1
F
E D
A
B C
A B C D E
G F F 典型例题：
一、利用勾股定理解决实际问题 例题：水中芦苇 梯子滑动
1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里，
A 、
B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离
C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
二、关于翻折问题
1、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.
2、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；
（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.
3、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，
cm AB 16=，求BF 的长．
4、如图，一张矩形纸片ABCD
的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。现将其折叠，使点D 与点B 重合。求折叠后BE 的长和折痕EF 的长。
5、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），求着色部分的面积。
6、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
7如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC
沿直线
AD
翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.
G
A 1 D A
B C
F E D
C B A
2
三、关于最短性问题
1：如图1，长方体的长为12cm ，宽为6cm ，高为5cm ，一只蚂蚁沿侧面从A 点向B 点爬行，问：爬到
B 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？
2、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
3：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？
4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？ 5、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)
6：如图，圆锥的侧面展开图是半径为2
2cm 的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行，问：
（1）爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点C 的最近距离．
7、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为
四、关于旋转中的勾股定理的运用：
1、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△AC P ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.
题型五、巧用“连环勾”列方程
1. 如图，在△ABC 中，AB=5，BC=7，AC=24,求ABC S .
2. 如图，在△ABC 中，∠ACB= 90°，C D ⊥AB 于D ，AC=3，BC=4，求AD 的长。
3. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=1，BD=4，求AC 的长
4.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，CD=3，BD=4，求AD 的长
A
B
5
3
1
勾股定理经典例题 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2 、如图，已知：在中，， ，. 求：BC的长. 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 举一反三【变式1】如图，已知： ，，于P. 求证：. 150° 20m 30m
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，
第 1 页 共 5 页 勾股定理经典题型(后附答案) 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 = 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直—— 例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？ 例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要 移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
第 2 页 共 5 页 题型六：旋转问题： 例题7 如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。 变式1: 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 变式2: 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究2 2 2 BE CF EF 、、间的关系，并说明理由. 题型七：关于翻折问题 例题8 如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长. 变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长. 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点A 到公路MN 的距离为80米，假 使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，
勾股定理的题型与解题方法 一、知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2 ） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。 3、满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 二、典型题型 题型1、求线段的长度 例1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90o， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm. 求① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。 练习 1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。 2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。 3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。 4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ） A 、6厘米； B 、 8厘米； C 、 80/13厘米； D 、 60/13厘米； 5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长 题型2、判断直角三角形 例2、如图己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB 求四边形ABCD 的面积 D A B C
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A ．2，3，4 B ．3，4，6 C ．5，12，13 D ．4，6，7 2. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c 2 C ．a 2 =(b+c)(b-c) D ． a :b :c =13∶5∶12 3. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) A . 等边三角形 B . 钝角三角形 C . 直角三角形 D . 锐角三角形. 4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。 题型3、求最短距离 如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B ，如果圆 B 柱的高为8cm ，圆柱的底面半径为 π 6 cm ，那么最短 的路线长是（ ） A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10πcm A 三、主要数学思想 1、方程思想 例题3、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 例题4、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积． A B C D
勾股定理经典例题 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6, c=10，求b ， (2）已知a=40,b=9，求c; (3）已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13，CD =12, BC =3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长。 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元 C 、150a 元 D 、300a 元 举一反三【变式1】如图,已知：，，于P 。 求证:. 150° 20m 30m
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点. （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2。5米，宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ （二)用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，
1 F E D A B C A B C D E G F F 典型例题： 一、利用勾股定理解决实际问题 例题：水中芦苇 梯子滑动 1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里， A 、 B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离 C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 二、关于翻折问题 1、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG. 2、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形； （2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积. 3、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=， cm AB 16=，求BF 的长． 4、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。现将其折叠，使点D 与点B 重合。求折叠后BE 的长和折痕EF 的长。 5、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），求着色部分的面积。 6、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长. 7如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线 AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长. G A 1 D A B C F E D C B A
勾股定理经典题型 例01．如图，已知：在ABC ?中，?=∠60B ，70=AC ，30=AB . 求：BC 的长. 分析：由条件?=∠60B ，想到制造含?30角的直角三角形，为此作BC AD ⊥于D ，则有?=∠30BAD ，152 1==AB BD ，再由勾股定理计算出AD 、DC 的长，进而求出BC 的长. 解答：作BC AD ⊥于D ，则因?=∠60B ， ∴?=?-?=∠306090ADD （?Rt 的两个锐角互余） ∴152 1==AB BD （在?Rt 中，如果一个锐角等于?30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在ABD Rt ?中， 31515302222=-=-=BD AB AD . 根据勾股定理，在ACD Rt ?中， 6531570222=?-=-=AD AC CD . ∴ 801565=+=+=DC BD BC . 说明：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线以便应用勾股定理. 例02．已知：在ABC ?中，?=∠90ACB ，c AB =，a BC =，b AC =，2=BC ，?=∠30A . 求AC 与AB . 分析：在ABC Rt ?中，已知BC 长和?=∠30A ，求其他两边，可先求出AB 的长，进而使用勾股定理求出AC 的长. 解答：在ABC Rt ?中， ∵?=∠30A （已知）， ∴ 42==BC AB （?Rt 中，如果一个锐角等于?30，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 根据勾股定理：32242222=-=-=a c b . ∴ ABC ?中，32,4==AC AB . 说明：在直角三角形中，求边长的时候，经常会涉及到勾股定理，而勾股定理是已知两边求第三边，因此，在条件不足时，可以根据已知去发现和创造条件.
