第二章 极限与连续 基础练习题（作业）
§2.1 数列的极限
一、观察并写出下列数列的极限：
1．468
2,
,,357
极限为1 2．1111
1,,,,,2345
-- 极限为0
3．21
2212?-??=?+???n n
n n n
n a n 为奇数为偶数极限为1
§2.2 函数的极限
一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞
x
x e
极限为零 2．2
lim tan x x π
→
无极限
3．lim arctan →-∞
x x
极限为2
π
-
4．0
lim ln x x +
→ 无极限，趋于-∞
二、设2
221,
1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+?
……，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？
2
1
1
lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+= ；1
1
lim ()lim(21)3x x f x x --
→→=+= 1
lim () 3.x f x →∴=
2
2
2
lim ()lim (1)3x x f x x ++
→→=-= ；222
lim ()lim (3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2
lim ()x f x →∴不存在。
三、设()1
11x
f x e
=
+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．
()10
1lim lim 01x x x
f x e ++
→→==+
()1
1
lim lim 11x x x f x e
-
-
→→==+
lim ()x f x →∴不存在。
四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在
§2.3 无穷小量与无穷大量
一、判断对错并说明理由： 1．1
sin
x x
是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin
0x x →；当1x →时，1
sin sin1x x
→不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．
对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。
3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．
对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。
二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：
1．
22
1
x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。
2．1ln tan x
, k Z ∈
()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1
0ln tan x
→为无穷小量；
x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1
0ln tan x
-→为无穷小量；
4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1
ln tan x
→∞为无穷大量；
三、当0+
→x 时，2x 们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？
2
00lim lim 0x x ++
→→== ，所以当0+
→x 时，2x 的高阶无穷小量。
22
00lim lim 01x x x ++
→→== ，所以当0+→x 时，2x
0lim lim 01x x +
+
→→== ，所以当0+→x 时， 的高阶无穷小量。
通过比较可知，当0+
→x 时，2x 不是同阶无穷小量，其中2x 的
高阶无穷小量，因此2x 是三者中最高阶的无穷小量。2
x 的高阶无穷小量，
四、利用无穷小量与极限的关系证明：0
lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=．
证明：设0
lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x g x B →=，则由无穷小量与极限的关系，()f x A α=+，
()g x B β=+，其中,αβ为0x x →时的无穷小量。
则0
lim ()()x x f x g x →=0
lim()()lim()x x x x A B AB B A αβαβαβ→→++=+++AB =
lim ()lim ()x x x x f x g x →→=
§2.4 极限的性质与运算法则
一、如果0
lim ()0→=>x x f x A ，则存在0x 的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．
（1）()f x 有界；（2）()f x 非负；（3）()f x 落入其中；（4）|()|ε-
1．113(2)lim 3(2)n n n n n ++→∞+-+- 2．()??????++?+?+?∞→113
21211lim n n n
3．2134lim 1x x x x →+-- 4．311
3lim 11x x x →-??- ?++??
5
．)lim 2x x
x →+∞
6
．(lim x x →∞
+
原式lim x →∞
=
原式x =
1
4x -==
2003x === 三、求,a b ，使得21lim 0.1x x ax b x →∞
??
+--=
?+??
2
2
11lim lim 0111x x b
x ax a b x ax ax bx b x x x x
→∞→∞+----
+----===++
原式 必有1()a =→∞否则原式；同时有0(0)a b +=→否则原式；
四、若3214
lim
1
x x ax x b x →---+=+为有限值，求,.a b
321
lim 404x x ax x a →---+=?=由题意必有（否则商的极限不可存在）
321144(1)(1)(4)lim =lim 1011
x x x x x x x x b b x x →-→---++--==?=++原式
§2.5 极限存在性定理与两个重要极限
一、判断题： 1．1sin lim
1x x
x
→=错
2．1sin(1)
lim
11x x x →-=-对
3．sin lim 1x x x
→∞=错
4．1
lim sin 1x x x
→∞=对
5．01
lim sin 1x x x
→=错
6．01lim(1)x
x e x
→+=对
7．当0x →时，sin ,arcsin ,tan ,arctan ,ln(1),1x
x x x x x e +-都是x 的等价无穷小．对 二、求下列函数极限：
1．0sin 2lim tan 3x x x → 2．22sin(4)lim
2
x x x →--sin 220tan 33x x
x x x
→ ，
220sin(4)4
x x x →-- ，00sin 222
lim lim .tan 333x x x x x x →→∴== 224lim
4.2x x x →-∴==-原式 3．0lim arctan x x x → 4．1lim 1x
x x x →∞+??
