一、等比数列选择题
1．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35
124
a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,
2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．()3,+∞
C ．73,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．[
)3,+∞
2．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1
B ．2±
C ．2
D ．2-
3．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}
2
n a 的前n 项和为n T ，若2
(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．()3,+∞
B ．()1,3-
C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．91,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
4．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n
a n N n
∈的最小值为（ ） A ．
16
25
B ．
49
C ．
12
D ．1
5．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
6．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2±
B ．2
C ．3±
D ．3
7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---⨯+，*n N ∈，则
存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）
A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列
C ．·
n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·
n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题
的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．
503
B ．
507
C ．
100
7
D ．
200
7
10．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列()
{}
1
11n n n a a -+-的
前n 项的和为（ ）
A ．()23
82133n n +--
B ．()23
182155
n n +---
C ．()2382133
n n ++-
D ．()23182155
n n +-+-11．题目文件丢失！
12．正项等比数列{}n a 满足2
2
37610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
13．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34
B ．35
C ．36
D ．37
14．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-
B ．1
C ．2或2-
D ．2
15．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．2020
16．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6
D ．3
17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）
A ．32
B ．31
C ．16
D ．15
19．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50
B ．60
C ．70
D ．80
20．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180
B ．160
C ．210
D ．250
二、多选题21．题目文件丢失！
22．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的
2
3
再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤
C ．n S 的最小值为
700
3
D ．n S 的最大值为400
23．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）
A ．{}n a 为单调递增数列
B ．6
3
9S S = C ．3S ，6S ，9S 成等
比数列
D ．12n n S a a =-
24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158
S =
C ．当1
2
p =
时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+
25．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确
的有（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列
B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列
C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列
D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列
26．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且
1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．9100a a <
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b >
27．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}
n a 是等比数列
B ．数列{}1n n a a +是等比数列
C ．数列{
}
2
lg n a 是等比数列
D ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列 28．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得
64m n a a =，则（ ）
A ．数列{}n a 为等差数列
B ．数列{}n a 为等比数列
C ．22
212413
n
n a a a -++
+=
D ．m n +为定值
29．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{
}21
n
a n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =
B ．2
21
n a n =
- C ．21
n n
S n =
+ D ．1n n S na +=
30．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
31．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n
n n
a a n N a +=
∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123
n n a +=-
C ．{}n a 为递增数列
D ．1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和2
234n n T n +=-- 32．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，781a a >，
871
01
a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．791a a <
C ．n T 的最大值为7T
D ．n S 的最大值为7S
33．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的前
n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）
A ．数列{}1n a +是等差数列
B ．数列{}1n a +是等比数列
C ．数列{}n a 的通项公式为21n
n a =-
D ．1n T <
34．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列
C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；
35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）
A ．m ＝3
B ．7
67173a =⨯
C ．()1
313
j ij a i -=-⨯
D ．()()1
31314
n S n n =
+-
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一、等比数列选择题 1．C 【分析】
由等比数列性质求得3a ，把35
124
a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】
因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以53
32a =，解得32a =，则23511
4a a a a =
=，35
124
a a a +
+
1111a a =++
，易知函数()1
f x x x
=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ⎛⎫+
+∈ ⎪⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 2．B 【分析】
根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】
由等比中项性质可得：
2144a =⨯=，
所以2a =±， 故选：B 3．D 【分析】
由2n n S a =-利用11,1,2
n
n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，1
2为公比的等比数列，进而得到{}
2
n a 是以1为首项，
1
4
为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0n
n n S T λ-->恒成立，转化为(
)
()
321(1)
2
10n
n
n
λ---+>对
*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.
【详解】
当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，
两式相减得11
2
n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，1
2
为公比的等比数列. 因为
11
2
n n a a -=， 所以22114
n n a a -=.
又2
11a =，所以{}
2
n a 是以1为首项，
1
4
为公比的等比数列， 所以1112211212n
n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414
n
n
n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=
=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由2(1)0n n n S T λ-->，得2
14141(1)10234n n
n
λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，
所以2
21131(1)1022n n
n
λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
所以2
11131(1)110222n n n n
λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
.
