人口增长预测模型
摘要
本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。
模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。
模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。
首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。
其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。
再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。
最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。
关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
§1、问题重述
一、背景知识：
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在
二、相关数据：
附件1 《国家人口发展战略研究报告》
附件2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明根据已有数据
三、要解决的问题：
1、试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附件2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
2、利用所建立模型的预测结果，参照附件1的相关叙述对反映中国人口增长特点的一系列指标如人口老龄化、人口抚养比等进行分析预测。
3、根据模型的计算结果，对未来人口发展高峰进行预测并针对中国人口的调控和管理进行分析。
§2、问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题，我们分析了题目以及附录1中所给的相关信息，考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立多个模型分别加以讨论。
一、从附件1中，我们看到过去一些专家对中国的总人口数做出了2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右的预测。因而，我们也可以先对总人口的增长趋势做出自己的预测与专家预测数据进行比较，对于预测所要用到的一些相关数据，我们作了相应的补充，由此我们建立了模型Ⅰ：阻滞增长模型。
二、模型Ⅰ只考虑了人口总数，对人口总数进行了预测分析。但实际中在对人口进行分析时，按年龄段分布的人口结构是非常重要的。在人口总数一定时，不同年龄段的人的生育率和死亡率是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。为了讨论不同年龄段的人口分布对人口增长的影响，我们依据附件2建立了模型Ⅱ：按年龄分布的Leslie模型。
三、由模型Ⅰ和模型Ⅱ的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由模型Ⅱ的计算结果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析。
§3、合理的假设
1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争i i s b ,不随时间而变化
2、超过90岁的妇女（老寿星）都按90岁年龄计算
3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变
4、不考虑移民对人口总数的影响
§4、名词解释与符号说明
一、名词解释
1、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。
2、更替水平——指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她们本身。一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。
3、人口抚养比——指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。通常用百分比表示。说明每 100 名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。根据劳动年龄人口的两种不同定义（ 15-59 岁人口或 15-64 岁人口），计算总抚养有两种方式
4、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。 促使人口老龄化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。
5、出生人口性别比——是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。 二、符号说明
15： m i n i ,2,1),0(= 2001年第i 年龄段的人口总数
16： )3,2,1(=i v i 3,2,1=i 时分别表示市、镇、乡的女孩出生率 17： )j (L j 时段具有劳动能力的人口 18： )j (ρ 社会的抚养比指数
19: k
总和生育率 20：
)(j K i j 时段i 年龄组中女性所占的百分比
§5、模型的建立与求解
模型Ⅰ：阻滞增长模型（Logistic 模型）[1] 一、模型的准备
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增
长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有：
