第二章 极限与连续
四、证明题
1、;2
3
1213lim
=++∞→n n n
证明：
,1
121)12(21)12(23626231213n
n n n n n n n <+<+=+--+=-++ 要使
ε<-++2
3
1213n n ，只要ε
只要n>N ，就有
ε<-++2
3
1213n n ，所以;231213lim
=++∞→n n n （3分钟） 2、;1lim
2
2=+∞→n
a n n 证明：
n
a n a n n a n n a n n
a n 2
222222
2)(1<++=-+=-+ 要使
ε<-+12
2n a n ，只要
ε ，于是0>?ε，取][2ε a N =，只要n>N ，就有ε<-+122n a n ，所以;1lim 22=+∞→n a n n （3分钟） ﹡3、2 1 62lim 22=-+-∞→n n n n n ； 证明：对任意给定的0>ε，要使 ε<--+-21 6222n n n n 成立。 由于)62(2362162222-+-=--+-n n n n n n n ，显然，当6≥n 时，有 n n n n n n 1 43)62(23622<<-+-， 故只要使 ε 1 ，即ε1>n 即可。 于是，对任意给定的0>ε，取 ,]1[,6max ? ?? ???=εN 则当n>N 时，总有ε<--+-21 6222n n n n 。从而，有数列极限定义，命题得证。（5分钟） 4、0)1()1(lim 2 =+-∞→n n n 证明：0>?ε，需使ε<+=-+-22 ) 1(1 0)1()1(n n n 成立。 由于n n 1)1(12<+，所以只需ε ]1 [ε=N ，则当n>N 时，有 ε<-+-0)1()1(2 n n ，由极限定义知0)1()1(lim 2=+-∞→n n n 。 5、01 ) 1(lim =-∞ →n n 证明：对于任意给定的0>ε，要使ε<=-n n 1 1) 1( ，只需取]1[ε=N ，则当N n >时有 ε<-n 1 ) 1(恒成立，所以01)1(lim =-∞→n n （2分钟） 6、0sin lim =∞→n n n 证明：对于任意给定的0>ε，要使 ε<=n n n 1 sin ，只需取]1[ε=N 则当N n >时有恒 ε n sin 成立，所以0sin lim =∞→n n n （2分钟） 7、 021 lim =∞→n n 证明：对于任意给定的0>ε，（10<<ε）要使 ε<=-n n 2 1121，只要ε>n 2，2lg lg ε- >n ，取]2lg lg [ε-=N 则当N n >时有ε<-12 1 n 成立，所以 021 lim =∞→n n （2分钟） 8、5 3 153lim =+∞→n n n 证明： n n n n 3 )15(5353153<+=-+，∴对于任意给定的0>ε ，要使,5 3 153ε<-+n n 只需ε 3 > n ，取]3 [ε =N 则当N n >时有 ,5 3 153ε<-+n n 成 立，所以5 3 153lim =+∞→n n n （2分钟） 9、11 lim 44 =+∞→n n n 证明： 444411111n n n n <+=-+∴对于任意给定的0>ε ，要使ε<-+11 44 n n 只需4ε>n ，取][4 ε=N 则当N n >时有ε<-+11 44 n n 所以11lim 4 4=+∞→n n n 10、021 lim 32=++∞→n n n n 证明： n n n n n n n n n n 1 1`21021323232=++<++=-++∴对于任意给定的0>ε ，要使 ε<-++0213 2n n n 只需ε1>n 取]1 [ε=N 则当N n >时有ε<-++02132n n n 所以021 lim 32=++∞→n n n n （3分钟） 11、121 lim 2 33=++∞→n n n n 证明： n n n n n 2`221212 3 3<+=-++，∴对于任意给定的0>ε ，要使ε<-++121 233n n n 只需ε2 >n 取]2 [ε=N 则当N n >时有ε<-++121233n n n 所以121 lim 233=++∞→n n n n （2分钟） 12、2 1 342lim 22= +∞→n n n 证明： n n n n 1 343213422 22<+<-+，∴对于任意给定的0>ε ，要使ε<-+2134222n n 只需ε1 >n 取]1 [ε=N 则当N n >时有ε<-+2 1 3422 2n n 所以 2 1 342lim 22= +∞→n n n （2分钟） 13、01 lim 3 =+∞ →n n n 证明： n n n n n n 111 233<=< +，∴对于任意给定的0>ε ，要使ε<-+01 3 n n 只需ε1 > n 取]1[ε =N 则当N n >时有 ε<-+01 3 n n 所以，01 lim 3=+∞ →n n n 14、用定义证明：11 1 lim 2=-→x x 证明：对任意给定的0>ε，要使ε<--=--=--1 212 111x x x x x 成立。 