第二章 极限与连续 基础练习题（作业）
§2.1 数列的极限
一、观察并写出下列数列的极限：
1．468
2,
,,357
极限为1 2．1111
1,,,,,2345
--极限为0
3．21
2212?-??=?+???n n
n n
n
n a n 为奇数为偶数极限为1
§2.2 函数的极限
一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞
x
x e
极限为零 2．2
lim tan x x π
→
无极限
3．lim arctan →-∞
x x
极限为2
π-
4．0
lim ln x x +
→ 无极限，趋于-∞
二、设2
221,
1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+?
，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？
2
1
1
lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11
lim ()lim(21)3x x f x x --
→→=+= 1
lim () 3.x f x →∴=
2
2
2
lim ()lim(1)3x x f x x ++
→→=-=；222
lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2
lim ()x f x →∴不存在。
三、设()1
11x
f x e
=
+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．
()10
1lim lim 01x x x
f x e ++
→→==+
()1
1
lim lim 11x x x f x e
--
→→==+
lim ()x f x →∴不存在。
四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在
§2.3 无穷小量与无穷大量
一、判断对错并说明理由： 1．1
sin
x x
是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin
0x x →；当1x →时，1
sin sin1x x
→不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．
对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。
3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．
对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。
二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：
1．
22
1
x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。
2．1ln tan x
, k Z ∈
()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1
0ln tan x
→为无穷小量；
x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1
0ln tan x
-→为无穷小量；
4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1
ln tan x
→∞为无穷大量；
三、当0+
→x 时，2
x 们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？
2
00lim lim 01x x x ++
→→==，所以当0+
→x 时，2x
22
300lim lim 0
1x x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x
3
0lim lim 0x x x x
+
+
→→==，所以当0+
→x 时， 的高阶无穷小量。
通过比较可知，当0+
→x 时，2
x 2x 的
高阶无穷小量，因此2
x 是三者中最高阶的无穷小量。2
x 的高阶无穷小量，
四、利用无穷小量与极限的关系证明：0
lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=．
证明：设0
lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x g x B →=，则由无穷小量与极限的关系，()f x A α=+，
()g x B β=+，其中,αβ为0x x →时的无穷小量。
则0
lim ()()x x f x g x →=0
lim()()lim()x x x x A B AB B A αβαβαβ→→++=+++AB =
lim ()lim ()x x x x f x g x →→=
§2.4 极限的性质与运算法则
一、如果0
lim ()0→=>x x f x A ，则存在0x 的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．
（1）()f x 有界；（2）()f x 非负；（3）()f x 落入其中；（4）|()|ε-
1．113(2)lim 3(2)n n
n n n ++→∞+-+- 2．()??????++?+?+?∞→113
21211lim n n n
3．2134lim 1x x x x →+-- 4．311
3lim 11x x x →-??- ?++?
?
5
．)lim 2x x
x →+∞
6
．(lim x x →∞
+
原式lim x →∞
=
原式x =
14x -==
20
03x === 三、求,a b ，使得21lim 0.1x x ax b x →∞
??
+--= ?+??
2
2
11lim lim 0111x x b
x ax a b x ax ax bx b x x x x
→∞→∞+----
+----===++
原式 必有1()a =→∞否则原式；同时有0(0)a b +=→否则原式；
四、若3214
lim
1
x x ax x b x →---+=+为有限值，求,.a b
321
lim 404x x ax x a →---+=?=由题意必有（否则商的极限不可存在）
321144(1)(1)(4)lim =lim 1011
x x x x x x x x b b x x →-→---++--==?=++原式
§2.5 极限存在性定理与两个重要极限
一、判断题： 1．1sin lim
1x x
x
→=错
2．1sin(1)
lim
11x x x →-=-对
3．sin lim 1x x x
→∞=错
4．1
lim sin 1x x x
→∞=对
5．01
lim sin 1x x x
→=错
6．01lim(1)x
x e x
→+=对
7．当0x →时，sin ,arcsin ,tan ,arctan ,ln(1),1x
x x x x x e +-都是x 的等价无穷小．对 二、求下列函数极限：
1．0sin 2lim tan 3x x x → 2．22sin(4)lim
2
x x x →--sin 220tan 33x x
x x x
→，
220sin(4)4
x x x →--，00sin 222
lim lim .tan 333
x x x x x x →→∴== 224lim
4.2x x x →-∴==-原式 3．0lim arctan x x x → 4．1lim 1x
x x x →∞+??