0)0(,)(x x x x r dt
dx
== （1）
对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )
0,0()(>>-=s r sx
r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即
增长率0)(=m x r ，代入（2）式得m
x r
s =，于是（2）式为
)1()(m
x x r x r -
= （3）
将（3）代入方程（1）得：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
)0()
1(x x x x rx dt
dx
m （4）
解方程（4）可得：
rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0
（5）
二、模型的建立
为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库
（http://211.86.245.155/index.aspx ）上查到我国从1954年到2005年全国总人口的
数据如表1。
1、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab 编程（程序见附录1）得到相关的参数-0.0336,180.9871 ==r x m ，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：
9959.0)y y
()y
ˆy
(1R 51
i 2
i
5
1
i 2i i
2=---
=∑∑==
由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲
线：
t e
t x 0336.0.0)12
.609871.180(19871
.180)(--+=
（6）
根据曲线（6）我们可以对2010年（56=t ）、2020年（66=t ）、及2033年（79=t ） 进行预测得（单位：千万）：
6028.158)79(,5400.148)66(,6161.138)56(===x x x
结果分析：从附录1所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，
由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。因此我们再选择1963年作为初始年份对表1中的数据进行拟合。
2、 将1963年看成初始时刻即0=t ，以2005年为32=t 作为终时刻。运用Matlab 编程（程序见附录2）得到相关的参数0.0484 ,151.4513 ==r x m ，可以算出可决系数9994.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：
t
e t x 0484.0)11
.694513.151(14513
.151)(--+=
（7）
根据曲线（7）我们可以对2010年（47=t ）、2020年（57=t ）、及2033年（70=t ） 进行预测得（单位：千万）：
145.5908 )70(,140.8168)57(,134.9190 )47(===x x x
结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布（当然均值与方差可能不同）因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。
3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab 编程（程序见附录3）得到相关的参数0.0477 ,153.5351 ==r x m ，可以算出可决系数9987.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的第三条拟合曲线：
t
e t x 0477.0)1705
.985351.153(15351
.153)(--+= （8）
根据曲线（7）我们可以对2010年（30=t ）、2020年（40=t ）、及2033年（53=t ） 进行预测得（单位：千万）：
147.0172 )53(,141.8440 )40(,135.5357 )30(===x x x
结果分析：这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。所以我们的结果应是比较可信的。
我们分别根据拟合曲线（6）、（7）、（8）对各年份中国总人口进行预测得到结果如表2：
由上表可以看出：用拟合曲线（6）预测得到的数据比较大，在2024年总人口就已经超过了151.9662千万，而且一直以比较快的速度增长到2048年达到了166.7683千万。用拟合曲线（7）预测得到的数据偏小，到2048年人口只有148.558千万。相比较而言用拟合曲线（8）预测的数据比较接近附件1中的预测。画出图形如图1：
图1：对各年份全国总人口数的预测
模型Ⅱ：按年龄分布的Leslie 模型[2] 一、模型的准备
将人口按年龄大小等间隔地划分成m 个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为 2,1,0=t .设在时间段t 第i 年龄组的人口总数为m i t n i ,2,1),(=，定义向量
T m t n t n t n t n )](),(),([)(21 =，模型要研究的是女性的人口分布)(t n 随t 的变化规律，从而
进一步研究总人口数等指标的变化规律。
设第i 年龄组的生育率为i b ，即i b 是单位时间第i 年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i 年龄组的死亡率为i d ，即i d 是单位时间第i 年龄组女性死亡人数与总人数之比，i i d s -=1称为存活率。设i b 、i s 不随时间t 变化，根据i b 、i s 和)(t n i 的定义写出)(t n i 与)1(+t n i 应满足关系：
