典型题型
题型一：直接考查勾股定理
例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长
⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长
分析：直接应用勾股定理222a b c +=
解：⑴10AB =
⑵8BC =
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解
解：
⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB
⋅=
= D
B A C
⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =
⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得
60ab =1302S ab ∴==2cm
例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
2
1
E D
C
B
A
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解：作DE AB ⊥于E ，
Q 12∠=∠，90C ∠=︒
∴ 1.5DE CD ==
在BDE ∆中
90,2BED BE ∠=︒=Q
Rt ACD Rt AED ∆≅∆Q
AC AE ∴=
在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒
222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=
例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
答案：6
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
A
B C D E
分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m
在Rt ADE ∆
中，由勾股定理得10AD ==
答案：10m
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23
c =
解：①22221.52 6.25a b +=+=Q ，222.5 6.25c ==
∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=Q ，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状 解：此三角形是直角三角形
理由：222()264a b a b ab +=+-=Q ，且264c =
222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
证明：
D C
B A
AD Q 为中线，5BD DC ∴==cm
在ABD ∆中，22169AD BD +=Q ，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=
典型例题: 一、利用勾股定理解决实际问题 例题:水中芦苇 梯子滑动 1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少? 3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海? 二、与勾股定理有关的图形问题
1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt △ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类 推,第n个等腰直角三角形的斜边长是. 2.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别 为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=______ ___. 4.如图,△ABC中,∠C=90°, (1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S1+S2与S3 的关系; (2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究 S1+S2与S3的关系; (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S1+S2与S3
C A B D 勾股定理全章类题总结 类型一：等面积法求高 【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900,AC=7,BC=24，C D ⊥AB 于D. （1）求AB 的长； （2）求CD 的长. 类型二：面积问题 【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的 正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2 。 【练习1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形， （1)求图中格点四边形ABCD 的 面积和周长。 （2）求∠ADC 的度数。 【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥ BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______。 【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B 。 13 C 。 144 D 。 194 类型三：距离最短问题 【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧,分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米,且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂,向A 、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费 用是多少？ A B C D 7cm B D E B 169 25 A B C D L
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直 径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程． 【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 类型四：判断三角形的形状 【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2 +b 2 +c 2 +50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状. 【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2，2mn ，m 2+n 2 （m,n 为正整数，且m ＞n)， 判断△ABC 是否为直角三角形。 【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件 a 2＋ b 2＋ c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC 的形状. 【练习3】.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足 （a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2 )＝0，则它的形状为（ ）三角形 A.直角 B.等腰 C 。等腰直角 D 。等腰或直角 【练习4】三角形的三边长为 ab c b a 2)(2 2+=+，则这个三角形是（ ) 三角形 (A)等边（B ）钝角（C ） 直角（D)锐角 类型五：直接考查勾股定理 【例题】在Rt △ABC 中，∠C=90° (1）已知a=6， c=10,求b ； (2）已知a=40，b=9，求c;（3)已知c=25,b=15，求a.. 【练习】：如图∠B =∠ACD =90°， AD =13，CD =12, BC =3，则AB 的长是多少? 小河 A B 北 牧童 小屋
9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。 10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广. (1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。 （2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？ （3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”） 题型二：利用勾股定理测量长度 例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 跟踪练习： 1.如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ） A 、12米 B 、13米 C 、14米 D 、15米 3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A 、8米 B 、10米 C 、12米 D 、14米 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 跟踪练习： 1. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，F 点CD 边上一点，且DF=3CF ，求证：∠AEF=90° 题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例1. 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 跟踪练习： 1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，D 为AC 的中点，DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF 的长.