因极限过程是2→x ，可限制2120< - 1 21211>--≥-+=-x x x 所以2212 -<--x x x .于是，对任意给定的0>ε，取)2 ,21min(εδ= 则当δ<-<2 0x 时，便有 εε=?<-<--2222111x x ；即111 lim 2 =-→x x （3分钟） 15、用定义证明：82 ) 4(2lim 22=--→x x x 证明：对任意给定的0>ε，要使| 82) 4(22---x x |， 当x 2≠时,因| 82 ) 4(22---x x |=|2(x+2)-8|=2|x-2| 所以，只要2|x-2|，即|x-2|<2 ε 即可。 于是，取2 ε δ= ，则当0<|x-2|<δ时，便有 |82) 4(22---x x |<ε，由函数极限的定义有82 )4(2lim 22=--→x x x （3分钟） 16用定义证明2121 4lim 22 1 =--→ x x x 证明：因为2 1212212142-=-=---x x x x 欲使ε<- 2 1 2x ，只须取2 ε δ= ， 于是,2,0ε δε=?>?当时， ε<---2121 42x x 恒成立 ∴2121 4lim 22 1 =--→ x x x （3分钟） 17、用定义证明5)32(lim 1 =+→x x 证明：对于,0>?ε要使 12532-=-+x x ε< 只需取,2 ε δ=则当 0<δ<-1x 时有 ε <-+532x ，∴5)32(lim 1 =+→x x （3分钟） 18、用定义证明9)14(lim 2 =+→x x 证明：对于,0>?ε要使 24914-=-+x x ε< 只需取,4 ε δ=则当0<δ<-1x 时有 ε<-+914x ，∴5)14(lim 1 =+→x x （3分钟） 19、用定义证明45 5 6lim 25=-+-→x x x x 证明：对于,0>?ε要使 ε<-=--+-545 5 62x x x x 只需取εδ=则当0<δ<-1x 有ε<--+-45 5 62x x x ∴4556lim 25=-+-→x x x x （3分钟） 20、用定义证明63 9 lim 23-=+--→x x x 证明：对于,0>?ε要使 ε<--=++-)3(63 9 2x x x 只需取εδ=则当 0<δ<-1x 有 ε<++-639 2x x ∴63 9lim 23-=+--→x x x （3分钟） 21、用定义证明01sin lim 0 =→x x x 证明：对于,0>?ε∴≤=-,1 sin 01sin x x x x x 要使ε<-01sin x x 只需取εδ=则当0<δ<-1x 有ε<-01sin x x ∴01 sin lim 0=→x x x （3分钟） ﹡22、用定义证明)0(lim >=→a a x a x 证明：对于,0>?ε∴-≤+-= -a a x a x a x a x 要使 ε<-a x 只需取εδa = 则当0<δ<-1x 有 ε<-a x ∴)0(lim >=→a a x a x （5分钟） 23、21 21lim 3 3=+∞ →x x x 证明：33333321212121x x x x x x =-+=-+ 要使ε<-+21 2133x x ，只须ε<321x ， 即3 21 ε > x ，对= ?>?X ,0ε3 21 ε ，当X x >时ε<-+2 1 213 3x x . 即21 21lim 3 3=+∞ →x x x （3分钟） 24、0sin lim =∞ →x x x 证明： x x x 10sin ≤-.只要 ,1ε .即21 ε> x ，对 , 0>?ε取21 ε= X .当 X x >，就有 ε<-0sin x x ，即0sin lim =∞ →x x x 25、 11lim 2 2 =+∞→x x x 证明：0>?ε，要使ε<<+=-+2 22211111x x x x ，取ε1=X ，当X x >，就有 ε<-+1122x x ，所以11lim 22=+∞→x x x （2分钟） 26、 0)1(lim 22=-+∞ →x x x 证明：0>?ε，要使 ε<= < ++= -+x x x x x x 1 11112 2 222，取ε1=X ，当 X x >就有ε<-+221x x 所以 0)1(lim 22=-+∞ →x x x （3分钟） *27、若 a x n x =∞ →lim ，证明a x n x =∞ →lim ，并举例说明反过来未必成立。 证明：0,>?-≤-εa x a x n n ，欲使ε<-a x n ，只需ε<-a x n ，由 a x n x =∞ →lim 知， 对,0>?εN ?，当n>N 时，ε<-a x n 从而ε<-a x n . ∴ a x n x =∞ →lim ，反之未必成立，例如：设n n X )1(-= 显然 11lim lim ==∞ →∞ →x n x x .