⎪⎩⎪⎨⎧
-==+=++=∑1
,,2,1),()1()
()1(11
m i t n s t n t n b t n i i i m
i i i i （9） 在（9）式中我们假设i b 中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t 以后出生而活不
到1t +的那些婴儿。若记矩阵
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000000121121m m m s s s b b b b L
（10） 则（9）式可写作
)
()1(t Ln t n =+ （11）
当L 、)0(n 已知时，对任意的 ,2,1=t 有
)0()(n L t n t = （12）
若（10）中的元素满足
（ⅰ）1,,2,1,0-=>m i s i ；
（ⅱ）m i b i ,2,1,0 =≥，且至少一个0>i b 。
则矩阵L 称为Leslie 矩阵。
只要我们求出Leslie 矩阵L 并根据人口分布的初始向量)0(n ，我们就可以求出t 时段的人口分布向量)(t n 。
二、模型的建立
我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据附件2中所给数据，以一岁为间距对女性分组。
(1) 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量)90,,2,1,0),
0(+= i n i （： 附件2给了2001年中国人口抽样调查数据，提取为表3
根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：
6283.0,1297.0,242.0===x z s p p p
我们由表1数据知2001年全国总人口627.1270=Z （单位：千万），因此可以算出2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：千万）：
885.300=⨯=z p z s s 、548.160=⨯=z p z z z 、194.800=⨯=z p z x x 根据附件2给的2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001年城市、镇、乡处在第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段的女性的总数分别为)0(,)0(,)0(321i i i n n n 。以城市为例，设2001年城市中处在i 年龄段妇女占城市总人口比率分别为i P ，则s i i Z P n ⨯=)0(1（镇、乡类似）。于是可以算出2001年处在第
)90,,2,1,0(+= i i 年龄段上的妇女总人数
)0()0()0()0(321i i i i n n n n ++=（见附录7）。
（2）计算处在第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段的每个女性平均生育女儿的人数)90,,2,1,0(+= i b i 。附件2中分别给出了2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁—49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）)90,,1,0(+= i i （15i 时都为0），则
可以分别算出2001年处在第)90,,1,0(+= i i 年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：
)49,,16,15(,)49,,16,15(,)49,,16,15(321 ===i H i H i H i i i 。
以城市为例计算)49,,16,15(1 =i H i ：`
)49,,16,15()
0(*)49,,16,15(111 ===i n b i H i i i （镇、乡类似）。
附件2中还分别给出了2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比321,,c c c （女
100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率)3,2,1(100=+=
i c c v i i
i 。由此 就可以求出2001年处在第)49,,15( =i i 年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：
)49,,15()0(3
32211 =⨯+⨯+⨯=i n v H v H v H b i i i i i ，
由于总和生育率：389.1b S 49
15i i ==∑= 经计算得到总和生育率小于 1.8，误差很大，我们
对生育率进行修正：i 1i b *1)S)/S v 8.1((b +-⨯=具体计算结果见附录7。 (3) 计算第i 年龄段的女性总存活率率)90,,2,1,0(+= i d i ：
记第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段的女性的死亡率为i d 。附件2中分别给出了城市、镇、乡处在第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段的女性死亡率)90,,2,1,0(,,321+= i d d d i i i ，则处在第i 年龄段的女性总死亡率)90,,2,1,0(+= i d i 为：
)90,,2,1,0()
0()
0()0()0(332211+=⨯+⨯+⨯=