一、证明方法 二、面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3） 阴影部分是半圆． 2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面 积之间的关系． c b a A B b b b b c c c c a a a a b c c a a D A E B
3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、 S S S S S S 341234、，则+++=_____________。 5、如图17-3-7是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E 的面积_______. S 3 S 2 S 1
6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________. 7、如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD ＝2. 求四边形ABCD的面积. 8、如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D'处,BC交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积. 9.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC 上的高为（） 4 2 60° D B A A B C
《勾股定理》主要题型 题型一：直接考查勾股定理，已知两边求第三边 例：:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 解：∵∠ACD=90°AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2=52－32=16 ∴AB= 4 例、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？ 类型二：勾股定理的构造应用 例、如图，已知：，，于P. 求证：. 解：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. ∴ 又∵（已知），∴. 在中，根据勾股定理有，∴. 题型三：在数轴上表示无理数 例、在数轴上作出表示10的点． 解：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出． 解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆 规在数轴上作出长为10的线段即可．
题型四：利用勾股定理测量长度 例、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好 落到D点，并求水池的深度AC. 解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2， 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2. 故水深为2米. 题型五：利用勾股定理求线段的长 1、如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E， 将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm ∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42∴64－16x+x2=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm 例、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD． 解：∵BC=14，且BC=BD+DC， 设BD=x，则DC=14﹣x， 则在直角△ABD中，AB2=AD2+BD2，即132=AD2+x2， 在直角△ACD中，AC2=AD2+CD2，即152=AD2+（14﹣x）2，整理计算得x=5， ∴AD==12， 类型六：数学思想方法 （一）转化的思想方法 例、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F 分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 解：连接AD． ∵∠BAC=90°，AB=AC．又∵AD为△ABC的中线， ∴AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°． ∵∠EDA+∠ADF=90°．又∵∠CDF+∠ADF=90°．
“勾股定理”常考题型归纳 作者：车香陈飞 来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第03期
勾股定理是研究几何图形的基础知识，也是数形结合的典型代表.在历年中考中，勾股定理都是主角之一，为了方便同学们的学习与运用，现将有关的常考题型归纳如下.龟一、求线段的长度上27 側/ 如图1. 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8.则边BC的长为（）. A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不对 解：因为AD是高，所以LADB=∠ADC=90°，△ADB与△ADC都是直角三角形. 由勾股定理，得BD=√AB2-AD2=15，CD=√AC2-AD2=6. 所以BC=BD+CD=21.应选A. 二、求图形的周长 侧2 有一块直角三角形的绿地，量得其两直角边的长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为一直角边长的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 分析：由于两直角边长分别为6m，8m，于是可利用勾股定理求出其斜边的长.而题目只要求扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形的底边和腰，所以应分情况求解. 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m.由勾股定理得AB=10m.设扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD.分三种情况求：①如图2，当AB=AD=10m时，可得 DC=BC=6m，于是△ABD的周长为32m.②如图3，当BA=BD=1Om时，可得CD=4m，由勾股定理得AD=4√5m，于是△ABD的周长为（20+4√5）m.③如图4，当AB为底时，设 DA=DB=x m，则CD=（x-6）m.在Rt△ACD中由勾股定理得：x=25/3，于是△ABD的周长 3为80/3m. 综上可以知道，△ABD的周长为32m或（20+4√5）m或80/3m，即为所求. 三、拼图验证勾股定理
勾股定理知识点归纳和题型归类 勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。 勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。 勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。 勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。逆
定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方 c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角 三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。 2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式， 不可认为是唯一的。例如，若三角形三边长$a,b,c$满足 $a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。 3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜 边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。” 6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数， 即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾 股数。记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。可以用含字母的代数式表 示$n$组勾股数，例如丢番图发现的式子$m- n,2mn,m+n$（$m>n$为正整数）；毕达哥拉斯发现的式子
《勾股定理》培优训练 1、（1）如图1，AD 是△ABC 边BC 上的高．①求证：AB 2-AC 2 =BD 2-CD 2；②已知AB =8，AC =6，M 是AD 上的任意一点，求BM 2-CM 2的值； （2）如图2，P 是矩形ABCD 内的一点，若PA =3，PB =4，PC =5，求PD 的值． 2、如图，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且AD =2，BC =3，AB =12，P 是线段AB 上的一个动点，连接PD ，PC （1）设AP =x ，用二次根式表示线段PD ，PC 的长； （2）设y =PD +PC ，求当点P 在线段AB 上运动时，y 的最小值； （3）利用（2）的结论，试求代数式29x ++2(24)16x -+的最小值． C P D B A
