一、证明方法
二、面积
1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）
A.
S 1- S 2= S 3
B. S 1+ S 2= S 3
C. S 2+S 3< S 1
D. S 2- S 3=S 1
c b
a
A
B
b
b
b b
c
c c
c a
a
a
a
b c
c
a
a D
A
E
B
S 3
S 2
S 1
4、在直线l
上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、
S S S S S S 341234、，则+++=_____________。
5、如图17-3-7是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E 的面积_______.
6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________.
7、如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2. 求四边形ABCD 的面积.
8、如图,长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,设点D 落在D'处,BC 交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.
4260°D
C
B
A
9.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC ，则边AC 上
的高为（ ）
A. 2
2
3 B. 5
103
C. 5
53
D. 554
10、如图，四边形ABCD 中，AD ＝1cm ，BC ＝2cm ，AB ＝2cm ，CD ＝3cm ，且 ∠ABC ＝90度，求四边形ABCD 的面积
11、三角形ABC 中，AB=5，AC=3，BC 边上的中线AD=2，求三角形ABC 的面积？
三、在直角三角形中，求相关量
1在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则BC 的长为___________ 2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是_________ 3、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的__________.
4、在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=____________________ 5、一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为___________;
A B
C
6、斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是______________．
7、如图AB=BC=CD=DE=1,AB ⊥BC,AC ⊥CD,AD ⊥DE,则AE 的长为________
四、勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状
1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6
B. 2，3，4
C. 11，12，13
D. 8，15，17 2、若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶7
3、下面的三角形中：
①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；
②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5； ④△ABC 中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4、已知
25
12-++-y x x 与25102
+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为
三边的三角形的形状。
5、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222
a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC
的形状。
6、五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )
7、将勾股数3,4,5扩大到原来的2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出另外两组基本勾股数:________,________.
8、如图，在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),三角形O AB是直角三角形吗?
9、远航号海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道远航沿东北方向航行，你知道海天沿哪个方向航行吗？
五、利用列方程求线段的长（方程思想）
1、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为______________
2、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积是_____________.
3、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是________________.
4、如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为______________________________.
5、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
6、如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D 后直线越向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
7、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少米？
8、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．
9、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于多少？
10、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。
11、小明的叔叔家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为48平方米，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
12、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB 垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
六、折叠问题
七、勾股定理在非直角三角形中的应用
1、在直角三角形ABC中，角C=90度，AC=4，BC=3，在直角三角形ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，求出等腰三角形
的底边长。
2、已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为．
3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要__________元．
4、.如图，ΔABC中，AC＝12，∠B＝45°，∠A＝60°.
求ΔABC的面积.
5、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。
八、爬行距离最短问题
1、一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是
____________cm。
A
B
150°
30米
20米
12
45°
60°
C
A
2、如图,圆柱形容器高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为________cm.
3、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_________.
4、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米.
九、航海问题
1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
2、一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
(1) 此时轮船离开出发点多少km?
(2）若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?
3、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M 处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。
A
B
3、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已
知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的
时
间
为
多
少
秒
？
4、如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
D
B
C
A
东
北
30︒60︒B
A
C
M
D
典型例题: 一、利用勾股定理解决实际问题 例题:水中芦苇 梯子滑动 1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少? 3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海? 二、与勾股定理有关的图形问题
1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt △ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类 推,第n个等腰直角三角形的斜边长是. 2.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别 为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=______ ___. 4.如图,△ABC中,∠C=90°, (1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S1+S2与S3 的关系; (2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究 S1+S2与S3的关系; (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S1+S2与S3
勾股定理典型题归类 类型一：等面积法求高 【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。 （1）求AB 的长； （2）求CD 的长。 类型二：面积问题 【例题】 为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2 。 【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。（2）求∠ADC 的度数 【练2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______. 【练3】如图字母B 所代表的正方形的面积是 类型三：距离最短问题 【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ B 16925A B C D L
【例题】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程． 【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（ ） A 、3 B 、 C 、 D 、1 【练3】如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高 为20cm ，点B 到点C 的距离为5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点，需要爬行的最短距离是多少？ 类型四：判断三角形的形状 【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2 +50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。 【练1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2 (m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形. 小河 2
C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 2. 如图，以 Rt △ ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面 积之间的关系． 3、如图所示， 分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形， 其面积分别是 S 1、 S 2、 S 3，则它们之间的关系是（ A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 S 2 、证明方法 A c B 二、面积 1、求阴影部分面积： 阴影部分是半圆． 1） 阴影部分是正方形； （ 2） 阴影部分是长方形；（ 3） S 3 S 1
4、在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形 的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 S 1 、 S 2 、 S 3、S 4，则S 1 S 2 S 3 5、如图 17-3-7 是一株美丽的勾股树 ,其中所有的四边形都是正方形 , 所有的三角 形都是直角三角形 , 若正方形 A 、B 、C 、D 的面积分别为 2,5,1,2, 则最大的正方 形 E 的面积 ____ . 6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为 25 和 12，则第三个正方形的面积为 _________________ . 8、如图,长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,设点 D 落在 D'处,BC 交AD'于点 E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积 . S 4= 7、如图，∠ B ＝∠ D ＝ 90°，∠ A ＝ 60°，AB ＝4，CD ＝ 2. 求四边形 ABCD 的面积 .