C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 2. 如图，以 Rt △ ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面 积之间的关系． 3、如图所示， 分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形， 其面积分别是 S 1、 S 2、 S 3，则它们之间的关系是（ A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 S 2 、证明方法 A c B 二、面积 1、求阴影部分面积： 阴影部分是半圆． 1） 阴影部分是正方形； （ 2） 阴影部分是长方形；（ 3） S 3 S 1
4、在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形 的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 S 1 、 S 2 、 S 3、S 4，则S 1 S 2 S 3 5、如图 17-3-7 是一株美丽的勾股树 ,其中所有的四边形都是正方形 , 所有的三角 形都是直角三角形 , 若正方形 A 、B 、C 、D 的面积分别为 2,5,1,2, 则最大的正方 形 E 的面积 ____ . 6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为 25 和 12，则第三个正方形的面积为 _________________ . 8、如图,长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,设点 D 落在 D'处,BC 交AD'于点 E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积 . S 4= 7、如图，∠ B ＝∠ D ＝ 90°，∠ A ＝ 60°，AB ＝4，CD ＝ 2. 求四边形 ABCD 的面积 .
BC 边上的中线 AD=2，求三角形 ABC 的面 积？ 1在 Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则 BC 的长为 2、已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长的平方是 3、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的 4、在 Rt △ABC 中，∠ C=90° ① _________________________ 若 a=5， b=12，则 c= ； ② __________________________ 若 a=15，c=25，则 b= ； ③ _________________________ 若 c=61，b=60，则 a= ； ④ ____________________________________________________ 若 a ∶b=3∶4，c=10则 Rt △ABC 的面积是= ______________________ 9. 如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个得到，可得△ ABC ，A 则边 AC 上 的高为( 3 2 A. 2 B. 54 5 3 5 C. 5 10、如图，四边形 ∠ABC ＝90 度， 求四边形 ABCD 的面积 D. ABCD 中， AD ＝1cm ，BC ＝2cm ，AB ＝2cm ，CD ＝3cm ，且
典型题型 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒． ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴10AB = ⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２. ⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解： ⑴4AC , 2.4AC BC CD AB ⋅= = D B A C ⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S = ⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =130 2S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长 2 1 E D C B A 分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E , 12∠=∠,90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中 90,2BED BE ∠=︒=
Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴= 在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒ 222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴= 例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积 答案：6 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m A B C D E 分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m 在Rt ADE ∆中, 由勾股定理得10AD 答案：10m 题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23 c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状
一、证明方法 二、面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形； （3）阴影部分是半圆． 2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆 的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别 是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341 234、，则+++=_____________。 5、如图17-3-7是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E 的面积_______. 6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________. 7、如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2. 求四边形ABCD 的面积. 8、如图,长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,设点D 落在D'处,BC 交 AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积. 9.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC ，则 边AC 上的高为（ ） A. 22 3 B. 5103 C. 5 53 D. 554 10、如图，四边形ABCD 中，AD ＝1cm ，BC ＝2cm ，AB ＝2cm ，CD ＝3cm ， 且 ∠ABC ＝90度，求四边形ABCD 的面积 11、三角形ABC 中，AB=5，AC=3，BC 边上的中线AD=2， 求三角形ABC 的面 c b a A B b b b b c c c c a a a a b c c a a b D C A E B S 3 S 2 S 1 4 2 60° D C B A
勾股定理经典例题(含答案)
（二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 作法：如图所示 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确） 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答：DE⊥EF。 证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 ∴DF2=EF2+DE2, ∴FE⊥DE。 练习 一、判断直角三角形问题：