又*n N ∈，所以1102n
⎛⎫-> ⎪⎝⎭
，
所以1131(1)1022n n n
λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦，
即(
)
()
321(1)
2
10n
n
n
λ---+>对*n N ∈恒成立，
当n 为偶数时，()()321210n
n
λ--+>，
所以()()3213216
632121
21
n
n
n n n λ-+-<==-
+++， 令6
321
n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，
所以22
69
3215
λb <=-=+； 当n 为奇数时，(
)()
321210n
n
λ-++>，
所以()()3213216
632121
21
n
n
n n n λ-+--<==-
+++，
所以16
332121
λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.
综上，实数λ的取值范围是91,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 4．D 【分析】
首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较
()*n
a n N n
∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】
在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，
所以21344a a a =+，即2
44q q =+，解得2q
，
所以1
2
n n
a ，所以1
2n n a n n
-=
， 1
2111n n a n n a n n
++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*
n a n N n
∈取得最小值1，
故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 5．C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则111
11122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭
，
所以121n n a =-，故1010
11
211023
a ==-. 故选：C
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 6．D 【分析】
根据等比数列定义知3813q =，解得答案. 【详解】
4个数成等比数列，则3
813q =，故3q =.
故选：D. 7．A 【分析】
根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2
326a a a =，
即2
(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)
661(2)2422
S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 8．D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，
∴当1n =时，有110S a a ==≠；
当2n ≥时，有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，
又当1n =时，0
1()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，
1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，
令n b a b bn =+-，1
2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，
故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；
因为11
()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{
}1
2
n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数
列，故AB 错. 故选：D.
方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2
,1
n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能
力. 9．D 【分析】
设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】
5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，
由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则(
)3
11212
a --＝50，
解得a 1＝507
，所以牛主人应偿还粟的量为2
3120027a a ==
故选：D 10．D 【分析】
根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入
()
1
11n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.
【详解】
因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，
所以31121
20
8a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，
解得2q
，12a =，
所以1222n n
n a -=⨯=，
()
()
()
111
1
1
1222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，
()
{
}
1
11n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，
()
23
3
5
7
9
21
11
8[1(4)]8222222
(1)1(4)155
n n n n n n S -++---∴=-+--+
+⋅==+---， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.
11．无
12．C 【分析】
利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】
根据题意，等比数列{}n a 满足2
2
37610216a a a a a ++=， 则有22
2
288216a a a a ++=，即()2
2816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ． 13．D 【分析】
假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】
设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，
所以 3.81000n
n a =>，解得 3.8333
log 1000 5.17lg3.8lg3810.58
n >=
=≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 14．C 【分析】
根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为12a =，且53a a =，所以2
1q =，解得1q =±， 所以9
1012a a q ==±.
故选：C. 15．C 【分析】
根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2
10111a =，再利用
11,01a q ><<求解即可.
【详解】
根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，
因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，
所以2
12021220201011...1a a a a a ====，
因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，
所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关
键是根据定义和等比数列性质得出2
10111a =以及11,01a q ><<进行判断.
16．D 【分析】
由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】
k a 是1a 与2k a 的等比中项
212k k a a a ∴=，()()2
111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦
()()2
23423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.
故选:D 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 17．C 【分析】
根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】
因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()2
42264S S S S S -=-，即()()62
153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 18．B 【分析】
先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】
因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q
，所以2
11a a q
=
=，又因为
1111n
n
a q S q
q
，所以()551123112
S -=
=-.
故选：B. 19．B 【分析】
由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：
数列{}n a 是等比数列，
3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，
即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q
，
9616S S ∴-=，12932S S -=，
121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.