i n n b n b n d d i i i i i i i i ，
于是总存活率为：i i d s -=1见附录4。用EXCEL 对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB 软件进行编程，计算出Leslie 矩阵，
于是可以用上面(12)式
)0()(n L t n t =
进行预测。
三、对模型结果作进一步讨论
我国人口发展形势复杂，目前人口的低生育水平面临着严峻的挑战，下面我们分别从如下方面分析预测我国人口发展将要面临的复杂局面。 （1）人口总量与劳动力人口的发展变化
根据考虑种群结构的Leslie 离散模型，利用2001年的数据建立人口预测模型。 通过分析，计算出我国人口的预测值，对应作出的我国劳动年龄人口与总人口的折线图如下：
图2 我国全国总人口与劳动年龄人口折线图
根据图2 可以知道从2001年到2023年预测我国全国总人口是呈现上升趋势的，随后几年呈现缓慢下降的趋势。总人口在2010年、2020年分别达到14.2609亿人和14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人，在2033年达到14.7455亿人。把预测数值与附件2中所提供的预测数值进行比较，发现我们预测的未来人口的高峰期提前10年。这一方面可能由我国男女的出生性别比例中女性所占的比例较小的原因；另一方面，我们计算出人口更替率仅为1.42（此为5年的均值），而中外专家对我国90年代中期以来的人口更替率的计算结果为1.8（见附录10），两者相差甚远，这说明附录---提供的数据可能不够真实，从而导致了我国人口峰值的预测年份提前。
根据图2，我国劳动年龄人口庞大，15-64岁的劳动年龄人口2010年为10.4421亿人，2013年将达到高峰10.4852亿人，随后劳动年龄人口呈现下降的趋势。由此，可知在相当长的时间内，我国不缺劳动力，但需要加强劳动力结构性的调整，同时由于我国计划生育等宏观政策的影响，近几年总和生育率已降低到1.8，并将稳定在1.8的水平上，所以经过较长的时期，我国的劳动年龄人口将有所降低。
（2）人口老龄化与人口抚养比
通过计算分析人口结构持续老龄化，运用Leslie离散模型，通过MATLAB软件计算出我国60岁以上与65岁以上的老龄人口数，做出散点图如下：
图3 我国老年人口预测值的折线图
从图3可以直观的看出我国老龄人口在持续增加，说明我国老龄化进程在加速。同
时做出未来我国老龄人口占总人口的比例的折线图如下：
图4 我国老龄人口占总人口预测比例的折线图
从图3，图4得到：2001年我国60岁以上老年人口已达到1.5538亿人，占总人口的11.5693%。到2020年，60岁以上老年人口将达到2.907亿人比重为19.443%；65岁以上老年人口将达到2.0628亿人比重从2000年的8.009%增长到13.797%。预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%。综上可知我国老龄人口数量大，老龄化速度快，高龄趋势明显，加上我国人口基数大，所以我国是个老龄人口多的国家。
老龄化也在一定程度上导致了我国人口抚养比的不断增高。下面计算人口抚养比指数：
设21l ,,l 与2'1'l l 分别为男性与女性中具有劳动能力的年龄组，则j 时段具有劳动能力的人口为
∑∑==+-=2
'1
'21
l l i i l l i i )j ,i ((j)N K )j ,i (N )]j (K 1[L(j),
而)j (L )j (N -为j 时段由社会抚养的失去劳动能力与老人或尚未具有劳动能力的为成年
人的数量。定义社会的抚养比指数L(j)
L(j)
N(j))j (-=ρ，即平均每一劳动者抚养的无劳动
能力的人数。我们以0—14岁为没有劳动能力的儿童，以15-64岁为具有劳动能力的年龄劳动人口，以65岁及以上的为老龄人口。首先，通过MATLAB 编程计算出2002到2051年0-14岁、15-64岁、65岁及5以上三段的人数；其次，根据人口抚养比的含义，计算出每一年份的人口抚养比得出人口抚养比。得出的每年人口抚养比的折线图如下：
图5 预测人口抚养比
从图5 可以看出预测的以后各年的人口抚养比呈增长的趋势。人口抚养比比较高主要原因有：每年新生婴儿数目在增加；老龄化的加剧，老龄人口数量大；15-64岁年龄段中的人的残疾、生病而无劳动能力等。 （3）人口调控与管理
现阶段我国生育水平的不稳定性，根据建立的Leslie 模型，运用MATLAB 软件计算出2000年到2050年我国育龄妇女（15-49岁）人口，并做出的散点图如下：
年份
百万人
图6 未来我国育龄妇女（15-49岁）人口预测
从图6中可以看出我国育龄妇女（15-49岁）人口在2010年左右到达到高峰，
年份
百万人
图7 未来我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数预测
从图7我们发现，我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数在2012年将达到高峰，到2025年左右有进入一个小低谷，然后再2037年左右有达到一个小高峰。第二个我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数小高峰的原因在于在2012年人口出生高峰期的女婴到2037年时达到生育旺盛期，因此，在2025年生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数达到低谷时有回升的形势。
§6、误差分析与灵敏度分析
一、模型的残差分析：
1、运用Matlab 软件计算出用1954年到2005年的总人口数进行拟合产生的残差,再利用EXCEL 作出残差的散点图如下：
图8 残差分析
从图8可以看出残差在坐标轴0x 上下波动，但是，不是呈现正态分布，并且残差绝对值之和为57.9992，是比较大，因此拟合的效果不太好。