?-??
0arctan x x x → ， 2
11
2222lim 1111x x x x -→∞????????=++ ? ???--?????? 00lim lim 1.arctan x x x x x x →→∴== 21122222lim 11.11x x e x x -→∞????????=++= ? ???--??????
5．1
11
lim x
x x
-→111lim(11)
x
x x -→=+- 6．22lim 1x
x x x →∞?? ?-??
lim 11x x
x x x x x →∞????
= ? ?-+???? 111
1
lim(11)
.x x x e ---→=+-= 111lim 11 1.x
x
x ee x x ---→∞
????
=-+== ? ?
????
7．2301
lim
ln(1)x x x x x
→+++ 8． 0sin(sin )lim ln(1)x x x →+
2323ln(1)(0)x x x x x x x +++++→ s i n (s i n )
s i n ;l n (1)(
x x x x x +→
2323
001lim ln(1)lim 1x x x x x x x x x x
→→++∴+++==00sin(sin )sin lim
lim 1.ln(1)x x x x x x →→∴==+ 三、求极限22212lim(
)12n n
n n n n n n n
→∞+++++++++ ． 22222
121212121n n n
n n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++ 2212(1)/21lim lim ,2n n n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++ 2212(1)/21lim lim .112
n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++ 且 由两面夹法则
222121
lim().122
n n n n n n n n n →∞+++=++++++ 四、设222111
123n u n
=+++???+，证明数列{}n u 的极限存在．
12
1
0,{}(1)
n n n u u u n +-=
>∴+ 为单调递增数列. 22222
111111
112323n u n n
=+
++???+<+++???+ 又 由单调有界定理，数列{}n u 的极限存在.
五、设0>a ，10>x ，且有11()2+=+n n n
a
x x x ，(1,2,)= n ，证明数列{}n x 的极限存在，并求极限．
{}11()2n n n n
a
x x x x +=+≥∴ 有下界.
{}2
111()()0,22n n n n n n n
a x a x x x x x x +--=-=≤∴ 又单调递减(从第二项起).
由单调有界定理，数列{}n x 的极限存在
1lim ()2n n a x A A A A A
→∞==+=若，有，可解得 §2.6 函数的连续性
一、填空题 1．设函数()()x
x x f -=
1ln ，若补充()=0f -1 可使()x f 在0=x 处连续． 2．1=x 是函数2
31
22+--=x x x y 的第 1 类间断点，且为 可去 间断点．
3．0=x 是函数tan =
x
y x
的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． ()?±±==2,1k k x π是函数tan =x
y x
的第 2 类间断点，且为 无穷 间断点．
()?±±=+=2,12
k k x π
π是函数tan =
x y x 的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． 4．a x =是函数a
x a x y --=
的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点．
5．0=x 是函数x
y 1
cos
2
=的第 2 类间断点． 二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：
1．221cos ,0()1,
0x
x f x x x x -?
=??+≥?
220
01cos 1lim lim(1)12
x x x x x -
+
→→-=+= ；，0x ∴=为第一类跳跃间断点。 2．1
()x
f x e =
1
10
lim 0lim x x
x x e e -+
→→==+∞ ；，0x ∴=为第二类无穷间断点。 3． 22
()||(1)x x f x x x -=-(1)
||(1)(1)
x x x x x -=-+ 0x ∴=为第一类跳跃间断点。 1x ∴=为第一类可去间断点。 1x ∴=-为第二类无穷间断点
四、sin ,0(),01sin ,0
x
x x
f x a x b x x x ?
==???+>?