故选：B. 20．C 【分析】
首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】
因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2
155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C
二、多选题 21．无
22．AC 【分析】
由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】
由题可知，第一次着地时，1
100S =；第二次着地时，221002003
S =+⨯；
第三次着地时，2
32210020020033S ⎛⎫
=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭
；……
第n 次着地后，2
1
222100200200200333n n S -⎛⎫
⎛⎫
=+⨯+⨯+
+⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
则2
1
1222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为400700
10033
+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 23．BD 【分析】
根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，
逐项判断选项可得答案． 【详解】
由638a a =，可得3338q a a =，则2q
，
当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误； 由6
63
312912S S -=
=-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，
显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11
122121
n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；
故选：BD ． 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求
和公式. 24．ABC 【分析】
由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】
由122(2)n n S S p n --=≥，得22
p a =
. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，
又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441
11521812
S -
=
=-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为212
1122
m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；
3827
11
33||||22
128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭
， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能
力. 25．AD 【分析】
利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，
则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-， 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，
()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，
奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ， 当1q ≠-时， 则
11111n n n n n n n n n n
a q a A a a a q
q a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确； 故选：AD 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题.
【分析】
根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】
对选项A ，因为0q <，所以2
9109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确； 对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨
<⎩或9100
a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；
对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 27．ABD 【分析】
分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】
根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1
n n
a q a +=， 对于A ，对于数列{}
n a ，则有1
||n n
a q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有
21
1n n n n
a a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}
2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}
2
lg n a 不是等比数
列，C 错误；
对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，有11
1
11n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】
本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 28．BD 【分析】
由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数
列前n 项和公式，求出 1
22
212443
n n a a a +-++
+=，故选项C 错误，由等比数列的通项公式
得到62642m n +==，所以选项D 正确.
由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a --=-，
所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=，
所以1
2n
n a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，
故选项A 错误，选项B 正确； 数列{}2
n
a 是以首项214a
=，公比14q =的等比数列，
所以()
()21
1122
2
121
141444114
3
n n n n a q a a a q +-⨯--+++=
=
=--，故选项C 错误；
6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.
故选：BD 【点睛】
本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 29．ABD 【分析】
由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21
n
a n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】
由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即2
21n a n =-，而122211
a =
=⨯-也成立， ∴2
21n a n =
-，*n N ∈，故数列{}21
n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，
∴111111111121 (133557232121212121)
n n
S n n n n n n =-
+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21
n
a n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 30．AB 【分析】
由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】
123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列
又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴1
23n n a +=-，∴313a =，
∴()
2412323412n n n
S n n +-=-=---.
故选：AB. 31．ABD 【分析】
由()*1
23n
n n
a a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】
因为
112323n n
n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11
340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨
⎬⎩⎭
是以4为首项，2位公比的等比数列，1
1342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故
选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1
12
3
n n a +=
-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.
因为1
231n n
a +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-+
+-=++
+-
22(12)2312
234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，
故选：ABD 【点睛】
本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 32．ABC 【分析】
由11a >，781a a >，
871
01
a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D.
【详解】
11a >，781a a >，
871
01
a a -<-， 71a ∴>，801a <<，
∴A.01q <<，故正确；
B.2
798
1a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．
D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 33．BCD 【分析】
由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公
式可得n a ，1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】
解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，
可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，
则12n
n a +=，即21n n a =-，
又1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得2
2311111111
111212*********
n n n n T ++=-
+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 34．ABD 【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，
若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，
可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；
对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为
12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，
即为2
2322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，
故C 正确；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，
比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故
D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】
本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．ACD 【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】
∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 1
2
=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1， ∴a 67＝17×36，
∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )
111211313131313
13
n
n n n a a a ---=++
+
---（）（）（） 1
2=
（3n ﹣1）•2312
n n +-（） 1
4
=
n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】
本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．
一、等比数列选择题 1．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 2．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则 S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．4或5 D ．5或6 3．已知正项等比数列{}n a 满足11 2 a = ，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ． 312 或112 B ． 31 2 C ．15 D ．6 4．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n a n N n ∈的最小值为（ ） A ． 16 25 B ． 49 C ． 12 D ．1 5．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11 0,,22 n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4 ?? ?? ? B ．20,3 ?? ?? ? C ．30,4?? ??? D ．20,3?? ??? 6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 7 ． 12 与1 2的等比中项是（ ） A ．－1 B ．1 C ． 2 D ．± 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2 13a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则 n a 的表达式为（ ） A ．12n n a ??= ??? B ．1 12n n a +??= ??? C ．23n n a ??= ??? D ．1 23n n a +??= ???
