9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.
(1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。
（2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？
（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
题型二：利用勾股定理测量长度
例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
跟踪练习：
1.如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.
2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A 、12米
B 、13米
C 、14米
D 、15米
3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A 、8米
B 、10米
C 、12米
D 、14米
题型三：勾股定理和逆定理并用——
例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4
1 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
跟踪练习：
1. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，F 点CD 边上一点，且DF=3CF ，求证：∠AEF=90°
题型四：利用勾股定理求线段长度——
例1. 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.
跟踪练习：
1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB 的长.
2.如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，D 为AC 的中点，DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF 的长.
3.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1，BD=3，求CD的长.
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——
例1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
跟踪练习：
1.如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由.（1）求证：∠ABD=90°;（2）求的值
2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）
A、9，12，15
B、7,24,25
C、
D、，，
3.在△ABC 中，下列说法①∠B=∠C-∠A ；②；③∠A:∠B:∠C=3：4：5；④a:b:c=5:4:3；⑤：：=1:2:3，其中能判断△ABC 为直角三角形的条件有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
4.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？
（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，，
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个 5.已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足，则此时三角形一定是（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、锐角三角形
6.在△ABC 中，若a=12-n ，b=2n ，c=12
+n ，则△ABC 是（ ）
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、等腰三角形
D 、直角三角形
7.如图，正方形网格中的△ABC 是（ ）
A 、直角三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、锐角三角形或钝角三角形
8.已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法中，错误的是（ ）
A 、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°
B 、如果∠C=90°，那么
C 、如果（a+b ）（a-b ）=，那么∠A=90°
D 、如果∠A=30°，那么AC=2BC
9.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a+b=3，ab=1，，求的值，试判断△ABC 的形状，
并说明理由
10.观察下列各式：，，，……，根据其中规律，写出下一个式子为_____________ 11.已知，m ＞n ，m 、n 为正整数，以，2mn ，为边的三角形是___三角形.
12.一个直角三角形的三边分别为n+1，n-1，8，其中n+1是最大边，当n 为多少时，三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题：
例题6. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.
跟踪练习
1.如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究
222
、、间的关系，并说明理由.
BE CF EF
题型七：关于翻折问题
例题7.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
跟踪练习
1.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.
(一)折叠直角三角形
1.如图，在△ABC中，∠A = 90°，点D为AB上一点，沿CD折叠△ABC，点A恰好落在BC边上的'A处，AB=4，AC=3，求BD的长。
2. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的长．
（二）折叠长方形
1.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC 上的点E处，求CF的长。
2. 如图，长方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C'重合. （1）求DE的长;（2）求折痕EF的长.
3. （2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）
4. 如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点. （1）求证：FB=FE （2）求证：CA′∥BD
（3）求△DBF的面积
7. 如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G,G 为BC的中点，连结AG、CF. （1）求证：AG∥CF;（2）求的值.
题型八：关于勾股定理在实际中的应用：
例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
例2.一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？
跟踪练习：
1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向
移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
3.有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）
4.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
题型九：关于最短性问题
例1、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美
餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）
例2.
跟踪练习：
1.如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为
8cm
，6cm ，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
4.如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？
A 5
3
1 B
A A
3 ？
？ A
题型十：勾股定理与特殊角
（一）直接运用30°或45°的直角三角形
1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=23，求AD的长。
2.如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AD是△ABC的角平分线，C D⊥AB于D，∠A= 30°，CD=2，求AB 的长。
3.如图，在△ABC中，A D⊥BC于D，∠B= 60°，∠,C= 45°，AC=2，求BD的长。
（二）作垂线构造30°或45°的直角三角形
（1）将105°转化为45°和60°
1.如图，在△ABC中，∠B= 45°，∠A=105°，AC=2，求BC的长。
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C= 45°，∠ADB=∠ABC=105°,⑴若AD=2,求AB的长；⑵若AB+CD=23，求AB的长。
（2）将75°转化为30°和45°
3. 如图，在△ABC 中，∠B= 45°，∠BAC=75°，
AB=6 ，求BC 的长。
题型十一：运用勾股定理列方程
（一）直接用勾股定理列方程
1. 如图，在△ABC 中，∠C= 90°，AD 平分∠CAB 交CB
于D ，CD=3,BD=5，求AD 的长。
2. 如图，在△ABC 中，A D ⊥BC 于D ，且∠CAD=2∠BAD,
若BD=3，CD=8，求AB 的长。
(二)巧用“连环勾”列方程 1. 如图，在△ABC 中，AB=5，BC=7，AC=24,求ABC S .
