第二章极限与连续
一、数列的极限
A 、数列｛Un ｝中的数称为数列的项，Un 为数列的一般项或通项。正整数n 称为数列的下标。 给定数列｛Un ｝，各项的取值由其下标唯一确定，所以数列｛Un ｝可以视为定义在正整数集N*上的函数，即称为下标函数。
B 、已知数列｛Un ｝，当n 无限增大时，Un 无限趋近于某一个常数A ，则A 为数列｛Un ｝的极限。即 lim n →+∞
Un=A
或Un →A （n →+∞）
①若数列｛Un ｝有极限，则称数列｛Un ｝收敛，或lim n →+∞
Un 存在
②若数列｛Un ｝无极限，则称数列｛Un ｝发散，或lim n →+∞
Un 不存在
※有界数列：|Un|≤M （n ∈N*，M ＞0）
※收敛数列必定有界，单调有界数列必有极限。 二、函数的极限 【前提必须是在某一趋向下】 A 、x →∞时函数f （x ）的极限 a 、已知f （x ），x →∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →∞时，函数f （x ）的极限存在，且称
当A 为x →∞时，f （x ）的极限。 【双边极限】 记作：lim x →∞
f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →∞）
b 、已知f （x ），x →+∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →+∞时，函数f （x ）的极限存在，且
称当A 为x →+∞时，f （x ）的极限。 【单边极限】 记作：lim x →+∞
f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →+∞）
c 、已知f （x ），x →-∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →-∞时，函数f （x ）的极限存在，且
称当A 为x →-∞时，f （x ）的极限。 【单边极限】
记作：lim x →-∞
f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →-∞）
综上：lim x →∞
f （x ）=A <=> lim x →+∞
f （x ）=lim x →-∞
f （x ）=A
B 、x →x 0时f （x ）的极限
a 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0时f （x ）无限趋近于某常数A 。即当x →x 0时f （x ）的极限存
在，且称A 为x →x 0时f （x ）的极限。 记作：0
lim x x →f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0）
b 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0-
时f （x ）无限趋近于某常数A 。即常数A 为x →x 0时f （x ）的
左极限。
记作：0
lim x x -
→f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0-
）或f （x 0-0）=A c 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0+
时f （x ）无限趋近于某常数A 。即常数A 为x →x 0时f （x ）的
右极限。 【左极限和右极限统称为单侧极限】
记作: 0
lim x x +
→f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0+
）或f （x 0+0）=A 综上：0
lim x x →f （x ）=A <=> 0lim x x -→f （x ）=0
lim x x +
→f （x ）=A
三、无穷大量与无穷小量
A 、在自变量的某一变化过程中（即在某一趋向下），若f （x ）的绝对值无限的增大，则称f （x ）为无穷大量。 即limf （x ）=∞。
a 、 若f （x ）恒为正且f （x ）无限的增大，则称f （x ）为正无穷大。即limf （x ）=+∞
b 、 若f （x ）恒为负且f （x ）的绝对值无限的增大，则称f （x ）为负无穷大。即limf （x ）=﹣∞ ※ 一个无穷大量与一个有界变量（即有限函数）之和仍为无穷大量。 ※ 两个无穷大量的乘积仍是无穷大量。
※ 两个正（负）无穷大量之和仍为正（负）无穷大量。【若是一正一负则结果不能确定】 B 、极限为零的变量成为无穷小量。（0也是无穷小量） limf （x ）=A <=> f （x ）=A+α 其中lim α=0 ※ 有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量。 ※ 有限个无穷小量的积仍为无穷小量。 ※ 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。