?-??
0arctan x x
x →， 2
11
2222lim 1111x x x x -→∞????????=++ ? ???--??????
00lim lim 1.arctan x x x x x x →→∴== 21122222lim 11.11x x e x x -→∞????????=++= ? ???--??????
5．1
11
lim x
x x
-→111lim(11)
x
x x -→=+- 6．22lim 1x
x x x →∞?? ?-??
lim 11x x
x x x x x →∞????
= ? ?-+???? 111
1
lim(11)
.x x x e ---→=+-= 111lim 11 1.x
x
x ee x x ---→∞
????
=-+== ? ?
????
7．2301
lim
ln(1)x x x x x
→+++ 8． 0sin(sin )lim ln(1)x x x →+
2323ln(1)
(0)x x x x x x x +++++→
sin(sin )sin ;ln(1)(0)x x x x x +→
2323
001lim ln(1)lim 1x x x x x x x x x x
→→++∴+++==00sin(sin )sin lim
lim 1.ln(1)x x x x x x →→∴==+ 三、求极限22212lim(
)12n n
n n n n n n n
→∞+++++++++ ． 22222121212121n n n
n n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤
++++++++++ 2212(1)/21lim lim ,2n n n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++2212(1)/21lim lim .112
n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++且 由两面夹法则
222121
lim(
).122
n n n n n n n n n →∞+++=++++++ 四、设222111
123n u n
=+++???+，证明数列{}n u 的极限存在．
12
1
0,{}(1)
n n n u u u n +-=
>∴+为单调递增数列. 22222
111111
112323n u n n
=+
++???+<+++???+
又 由单调有界定理，数列{}n u 的极限存在.
五、设0>a ，10>x ，且有11()2+=+n n n
a
x x x ，(1,2,)=n ，证明数列{}n x 的极限存在，并求极限．
{}11()2n n n n
a
x x x x +=
+≥∴有下界.
{}2
111()()0,22n n n n n n n
a x a x x x x x x +--=-=≤∴又
单调递减(从第二项起).
由单调有界定理，数列{}n x 的极限存在
1lim ()2n n a x A A A A A
→∞==+=若，有，可解得 §2.6 函数的连续性
一、填空题 1．设函数()()x
x x f -=
1ln ，若补充()=0f -1 可使()x f 在0=x 处连续． 2．1=x 是函数2
31
22+--=x x x y 的第 1 类间断点，且为 可去 间断点．
3．0=x 是函数tan =
x
y x
的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． ()?±±==2,1k k x π是函数tan =x
y x
的第 2 类间断点，且为 无穷 间断点．
()?±±=+=2,12
k k x π
π是函数tan =
x y x 的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． 4．a x =是函数a
x a x y --=
的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点．
5．0=x 是函数x
y 1
cos
2
=的第 2 类间断点． 二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：
1．2
21cos ,0()1,
0x
x f x x x x -?
220
01cos 1lim lim(1)12
x x x x x -
+
→→-=+=；，0x ∴=为第一类跳跃间断点。 2．1
()x
f x e =
1
100
lim 0lim x x
x x e e -
+
→→==+∞；，0x ∴=为第二类无穷间断点。 3． 22
()||(1)x x f x x x -=-(1)||(1)(1)
x x x x x -=-+ 0x ∴=为第一类跳跃间断点。 1x ∴=为第一类可去间断点。 1x ∴=-为第二类无穷间断点
四、sin ,0(),0
1sin ,0
x
x x
f x a x b x x x ?
==???+>?