但n x x lim ∞ →不存在. （5分钟） 28、设数列n x 有界，有 0lim =∞ →n x y ，证明0lim =∞ →n n x y x 证明：因数列n x 有界，故0>?M ，对一切n 均有,0,>?≤εM x n 由于 0lim =∞ →n x y ，所以对于,,01N M ?>=ε ε只要n>N ，就有,1M y n εε=< 于是有εε =? M y x y x n n n n 0 故 0lim =∞ →n n x y x （5分钟） 29、证明下列结论：1)1...2111( lim 2 2 2 =++ ++++∞ →n n n n x 证明： 1 1 (211) 12 2 2 2 2 +< ++ +++ +<+n n n n n n n n n 而11 lim ,1lim 22 =+=+∞ →∞ →n n n n n x x 所以 1)1... 2 11 1(l i m 2 2 2 =+++++ +∞ →n n n n x （5分钟） 30、证明下列结论：0ln lim 2=+∞ →x x x 证明：存在正数N ，当x>N 时有： x x x x x 1 ln 02 2=<< 又∵01lim =+∞ →x x ∴0ln lim 2=+∞→x x x （2分钟） *31、证明下列结论：3)321(lim 1 =++∞ →n n n x 证明：∵3=n n n n n n n n 1111 33)33()321()3(?=?≤++≤ 并333lim 1=?∞ →n x ∴3)321(lim 1 =++∞ →n n n x （5分钟） 32、证明下列结论：1)1 ...211( lim 2 22=++++++∞ →π ππn n n n x 证明：因为)()1...211()( 22222π ππππ+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n 而1 11lim )( lim 2=+ =+∞→∞ →n n n n n x x π π 1 11lim )( lim 2 2=+ =+∞→∞ →n n n n x x π π 所以1)1...211( lim 2 22=++++++∞ →π ππn n n n x （5分钟） *33证明下列结论：21 )...2211( lim 222=+++++++++∞ →n n n n n n n n x 证明：利用夹逼 1 ...21...2211...2122222+++++<+++++++++<+++++n n n n n n n n n n n n n n n 且21) 1(21 lim ...21lim 22=+++=+++++∞→∞→n n n n n n n n n x x 2 11) 1(21 lim 1...21lim 22=+++=+++++∞→∞→n n n n n n n x x 所以21 )...2211( lim 222=+++++++++∞ →n n n n n n n n x （10分钟） *34、设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义且单调增加，对点 ),,(0b a x ∈若极限)(lim 0 x f x x → 存在，证明)(x f 在点0x 处连续 证明：依题设，并根据极限的保号性，有 当0x x <时，)()(0x f x f <，故)()(lim 00 x f x f x x ≤-→ 当0x x >时，)()(0x f x f >，故)()(lim 00 x f x f x x ≥+→ 由于)(lim 0 x f x x →存在，必有 )(lim 0 x f x x →=)(lim 0 x f x x -→=)(lim 0 x f x x +→=)(0x f 故函数)(x f 在点0x 处连续（10分钟） **35、设)(x g 在 0=x 处连续，且0)0(=g ，以及)()(x g x f ≤， 试证：)(x f 在0=x 处连续 证明：因)(x g 在0=x 处连续，故对任意的0>ε ，存在0>δ， 当δ<-0x 时，ε<=-)()0()(x g g x g ， 于是对任意的0>ε ，存在0>δ，当δ <-0x 时，有 ε<-=+≤+≤-)0()()0()()0()()0()(g x g g x g f x f f x f 所以)(x f 在0=x 处连续（15分钟） **36、设函数)(),(x g x f 是连续的，证明： )}(),(min{)},()(max{x g x f x g x f 、也是连续的，其中 ])()()()([2 1 )}(),(max{)(x g x f x g x f x g x f x -++==?， ])()()()([2 1)}(),(min{)(x g x f x g x f x g x f x -++==φ 证明： 由题设，连续函数的四则运算法则可知，函数)()(x g x f -是连续的，再由 续函数的四则运算法则知，函数)(),(x x φ?