BC 边上的中线 AD=2，求三角形 ABC 的面 积？ 1在 Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则 BC 的长为 2、已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长的平方是 3、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的 4、在 Rt △ABC 中，∠ C=90° ① _________________________ 若 a=5， b=12，则 c= ； ② __________________________ 若 a=15，c=25，则 b= ； ③ _________________________ 若 c=61，b=60，则 a= ； ④ ____________________________________________________ 若 a ∶b=3∶4，c=10则 Rt △ABC 的面积是= ______________________ 9. 如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个得到，可得△ ABC ，A 则边 AC 上 的高为( 3 2 A. 2 B. 54 5 3 5 C. 5 10、如图，四边形 ∠ABC ＝90 度， 求四边形 ABCD 的面积 D. ABCD 中， AD ＝1cm ，BC ＝2cm ，AB ＝2cm ，CD ＝3cm ，且
勾股定理全章复习 类型一：已知两边求第三边 例1：⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 变式练习：已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数_____时，这三条线段能围成一个直角三角形． 类型二：判断三角形形状 例1：下列线段不能组成直角三角形的是( )． A. B. C. D. 2、若三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足等式(a ＋b)2－c 2＝2ab ，则此三角形是______三角形． 变式练习1：判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()； 2、若边长为a 的正方形的面积等于长为b ＋c ，宽为b －c 的长方形的面积，则以a ，b ，c 为三边长的三角形是______三角形． 3、已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且a ＋b ＝7，ab ＝12，c ＝5，试判定△ABC 的形状． 类型三：勾股树及变形 例1：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。 6,8,10a b c ===3,2,1===c b a 43,1,45===c b a 6,3,2===c b a a b c ，，a b c a 43b c 3 422a m n =-22b m n =+2c mn =0m n >> A B C D 7cm
15题 变式练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等 腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2……按照此规律继续下去，则S 2018的值为( ) A ． (22)2015 B ．(22)2016 C ．(12)2015 D ．(12 )2016 类型四：勾股定理证明的应用 例1：如图1，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A S 1＝S 2 B S 1＜S 2 C S 1＞S 2 D 无法确定 变式练习：如图，Rt△ABC 中，AC =5，BC =12，分别以它的三边为直径向上作三个 半圆，则阴影部分面积为 ． 类型五：数轴表示数 例题1：在数轴上表示√17 变式练习：如图，数轴上有两个直角三角形Rt △ABO 、Rt △CDO ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是 。 A B C 图1
“勾股定理”常考题型归纳 作者：车香陈飞 来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第03期
勾股定理是研究几何图形的基础知识，也是数形结合的典型代表.在历年中考中，勾股定理都是主角之一，为了方便同学们的学习与运用，现将有关的常考题型归纳如下.龟一、求线段的长度上27 側/ 如图1. 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8.则边BC的长为（）. A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不对 解：因为AD是高，所以LADB=∠ADC=90°，△ADB与△ADC都是直角三角形. 由勾股定理，得BD=√AB2-AD2=15，CD=√AC2-AD2=6. 所以BC=BD+CD=21.应选A. 二、求图形的周长 侧2 有一块直角三角形的绿地，量得其两直角边的长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为一直角边长的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 分析：由于两直角边长分别为6m，8m，于是可利用勾股定理求出其斜边的长.而题目只要求扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形的底边和腰，所以应分情况求解. 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m.由勾股定理得AB=10m.设扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD.分三种情况求：①如图2，当AB=AD=10m时，可得 DC=BC=6m，于是△ABD的周长为32m.②如图3，当BA=BD=1Om时，可得CD=4m，由勾股定理得AD=4√5m，于是△ABD的周长为（20+4√5）m.③如图4，当AB为底时，设 DA=DB=x m，则CD=（x-6）m.在Rt△ACD中由勾股定理得：x=25/3，于是△ABD的周长 3为80/3m. 综上可以知道，△ABD的周长为32m或（20+4√5）m或80/3m，即为所求. 三、拼图验证勾股定理
《勾股定理》主要题型 题型一：直接考查勾股定理，已知两边求第三边 例：:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 解：∵∠ACD=90°AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2=52－32=16 ∴AB= 4 例、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？ 类型二：勾股定理的构造应用 例、如图，已知：，，于P. 求证：. 解：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. ∴ 又∵（已知），∴. 在中，根据勾股定理有，∴. 题型三：在数轴上表示无理数 例、在数轴上作出表示10的点． 解：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出． 解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆 规在数轴上作出长为10的线段即可．