※ 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量。 C 、无穷大量与无穷小量的关系
在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量（不取零时）的倒数是无穷大量。 即limf （x ）=∞ 则lim
)
(1
x f =0 D 、无穷小量的阶【即无穷小量和无穷小量的大小比较】 ①若α与β为同一变化过程中的两个无穷小量 a 、若lim
α
β
=0，则称α是比β高阶的无穷小量。 b 、若lim
α
β
=∞，则称α是比β低阶的无穷小量。 c 、若lim
β
α
=A ≠0，（且A ≠1）则称α与β为同阶的无穷小量。 d 、若lim
α
β
=1，则称α是与β等价的无穷小量。 记作：α～β e 、若lim
k
α
β=A ≠0，k ＞0，则称α是关于β的k 阶无穷小量。 ②若在同一极限中，α、β、γ均为无穷小量
a 、α～α，即任何一个无穷小量总是和它本身等价。
b 、α～β，β～γ，则α～γ。即等价关系具有传递性。
c 、α～β，则α?γ～β?γ。即两个等价无穷小量乘以同一无穷小量后，仍为等价无穷小量。
d 、α～α1，β～β1,则α?β～α1?β 1 。即两个无穷小量之积等价于各自的等价无穷小量之积。 四、函数极限的性质与运算法则
A 、函数极限的性质（同样适用于数列极限） a 、若极限limf （x ）存在，则极限值唯一。【唯一性】
b 、0
lim x x →f （x ）存在，则函数f （x ）在x 0的某空心邻域内有界。【局部有界性】
c 、若0
lim x x →f （x ）=A 【局部保号性】
①、A ＞0（或A ＜0），则函数f （x ）在x 0的某空心邻域内恒有f （x ）＞0（或＜0） ②、x 0的某空心邻域内恒有f （x ）≥0（或f （x ）≤0）则有A ≥0（或A ≤0）
c 、 若0
lim x x →f （x ）=A ，若0
lim x x →g （x ）=Ｂ，且在0x 的某个空心邻域内恒有f （x ）≥g （x ），则Ａ≥Ｂ
B 、函数极限的运算法则
a 、limf （x ）与limg （x ）存在，则lim[f （x ）±g （x ）]与lim[f （x ）?g （x ）]存在 若有limf （x ）=A ，limg （x ）=B ，lim[f （x ）±g （x ）]= limf （x ）±limg （x ）=A+B
b 、limf （x ）与limg （x ）存在，若有limf （x ）=A ，limg （x ）=B lim[f （x ）?g （x ）]= limf （x ）?limg （x ）=A ?B ()lim
()f x g x = lim ()lim ()f x g x = A
B
（B ≠0） d 、 由上a 、b 运算性质可得如下推论：
① 极限limf （x ）存在，C 为常数，则有[]lim ()lim ()cf x c f x =
② 极限limf （x ）存在，[][]lim ()lim ()n
n
f x f x = （n 可为正数也可为负数也可以是分数）
※求函数极限的几种方法：
①、多项式与分式函数：消去0因子法（即通过因式分解消去不利因子） ②、有理化：分子分母都乘以相应无理式的共轭因式
③、利用无穷小与有界函数的乘积为无穷小简化（只针对x →∞时）
④、无穷小分子法：（给公式的那个~） (1010)
10100()
(i)
()....()
n n n
m m x m
n
m a x a x a a n m b x b x b b n
m --→∞++==++∞ ⑤、之后马上就会说的利用两个重要极限。
⑥、最麻烦的那个变量代换（注意趋向）
⑦、不会就用洛必达法则做，以后第四章再说~~ C 、极限存在性定理
a 、夹逼定理：若在0x 的某空心邻域00,0000()(,)x x x x δδ-?+【要求0δ＞0】内恒有()()()g x f x h x ≤≤【要
求同一趋向下】。 且有0
lim x x →()g x =0
lim ()x x h x →=A 则极限0
lim ()x x f x →存在，且有0
lim ()x x f x →=A 【对于其他函
数极限的情形和数列极限，也有类似结果】 b 、单调有界数列必有极限。 五、两个重要极限 A 、01lim
sin 1x x x →=或01lim sin ()1()
x f x f x →?= 另：|sinx|＜|x| （x ≠0时）
B 、1lim(1)x
x e x →∞+=或1
0lim(1)x x x e →+=或()
()1lim 1()f x f x e f x →∞??+=????