也是连续的（15分钟） *37、)(x f 是连续函数，试证明函数)()(x f x F =也是连续. 证明：因u y =是u 的连续函数，又)(x f u =是x 的连续函数；由复合函数的连续性， 知)()(x f x F =是x 的连续函数. （10分钟） 38、根据连续函数的性质，验证方程135 =-x x 至少有一个根介于1,2之间 证明：取13)(5--=x x x f ，它在]2,1[上连续，并且15)2(,3)1(=-=f f ， 由零值定理知至少存在一)2,1(∈ξ 使013)(5=--=ξξξf ，既135 =-x x 至少有一个根介于1,2之间（5分钟） 39、设)(x f 和)(x g 均在],[b a 上连续，且)()(),()(b g b f a g a f <<，试证明在 ),(b a 至少存在一ξ，使)()(ξξg f = 证明：取)()()(x g x f x F -= 由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，故)(x F 在],[b a 上连续 ∵0)()(<-a g a f ，0)()(>-b g b f ∴至少存在一ξ∈),(b a ，使0)(=ξF 即)()(ξξg f =（5分钟） 40、证明方程12=x x 至少有一个正根 证明：取12)(-=x x x f ，显然),(+∞-∞内连续取区间]1,0[ ∵1)1(,1)0(=-=f f ∴至少存在一ξ∈)1,0(使12)(-=ξ ξξf =0 证毕（3分钟） 41、证明方程x x x +=+2 3 33在区间)4,2(),2,0(),0,2(-内各有一个实根 证明：取 33)(23+--=x x x x f 在),(+∞-∞上连续 ∵15)4(,3)2(,3)0(,15)2(=-==-=-f f f f 由零值定理知 在)4,2(),2,(),0,2(x -内至少有一根 又因为三次方程三个根 故各区间只有一根（5分钟） *42、设c b a <<，求证：方程 01 11=-+-+-c x b x a x 在区间（a,b ）与（b,c ）内各至少有一个实根 证明：已知方程可改写作 0))(())(())((=--+--+--b x a x a x c x c x b x 设 ))(())(())(()(b x a x a x c x c x b x x f --+--+--= 因为)(x f 在[a,b]上连续，且 0))(()(,0))(()(<--=>--=a b c b b f c a b a a f ∴由零值定理，存在一1ξ∈),(b a 使=)(1ξf 0，1ξ是方程)(x f =0的根 同理可证，存在2ξ∈),(c b 使)(2ξf =0，2ξ是方程)(x f =0的根（8分钟） 43、试证方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a + 证明：设函数)(.sin )(x F b x a x x F --=是初等函数，在闭区间],0[b a +上连续，由于 )1)s i n (,0(0)]sin(1[)(,0)0(≤+>≥+-=+<-=b a a b a a b a F b F 若0)(>+b a F ，则由零点定理知，存在ξ∈),0(b a +，使0)(=ξF ， 即ξξξ,sin b a +=是方程的根； 若0)(=+b a F ，则)(b a +为方程0)(=x F ，即为方程 b x a x +=sin 的正根 综上，方程b x a x +=sin 至少有一个正根，且不超过)(b a + 44、设函数)(x f 在[b a ,]上连续，且b b f a a f ≥≤)(,)(，证明在[b a ,]上至少存在一点ξ，使ξξ=)(f 证明：取x x f x F -=)()(则)(x F 在],[b a 上连续，由于0)()(≤-=a a f a F ， 0)()(≥-=b b f b F 由零值定理知，至少存在一点ξ∈],[b a 使0)(=-ξξf ，即ξξ=)(f （5分钟） 45、证明方程0193 =--x x 恰有三个实根 证明：作辅助函数19)(3--=x x x F ，该函数在),(+∞-∞内连续，注意到 ,01)3(<-=-F 09)2(>=-F ，01)0(<-=F ，027)4(>=F . 所以方程0)(=x F 在各区间)4,0(),0,2(),2,3(---内至少有一个实根.即 0193 =--x x 至少有三个实根.