题型四：利用勾股定理测量长度 例、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好 落到D点，并求水池的深度AC. 解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2， 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2. 故水深为2米. 题型五：利用勾股定理求线段的长 1、如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E， 将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm ∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42∴64－16x+x2=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm 例、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD． 解：∵BC=14，且BC=BD+DC， 设BD=x，则DC=14﹣x， 则在直角△ABD中，AB2=AD2+BD2，即132=AD2+x2， 在直角△ACD中，AC2=AD2+CD2，即152=AD2+（14﹣x）2，整理计算得x=5， ∴AD==12， 类型六：数学思想方法 （一）转化的思想方法 例、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F 分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 解：连接AD． ∵∠BAC=90°，AB=AC．又∵AD为△ABC的中线， ∴AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°． ∵∠EDA+∠ADF=90°．又∵∠CDF+∠ADF=90°．
典型题型 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒． ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴10AB = ⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２. ⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解： ⑴4AC , 2.4AC BC CD AB ⋅= = D B A C ⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S = ⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =130 2S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长 2 1 E D C B A 分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E , 12∠=∠,90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中 90,2BED BE ∠=︒=
Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴= 在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒ 222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴= 例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积 答案：6 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m A B C D E 分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m 在Rt ADE ∆中, 由勾股定理得10AD 答案：10m 题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23 c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状
一、证明方法 二、面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形； （3）阴影部分是半圆． 2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆 的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别 是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341 234、，则+++=_____________。 5、如图17-3-7是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E 的面积_______. 6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________. 7、如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2. 求四边形ABCD 的面积. 8、如图,长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,设点D 落在D'处,BC 交 AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积. 9.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC ，则 边AC 上的高为（ ） A. 22 3 B. 5103 C. 5 53 D. 554 10、如图，四边形ABCD 中，AD ＝1cm ，BC ＝2cm ，AB ＝2cm ，CD ＝3cm ， 且 ∠ABC ＝90度，求四边形ABCD 的面积 11、三角形ABC 中，AB=5，AC=3，BC 边上的中线AD=2， 求三角形ABC 的面 c b a A B b b b b c c c c a a a a b c c a a b D C A E B S 3 S 2 S 1 4 2 60° D C B A
勾股定理知识点归纳和题型归类 勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。 勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。 勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。 勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。逆
定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方 c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角 三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。 2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式， 不可认为是唯一的。例如，若三角形三边长$a,b,c$满足 $a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。 3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜 边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。” 6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数， 即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾 股数。记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。可以用含字母的代数式表 示$n$组勾股数，例如丢番图发现的式子$m- n,2mn,m+n$（$m>n$为正整数）；毕达哥拉斯发现的式子
勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出在任何一 个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 这一定理不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等众多领域都有重要意义。以下是一些勾股定理的 经典题型，这些题型可以帮助学生更好地理解和掌握勾股 定理的应用： 1. **证明题**：给出一个三角形，证明其中一条边是 斜边，另外两边是直角边。 2. **计算题**：给定一个直角三角形的两条直角边的 长度，求斜边的长度。 3. **反问题计算题**：给定一个直角三角形的斜边和 一条直角边的长度，求另一条直角边的长度。 4. **应用题**：一个房间的长是10米，宽是8米，求 房间对角线的长度。 5. **构造题**：用尺子和圆规，仅使用勾股定理，构 造一个特定面积的正方形。 6. **比例题**：如果一个直角三角形的两个锐角分别 是30度和60度，求三边的长度比。 7. **相似题**：两个直角三角形相似，已知一个三角 形的两个直角边分别是3米和4米，求另一个三角形的斜边 长度。
8. **代数题**：设直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c根据勾股定理列出方程，并解方程。 9. **逆定理题**：判断一个三角形的三边长是否满足勾股定理的逆定理，即如果三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 10. **综合题**：在一个复杂的几何问题中，综合运用勾股定理和其他几何知识解决问题。 11. **平面几何题**：在平面直角坐标系中，给定两点A和B，求线AB的中点到A或B的距离。 12. **空间几何题**：在空间直角坐标系中，给定一个四面体的三个顶点，求第四个顶点的位置。 13. **历史题**：关于勾股定理的历史，提出和证明这一定理的人物是谁？ 14. **文化题**：在不同的文化中，勾股定理是如何被认知和应用的？ 15. **实际应用题**：在建筑设计中，如何使用勾股定理来计算结构的稳定性？
勾股定理及常见题型分类 一、知识要点： 1.勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。 2.勾股定理的证明方法包括几何证明和代数证明，其中几何证明使用勾股树。 3.勾股定理的逆定理是指若一个三角形的三边满足勾股定理，则该三角形是直角三角形。 4.勾股定理常见题型包括勾股定理的应用、勾股定理的证明和勾股定理的逆定理。 二、典型题 题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积
1.如图所示，正方形A、B、C、D构成了一棵勾股树，求最大正方形E的面积。 2.如图所示，直线l上有三个正方形a、b、c，已知a、c 的边长分别为6和8，求b的面积。 3.如图所示，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，探索三个半圆的面积之间的关系。 4.如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是 S1+S2=S3. 5.如图所示，依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是4、5、6、7. 题型二：勾股定理与图形问题
1.如图所示，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二 个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第 三个等腰Rt△ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜 边长是n+1. 2.如图所示，求该四边形的面积。 3.如图所示，已知在△ABC中，∠A=45°，AC=2， AB=3+1，则边BC的长为3. 4.如图所示，某公司的大门为长方形ABCD，上部为以 AD为直径的半圆，已知AB=2.3m，BC=2m，卡车高2.5m， 宽1.6m，判断卡车是否能通过公司的大门，并说明理由。 5.如图所示，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。 题型三：已知两边求第三边
C D A B C F D E 1、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，求DE的长。 2、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E， （1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？ （2）DE与CE的位置关系 3、如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝ 13 2。 求证：△ABC为直角三角形 4、如图，直角三角形三条边的比是3:4:5. 求这个三角形三条边上的高的比. 5、如图，P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且 BQ=BP，连结CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． 6、已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，试 说明：△ABC是等腰三角形。 7、已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝ 1 4DC，判 断BE和EF的位置关系？并说明你的理由。
4cm 5cm 1、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是 ； 2、左边是一个正方形，则此正方形的面积是 ( ) A. 1cm 2 B. 3cm 2 C. 6cm 2 D. 9cm 2 3、一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬 到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是 . 4、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°， 且c 2 =2b 2，则这个三角形有一个锐角为 ； 5、如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE 都是等腰三角形，CD=8，BE=3，则AC 的长等于 ； 6、直角三角形两直角边长为6cm 和8cm, 7、旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，把绳子的下端拉开绳子下端刚好接触地面，旗杆的高度为 。 8、等腰三角形的腰长为10,底长为12,底边上的高为 ； 9、如图有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 的长等于 ； 10、梯子的底端离建筑物5m ，那么13m 长的梯子可以到达建筑物的高度是_______m. 11、已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km 12 、如图,图中字母 A 所代表的正方形面积是 。 13、以直角边为边长的两个正方形的面积为25cm 2 ，144cm 2 ，则其以斜边长为_______. 14、图中由一系列等腰直角三角形组成，序号依次为①、②、 ③、④、⑤……，第n 个等腰直角三角形的斜边长为_______。 15、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来， 红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米， 问这里水深是________m 。 16、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为 ； 17、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 ； 18、如图6，在矩形ABCD 中，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30cm 2 ，那么折叠的△AED 的面积为多少 19、如图5，P 是矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD 长为多少 20、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米。