※几个等价无穷小 【0x →时】 sin x x t a n x x a r c s i n x x a r c t a n x x 2
11c o s
2
x x - l n (1)x x + 1l n x a x a -
1
x
e x - (1)1a x a x
+- s i n a x a x 用于简化求极限值的运算
【等价无穷小的代换只适用于乘除，不能用于加减】
六、函数的连续性 A 、函数的连续与间断
a 、设函数y=f （x ）在点0x 的某个邻域内有定义，x 在0x 处的x ?趋于零时，函数相应的该变量
0()()y f x x f x ?=+?-也趋于零。即[]00
lim lim ()()0x x y f x x f x ?→?→?=+?-=
即称函数y=f （x ）在点0x 处连续并称0x 是函数y=f （x ）的连续点。
b 、y=f （x ）在点0x 的某个邻域内有定义，若y=f （x ），当0x x →时的极限存在且等于f （0x ）即
00lim ()()(lim)x x x x f x f x f →→==。即称函数y=f （x ）在点0x 处连续，并称0x 是函数y=f （x ）的连续点。
※连续即为不间断，连续的条件（证明时会用到）
①、0()f x 存在 ②、0
lim ()x x f x →存在 ③ 0
lim ()x x f x →=0()f x
c 、在某邻域有定义时
00lim ()()lim ()()x x x x f x f x f x f x -
+→→==左连续右连续
有定义时，f （x ）在（a ，b ）内连续，且在点a 右连续，在b 左连续，则称函数f （x ）在[a ，b]上连续。 所以，f （x ）在0x 处连续?f （x ）在0x 处既左连续又右连续。 e 、 间断点的分类
①、左右极限存在
0[()lim ()=lim ()][lim ()lim ()]x x x x x x x x f x x f x f x f x f x -+
-+
→→→→≠左右极限相等，可去型间断点。即时没有定义，左右极限不相等，跳跃间断点。
②、左右极限至少有一个不存在
00()lim ()x x f x x f x →∞
无穷间断点：左右极限中至少有一个是振荡间断点：在的任意邻域内振荡，且不存在
B 、初等函数及分段函数的连续性
a 、设f （x ）与g （x ）在点0x 或区间D 上连续，则有()()f x g x ±、()()f x g x 、()
()
f x
g x 在点0x 或区间D 上均连续。
b 、复合函数的连续性
函数f （x ）在点0x 连续时，函数符号f 与极限符号lim 可以交换。即[]0
0lim ()lim ()x x x x f x f x ??→→??=????
，且其
连续性在某一邻域内一致。
c 、基本初等函数在其定义域内连续。 初等函数在其有定义的区间内连续。
d 、常用的等价无穷小们 （第四页上有，就不再写一遍了）
e 、零点定理：()
f x 在闭区间[a ，b]上连续，且()()
0f a f b ，则至少存在一点0x ∈（a ，b ）使()f x =0
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=
222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈
习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散；
（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以
函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．
第二章极限与连续 [单选题] 1、 若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限. [单选题]
3、 （）. A、 B、1 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 4、 如果则（）. A、0 B、1 C、2 D、5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】
根据重要极限, [单选题] 5、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题] 6、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】
【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 7、 设，则（）. A、 B、2 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题
习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以
第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念； 2.有界数列； 3.单调数列； 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质； 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限； 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ； 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。
第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量； 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质
. 第二章极限与连续 [单选题 ] 1、 若 x0 时，函数 f (x )为 x 2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题 ] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等， 所以不一定有极限. [单选题 ] 3、 （） .
A、 B、 1 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 4、 如果则（）. A 、 0 B 、 1 C、 2 D、 5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 根据重要极限 , [单选题 ] 5、
（） . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题 ] 6、 （） . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 7、 设，则（）.
A、 B、 2 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于故与等价, 推广，当时， [单选题 ] 9、 时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、
第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. （1）1 （2）0 （3）不存在 （4）不存在 2. （1）0 （2）不存在 3. （1）不存在 （2）0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. （1）0sin 7lim 7x x x →= （2）0tan 2lim 2x x x →= （3）0sin 55lim sin 33 x x x →= （4）3lim sin 3x x x →∞= 2. （1）55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? （2）22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? （3）21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. （1）无穷小 （2）无穷大 （3）无穷小 （4）无穷大 2. x →∞时函数为无穷小；2x →时函数为无穷大 3. （1）202lim sin 0x x x →=