一、等比数列选择题 1．正项等比数列{}n a 满足2 2 37610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??=，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32 B ．16 C ．16- D ．32- 3．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{} 2 n a 的前n 项和为n T ，若2 (1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,3- C ．93,5?? ??? D ．91,5? ?- ?? ? 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111 30(2),3 n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ??? ??? 是等差数列 B ．1 3n S n = C ．1 3(1) n a n n =- - D ．{} 3n S 是等比数列 5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 6的等比中项是（ ） A ．－1 B ．1 C ． 2 D ．2 ± 7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++= （ ） A ．3 B ．505 C ．1010 D ．2020 8．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180 B ．160 C ．210 D ．250 9．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．32 10．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()2 1234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）
一、等比数列选择题 1．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则 5678a a a a +++=（ ） A ．80 B ．20 C ．32 D ． 255 3 2．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．4或5 D ．5或6 3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记 {}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．121T > D ．131T > 4．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??=，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32 B ．16 C ．16- D ．32- 5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 7．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ?=，则2122210log log log a a a +++=（ ） A ．15 B ．10 C ．5 D ．3 8．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989 B ．46656 C ．216 D ．36 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()2 1234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a > D ．13a a >，24a a >
一、等比数列选择题 1．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()2 1234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a > D ．13a a >，24a a > 2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记 {}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．121T > D ．131T > 3．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+4．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{} 2 n a 的前n 项和为n T ，若2 (1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,3- C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．91,5⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭ 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111 30(2),3 n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨ ⎬⎩⎭ 是等差数列 B ．1 3n S n = C ．1 3(1) n a n n =- - D ．{} 3n S 是等比数列 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2 13a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则 n a 的表达式为（ ） A ．12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．1 12n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．23n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．1 23n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭ 7．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->， 1021031 01 a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ） A ．102 B ．203 C ．204 D ．205 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=⋅，若 1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（ ）
一、等比数列选择题 1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 2．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1 B ．2± C ．2 D ．2- 3．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n a n N n ∈的最小值为（ ） A ． 16 25 B ． 49 C ． 12 D ．1 4．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2 n n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ． 11021 B ． 11022 C ．1 1023 D ．1 1024 5．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2± B ．2 C ．3± D ．3 6．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45 B ．54 C ．99 D ．81 7．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->， 1021031 01 a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ） A ．102 B ．203 C ．204 D ．205 8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++= （ ） A ．3 B ．505 C ．1010 D ．2020 9．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6 B ．16 C ．32 D ．64 10．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()2 1234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a <
一、等比数列选择题 1．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->， 1021031 01 a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ） A ．102 B ．203 C ．204 D ．205 2．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8 B ．8± C ．8- D ．1 3．已知正项等比数列{}n a 满足11 2 a = ，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ． 312 或112 B ． 31 2 C ．15 D ．6 4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 5．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6 B ．16 C ．32 D ．64 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111 30(2),3 n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ??? ??? 是等差数列 B ．1 3n S n = C ．1 3(1) n a n n =- - D ．{} 3n S 是等比数列 7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n D ．1+(n -1)×2n 8．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个 单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为112 2 f - B ．第三个单音的频率为14 2 f -