3、如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在D'处． （1）AD′的长度是； （2）求证：AF+D'F=CD； （3）求△AFC的面积是多少？ 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M为AC上一点且AM=BC，过A点作射线AN⊥CA，A为垂足，若一动点P从A出发，沿AN运动，P点运动的速度为2cm/秒．（1）经过几秒△ABC与△PMA全等； （2）在（1）的条件下，AB与PM有何位置关系，并加以说明． （3）在（1）的条件下，设PM与AB的交点为D，若AD的长为4.8cm，求AB的长． 5、a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．
6、已知：如图以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则阴影部分的面积为 。 7、如图所示，以Rt △ABC 三边向外作三个半圆，则S 1、S 2、S 3之间的关系是 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则S 1、S 2、S 3之间的关系 9、已知，如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AE 是高，AB ＞AC ；（1）若AB=12，BC=10，AC=8，求DE （2）求证：AB 2-AC 2=2BC ×DE
勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出在任何一 个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 这一定理不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等众多领域都有重要意义。以下是一些勾股定理的 经典题型，这些题型可以帮助学生更好地理解和掌握勾股 定理的应用： 1. **证明题**：给出一个三角形，证明其中一条边是 斜边，另外两边是直角边。 2. **计算题**：给定一个直角三角形的两条直角边的 长度，求斜边的长度。 3. **反问题计算题**：给定一个直角三角形的斜边和 一条直角边的长度，求另一条直角边的长度。 4. **应用题**：一个房间的长是10米，宽是8米，求 房间对角线的长度。 5. **构造题**：用尺子和圆规，仅使用勾股定理，构 造一个特定面积的正方形。 6. **比例题**：如果一个直角三角形的两个锐角分别 是30度和60度，求三边的长度比。 7. **相似题**：两个直角三角形相似，已知一个三角 形的两个直角边分别是3米和4米，求另一个三角形的斜边 长度。
8. **代数题**：设直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c根据勾股定理列出方程，并解方程。 9. **逆定理题**：判断一个三角形的三边长是否满足勾股定理的逆定理，即如果三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 10. **综合题**：在一个复杂的几何问题中，综合运用勾股定理和其他几何知识解决问题。 11. **平面几何题**：在平面直角坐标系中，给定两点A和B，求线AB的中点到A或B的距离。 12. **空间几何题**：在空间直角坐标系中，给定一个四面体的三个顶点，求第四个顶点的位置。 13. **历史题**：关于勾股定理的历史，提出和证明这一定理的人物是谁？ 14. **文化题**：在不同的文化中，勾股定理是如何被认知和应用的？ 15. **实际应用题**：在建筑设计中，如何使用勾股定理来计算结构的稳定性？
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结 勾股定理复 勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。 勾股定理的证明常用拼图的方法。通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 常见的证明方法有以下三种： 1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。 2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。 3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。 勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。 勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足 a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。 勾股定理的实际应用有很多。例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯
典型题型 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒． ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴10AB = ⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２. ⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解： ⑴4AC , 2.4AC BC CD AB ⋅= = D B A C ⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S = ⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =130 2S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长 2 1 E D C B A 分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E , 12∠=∠,90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中 90,2BED BE ∠=︒=
Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴= 在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒ 222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴= 例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积 答案：6 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m A B C D E 分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m 在Rt ADE ∆中, 由勾股定理得10AD 答案：10m 题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23 c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能 一、本章知识内容归纳 1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 （1）重视勾股定理的叙述形式： ①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 （2）定理的作用： ①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ,2……的无理数线段的几何③作长为n的线段。（利用勾股定理探究长度为,3 作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。） 2、勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。 （2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。 （3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下： ①首先确定最大的边（如c）
②验证22b a +与2 c 是否具有相等关系： 若2 2 2 c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。 若2 2 2 c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。 补充知识： 当222c b a >+时，则是锐角三角形；当2 22c b a <+时，则是钝角三角形。 （4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。 勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2 2 2 2 的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,122 2++++n n n n n （1>n 的整数） ③ 柏拉图发现的：1,1,22 2+-n n n （1>n 的整数） 3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件： 勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。 （2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练. 二、本章解题技能归纳 1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质：