2、利用1963年到2005年的总人口数，根据Logistic 模型的形式，用Matlab 软件进行拟合，并求出残差序列，再利用EXCEL 进行处理，并作出残差散点图如下：
图9 残差分析图
通过图9，可以看出残差值大致分布在坐标轴x的上下，呈现对称分布，又有Matlab 软件计算出拟合的残差绝对值之和为27.8046，因此效果较好。
3、利用1980年到2005年的人口总数居，同样运用Matlab、EXCEL软件进行分析、处理，作出散点图如下：
图10 残差分析图
通过Matlab软件计算，得出拟合的残差绝对值之和为10.1699，从图10可以看出，图形基本关于坐标轴0
x 对称，所以你和效果比较好。
二、灵敏度分析：
1、在不同的总合生育率k下按照前面的方法分别计算从2001年到2050年全国人口总数的预测值（程序见附录6），并画出图形如图11
年份
千万人
图11：在不同的k 值下对各年份全国总人口数的预测
由图11可以看出当k 值很小时人口增长比较缓慢，达到峰值后人口数量很快下降出现严重负增长；当k 值很大时人口增长速度很快，达到峰值后下降的速度缓慢，在此情况下人口数量急剧膨胀。只有当k 值适中时，总人口增长才比较稳定。
2、再在不同的总和生育率k 下按照前面的方法分别计算从2001年到2050年全国老龄化变化趋势（程序见附录6），并画出图形如图12
年份
老龄化指数
图12：在不同的k 值下对各年份老龄化变化趋势
由图12可以看出k 值越小，老龄化增大的速度越快；k 值越大老龄化指数增长平缓年龄结构稳定，有利于社会发展。
由以上分析可知国家在制定人口政策时要多方面考虑，如果只看重对人口总数的控制可能导致社会老龄化严重、劳动力不足这显然是不利于社会经济发展的；相反如果为
了防止社会老龄化加快而放任人口的增长，也会导致社会人口过多对资源和环境带来巨大压力。因此只有掌握好一个“平衡点”正确制定政策才能使国民经济持续增长，人民生活水平不断提高。
§7、模型的评价与推广
一、模型的优点：
1、在用模型Ⅰ对各年全国人口总数预测时结合实际情况，分别用不同时间段的数据拟合确定了三个预测函数。并对三个函数预测的数据进行了对比分析，使模型的计算结果更加准确。
2、利用EXCEL 软件对数据进行处理并作出各种平面图，简便，直观、快捷；
3、运用多种数学软件进行计算，取长补短，使计算结果更加准确;
4、在模型Ⅱ中我们充分考虑到不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，采用leslie 模型，建立年龄结构的离散模型，并通过合理假设，在时间跨度不大的前提下，对人口数量仅此进行了预测，得到人口数量变化趋势图2与<<国家人口发展战略研究：人口发展预测>>课题中未来我国总人口，劳动人口及人口扶养比预测 及未来我国人口老龄化预测趋势图基本一致。因为原始数据得到的人口总和生育率跟实际情况不符，我们对此进行了合理修正，使预测更为准确。在模型Ⅰ中我们还进行了参差分析，在模型Ⅱ中我们对不同的平均妇女生育胎数下人口总数及老龄化趋势进行了分析，得到适合平均生育胎数的最佳值。 二、模型的缺点：
在模型假设中我们i b 及i p 不随时段的变迁而改变这一理想状态下，但出生率及死亡率会随时间的变化而有所该变，本模型没有建立i b 与死亡率随时间变化的动态模型，因而存在一定的误差； 三、模型的改进：
随着人民的生活水平的提高和医疗卫生的改善，各年龄的死亡率不断下降，存活率不断提高。因此我们可以对Leslie 模型进行进一步改变：
记j 时段i 年龄组中女性所占的百分比为)(j K i
，并设为育龄女性的年龄组，则j 时
段新生儿为
∑=+)
,()()()1,0(j i N j K j b j N i i
m
i j i N s j i N i ,,1),
,1()1,(1 =-=+-
我们引入控制变量),(j i h ，使得 )
,(*)(j i h j b i β=
∑=2
1
),(i i i j i h =1，这里151
=i
，49=j i ，),(j i h 称为女性生育模式，我们将lestie 矩阵变
成：
j
j N j B j A N *)]()([1+=+
其中
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0)j (s 000)j (s 00
)(1m 0 j A
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣⎡=000000)()(00)(''2
1
j b j b j B i i
)(),()()('
j K j i h j j b i i β=
在一定时期内)(j s i （这里j 从0到90），β为平均生育胎数，),(j i h 和)(j K i 可视为与j 无关的常数，我们可以通过控制结婚年龄和生育两胎间的年龄差来求),(j i h 的最佳值，从而达到控制人口数量和年龄结构的目的。 四、模型的推广：
本文首先不考虑年龄结构对人口增长的影响，建立Logistic 人口预测模型；然后，逐步改进，考虑年龄结构对人口增长的影响，建立Leslie 模型，对人口增长进行预测，这种由简到繁，逐步加深的思路，可以应用到较复杂问题的处理上。
参考文献
[1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:.2003年8月第三版； [2] 姜启源.数学模型[M].北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版； [3] 于洪彦.Excel 统计分析与决策[M].北京:高等教育出版社.2006年4月； [4] 胡守信,李柏年.基于MATLAB 的数学实验[M].北京:科学出版社.2004年6月； [5] 扬启帆,康旭升,等.数学建模[M].北京: 高等教育出版社.2006年5月； [6] 于学军.《中国人口科学》2000年第2期,时间:2000-4-6,中国人口信息网.