A B D
C
2. 如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，C D⊥AB于D，AC=3，BC=4，求AD的长。
3. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，BD=4，求AC的长
4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=3，BD=4，求AD的长
题型十二：勾股定理与分类讨论
（一）锐角与钝角不明时需分类讨论
1.在△ABC中，AB=AC=5，，求BC的长
2. 在△ABC中，AB=15，AC=13，AD为△ABC的高，且AD=12，求△ABC的面积。
（二）腰和底不明时需分类讨论
3.如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为射线AC上一点，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周长.
（三）直角边和斜边不明时需分类讨论
1.已知直角三角形两边分别为2和3，则第三边的长为_____________
2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长
3.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.
题型十三：或问题的证明
1.如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上一点，且DM⊥DN. （1）求证：CM+CN=BD
（2）如图2，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系式。
2.已知∠BCD=α，∠BAD=β，CB=CD. （1）如图1，若α=β=90°，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，若α=β=90°，求证：AB-AD=AC；（3）如图3，若α=120°，β=60°，求证：AB=AD=AC；（4）如图3，若α=β=120°，求证：AB-AD=AC；
题型十四：问题的证明
1.如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，M、N分别为AC、BD的中点，连MN、ON.求证：MN= ON.
2.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE=CF，连DE、EF. （1）如图1，若E、F 分别在AB、AC上，求证：EF=DE；（2）如图2，若E、F分别在BA、AC的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．
3.如图，△ABD中，O为AB的中点，C为DO延长线上一点，∠ACO=135°，∠ODB=45°探究OD、OC、AC之间相等的数量关系．
4.如图，△ABD是等腰直角△，∠BAD=90°，BC∥AD，BC=2AB，CE平分∠BCD，交AB于E，交BD 于H．求证：
（1）DC=DA；（2）BE=DH
1.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．
2.如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2，，且三角形的三个顶点都在格点上．
3.如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．
4.在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个．
5.如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是__________中的三角形，图4中最长边上的高为_____________
6.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）画一条线段MN，使MN=；（2）画△ABC，三边长分别为3，，2。
（1）图1中以AB为腰的等腰三角形有___________个，画出其中的一个，并直接写出其底边长．
（2）图2中，以AB为底边的等腰三角形有___________个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高．
题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直
1.如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，且AB=10，BD=6，AD=8，AC=7，其求CD的长.
2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，，CD=5，AD=4，求.
3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求BC的长.
4.已知△ABC中，CA=CB, ∠ACB=α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连AD．
（1）如图1，当α=60°，PA= 10，PB=6，PC=8时，求∠BPC的度数
（2）如图2，当α=90°，PA=3，PB=1，PC=2时，求∠BPC的度数
题型十七：勾股定理综合纯几何问题
1.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，∠EDF= 90°，DE交射线AC于E，DF交射线CB 于F．
（1）如图1，当AC=BC时，、、之间的数量关系为__________（直接写出结果）；（2）如图2，当AC≠BC时，试确定、、之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，当AC≠BC时，(2)中结论是否仍成立？
2.已知△OMN为等腰直角△，∠MON=90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC=OB.
（1）如图1，连CN，求证：CN=BM;
（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于A，求证：
（3）如图3，在(2)的条件下，过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，EA、BF的延长线交于P，请探究、、之间的数量关系式．
题型十八：勾股定理综合（二）与代数结合
1.已知点A的坐标为（1，-3），∠OAB=90°，OA=OB.
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，AD⊥y轴于D，M为OB的中点，求DM的长；
2.已知点A、B分别在x轴、y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12.