（2）11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. （1）4233lim 01 x x x x →-=++ （2）223lim 2 x x x →-=∞- （3）322042lim 032x x x x x x →-+=+ （4）252lim 727 x x x →∞-=+ （5）2423lim 01 x x x x →∞-=++ （6）211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. （1）(1,)-+∞ （2）(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. （1）1x =-第二类间断点 （2）4x =第一类间断点 5. 证明：设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以()f x 在[]1,2内也连续，而 (1)30,(2)250f f =-<=>，所以，根据零点定理可知，至少有一个12ξ∈（，） ，使得()0f ξ=，即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 （1） X （2） √ （3） X （4） X （5） √ （6） √ （7） X （8） X （9） X （10）X （11）X （12）√ （13）X （14）X （15）√ （16）X （17）√ （18）√ （19）√（20）X （21）√ （22）X 2. 填空题
函数极限与连续函数的性质习题解答 1． 用函数极限的定义证明： （1）2 221lim 2.3 x x x →∞ +=- 证明： 0,ε?> 欲使 2 2 2 2172,3 3 x x x ε+-= <--易见当||3x >时，有 2 2 77|3|||.|3| || x x x x ->? < - 于是，只要 7,|| x ε<即7 ||x ε > 时，有 2 2 21 23x x ε+-<-成立。取7m ax 3,.M ε?? =???? 故对0,ε?>7m ax 3,.M ε?? ?=???? 对||,x M ?>有 2 22123x x ε+-<-，即2 2 21lim 2.3x x x →∞+=- （2）1 1lim arc .12 x tg x π- →= - 证明：0(0),2 πεε?><< 要使不等式 11arc arc 12 2 1tg tg x x π π ε- = -<-- (1)x < 成立，解得1 1.() 2 x tg π ε-< - 取δ=1 ( ) 2 tg π ε-，于是 10,0,(1,1),( ) 2 x tg εδδπ ε?>?= >?∈--有1arc ,12 tg x π ε- <- 即1 1lim arc .12 x tg x π- →= - （3 ）lim (sin sin 0x →∞ =。 证明：
( ) 1sin 2sin lim 11sin 2sin 11011 21 122 1 2sin 21 2cos 21sin 2sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =+-+∴<< +-+>?+??? ???=>?< ++ += +- +<+- +++ +=+-+∞ →x x x x x N x N x x x x x x x x x x x x ε εε有，，取 2. 求下列极限： (1) 11lim (sin cos ).x x x x →∞ + 解： 2 22 2sin 1 22 sin 11112lim (sin cos )lim[(sin cos )]lim (1sin )2lim[(1sin ) ] . x x x x x x x x x x x x x x x e x →∞ →∞→∞ →∞ +=+=+=+= 或： . 11cos 1sin 1lim 1cos 1sin lim ] 12111sin [ lim 11 1cos 1sin 11cos 1sin 1 2 e e x x x x x x x x x x x x x x x x x ==? ? ? ?? ?????????????? ??-++=??? ??+- -+-+∞→∞→∞ → (2) 1 20 lim (1sin ).x x x →+ 解：1 1 sin 2sin 20 lim (1sin ) lim[(1sin ) ] x x x x x x x x →→+=+= (3) 2 10 ln(1)lim .ln(1) x x x x x →∞ -+++ 解：
第二章极限与连续 一、数列的极限 A 、数列｛Un ｝中的数称为数列的项，Un 为数列的一般项或通项。正整数n 称为数列的下标。 给定数列｛Un ｝，各项的取值由其下标唯一确定，所以数列｛Un ｝可以视为定义在正整数集N*上的函数，即称为下标函数。 B 、已知数列｛Un ｝，当n 无限增大时，Un 无限趋近于某一个常数A ，则A 为数列｛Un ｝的极限。即 lim n →+∞ Un=A 或Un →A （n →+∞） ①若数列｛Un ｝有极限，则称数列｛Un ｝收敛，或lim n →+∞ Un 存在 ②若数列｛Un ｝无极限，则称数列｛Un ｝发散，或lim n →+∞ Un 不存在 ※有界数列：|Un|≤M （n ∈N*，M ＞0） ※收敛数列必定有界，单调有界数列必有极限。 二、函数的极限 【前提必须是在某一趋向下】 A 、x →∞时函数f （x ）的极限 a 、已知f （x ），x →∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →∞时，函数f （x ）的极限存在，且称 当A 为x →∞时，f （x ）的极限。 【双边极限】 记作：lim x →∞ f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →∞） b 、已知f （x ），x →+∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →+∞时，函数f （x ）的极限存在，且 称当A 为x →+∞时，f （x ）的极限。 【单边极限】 记作：lim x →+∞ f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →+∞） c 、已知f （x ），x →-∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →-∞时，函数f （x ）的极限存在，且 称当A 为x →-∞时，f （x ）的极限。 【单边极限】 记作：lim x →-∞ f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →-∞） 综上：lim x →∞ f （x ）=A <=> lim x →+∞ f （x ）=lim x →-∞ f （x ）=A B 、x →x 0时f （x ）的极限 a 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0时f （x ）无限趋近于某常数A 。即当x →x 0时f （x ）的极限存 在，且称A 为x →x 0时f （x ）的极限。 记作：0 lim x x →f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0） b 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0- 时f （x ）无限趋近于某常数A 。即常数A 为x →x 0时f （x ）的 左极限。 记作：0 lim x x - →f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0- ）或f （x 0-0）=A c 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0+ 时f （x ）无限趋近于某常数A 。即常数A 为x →x 0时f （x ）的 右极限。 【左极限和右极限统称为单侧极限】 记作: 0 lim x x + →f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0+ ）或f （x 0+0）=A 综上：0 lim x x →f （x ）=A <=> 0lim x x -→f （x ）=0 lim x x + →f （x ）=A
第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函