 二、《高等数学教材详解》 《高等数学教材详解》是一本由高等教育出版社出版的高数辅导资料。它详细地讲解了高数教材中的每一个知识点，对于定理、公式的证明和公式的应用，均有详尽的解释。 在讲解的过程中，还通过具体的例子，让读者更好地理解和掌握高数知识。此外，在每一章节的末尾，还配有大量的习题，这些习题涵盖了历年考研的重点难点，可以帮助考生更好地掌握高数知识。 三、《高等数学试题集》
《高等数学试题集》是一本历年考研的高数试题集，是考生复习的必备资料。该试题集可以让考生了解历年考试的出题规律、考点分布和难度层次，在考试前有效地调整复习计划，提升复习效率。 在使用该试题集的过程中，考生可以和考试模拟试题配套使用，不断摸索出适合自己的做题方法和策略。同时，通过反复做题，还可以提高解题能力和心理素质，从而更好地备战高数。 四、《考研数学史上最全错题集》 《考研数学史上最全错题集》是由考研数学全国名师团队精心编写的，旨在帮助考生全面掌握考研数学知识点，解决数学难题，提升考研数学成绩的资料。 该资料重点针对历年考研难题进行总结和归纳，将考研数学所涉及的知识点进行了系统化整理和分类，并提供了大量的代表性错误解题思路，帮助考生更好地理解和掌握高数知识。 五、《高级数学习题课讲义》 《高级数学习题课讲义》是一本高质量、针对性强的高数辅导资料。这本讲义主要是针对高数习题的，每一个习题都是在历年考研中大量出现的。 习题解题方法和策略非常实用，而且每一个习题都给出了详细的解题步骤，非常清晰明了。此外，在习题讲解之后，作者还对该部分知识点进行了深入的讲解和总结，帮助考生更好地理解和掌握高数知识。 总的来说，高数是考研中比较难的一部分，需要考生们投入足够的时间和精力去准备。而以上介绍的高数复习资料，不仅具有针对性强、层次清晰的特点，而且完整地保留了历年考研的经验和规律，对
第一章 函数与极限 函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。 §1、 函 数 一、集合、常量与变量 1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。 注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。 2：集合的表示方法： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。 中在点；为我校的学生；须有此性质。如： 中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质 合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其 ；鸡一只猫，一只狗，一只 的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i ΛΛΛΛΛΛ 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。 显然：R Q Z N ⊂⊂⊂. 若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。 5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。 6：不含任何元素的集称为空集,记为Φ,如：{R x x x ∈=+,012}=Φ,{12:-=x x }=Φ,空集是任何集合的子集,即A ⊂Φ。 7：区间：所有大于a 、小于b a (＜)b 的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)=}{b x a x ππ 。 同理：[a,b]=}{b x a x ≤≤为闭区间，[)}{,b x a x b a π≤=和(]}{,b x a x b a ≤=π分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。 以上均成为有限区间，a 、b 分别称为左、右端点。 对无穷区间有：(]R x x x a x a b x x b =+∞∞-=+∞-∞=+∞≤=∞-}{),(},{),(},{,πππ，
宋浩高等数学讲义 宋浩高等数学讲义 宋浩教授的《宋浩高等数学讲义》共十二章，我在校内的电子阅览室见到了该书的电子版，特意下载回来仔细拜读。此书按照重要性从前到后排序，其中第一章是导论，主要介绍微积分发展史及当今热点问题和一些基本知识，大多数定理都是证明过程，没有叙述的较少；第二章为函数与极限，第三章至第七章属于一元函数微分学，每章包括了初等函数的几何应用，内容相对比较简单；第八章至第十一章属于多元函数微分学，这部分内容每章节之间逻辑紧密，联系性强；第十二章微分方程，最后是习题集及附录。其中在附录部分收录了习题集答案、复习题参考答案、以及考研大纲，可以说是学生必备的工具书。 此外，宋浩老师还在各个章节旁边配有相关图片，不仅能激发学生的学习兴趣，而且还加深了印象。对于我这样零基础的学生来说，从来没想过要去接触高等数学，更别提什么定理证明。所以在看这本书时，我也是颇费了一番脑筋，既不能走马观花似地看，又不能一目十行随便浏览。在宋浩老师指导下，我开始逐章认真学习。记得当时在第一章“微积分发展史”中，我就翻来覆去地反复咀嚼了许久，总算弄清楚了以下几点：首先，微积分是建立在牛顿和莱布尼茨发现的微分和积分符号基础上的，这是基础；然后， 17世纪英国数学家约翰·伯努利创立了“无穷小量”概念，以及对于无穷小量求极限的方法，并将其运用到对常微分方程的解的讨论中，即通常所说的微分方