，确定,a b 使 1．()f x 在0x =处有极限00sin 1
lim lim(sin )x x x b x x x -
+→→?=+， 1.b ∴=
2．()f x 在0x =处连续00sin 1
lim lim(sin )x x x b x a x x
-+
→→?=+=． 1.a ∴= 五、()()(1)
-=--x e b
f x x a x ，确定,a b 使同时满足
（1）0x =是()f x 的无穷间断点，即001lim ()lim
,0.()(1)x x x e b b
f x a x a x a
→→--==→∞∴=--
（2）1=x 是()f x 的可去间断点，即1
1
lim ()lim =0.x
x x f x e b b e →→-∴=存在，则必有，
六、设()f x 在[,]a b 上连续，且()≤f a a ，()≥f b b ，证明在区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()ξξ=f ．
证明：设()()F x f x x =-，则()F x 也在[,]a b 上连续。
且有()()0;()()0.F a f a a F b f b b =-≤=-≥即()()0F a F b ≤。
若()()0F a F b <，由零点定理，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()ξξ=f ． 若()()0F a F b =，则()0()0F a F b ==或，此时区间端点是函数()F x 的零点。 综上，在区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()ξξ=f ．
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=
222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈
关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散；
（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以
函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．
求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即
222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?
第1章 函数、极限与连续 §1.1 函数 习题1-1 1．求下列函数的自然定义域： (1)1y x = (2)y =； (3)1 arcsin 2x y -=； (4)1arctan y x =； (5)y = ； (6)2 1log (16)x y x -=- (7)11ln 1x y x x -=+； (8)arcsin lg 10x y ??= ??? ． 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？ (1)2()lg f x x =与()2lg g x x =； (2)()f x x = 与2()g x =； (3)21y x =+与21x y =+； (4)y = y x =； (5)y = y = (6)1y =与22sec tan y x x =-． 3．设sin ,3 ()0,3x x x x π?π?
是奇函数． 7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)2 2 (1)y x x =-； (2)2 3 3y x x =-； (3)2 x x e e y -+= ； (4)cos sin x y x x e =； (5)tan sec 1y x x =-+； (6)(3)(3)y x x x =-+． 8．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1)cos(1)y x =-； (2)tan y x x =； (3)2sin y x =； (4)cos 4y x =； (5)cos y x x =； (6)1sin y x π=+． 9．设函数()f x 在数集X 上有定义，试证：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界． 10．证明：()sin f x x x =在(0,)+∞上是无界函数． 11．某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货，每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货，每进货一次需消耗费用2000元，如果商品均匀投放市场（即平均年存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4﹪．试将该公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数． 12．某运输公司规定某种商品的运输收费标准为：不超过200千米，每吨千米收费6元；200千米以上，但不超过500千米，每吨千米收费4元；500千米以上，每吨千米收费3元．试将每吨的运费表示为路程的函数． §1.2 初等函数 习题1-2 1．求下列函数的反函数： （1 ）y = （2） (0)ax b y ad bc cx d += -≠+； （3）11x y x -=+； （4）1ln(2)y x =++ ； （5）2sin 3 66y x x π π??=-≤≤ ??? ； （6）221x x y =+． 2．设1,0 ()0,00x f x x x ? ，求2 (1),(1)f x f x --．
第二章极限与连续 [单选题] 1、 若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限. [单选题]
3、 （）. A、 B、1 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 4、 如果则（）. A、0 B、1 C、2 D、5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】
根据重要极限, [单选题] 5、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题] 6、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】
【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 7、 设，则（）. A、 B、2 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题
极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。
第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以 极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： 第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念； 2.有界数列； 3.单调数列； 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质； 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限； 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ； 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。 第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量； 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质 . 