又因为三次方程最多有三个实根，故所给方程恰 有三个实根（10分钟） *46、证明方程)0(03 >=++p q px x 有且仅有一实根 证明：设q px x x f ++=3 )( -∞=++=-∞ →-∞ →q px x x f x x 3 lim )(lim 则0)(03 000<++=?q px x x f x +∞=++=+∞ →+∞ →q px x x f x x 3 lim )(lim 则0)(13 111>++=?q px x x f x 故方程至少有一个实根 又设 ),(,32+∞-∞∈x x ，且有32x x > ))(()()()(2 3322 232323 33 232p x x x x x x x x p x x x f x f +++-=-+-=- 0)()(3232>+?-≥p x x x x ∴)(x f 单调递增 故方程)0(03 >=++p q px x 只能有惟一实根（10分钟） *47、设)(x f 在],[b a 上连续，),,(,b a d c ∈.0,21>t t 证明：在],[b a 内必有ξ，使得 )()()()(2121ξf t t d f t c f t +=+. 证明：由闭区间上连续函数的最小最大值定理知，)(x f 在],[b a 上存在最大值、最小值，设最小值为m ，最大值为M ，则M x f m ≤≤)( 另外 M t t M t M t t t d f t c f t =++≤++2 1212121)()( m t t m t m t t t d f t c f t =++≥++2 1212121)()( 故由介值定理得（10分钟） ],[b a ∈?ξ，使得2 121) ()()(t t d f t c f t f ++=ξ（8分钟） 48、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x x x a <<<<321，求证在),(b a 内至少存在一点ξ， 使得3 ) ()()()(321x f x f x f f ++= ξ 证明：∵M x f m M x f m M x f m ≤≤≤≤≤≤)(,)(,)(321（) (max ) (min x f M x f m ==） ∴M x f x f x f m =++≤ 3 ) ()()(321 由介值定理知 在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 3 ) ()()()(321x f x f x f f ++= ξ（8分钟） 49、设函数)(x f 在],[b a 上连续，且b d c a <<<，证明存在一个ξ ∈),(b a ，使得 )(2)()(ξf d f c f =+； 证明：这里用介值定理证明，由于)(x f 在],[b a 上连续，所以)(x f 在],[b a 必有最大值M 和最小值N ，因],[,b a d c ∈必有， M d f N M c f N ≤≤≤≤)(,)( 将上二式相加，得 M d f c f N 2)()(2≤+≤ 即：M d f c f N ≤+≤ 2 ) ()( 从而由介值定理，在),(b a 内存在一个ξ，使得 2 ) ()()(d f c f f += ξ，即)(2)()(ξf d f c f =+（8分钟） 50、设函数)(x f 在],[b a 上连续，且b d c a <<<，证明存在一个ξ ∈),(b a ，使得 )(2)()()(ξf n m d nf c mf +=+；其中n m ,为整数 证明：这里用介值定理证明，由于)(x f 在],[b a 上连续，所以)(x f 在],[b a 必有最大值M 和最小值N ，因],[,b a d c ∈必有， M d f N M c f N ≤≤≤≤)(,)( 因0,0>>n m ，有 nM c nf nN mM c mf mN ≤≤≤≤)(,)( 于是M n m d nf c mf N n m )()()()(+≤+≤+，即 M n m d nf c mf N ≤++≤ ) ()( 从而由介值定理，在),(b a 内存在一个ξ，使得 n m d nf c mf f ++= ) ()()(ξ， 即)()()()(ξf n m d nf c mf +=+（8分钟） 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴= 222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈ 第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y = 习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散； （4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知 的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ② 要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知 第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y . 