，确定,a b 使 1．()f x 在0x =处有极限00sin 1
lim lim(sin )x x x b x x x -
+→→?=+， 1.b ∴=
2．()f x 在0x =处连续00sin 1
lim lim(sin )x x x b x a x x
-+
→→?=+=． 1.a ∴= 五、()()(1)
-=--x e b
f x x a x ，确定,a b 使同时满足
（1）0x =是()f x 的无穷间断点，即001lim ()lim
,0.()(1)x x x e b b
f x a x a x a
→→--==→∞∴=--
（2）1=x 是()f x 的可去间断点，即1
1
lim ()lim =0.x
x x f x e b b e →→-∴=存在，则必有，
六、设()f x 在[,]a b 上连续，且()≤f a a ，()≥f b b ，证明在区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()ξξ=f ．
证明：设()()F x f x x =-，则()F x 也在[,]a b 上连续。
且有()()0;()()0.F a f a a F b f b b =-≤=-≥即()()0F a F b ≤。
若()()0F a F b <，由零点定理，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()ξξ=f ． 若()()0F a F b =，则()0()0F a F b ==或，此时区间端点是函数()F x 的零点。 综上，在区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()ξξ=f ．
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=
222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散；
（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以
函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
第二章极限与连续 [单选题] 1、 若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限. [单选题]
3、 （）. A、 B、1 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 4、 如果则（）. A、0 B、1 C、2 D、5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】
根据重要极限, [单选题] 5、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题] 6、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】
【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 7、 设，则（）. A、 B、2 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题
习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以
第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即
x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x
【极限】 一、数列极限 1）数列的单调性 对于数列﹛x n ﹜,如果有x n ≤x 1 +n （即x 1 ≤x 2 ≤····≤x n ≤···）, n ≥1，则称﹛x n ﹜是单调增加 的；若x n ≥x 1 +n ，n ≥1，则称﹛x n ﹜是单调减少的。 2）数列的有界性 如果对于数列﹛x n ﹜，存在正整数M ，使得对每一 个x n 都满足 n x ≤M ，则称数列﹛x n ﹜是有界的；如果这样的数不 存在，则称数列﹛x n ﹜是无界的。 例: ﹛n 1﹜, ﹛﹙﹣1﹚1 +n ﹜，﹛2 1n n +﹜是有界的， ﹛n 2 ﹜是无界的 3）数列的极限 对于数列﹛x n ﹜，如果当n →∞时，x n 无限的趋于 一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列﹛x n ﹜以常数A 为极限，或称数列﹛x n ﹜收敛于A ， 记作： n x n lim ∞ →＝A 或x n →A （当n →∞时） 否则称数列﹛x n ﹜没有极限，如果数列﹛x n ﹜没有极限，就称数列
﹛x n ﹜是发散的。 4）数列极限的性质 定理1：若数列﹛x n ﹜收敛，则其极限值必定唯一 定理2：若数列﹛x n ﹜收敛，则它必定有界（反之 不对！！） 5）数列极限的存在准则 定理3：（两边夹定理） 若数列﹛x n ﹜，﹛y n ﹜, ﹛z n ﹜满足下列条件： ①y n ≤x n ≤z n ，n ＝1,2，···· ②lim ∞ →n x n ＝A ，n z n lim ∞ →＝A 那么，数列﹛x n ﹜的极限存在，且n x n lim ∞ →＝A 定理4：若数列﹛x n ﹜为单调有界数列，则n x n lim ∞ →存在 6）数列极限四则运算 定理5：若n x n lim ∞ →＝A n y n lim ∞ →＝B 则 ①lim ∞ →n (n x ±y n )＝lim ∞ →n n x ±lim ∞ →n y n ＝A ±B ②lim ∞ →n (n x ·y n )＝lim ∞ →n n x ·lim ∞ →n y n ＝AB
第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念； 2.有界数列； 3.单调数列； 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质； 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限； 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ； 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。
第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量； 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质
. 第二章极限与连续 [单选题 ] 1、 若 x0 时，函数 f (x )为 x 2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题 ] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等， 所以不一定有极限. [单选题 ] 3、 （） .
A、 B、 1 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 4、 如果则（）. A 、 0 B 、 1 C、 2 D、 5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 根据重要极限 , [单选题 ] 5、
（） . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题 ] 6、 （） . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 7、 设，则（）.