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF
勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 ; 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗”
占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形。” ' “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗 思路分析： 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答
典型例题: 一、利用勾股定理解决实际问题 例题:水中芦苇 梯子滑动 1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少? 3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海? 二、与勾股定理有关的图形问题
1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt △ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类 推,第n个等腰直角三角形的斜边长是. 2.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别 为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=______ ___. 4.如图,△ABC中,∠C=90°, (1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S1+S2与S3 的关系; (2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究 S1+S2与S3的关系; (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S1+S2与S3
勾股定理典型题归类 类型一：等面积法求高 【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。 （1）求AB 的长； （2）求CD 的长。 类型二：面积问题 【例题】 为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2 。 【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。（2）求∠ADC 的度数 【练2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______. 【练3】如图字母B 所代表的正方形的面积是 类型三：距离最短问题 【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ B 16925A B C D L
【例题】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程． 【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（ ） A 、3 B 、 C 、 D 、1 【练3】如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高 为20cm ，点B 到点C 的距离为5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点，需要爬行的最短距离是多少？ 类型四：判断三角形的形状 【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2 +50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。 【练1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2 (m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形. 小河 2
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是 多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进 而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 类型三：勾股定理的实际应用
典型题型 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴10AB = ⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２. ⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解： ⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB ⋅= = D B A C ⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S = ⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得 60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
2 1 E D C B A 分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ， Q 12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中 90,2BED BE ∠=︒=Q Rt ACD Rt AED ∆≅∆Q AC AE ∴= 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒ 222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴= 例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 答案：6 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
C A B D 勾股定理全章类题总结 类型一：等面积法求高 【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900,AC=7,BC=24，C D ⊥AB 于D. （1）求AB 的长； （2）求CD 的长. 类型二：面积问题 【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的 正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2 。 【练习1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形， （1)求图中格点四边形ABCD 的 面积和周长。 （2）求∠ADC 的度数。 【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥ BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______。 【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B 。 13 C 。 144 D 。 194 类型三：距离最短问题 【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧,分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米,且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂,向A 、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费 用是多少？ A B C D 7cm B D E B 169 25 A B C D L
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直 径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程． 【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 类型四：判断三角形的形状 【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2 +b 2 +c 2 +50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状. 【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2，2mn ，m 2+n 2 （m,n 为正整数，且m ＞n)， 判断△ABC 是否为直角三角形。 【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件 a 2＋ b 2＋ c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC 的形状. 【练习3】.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足 （a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2 )＝0，则它的形状为（ ）三角形 A.直角 B.等腰 C 。等腰直角 D 。等腰或直角 【练习4】三角形的三边长为 ab c b a 2)(2 2+=+，则这个三角形是（ ) 三角形 (A)等边（B ）钝角（C ） 直角（D)锐角 类型五：直接考查勾股定理 【例题】在Rt △ABC 中，∠C=90° (1）已知a=6， c=10,求b ； (2）已知a=40，b=9，求c;（3)已知c=25,b=15，求a.. 【练习】：如图∠B =∠ACD =90°， AD =13，CD =12, BC =3，则AB 的长是多少? 小河 A B 北 牧童 小屋
9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。 10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广. (1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。 （2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？ （3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”） 题型二：利用勾股定理测量长度 例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 跟踪练习： 1.如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ） A 、12米 B 、13米 C 、14米 D 、15米 3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A 、8米 B 、10米 C 、12米 D 、14米 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 跟踪练习： 1. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，F 点CD 边上一点，且DF=3CF ，求证：∠AEF=90° 题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例1. 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 跟踪练习： 1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，D 为AC 的中点，DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF 的长.