等比数列专项练习题 一、选择题 1．等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 3+a 6=0，则=（ ） A ．﹣11 B ．﹣8 C ．5 D ．11 3．已知正项等比数列{}n a ，且221052a a a =，3=1a ，则4a = A ． 1 2 B ．22 C 2 D ．2 4．等比数列,22,33,x x x ++…的第四项为（ ） A ．27- 2 B ．27 2 C ．-27 D ．27 5．已知 {}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） A 、7 B 、 5 C 、-5 D 、-7 6．已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么 12 2 a a b 的值为 A ．5- B ．5 C ．52- D ．52 7．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．12- C ．1或12- D ．1-或1 2 - 8．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43 9．在等比数列 {a n } 中，,3,210275=+=a a a a 则 4 12 a a =（ ） A ．2 B ． 21 C ．2或21 D ．－2 或 －2 1 10．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．1 11．设}{n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知13,81342==S a a ，则5S 等于（ ）
一、等比数列选择题 1．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1- B ．1 C ．2或2- D ．2 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且63 9S S =，则42a a 的值为（ ） A B ．2 C ．D ．4 3．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．32 4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记 {}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．121T > D ．131T > 6 ． 12 与1 2的等比中项是（ ） A ．－1 B ．1 C ． 2 D ．2 ± 7．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 8．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列() {} 1 11n n n a a -+-的 前n 项的和为（ ） A ．()23 82133n n +-- B ．()23 182155n n +--- C ．()2382133 n n ++- D ．()23182155 n n +-+- 9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．正项等比数列{}n a 满足2 2 37610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
等比数列练习题 一、选择题 1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 21 B. 2 2 C. 2 D.2 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.() (),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞ 6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 11.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.16（n --41） B.6（n --2 1） C. 332（n --41） D.3 32（n --21） 二、填空题： 13.（2009浙江理）设等比数列{}n a 的公比12q = ，前n 项和为n S ，则44 S a = ． 14.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。若3614,1s s a ==，则4a = 15.(2007全国I) 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． 16.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 三、解答题 17.（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3. （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值. ,,a b c
一、等比数列选择题 1．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比 如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕 = 大吕 = 太簇．据此，可得正项等比数列{} n a 中，k a =（ ） A ．n - B ．n -C ． D ． 2．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S = B ．72 3 S = C ．7623 S = D ．7127 3 S = 3．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16- 4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝ （ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 5．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 6．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312 a ，22a 成等差数列，则 91078a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+7．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 8．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1 4，且a n ＝1n n b b +，则b 2020＝（ ） A ．22017 B ．22018 C ．22019 D ．22020 9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则4 2 S S =（ ） A ．76 B ．32 C ． 2132 D ． 14
等比数列 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m n m m m a a a a q q q a a ---=⇔= ⇔= 3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即： 2 A ab =或A ab =± 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何* ,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若* (,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。特别的，当2m n k +=时，得
一、等比数列选择题 1．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，31 4a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12- D ．12 ± 2．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0 D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0 5．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2± B ．2 C ．3± D ．3 6．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个 单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1 122f - B ．第三个单音的频率为1 42f - C ．第五个单音的频率为162f D ．第八个单音的频率为1 122f 7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11 0,,22 n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352 a a +=，245 4a a +=，则n n S =a （ ） A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n -
等比数列应用题及答案 等比数列应用题及答案 想要在考试中考出理想成绩，那么平常的练习就一定要认真去对待。下面是小编整理收集的等比数列应用题及答案，欢迎阅读！ 一、选择题 1．等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于() A．6 B．32n－1 C．23n－1 D．6n 答案：C 2．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为() A.322n B.322n－2 C．32n－2 D．32n－1 解析：选C.∵q3＝a5a2＝243＝8，q＝2，而a1＝a2q＝32，an ＝322n－1＝32n－2. 3．等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a3－a1＝16，则a3等于() A．20 B．18 C．10 D．8 解析：选B.设公比为q(q1)，则 a1＋a2＝a1(1＋q)＝8， a3－a1＝a1(q2－1)＝16， 两式相除得：1q－1＝12，解得q＝3. 又∵a1(1＋q)＝8，a1＝2， a3＝a1q2＝232＝18. 4．(2010年高考江西卷)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝() A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n 解析：选A.∵|a1|＝1，