程的初等解法，这就是最早的微积分学。再后来，数学家们继续改进求极限的方法，并把这种方法推广到一般的解方程问题上，这才有了微积分学。从宋浩老师的讲义中，我也发现了很多值得我们注意的东西。例如他在讲函数连续时就介绍了有限覆盖定理，有限逼近定理等。这里就不再赘述。在看了前两章之后，我对于函数与极限的思维模式有了一个大致的了解，但是对于第三章和第四章，以及第五章和第六章，我却摸不着头脑，没有思路，找不到重点。所幸宋浩老师很耐心地为我讲解，并一步一步带领我去探索。在他的指导下，我逐渐掌握了求极限的方法。同时，每章的知识也变得越来越系统化，脉络更加清晰。这本书让我重新认识了高等数学，它不再神秘难懂，我也不再是那个“一问三不知”的自己。
《高等数学上》 （总学时数： 80 学时） 教案 目录 8141 914 1016.. 111112.... 2
第 8 章空间解析几何与向量代数（ 1学时）章节名称第 7 章微分方程计划学时12 学习内容 新课内容 向量及其线性运算 空间直角坐标系 空间平面与直线 曲面与空间曲线 向量的坐标 空间解系几何的产生是数学史上一个划时代的成就。代数学的优越性至于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何的基本思想。我们可以把数学 学习者 研究的两个基本对象数和形结合起来，于是既可以用代数方法来研究解决几何问题——分析 这是解析几何的基本内容，也可以用几何方法来解决代数问题。 教学目标课程标准 知识与技能 过程与方法 情感与态度 该课程是必修课程，严格按照教学大纲进行教学。 掌握空间几何学的基本概念和空间图形的基本特征及性质 讲解法、演示法、对比法、练习法 培养学生解决数学空间问题的能力。
教学重点 向量的运算（加法、剑法、数量积、向量积）、 两向量夹角余弦及其两向量平行、垂直的充要条件、 教学重点 熟练掌握平面的点法式和直线的点法式方程， 及 掌握平面和直线间的关系， 解决措施 解决措施 由向量的概念引入向量的运算问题。 通过演示法和练习法，让学生掌握解决相应的空间解析几何的知识。 教学难点 两向量夹角余弦及其两向量平行、垂直的充要条件、 教学难点 熟练掌握平面的点法式和直线的点法式方程， 及 解决措施 解决措施 通过演示法和练习法，让学生掌握解决相应的空间解析几何的知识。 根据学生身心发展和高等数学课程学习的特点，积极营造和谐融洽的学习氛围，让学生在听课的过程中生趣，在乐趣中学习，在思考中提高。同时组织有效地自主学习、合作 学习形式，培养学生独立学习的能力，通过多种形式反复再现空间几何图像，巩固 教学设计学习效果，提高学习效率；鼓励学生选择适合自己的方式阅读相关资料，让他们在主动 思路积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，促进学生正确情感、态度、价值观的发展，从而真正成为学习的主人。 教学环节教学内容所用时间 讲解—概括引入向量的 5 分钟概念 讲解—练习向量的线性 15 分钟 运算 教学过程 教师活动学生活动设计意图 与老师一 起到知识的承前启 通过温故知新引出向起温习向 后，保证知识的连贯 量的概念量的有关 性 知识 讲解有关向量加法、 调动学生的学习兴 趣、鼓励学生用积极 向量与数的乘法以及听讲，思考 思考，渗透自主学习 满足的各种运算律 意识。
高等数学下册复习提纲ﻫ第八章多元函数微分学ﻫ本章知识点本章知识点（按历年考试出现次数从高到低排列):ﻫ复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值-－-拉格朗日乘数法(☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆) 隐函数(组）求导（☆☆☆) 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆) 方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆) 函数定义域求法(☆) 1. 多元复合函数高阶导数∂z ∂２z 及. ∂x ∂y∂x 例设z= ｆ(ｓin x, ｃos y, e x+ y ）, 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 解ﻫ∂ｚ= ｆ1′ ⋅ｃos ｘ + f 3′⋅ｅｘ＋ y , ∂ｘﻫ∂２z ∂2z ′′′′′′′′= ＝［ｆ１2 ⋅ (−sin y ) +f 13 ⋅ e x + y ］ cｏs x + e x + y f 3′ + [ f 32 ⋅ (− sin y ) ＋ f 33 ⋅ e x + y ］e x＋y ∂y∂ｘ∂x∂yﻫ析1)明确函数的结构(树形图)ﻫｚﻫu v w x+y x ｙx yﻫ，那么复合之后z 是关于x, y 的二元函数．根据结构ﻫ这里u＝sin x, v =cos y, ｗ＝eﻫ图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，按线相乘，“ 分线相加” . ２) f 1′, f 3′ 是f 1′(sin x, cos y, e相同,仍然是sｉn x，cos y , e x＋ｙx+ yﻫ）, f 3′(siｎｘ,cｏs y, ｅx + y ) 的简写形式，它们