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 第二章《极限配合与技术测量》试题 一、填空 1、尺寸由和两部分组成，其单位一般采用， 此时单位可。 2、基本尺寸是给定的，常用字母或表示，它是通过 、、确定的。 3、实际尺寸是通过得到的尺寸，常用字母或表示，由于存在误差，实际尺寸并非尺寸。 4、允许尺寸变化的两个界限值分别是和，合格的零件必须在。 5、某一尺寸减其所得代数差成为尺寸偏差，简称， 尺寸偏差可分为和两种，而又由偏差和偏差之分。 6、极限偏差是尺寸减尺寸所得的代数差，其值可分为值，值或。 7、尺寸公差在数值上等于和之差，它是允许尺寸的。孔的公差用字母表示，轴的公差用字母表示。 8、公差带图中，表示基本尺寸的一条直线称为，在此线以上的偏差为值，在此线以下的偏差为值。 9、公差带包括和两部分，标准公差的大小决定了，基本偏差决定了。 10、配合是指相同的孔和轴之间的位置关系。 11、孔的公差带在轴的公差带上方为配合；孔的公差带在轴的公差带之下为配合；孔的公差带与轴的公差带相互交叠为配合。 12、配合公差和尺寸公差一样，其数值不可能为。 13、在公差带图中，孔的公差带在轴的公差带上方，一定是_________配合。 14、零件在组装时，常使用_________这一概念来反映零件组装后的松紧程度 15、过渡配合时，孔的公差带与轴的公差带相互_________。 16、过盈配合中，除零过盈外，孔的实际尺寸永远_______轴的实际尺寸。 17、ES 第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念； 2.有界数列； 3.单调数列； 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质； 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限； 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ； 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。 第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量； 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质 高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以 。第二章极限与配合习题库 一．判断下列说法是否正确（以“√”或“×”填入括号内）： 1．凡内表面皆为孔，凡外表面皆为轴。（）2．基本尺寸是设计给定的尺寸，因此零件的实际尺寸越接近基本尺寸，则其精度越高。（）3．基本尺寸一定是理想尺寸。（）4．尺寸公差是零件尺寸允许的最大偏差。（）5．公差通常为正，在个别情况下也会为负。（）6．尺寸公差也可以说是零件尺寸允许的最大偏差。（）7．孔的最大实体尺寸即为孔的最大极限尺寸。（）8．轴的最大实体尺寸即为轴的最大极限尺寸。（）9．最大实体尺寸是孔、轴最大极限尺寸的统称。（）10．某尺寸的上偏差一定大于下偏差。（）11．实际尺寸就是被测尺寸的真值。（）12．实际尺寸越接近其基本尺寸，则其精度也越高。（）13．零件加工后的实际尺寸等于基本尺寸，但不一定合格。（）14．．因为实际尺寸与基本尺寸之差是尺寸偏差，故尺寸偏差越小，尺寸精度越高。（）15．基本尺寸一定时，尺寸公差越大，则尺寸精度越低。（）16．基本尺寸相同，公差等级一样的孔和轴的标准公差数值相等。（）17．孔和轴的加工精度越高，则其配合精度也越高。（）18．配合公差总是大于孔或轴的尺寸公差。（）19．零件的加工难易程度取决于公差等级的高低，与基本偏差无关。（）20．公差带在零件上方，则基本偏差为上偏差。（）21．过渡配合可能有间隙，也可能有过盈，因此，过渡配合可以算间隙配合，也可以算过盈配合。 （）22．某一对孔轴结合的实际间隙为＋0.003mm，则此孔轴组成的配合一定是间隙配合。（）23．φ30H8/s7是过渡配合。（）24．φ30H8和φ30F8的尺寸精度是相同的。（）25．从制造角度讲，基孔制的特点就是先加工孔，基轴制的特点就是先加工轴。（）26．优先采用基孔制的原因主要是孔比轴难加工。（）27．有相对运动的配合应选间隙配合，无相对运动的配合均选用过盈配合或过渡配合。（）28．配合公差大于或等于孔公差与轴公差之和。（）29．配合性质取决于孔轴公差带的大小和位置。（）30．图样上未标注公差的尺寸为自由尺寸，其公差不作任何要求。（）31．以被测零件的极限尺寸作为验收极限，可能产生误收，也可能产生误废。（） 二．选择正确答案，将其序号太浓如空白处： 1．比较两尺寸精度高低的依据是（）。 A 基本偏差 B 公差数值 C 公差等级 2．国家标准规定的尺寸公差等级为（）。 