A、 B、 2 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于故与等价, 推广，当时， [单选题 ] 9、 时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、
第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. （1）1 （2）0 （3）不存在 （4）不存在 2. （1）0 （2）不存在 3. （1）不存在 （2）0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. （1）0sin 7lim 7x x x →= （2）0tan 2lim 2x x x →= （3）0sin 55lim sin 33 x x x →= （4）3lim sin 3x x x →∞= 2. （1）55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? （2）22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? （3）21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. （1）无穷小 （2）无穷大 （3）无穷小 （4）无穷大 2. x →∞时函数为无穷小；2x →时函数为无穷大 3. （1）202lim sin 0x x x →=
（2）11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. （1）4233lim 01 x x x x →-=++ （2）223lim 2 x x x →-=∞- （3）322042lim 032x x x x x x →-+=+ （4）252lim 727 x x x →∞-=+ （5）2423lim 01 x x x x →∞-=++ （6）211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. （1）(1,)-+∞ （2）(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. （1）1x =-第二类间断点 （2）4x =第一类间断点 5. 证明：设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以()f x 在[]1,2内也连续，而 (1)30,(2)250f f =-<=>，所以，根据零点定理可知，至少有一个12ξ∈（，） ，使得()0f ξ=，即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 （1） X （2） √ （3） X （4） X （5） √ （6） √ （7） X （8） X （9） X （10）X （11）X （12）√ （13）X （14）X （15）√ （16）X （17）√ （18）√ （19）√（20）X （21）√ （22）X 2. 填空题
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
第一节极限的定义二、两个重要极限三、无穷小的比较二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质五、函数连续性的定义***** 六、函数的间断点间断点分类: 例如: 内容小结练习备用题确定函数间断点的类型. 2. 求三、极限3. 无穷小例6. 求下列极限：令例7. 确定常数a , b , 使显然为其可去间断点. (4) (5) 为其跳跃间断点. 左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4. 定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议1 ．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2 ．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3 ．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．三、例题精解例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设问当为何值时，
函数极限与连续函数的性质习题解答 1． 用函数极限的定义证明： （1）2 221lim 2.3 x x x →∞ +=- 证明： 0,ε?> 欲使 2 2 2 2172,3 3 x x x ε+-= <--易见当||3x >时，有 2 2 77|3|||.|3| || x x x x ->? < - 于是，只要 7,|| x ε<即7 ||x ε > 时，有 2 2 21 23x x ε+-<-成立。取7m ax 3,.M ε?? =???? 故对0,ε?>7m ax 3,.M ε?? ?=???? 对||,x M ?>有 2 22123x x ε+-<-，即2 2 21lim 2.3x x x →∞+=- （2）1 1lim arc .12 x tg x π- →= - 证明：0(0),2 πεε?><< 要使不等式 11arc arc 12 2 1tg tg x x π π ε- = -<-- (1)x < 成立，解得1 1.() 2 x tg π ε-< - 取δ=1 ( ) 2 tg π ε-，于是 10,0,(1,1),( ) 2 x tg εδδπ ε?>?= >?∈--有1arc ,12 tg x π ε- <- 即1 1lim arc .12 x tg x π- →= - （3 ）lim (sin sin 0x →∞ =。 证明：
( ) 1sin 2sin lim 11sin 2sin 11011 21 122 1 2sin 21 2cos 21sin 2sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =+-+∴<< +-+>?+??? ???=>?< ++ += +- +<+- +++ +=+-+∞ →x x x x x N x N x x x x x x x x x x x x ε εε有，，取 2. 求下列极限： (1) 11lim (sin cos ).x x x x →∞ + 解： 2 22 2sin 1 22 sin 11112lim (sin cos )lim[(sin cos )]lim (1sin )2lim[(1sin ) ] . x x x x x x x x x x x x x x x e x →∞ →∞→∞ →∞ +=+=+=+= 或： . 11cos 1sin 1lim 1cos 1sin lim ] 12111sin [ lim 11 1cos 1sin 11cos 1sin 1 2 e e x x x x x x x x x x x x x x x x x ==? ? ? ?? ?????????????? ??-++=??? ??+- -+-+∞→∞→∞ → (2) 1 20 lim (1sin ).x x x →+ 解：1 1 sin 2sin 20 lim (1sin ) lim[(1sin ) ] x x x x x x x x →→+=+= (3) 2 10 ln(1)lim .ln(1) x x x x x →∞ -+++ 解：
第一章 函数.极限和连续 第一节 函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类） （1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）； （3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1） （5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 《 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节 极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0|
极限与连续习题 一．填空题 1. 当0→x 时，x cos 1-是2x 的_______________无穷小量. 2. 0x =是函数x x x f sin )(= 的___________间断点. 3. =-→x x x 20)11(lim ___________。 4. 函数11arctan )(-=x x f 的间断点是x =___________。 5. =--→x x e x x x sin )1(lim 20___________. 6. 已知分段函数sin ,0(),0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 7. 由重要极限可知，()1 lim 1+2x x x →=___________. 8. 已知分段函数sin ,0()2,0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 9. 由重要极限可知，1lim (1)2x x x →+∞+=___________. 10. 知分段函数()sin 1,1()1,1x x f x x x b x -?>?=-??-≤? 连续，则b =___________. 11. 由重要极限可知，1 0lim(12)x x x →+=___________. 12. 当x →1时，233+-x x 与2ln x x 相比，_______________是高阶无穷小量. 13. 251lim 12n n n -→∞??- ???=___________.