附录
附录1：
t=0:51; %令1954年为初始年
x=[60.2 61.5 62.8 64.6 66 67.2 66.2 65.9 67.3 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];
[c,d]=solve('c/(1+(c/60.2-1)*exp(-5*d))=67.2','c/(1+(c/60.2-1)*exp(-20*d))=90.9','c','d') ;%求初始参数
b0=[ 241.9598, 0.02985]; %初始参数值
fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/60.2-1).*exp(-b(2).*t))','b','t');
[b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)
y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t)); %非线性拟合的方程
plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图
R1=r1.^2;
R2=(x-mean(x)).^2;
R=1-R1/R2 %可决系数
W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和
附录2：
t=46:3:94
y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t))%对总人口进行预测
t=0:42; %令1963年为初始年
x=[69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];
[c,d]=solve('c/(1+(c/69.1-1)*exp(-5*d))=78.5','c/(1+(c/69.1-1)*exp(-20*d))=103.008','c','d '); %求初始参数
b0=[ 134.368,0.056610]; %初始参数值
fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/69.1-1).*exp(-b(2).*t))','b','t');
[b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)
y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t)); %非线性拟合的方程
plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图
R1=r1.^2;
R2=(x-mean(x)).^2;
R=1-R1/R2 %可决系数
W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和
附录3：
t=37:3:85
y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t))%对总人口进行预测
t=0:25; %令1980年为初始年
x=[98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];
[c,d]=solve('c/(1+(c/98.705-1)*exp(-5*d))=105.851','c/(1+(c/98.705-1)*exp(-8*d))=111.026',
'c','d'); %求初始参数
b0=[ 109.8216, - 0.19157]; %初始参数值
fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/98.705-1).*exp(-b(2).*t))','b','t');
[b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)
y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t)); %非线性拟合的方程
plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图
R1=r1.^2;
R2=(x-mean(x)).^2;
R=1-R1/R2 %可决系数
W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和
t=20:3:53
y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t))%对总人口进行预测
附录4：
计算0-14岁，15-64岁，65岁及以上的程序、绘画出未来我国育龄人数的程序
N=[0.680891272 0.58459172 0.584558207 0.692220217 0.72411021 0.775536041 0.847368918
0.834418703 0.917922042 0.951466819 1.070015717 1.249256063 1.199263988 1.202198525
1.274218917 1.111050839 0.992314425 0.893797544 0.874657347 0.984356877 0.859576778 0.85215346
0.90864418 0.897944807 0.880539323 1.019086724 1.04218667 1.114823731 1.192867199
1.203566572 1.272973995 1.328513576 1.254992403 1.333819445 1.103186123 1.22470307
1.220643442 1.236736319 1.390726415 0.980765111 0.646684069 0.785660623 0.701627592
0.910420112 0.960157646 0.914258713 0.953980568 0.927429956 0.851007759 0.825482359
0.807942823 0.736552002 0.69043204 0.60580295 0.615510624 0.554785663 0.50370135
0.480051762 0.468722817 0.455364059 0.484386541 0.447344681 0.420164498 0.44238033
0.426529091 0.428183875 0.39132953 0.380409129 0.385339967 0.327924574 0.334697711
0.307330012 0.262864834 0.270663183 0.235872165 0.208725495 0.212001549 0.178456772
0.164260316 0.149842833 0.138734916 0.109899949 0.097358277 0.0765762 0.0638135
0.055794123 0.049396016 0.0382881 0.033544777 0.023870616 0.070211606];
N0=N'; %第0年（2001年）的女性个年龄段的人口数
A=eye(90);
b=[0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948
0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626
0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067
0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339
0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027
0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415
0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906
0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435
0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961
0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446
0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.948302346
0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906
0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701];
for i=1:90
A(i,:)=A(i,:)*b(1,i);
end
A;
c=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05 0.000322169
0.000358246 0.001004604 0.004683367 0.011011165 0.033616492 0.057875394 0.074871727