A 1～12共12级 B 1～18共18级 C 1～20共20级 函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x + 3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→ 第二章 极限与配合 一、判断题 1．国家标准规定，轴只是指圆柱形的外表面。（ × ） 2．基本尺寸不同的零件，只要他们的公差值相同，就可以说明他们的精度要求相同。( × ) 3．过渡配合可能具有间隙，也可能具有过盈。因此，过渡配合可能是间隙配合，也可能是过盈配合。（ × ） 4．加工尺寸愈靠近基本尺寸就愈精确。（ × ） 5．图样标注?30033.00+m m 的孔，该孔为基孔制。 × 6．某孔要求尺寸为?20046.0067.0--mm ，今测得其实际尺寸为?19.962mm ，可以判断该孔合格 （ × ）。 7．公差值越小，说明零件的精度越高。( √ ) 8．孔的基本偏差即下偏差，轴的基本偏差即为上偏差。( × ) 9．孔、轴配合为?40H9/n9，可以判断是过渡配合。 ( √ ) 10．配合H7/g6比H7/s6要紧。( × ) 11．孔、轴公差带的相对位置反映加工的难易程度。( × ) 12．最小间隙为零的配合与最小过盈等于零的配合，二者实质相同。( × ) 13．基轴制过渡配合的孔，其下偏差必小于零。( √ ) 14．从制造角度讲，基孔制的特点就是先加工孔，基轴制的特点是先加工轴。( × ) 15．从工艺与经济上考虑，应优先选用基轴制。( × ) 16．基本偏差a~h 与基准孔构成间隙配合，其中h 配合最松。( × ) 17．未注公差尺寸即对该尺寸无公差要求。( × ) 18．基本偏差决定公差带的位置。( × ) 19．有相对运动的配合应选用间隙配合，无相对运动的配合均选用过盈配合。( × ) 20．配合公差的大小，等于相配合的孔轴公差之和。( √ ) 21．配合公差是指在各类配合中，允许间隙或过盈的变动量。( × ) 22．基本偏差A~H 的孔与基轴制的轴配合时，其中H 配合最紧。( × ) 23．孔的基本尺寸一定要大于轴的基本尺寸才能配合。( × ) 二、多项选择题 1．以下各组配合中，配合性质相同的有（ AC ）。 A ．?50H7/f6和?50F7/h6 B ．?50P7/h6和?50H8/p7 C ．?50M8/h7和?50H8/m7 D ．?50H8/h7和?50H7/f6 2.下列配合代号标注不正确的是（ C ）。 A ．?30H6/k5 B ．?30H7/p6 C ．?30h7/D8 D ．?30H8/h7 3.公差带大小是由（ A ）决定的。 A ．标准公差 B ．基本偏差 C ．配合公差 D ．基本尺寸 4.下列配合中是间隙配合有（ AB ）。 A ．?30H7/g6 B ．?30H8/f7 C ． ?30H8/m7 D ．?100H7/t6 5.正确的论述是（ CD ）。 A ．不完全互换性是指零件在装配时可以修配 B ．测量一批零件的实际尺寸最大尺寸为20.01mm,最小为19.96mm,则上偏差为+0.01mm,下偏差为-0.04mm x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义 10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导 第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. （1）1 （2）0 （3）不存在 （4）不存在 2. （1）0 （2）不存在 3. （1）不存在 （2）0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. （1）0sin 7lim 7x x x →= （2）0tan 2lim 2x x x →= （3）0sin 55lim sin 33 x x x →= （4）3lim sin 3x x x →∞= 2. （1）55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? （2）22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? （3）21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. （1）无穷小 （2）无穷大 （3）无穷小 （4）无穷大 2. x →∞时函数为无穷小；2x →时函数为无穷大 3. （1）202lim sin 0x x x →= （2）11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. （1）4233lim 01 x x x x →-=++ （2）223lim 2 x x x →-=∞- （3）322042lim 032x x x x x x →-+=+ （4）252lim 727 x x x →∞-=+ （5）2423lim 01 x x x x →∞-=++ （6）211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. （1）(1,)-+∞ （2）(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. （1）1x =-第二类间断点 （2）4x =第一类间断点 5. 