14. 函数2 2(1)()23x f x x x +=--的无穷间断点是x =___________. 15. 0tan2lim 3x x x →=___________. 16. 351lim 12n n n +→∞??- ???=___________. 17. 函数2 2(1)()23 x f x x x +=--的可去间断点是x =___________. 18. 2 01cos lim x x x →-=___________. 19. 253lim 12n n n +→∞??+ ???=___________. 20. 函数221()34 x f x x x -=+-的可去间断点是x =___________. 21. 当0x →时，sin x 与3x 相比，_______________是高阶无穷小量. 22. 计算极限22 1lim 1n n n +→∞??+ ???=___________. 23. 设函数()21,0,0x x f x x a x +>?=?-≤? ，在0x =处连续, 则a =__________ 24. 若当1x →时, ()f x 是1x -的等价无穷小, 则1()lim (1)(1) x f x x x →=-+_______ . 25. 计算极限1lim 1x x x →∞??- ???=__________. 26. 设e ,0,(),0.x x f x x a x ?≤=?+>? 要使()f x 在0x =处连续, 则 a = . 27. . 当x →0时，sin x x -与x 相比， 是高阶无穷 小量.
第二章极限与连续 一、数列的极限 A 、数列｛Un ｝中的数称为数列的项，Un 为数列的一般项或通项。正整数n 称为数列的下标。 给定数列｛Un ｝，各项的取值由其下标唯一确定，所以数列｛Un ｝可以视为定义在正整数集N*上的函数，即称为下标函数。 B 、已知数列｛Un ｝，当n 无限增大时，Un 无限趋近于某一个常数A ，则A 为数列｛Un ｝的极限。即 lim n →+∞ Un=A 或Un →A （n →+∞） ①若数列｛Un ｝有极限，则称数列｛Un ｝收敛，或lim n →+∞ Un 存在 ②若数列｛Un ｝无极限，则称数列｛Un ｝发散，或lim n →+∞ Un 不存在 ※有界数列：|Un|≤M （n ∈N*，M ＞0） ※收敛数列必定有界，单调有界数列必有极限。 二、函数的极限 【前提必须是在某一趋向下】 A 、x →∞时函数f （x ）的极限 a 、已知f （x ），x →∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →∞时，函数f （x ）的极限存在，且称 当A 为x →∞时，f （x ）的极限。 【双边极限】 记作：lim x →∞ f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →∞） b 、已知f （x ），x →+∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →+∞时，函数f （x ）的极限存在，且 称当A 为x →+∞时，f （x ）的极限。 【单边极限】 记作：lim x →+∞ f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →+∞） c 、已知f （x ），x →-∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →-∞时，函数f （x ）的极限存在，且 称当A 为x →-∞时，f （x ）的极限。 【单边极限】 记作：lim x →-∞ f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →-∞） 综上：lim x →∞ f （x ）=A <=> lim x →+∞ f （x ）=lim x →-∞ f （x ）=A B 、x →x 0时f （x ）的极限 a 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0时f （x ）无限趋近于某常数A 。即当x →x 0时f （x ）的极限存 在，且称A 为x →x 0时f （x ）的极限。 记作：0 lim x x →f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0） b 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0- 时f （x ）无限趋近于某常数A 。即常数A 为x →x 0时f （x ）的 左极限。 记作：0 lim x x - →f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0- ）或f （x 0-0）=A c 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0+ 时f （x ）无限趋近于某常数A 。即常数A 为x →x 0时f （x ）的 右极限。 【左极限和右极限统称为单侧极限】 记作: 0 lim x x + →f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0+ ）或f （x 0+0）=A 综上：0 lim x x →f （x ）=A <=> 0lim x x -→f （x ）=0 lim x x + →f （x ）=A