勾股定理及常见题型分类 一、知识要点： 1、勾股定理 2、勾股定理证明方法及勾股树 3、勾股定理逆定理 4、勾股定理常见题型回顾 二、典型题 题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积 1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A.13 B.26 C.47 D.94 2.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的边长分别为6和8，求b 的面积。 3. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 S 3 S 2 S 1 甲 乙 图1
5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 题型二：勾股定理与图形问题 1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 2.如图，求该四边形的面积 3.如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ． 4.某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . 5.如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。 题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边 A B C D E F G 43 12 13 B C D A
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）
《勾股定理》主要题型 题型一：直接考查勾股定理，已知两边求第三边 例：:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 解：∵∠ACD=90°AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2=52－32=16 ∴AB= 4 例、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？ 类型二：勾股定理的构造应用 例、如图，已知：，，于P. 求证：. 解：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. ∴ 又∵（已知），∴. 在中，根据勾股定理有，∴. 题型三：在数轴上表示无理数 例、在数轴上作出表示10的点． 解：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出． 解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆 规在数轴上作出长为10的线段即可．
题型四：利用勾股定理测量长度 例、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好 落到D点，并求水池的深度AC. 解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2， 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2. 故水深为2米. 题型五：利用勾股定理求线段的长 1、如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E， 将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm ∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42∴64－16x+x2=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm 例、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD． 解：∵BC=14，且BC=BD+DC， 设BD=x，则DC=14﹣x， 则在直角△ABD中，AB2=AD2+BD2，即132=AD2+x2， 在直角△ACD中，AC2=AD2+CD2，即152=AD2+（14﹣x）2，整理计算得x=5， ∴AD==12， 类型六：数学思想方法 （一）转化的思想方法 例、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F 分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 解：连接AD． ∵∠BAC=90°，AB=AC．又∵AD为△ABC的中线， ∴AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°． ∵∠EDA+∠ADF=90°．又∵∠CDF+∠ADF=90°．
勾股定理经典题型
勾股定理 勾股定理及其证明 1．勾股定理：在直角三角形中，两直 角边的平方和等于斜边的平方.若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则2 2 2 a b c +=，如图1－1－1，其中2 22222,,b c a a c b b a c -=-=+= 2．勾股定理的证明：勾股定理是通过 面积拼图法来证明，其方法较多． 勾股定理的逆定理 1．在三角形中，若两边的平方和等于 第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，即⊿ABC 中，若222 a b c +=，则∠ABC 为直角三角形，∠C=90o 这是判定一个三角形是直角三角形的方法．
已知两边求第三边 例1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________． 例2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 例3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的 长为. 例4．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内
部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？ 利用列方程求线段的长 例5． 把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角 三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好． 例6． 如图，将一个边长分别为4、8的长方形 纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长 是 ． 例7． 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ， F E D C B A D
勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出在任何一 个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 这一定理不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等众多领域都有重要意义。以下是一些勾股定理的 经典题型，这些题型可以帮助学生更好地理解和掌握勾股 定理的应用： 1. **证明题**：给出一个三角形，证明其中一条边是 斜边，另外两边是直角边。 2. **计算题**：给定一个直角三角形的两条直角边的 长度，求斜边的长度。 3. **反问题计算题**：给定一个直角三角形的斜边和 一条直角边的长度，求另一条直角边的长度。 4. **应用题**：一个房间的长是10米，宽是8米，求 房间对角线的长度。 5. **构造题**：用尺子和圆规，仅使用勾股定理，构 造一个特定面积的正方形。 6. **比例题**：如果一个直角三角形的两个锐角分别 是30度和60度，求三边的长度比。 7. **相似题**：两个直角三角形相似，已知一个三角 形的两个直角边分别是3米和4米，求另一个三角形的斜边 长度。
8. **代数题**：设直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c根据勾股定理列出方程，并解方程。 9. **逆定理题**：判断一个三角形的三边长是否满足勾股定理的逆定理，即如果三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 10. **综合题**：在一个复杂的几何问题中，综合运用勾股定理和其他几何知识解决问题。 11. **平面几何题**：在平面直角坐标系中，给定两点A和B，求线AB的中点到A或B的距离。 12. **空间几何题**：在空间直角坐标系中，给定一个四面体的三个顶点，求第四个顶点的位置。 13. **历史题**：关于勾股定理的历史，提出和证明这一定理的人物是谁？ 14. **文化题**：在不同的文化中，勾股定理是如何被认知和应用的？ 15. **实际应用题**：在建筑设计中，如何使用勾股定理来计算结构的稳定性？