证明：设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以()f x 在[]1,2内也连续，而 (1)30,(2)250f f =-<=>，所以，根据零点定理可知，至少有一个12ξ∈（，） ，使得()0f ξ=，即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 （1） X （2） √ （3） X （4） X （5） √ （6） √ （7） X （8） X （9） X （10）X （11）X （12）√ （13）X （14）X （15）√ （16）X （17）√ （18）√ （19）√（20）X （21）√ （22）X 2. 填空题 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 知识梳理? ? ? ? 函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难 一、函数极限的概念 1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A， 时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称 时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。 读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。 二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限 （2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续 （3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续 （4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。 其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若a x f x x =→)(lim 0 ，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0 C 、)(x f 在0x x =处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续 B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 0 0x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00 x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ） A 、1lim 0=→x x x B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→x b ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和 7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3 )(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在 8、=--→33lim a x a x a x （ D ）高等数学函数极限与连续习题及答案
第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)
(完整版)第二章.导数和微分答案解析
【精品】高等数学习题详解第2章 极限与连续
函数的极限及函数的连续性典型例题
2第二章 导数与微分答案
第二章极限习题及答案：函数的连续性
第二章《极限配合与技术测量》试题
高等数学 第二章 极限与连续
导数与微分练习题答案
高等数学习题详解-第2章-极限与连续
第二章 极限与配合 习题库
函数、极限与连续复习题参考答案Word版
第二章极限与配合.
(完整版)第二章导数与微分(答案)
第二章 极限与连续习题答案
大学高等数学函数极限和连续
函数极限与连续知识梳理
(完整版)函数极限与连续习题含答案
相关主题
文本预览