勾股定理知识点归纳和题型归类 勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。 勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。 勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。 勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。逆
定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方 c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角 三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。 2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式， 不可认为是唯一的。例如，若三角形三边长$a,b,c$满足 $a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。 3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜 边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。” 6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数， 即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾 股数。记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。可以用含字母的代数式表 示$n$组勾股数，例如丢番图发现的式子$m- n,2mn,m+n$（$m>n$为正整数）；毕达哥拉斯发现的式子
勾股定理经典例题(含答案)
（二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 作法：如图所示 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确） 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答：DE⊥EF。 证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 ∴DF2=EF2+DE2, ∴FE⊥DE。 练习 一、判断直角三角形问题：
勾股定理翻折问题12种类型例题 勾股定理翻折问题12种类型例题 引言 在数学领域中，勾股定理是一个非常基础但又十分重要的定理。它主 要描述了直角三角形中三条边之间的关系，这一定理在几何学中应用 广泛。而勾股定理的翻折问题则是对勾股定理的一种延伸和拓展，涉 及到更多的变数和复杂的计算。今天，我将以深度和广度兼具的方式 来探讨这一问题，并给出12种类型的例题，希望能够给大家带来一些启发和帮助。 1. 直角三角形的性质 我们来回顾一下直角三角形的性质。在一个直角三角形ABC中，有一个直角，记作∠C=90°。根据勾股定理，我们知道a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别代表三角形中的两条短边，c代表斜边。这是我们解 决翻折问题的基础。 2. 翻折问题的定义 接下来，我们需要了解翻折问题的定义。翻折问题是指在平面直角坐 标系上，已知一个单一的点A(x,y)，通过某种方法，将该点按照直角
三角形的勾股定理进行“翻折”，得到一个点B，使得点B满足勾股 定理的条件。 3. 常见类型的例题 现在，让我们来看一下翻折问题中的一些常见类型的例题，以便更好 地理解这一概念。 第一种类型：已知直角三角形的斜边长度c，求翻折后的点B的坐标。在这种类型的例题中，我们已知直角三角形的斜边长度c，需要求出点B的坐标。这需要我们运用勾股定理来解决问题，具体的计算过程可 能会涉及到一些代数运算和方程求解。 第二种类型：已知直角三角形的两条短边a和b，求翻折后的点B的 坐标。 这种类型的例题相较于第一种类型来说更为简单，因为我们已知直角 三角形的两条短边a和b，可以直接套用勾股定理来求解点B的坐标。 第三种类型：已知点A的坐标(x,y)，求其翻折后的点B的坐标。 在这种类型的例题中，我们已知点A的坐标(x,y)，需要根据这一坐标 来求解点B的坐标。这个过程需要我们巧妙地运用勾股定理和坐标的 计算方式，是一个比较灵活和有趣的问题。 第四种类型：已知点A的坐标(x,y)和直角三角形的斜边长度c，求翻
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解读：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解读：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
解读：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC 交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解读：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。解读：（1）过B点作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以 （2）在Rt△ABC中， ∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向 举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5M，宽1.6M，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通
典范【2 】例题 常识点一.直策应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：如图,在单位正方形构成的网格图中标有AB.CD.EF.GH四条线段,个中能构 成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD.EF.GH B. AB.EF.GH C. AB.C D.GH D. AB.CD.EF
勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程.所以,在应用勾股定理求线段的长时常经由过程解方程来解决.勾股定理表达式中有三个量,假如前提中只有一个已知量,必须设法求出另一个量或求出别的两个量之间的关系,这一点是应用勾股定理求线段长时须要明白的思绪. 方程的思惟：经由过程列方程（组）解决问题,如：应用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决现实问题时,经常应用勾股定理中的等量关系列出方程来解决 问题等. 例3：一场罕有的大风事后,黉舍那棵老杨树折断在地,此刻,张先生正和占明.清 华.绣亚.冠华在楼上凭栏远眺. 清华启齿说道：“先生,那棵树看起来挺高的.” “是啊,有10米高呢,如今被风拦腰刮断,惋惜呀！”
“但站立的一段似乎也不矮,有四五米高吧.”冠华兴趣勃勃地说. 张先生心有所动,他说：“适才我跑过时用脚步量了一下,发明树尖距离树根正好3米,你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根.树尖.折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形.” “勾股定理必定是要用的,并且不动笔墨生怕是不行的.”绣亚补充说. 几位男孩子走进教室,绘图.盘算,不一会就得出了答案.同窗们,你算出来了吗？ 思绪剖析： 1）题意剖析：本题考核勾股定理的应用 2）解题思绪：本题症结是卖力审题抓住问题的本质进行剖析才能得出准 确的解答