a1＝1或a1＝－1. ∵a5＝－8a2＝a2q3， q3＝－8，q＝－2. 又a5＞a2，即a2q3＞a2， a2＜0. 而a2＝a1q＝a1(－2)＜0， a1＝1.故an＝a1(－2)n－1＝(－2)n－1. 5．下列四个命题中正确的是() A．公比q＞1的等比数列的各项都大于1 B．公比q＜0的等比数列是递减数列 C．常数列是公比为1的等比数列 D．{lg2n}是等差数列而不是等比数列 解析：选D.A错，a1＝－1，q＝2，数列各项均负．B错，a1＝1，q＝－1，是摆动数列．C错，常数列中0,0,0，…，不是等比数列．lg2n＝nlg2，是首项为lg2，公差为lg2的等差数列，故选D. 6．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是() A．4 B．4 C．14 D.14 解析：选A.由an＝182n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为4. 二、填空题 7．若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________． 解析：由于x,2x＋2,3x＋3成等比数列， 2x＋2x＝3x＋32x＋2＝32且x－1,0. 2(2x＋2)＝3x，x＝－4. 答案：－4 8．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝__________；若an＝an＋3，则公比q＝__________. 解析：∵an＋2＝an，anq2＝an，q＝1；
一、等比数列选择题 1．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且63 9S S =，则42a a 的值为（ ） A B ．2 C ．D ．4 3．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8 B ．8± C ．8- D ．1 4．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．32 5．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{} 2 n a 的前n 项和为n T ，若2 (1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,3- C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．91,5⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭ 6．已知数列{}n a 满足112a = ，* 11()2 n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列 {}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．3 (1,)2 - C ．3(,)2 -∞ D ．(1,2)- 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0 D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0 8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里 B ．86里 C ．90里 D ．96里 9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则2020 2021 ln ln a a = （ ） A ．1:3 B ．3:1 C ．3:5 D ．5:3
一、等比数列选择题 1．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152 B ．142 C ．132 D ．122 2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记 {}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．121T > D ．131T > 3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 4．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1 B ．2± C ．2 D ．2- 5．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n a n N n ∈的最小值为（ ） A ． 16 25 B ． 49 C ． 12 D ．1 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111 30(2),3 n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨ ⎬⎩⎭ 是等差数列 B ．1 3n S n = C ．1 3(1) n a n n =- - D ．{} 3n S 是等比数列 7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n D ．1+(n -1)×2n 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---⨯+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
等比数列 一、选择题： 1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（ ） ①{a n 2}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{ n a 1 }也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为（ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或2 1 4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于（ ） A ．4 B ．23 C ．916 D ．2 5．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=0 6．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是（ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a 7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ） A ．89 a b B ．(a b )9 C ．910a b D ．( a b )10 8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ ） A ．32 B ．313 C ．12 D ．15 9．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 （ ） A ．11 n B ．11n C ．112-n D ．111-n 10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅ ⋅=，那么 36930a a a a ⋅⋅⋅ ⋅ 等于 （ ） A ．102 B ．202 C ．162 D ．152 11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为（ ） A ．全体实数 B ．－1 C ．1 D ．3 12.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 二、填空题： 13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23 ，a 4=12，则q = ，a n =___ __． 14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比 q = _． 15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ． 16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (2 1=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ． 三、解答题： 17．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ． 18.已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *) (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式． 19.在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a n =66，a 2·a n －1=128，且前n 项和S n =126，求n 及公比q ． 20.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17,求通项公式a n . 21.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。 22.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝4，a 4a 5a 6＝212. (1)求首项a 1和公比q 的值； (2)若S n ＝210－1，求n 的值． 参考答案
数学 等比数列及其前n 项和 一、选择题 1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝1 32，则项数n 为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A ．3 2 B ．23 C ．－2 3 D ．23或－23 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64 D ．128 5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n － 1＋16，则实数a 的值为( ) A ．－1 3 B ．1 3 C ．－1 2 D ．12 6．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a n S n ，则( ) A ．T 3≤T 6 B ．T 3