第八章 多元函数微分法及其应用 1、求下列函数的定义域： (1) y x z -= ; （2）)12ln(2+-=x y z ; 解:0≥y 且 0≥-y x 解:{} 012|),(2 >+-=x y y x D 得 D =(){} y x y y x ≥≥,0|, (3) 2 2 arccos y x z u +=; (4) 2 2 1)ln(y x x x y z --+ -=. 解:022≠+y x 且 2 2y x z +1≤ 解:⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>--≥>-010 ,022y x x x y 得 { } 0,|),,(22222≠++≤=y x y x z z y x D . 得 {} 1,,0|),(22<+>≥=y x x y x y x D 2、已知函数v u w w u w v u f ++=),,(，试求: ).,,(xy y x y x f -+ 解: x xy xy y x xy y x y x f 2)()(),,(++=-+ 3、设,),(,),(2 2 2 2 y x y x y x y x f -=+=ϕ求：]),,([2 y y x f ϕ. 解: 4 2 22 4 2 2 )(),(]),,([y y x y y x y y x f +-=+=ϕϕ 4、求下列极限： （1） 2 2 1)ln(lim y x e x y y x ++→→.2ln 0 1)1ln(2 2 0=++= e （2）1 1lim 0-+→→xy xy y x 2)11(lim 0 0=++=→→xy xy xy y x ; （3）y xy y x )sin(lim 0 2→→=221sin lim 02 =⋅=⋅→→x xy xy y x ; （4） 22)()cos(1lim 22220 0y x y x e y x y x ++-→→22422sin 2lim 222222 22 00y x y x e y x y x y x +⋅⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++=→→.0021=⋅= 5、证明 2 222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在. 证明 若点),(y x P 沿直线kx y =趋于()0,0，则
314 第八章 常微分方程与差分方程 3⎡⎤⎣⎦数学 2008考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶 的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 微分方程的简单应用 2008考试要求 1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。 2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4. 会用降阶法解下列形式的微分方程：()''''''(),(,)(,)n y f x y f x y y f y y ===和。 5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构。 6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程。 8. 会解欧拉方程。 9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 2008差分方程考试内容（数学3专题） 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 差分方程的简单应用 2008差分方程考试要求（数学3专题） 1．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 2．掌握变一阶常系数线性差分方程的求解方法。 3．会用差分方程求解简单经济应用问题。 第一节 常微分方程 一． 微分方程的解的结构与性质 1.1 微分方程的形式： 一般形式： ()(,,',,)0n F x y y y ⋅⋅⋅= 标准形式： ()(1) ()(,,',,) n n y x f x y y y -=⋅⋅⋅ 注意上述形式中的y 及其各阶导数只是一次项，这是因为我们研究的是线性（特征是：只含y 及其各阶导数得的一次项，否则，就是非线性方程范畴了，当然对一阶微