专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题： ,整理后可得: 8. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边, 然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 A . 2 B . 4 C. 8 D . 16 1 .如图（16）,大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 由此可得等量关系 2 .图中字母所代表的正方形的面积为 144的选项为（ ） 3.“赵爽弦图” 如图, 每一个直角三角形的两条直角 边的长分别是 3和6,则大正方形与小正方形的面积差是 （ ） D . 34 w \r il / s F 4 .如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形 ABCD 正方形EFGH 正方形MNKT 的面积分别为Si 、S 2、S5.若正方形EFGH 的边长为2,则 S i + S 2+ S B = 5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 S= 4 , S 2= 9, S 3= 8, Si = 10,贝V S =( ) A . 25 B. 31 C . 32 D . 40 ACB 90， AB 4，分别以 AC , BC 为直径作半圆，面积分别记为 S 1 , S 2, 7.如图，已知直角厶ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆, 向外作等腰直角三角形, 64,则正方形⑤的面积 是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形. 27 H ° E 5 A 6 .如图，已知在Rt A ABC 中, 则图中阴影部分的面积是
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么2 22 a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆ +=正方形正方形ABCD ，2 2 14() 2 ab b a c ⨯+-=，化简可证．
边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即2 22 a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一 组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10； 5,12,13 ；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1 n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221 n n n n n ++++（n 为正整数） 2222 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数
勾股定理常见题型 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222 a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一： 4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，22 14()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为22 1 422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222 ()2S a b a ab b =+=++ c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b
所以222 a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形， 2 112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∆中，90C ∠=︒ ，则c = b ，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转 化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边 的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<， 时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三 角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ， b ， c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和 时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a ，b ，c 为 a b c c b a E D C B A
勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ⨯+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∆中，90C ∠=︒ ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 7.勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理 222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，. 已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分B C 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC. 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如 图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ C B D A
勾股定理 1:勾股定理 2、勾股逆定理 3:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① 图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 2 2 2 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a b c 中, a ， b ，c 为正整数时，称a ， b ， c 为一组勾股数 方法 4S S 正方形EFGH &E 方形ABCD 4 -ab 2 (b a)2 2 c ，化简可证. 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面 积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 丄ab c 2 2 2 2ab c 2 2 2 大正方形面积为S (a b) a 2ab b 所以a 2 b 2 c 2 b a 方法三: S 弟形 2(a b)(a b) % 2S ADE S ABE 1 2 ab 2 ，化简得证 4:勾股数
②记住常见勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ; 8,15,17 ; 9,40,41 等 勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理 1. 已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。 已知：如图，/ B=Z D=90°，/ A=60° , AB=4 CD=2求：四边形 ABCD 勺面积。 ③ 用含字母的代数式表示n 组勾股数: 2 2 n 1,2n,n 1（ n 2, n 为正整数）； 2 2 2n 1,2n 2n,2n 2n 1（ n 为正整数） m 2 n 2 ,2 m n, m 2 2 n （ m n, m ，n 为正整数） 2、 3: 在 ABC 中，AB=13 AC=15高AD=12贝U BC 的长为多少? 4:已知如图，在△ ABC 中, Z C=6C °，AB=4^3，AC=4 AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长 5、如图，在 Rt △ ABC 中, Z ACB=90，CD!AB 于 D,设AB=c AC=b BC=a CD=h 丄丄丄 求证：a 2 b 2 h 2 6. 如 △ ABC AB=AC Z A=45,AC ABAC DE,CD=1BD （ ）