第二章极限与连续 [单选题 ] 1、 若 x0 时，函数 f (x )为 x 2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题 ] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等， 所以不一定有极限. [单选题 ] 3、 （） . A、 B、 1 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 4、 如果则（）. A 、 0 B 、 1 C、 2 D、 5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 根据重要极限 , [单选题 ] 5、 （） . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题 ] 6、 （） . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 7、 设，则（）. A、 B、 2 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于故与等价, 推广，当时， [单选题 ] 9、 时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；? ??≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～ 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. （1）1 （2）0 （3）不存在 （4）不存在 2. （1）0 （2）不存在 3. （1）不存在 （2）0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. （1）0sin 7lim 7x x x →= （2）0tan 2lim 2x x x →= （3）0sin 55lim sin 33 x x x →= （4）3lim sin 3x x x →∞= 2. （1）55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? （2）22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? （3）21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. （1）无穷小 （2）无穷大 （3）无穷小 （4）无穷大 2. x →∞时函数为无穷小；2x →时函数为无穷大 3. （1）202lim sin 0x x x →= （2）11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. （1）4233lim 01 x x x x →-=++ （2）223lim 2 x x x →-=∞- （3）322042lim 032x x x x x x →-+=+ （4）252lim 727 x x x →∞-=+ （5）2423lim 01 x x x x →∞-=++ （6）211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. （1）(1,)-+∞ （2）(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. （1）1x =-第二类间断点 （2）4x =第一类间断点 5. 证明：设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以()f x 在[]1,2内也连续，而 (1)30,(2)250f f =-<=>，所以，根据零点定理可知，至少有一个12ξ∈（，） ，使得()0f ξ=，即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 （1） X （2） √ （3） X （4） X （5） √ （6） √ （7） X （8） X （9） X （10）X （11）X （12）√ （13）X （14）X （15）√ （16）X （17）√ （18）√ （19）√（20）X （21）√ （22）X 2. 填空题 目录 摘要 (1) 引言 (2) 一．利用导数定义求极限 (2) 二．利用中值定理求极限 (2) 三．利用定积分定义求极限 (3) 四．利用施笃兹公式 (4) 五．利用泰勒公式 (5) 六．级数法 (5) 七．结论 (6) 参考文献 (6) 内容摘要 摘要：极限是数学分析中最基本、最重要的概念之一,极限是微积分的重要基础，研究函数性质的重要手段.极限是描述函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，本文通过典型例题，举一反三，给出几种常用的求极限方法。极限的计算方法很多,并且有一定的规律和技巧性,对此,本文将根据实例进行分析、探讨,并归纳出一些计算方法. 关键词:极限；计算；方法 Abstract:the limit is one of the most basic, the most important concept in mathematical analysis, the limit is an important foundation for the calculus, an important means to study the function of the nature of the concept description. The limit is an important trend in the infinite process function, through typical examples, infer other things from one fact,several commonly used methods for the limits. A lot of calculation method of limit, and there are rules and skills, certain of 第一章 极限与连续 第一节 函数 函数是微积分研究的对象,中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上讨论了函数的一些简单性质.在这里除对中学数学的函数及其性质重点复习外，根据需要将对函数作进一步讨论。 一、函数的概念 在日常生活、生产活动、经济活动中，经常遇到各种不同的量。这些量可分为两类。一类是常量，一类是变量.而在某个变化过程中往往会出现多个变量，这些变量之间不是彼此孤立的，而是相互联系和制约的，一个量的变化会引起另一个量的变化，如：球的半径r 与该球的体积V 的关系可用式子3 4π3 V r = 给出，当半径r 在[0,)+∞内任取一个值时，体积V 有确定的值与之对应,我们称体积V 是半径r 的函数。 1.函数的概念 定义1 设有两个变量x 、y ,如果变量x 在一个非空数集D 内每取一个数值时，变量y 按照某个对应法则f 都有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记作()y f x =.其中x 称为自变量，y 称为因变量或函数，f 是函数符号，表示y 与x 的对应规则，有时函数符号也可用其他字母表示，如 ()y g x =,()y x ?=等.数集D 称为函数的定义域。 当自变量x 在其定义域内取定某确定值0x 时，因变量y 按照所给函数关系 ()y f x =求出的对应值0y 称为当0x x =时的函数值，记作0|x x y =或0()f x .函数值 的集合称为函数的值域. 例1 已知2()321f x x x =-+，求(0)f ，1 ()2 f ,()f x -，(1)f a +. 解：2(0)302011f =?-?+= 21113()3()2()12224 f =?-?+= 22()3()2()1321f x x x x x -=?--?-+=++ 22(1)3(1)2(1)1342f a a a a a +=?+-?++=++ 例2 求下列函数的定义域 （1)2 ()531f x x x =++ （2)2()23 x f x x x =-- （3）()f x = （4)()ln(21) f x x =-高等数学习题详解-第2章-极限与连续
极限计算方法及例题
高等数学 第二章 极限与连续
(完整版)《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析).doc
极限计算方法总结(简洁版)
求极限的方法及例题总结
第二章 极限与连续习题答案
关于计算极限的几种方法
【精品】第一章极限与连续
相关主题
文本预览