勾股定理知识点归纳和题型归类 勾股定理作为数学中的一条基本定理，是数学中的重要知识点。它描述了直角三角形三条边之间的关系，充分利用了勾股定理可以解决很多与直角三角形相关的问题。下面将对勾股定理的知识点进行归纳，并对常见的勾股定理题型进行分类。 一、知识点归纳： 1.勾股定理的表述：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。 2.勾股定理的符号表示：对于直角三角形ABC，设斜边为c，两直角边分别为a和b，可以表示为：$a^2+b^2=c^2$。 3.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足$a^2+b^2=c^2$，其中a、b、c为三角形的边长，那么这个三角形一定是直角三角形。 4.勾股定理的证明方法：勾股定理有多种不同的证明方法，比如平方构造法和几何法。 5.勾股定理的推广应用：勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广应用到其他类型的几何形状中。 二、题型归类： 根据勾股定理的应用不同场景，常见的题型可以归类为以下几种：1.求边长问题： (1)已知两边求第三边：已知直角三角形两直角边的长度，求斜边的长度。
(2)已知一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求另一边的长度。 (3)已知斜边和一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求未知边的长度。 2.求角度问题： (1)已知两边求夹角：已知直角三角形两直角边的长度，求两直角边之间的夹角。 (2)已知斜边和一边求夹角：已知直角三角形一边和斜边的长度，求斜边与该边之间的夹角。 3.判断问题： (1)判断是否为直角三角形：已知三角形的三边长度，判断是否为直角三角形。 4.应用问题： (1)三角形的面积问题：已知直角三角形的两个直角边的长度，求其面积。 (2)其他几何问题：如斜边长为x的直角三角形，边的长度与斜边比为1：4，求边的长度。 以上是一些常见的勾股定理题型，通过不同的题目训练可以更好地掌握勾股定理的应用和解题思路。在解题的过程中，需要根据问题的具体要求，合理运用勾股定理的知识，灵活运用数学方法，进行推导和计算，以得到准确的结果。
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理 222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，. 已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分B C 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC. 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如 图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ C B D A
勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法： 方法1： 方法2： 方法3：
二：方程思想与勾股定理结合的题目 1.（2016春•宜春期末）一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A．米B．2米C．10米D．米 【考点】勾股定理的应用． 【分析】可设AB=x，则BC=2x，进而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可． 【解答】解：由题意可得，AC2=BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2=52，解得x=， 所以旗杆原来的高度为3x=5，故选D． 【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形． 2.（2016春•防城区期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF 比CF大1，则EF的长为（） A．5 B．6 C．3 D．4 【考点】勾股定理；平行线的性质． 【分析】由平行线的性质得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的长． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴∠A=∠1=50°， ∴∠A+∠B=50°+40°=90°，
∴∠C=90°， 设CF=x，则EF=x+1， 根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2， 即32+x2=（x+1）2， 解得：x=4， ∴EF=4+1=5， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 3.（2015春•蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据折叠的性质可得BE=ED，设AE=x，表示出BE=9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合， ∴BE=ED， 设AE=x，则ED=9﹣x，BE=9﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2， 即32+x2=（9﹣x）2， 解得x=4， ∴AE的长是4， ∴BE=9﹣4=5， 故选C． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键． 4.（2008秋•奎文区校级期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1.如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 4.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 5、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 类型四：利用勾股定理作长为的线段 6.作长为、、的线段。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积
【变式2】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE 与DE是否垂直?请说明。 经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 【变式1】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
勾股定理知识点及其十五种应用归纳梳理 知识点概括 一：直角三角形与勾股定理 直角三角形三边的性质： 1、 直角三角形的两个锐角互余 2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半 3、 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半 勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 二：勾股数 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数 1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）。注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数 应用1 勾股定理理解三角形 例题1 在⊙O 中，直径AB ＝15，弦DE ⊥AB 于点C ．若OC ：OB ＝3 ：5，则DE 的长为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15