勾股定理经典例题 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 Rt △ ABC 中，/ C=90° ⑴已知 a=6， c=10，求 b ， (2)已知 a=40，b=9，求 c ； (3)已知 c=25，b=15，求 a. 思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】：如图/ B=Z ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3，则AB 的长是多少 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在 ’ 中，一-；，」一川，丄-..求：BC 的长. 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮 每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( ) 20m 30m A 、450a 元 B 、225a 元 C 、150a 元 D 300a 元 150 ° - 举一反三【变式1】如图，已知：一- •；，一」「’」’，二—丄 于P.求证虫. B L f M A 【变式2】已知：如图，/ B=Z D=90°，Z A=60 °，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积 类型三：勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东60°方向走了订工到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了 500m 到达目的地C 点 求A 、C 两点之间的距离。 确定目的地C 在营地A 的什么方向。 (1) (2) A C
举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆 卡车能否通过该工厂的厂门？ （二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AE为4cm, EC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发, 沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程. 类型四：利用勾股定理作长为丽的线段 5、作长为匸、亠;、“」的线段。 作法：如图所示 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边，「111， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 作法：如图所示在数轴上找到A点，使0A=3，作AC丄OA且截取AC=1，以0C为半径, 以0为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为工“。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1 •原命题：猫有四只脚.（正确） 2•原命题：对顶角相等（正确） 3•原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等. （正确） 4•原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. （正确） 7、如果△ ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ ABC的形状
经典例题透析 种类一：勾股定理的直接用法 1、在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 ° (1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40， b=9 ，求 c； (3)已知 c=25， b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中，必定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 分析： (1) 在△ ABC 中，∠ C=90 °， a=6， c=10,b= (2)在△ ABC 中，∠ C=90°， a=40， b=9,c= (3)在△ ABC 中，∠ C=90°， c=25， b=15,a= 贯通融会 【变式】 :如图∠ B=∠ ACD =90 ° , AD =13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少 ? 【答案】∵∠ ACD =90 ° AD = 13, CD=12 ∴AC 2 =AD 2－CD 2 =132－ 122 =25 ∴AC=5 又∵∠ ABC=90 °且 BC=3 ∴由勾股定理可得 AB 2= AC 2－BC2 =52－ 32 =16 ∴AB= 4 ∴AB 的长是 4. 种类二：勾股定理的结构应用 2、如图，已知：在中，，，. 求： BC 的长 . 思路点拨：由条件，想到结构含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD 、DC 的长，从而求出BC 的 长 . 分析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，假如一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 依据勾股定理，在中， .
. ∴. 贯通融会【变式 1】如图，已知：，，于P.求证：. 分析：连结 BM ，依据勾股定理，在中， . 而在中，则依据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，依据勾股定理有 ， ∴. 【变式 2】已知：如图，∠B=∠ D=90 °，∠ A=60 °， AB=4 ， CD=2 。求：四边形ABCD 的面积。 剖析：怎样结构直角三角形是解本题的重点，能够连结 AC ，或延伸 AB 、DC 交于 F，或延伸 AD 、BC 交于点 E，依据本题给定的角应选后两种，进一步依据本题给定的边选第三种较为简单。 分析：延伸 AD 、 BC 交于 E。 ∵∠ A= ∠ 60°，∠ B=90 °，∴∠ E=30°。 ∴AE=2AB=8 ，CE=2CD=4 ， ∴ BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48， BE==。 ∵ DE 2= CE 2-CD 2=4 2-22=12 ，∴ DE==。 ∴ S 四边形ABCD =S△ABE -S△CDE = AB · BE- CD· DE= 种类三：勾股定理的实质应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3 、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从阵营 A 点出发，沿北偏东60°方向走了 抵达 B 点，而后再沿北偏西30°方向走了500m 抵达目的地 C 点。（1）
勾股定理经典例题(含答案) Lt D
勾股定理经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)a=6， c=10，求b， (2)a=40，b=9，求c； (3)c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,那么AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16
∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，：在中，，，. 求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，那么有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，那么因， ∴〔的两个锐角互 余〕 ∴〔在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半〕. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，：，，于
P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，那么根据勾股定理有 . ∴ 又∵〔〕， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