0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733
0.023252532 0.018343847 0.014701275 0.011039961 0.007117557 0.005094843 0.00359291
0.002514858 0.002484781 0.001764709 0.001471644 0.000676953 0.000265476 0.000401474
0.000408779 0.000110447 0.000192401 0.000389421 0.000224069 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
c1=1.295274487*c;
M=sum(c1'); %总合生育率
d=zeros(91,1);
B=[c1;A];
L=[B,d]; %构造的lestie矩阵
for i=0:49
H=L^i*N0; %第i年人口总数
Q(1,i+1)=sum(H([16:50],:)); %第i年15-49育龄妇女总数
P(1,i+1)=sum(H([21:30],:)); %第i年20-29生育旺盛期妇女总数
end
x=2001:2050;
y1=Q*10;
y2=P*10;
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 率负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 : 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型 Leslie人口模型BP神经网络 ；
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1．- 2．假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 3．假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 4．不考虑战争瘟疫等突发事件的影响 5．在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 6．假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 () a t--------------------第t时间区间内第i个年龄段人口总数 i c t--------------------第t时间区间内第i个年龄段人口总数占总人口的比() i 例 ·
Leslie人口模型 模型三、Leslie人口模型 在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。 在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。 k,0,1,2xk()记时段k第i个年龄组的女性人口总数为， i h，且该年龄组的女性生育率(该年龄组的女性在1个时段内 xkbxk(1)()，,,ii1i,1 bsd,,1的平均生育数量)为，该年龄组的死亡率为d，则相应的存活率为， iiii sd,,1在稳定的环境下存活率与生育率基本上是不随时间的变化而改变biii sd,,1b的，，因此我们将存活率与生育率看作是常数。则人口的变化情况满iii 足以下条件: 第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人口数之和，即 h (6) xkbxk(1)()，,,ii1i,1 时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即 xksxkih(1)(),1,2,，,, (7) iii，1
记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为 T (8) Xkxkxkxk()((),(),,()),129 XkLXk(1)()，, 综合上述(6)(7)(8)得: 其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为 bbbb,,1289,,s000,,1,, L,000s,,2,,0,, ,,000s8,, X(0)当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况: kXkLXk()(0),0,1,2,,, (9) 稳定状况分析: 01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足: sbiii b,0，且至少有一个 xksxkih(1)(),1,2,，,,iiii，1 定理1:L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为 ,,11 ssssssn*T11212 ,X(1,,,,)n2,,,111 k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足， ,,,,1kk 定理2:若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11k
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
摘要 人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数、高校报名人数逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的“拐点”时刻即将到来。这些问题都会对我国的经济和社会健康、可持续发展等产生一系列影响。人口问题日益受到人们的重视。 对于问题一，我们通过多个渠道收集数据，利用SAS和Matlab等软件进行计算分析，我们得到了我国上世纪50年代至今人口和经济的主要变化如下： 对于问题二，这是典型的人口模型，我们建立了4个相应的数学模型，选用了基于以往人口数据的一次线性回归，灰色、时间序列预测，逻辑斯蒂模型和基于年龄结构并生育率、死亡率随时间Leslie人口模型。进行全方位的深刻讨论，在本文假设的条件下，符合中国人口特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高等，对中国的人口未来长期发展状况进行了科学性的预测；通过权重关系，建立起了组合模型，特别地在权重问题上，采用了熵权法分配权重，思路巧妙，提高了预测的精确度；建立BP神经网络模型，无需进行模型假设，同时能利用模型自身对复杂的非线性曲线进行拟核，利用拟核函数对人口增长趋势作出了合的预测。本文的模型具有很好的推广性，而且在其它领域发挥很好的效果。 在对中国的人口未来长期发展状况进行了科学性的预测后，我们分析得到计划生育新政策。。。。。。。。。。。。 关键词：微分方程模型；Leslie人口模型；曲线拟合；灰色序列预测
中 国 人 口 预 测 模 型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建 立Leslie 人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP 神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归 灰色序列预测 逻辑斯蒂模型 Leslie 人口模型 BP 神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1．假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2．假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3．不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4．在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5．假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人 口的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
基于Leslie模型中国未来人口策略模拟研究 基于Leslie模型中国未来人口策略模拟研究 一、引言 中国是世界上人口最多的国家之一，人口问题一直是中国政府关注的重点。为了预测未来的人口变化趋势以及制定相应的人口政策，研究人口模型成为必要的手段之一。Leslie模型是 一种经典的人口模型，通过构建各年龄组的人口转移率矩阵，可以预测未来人口的变化。本文旨在基于Leslie模型模拟研 究中国未来人口的变化，并提出相应的人口策略。 二、Leslie模型简介 Leslie模型是由英国统计学家Patrick G. Leslie于1945年 提出的，它是一种离散的人口模型。该模型将人口划分为不同的年龄组，以年龄为单位进行预测。 Leslie模型的核心是矩阵运算，在矩阵中，每一行代表 不同年龄组的人口数量，每一列代表不同年龄组之间的迁移率。通过计算不同年龄组之间的人口迁移矩阵与初始人口矩阵的乘积，可以得到下一年度的人口分布。通过迭代运算，可以预测未来的人口变化。 三、中国未来人口策略模拟研究 1. 数据收集和构建 为了进行中国未来人口策略模拟研究，首先需要收集相关的人口数据。我们可以利用中国统计年鉴的数据来获取中国各年龄组的人口数量和迁移率。根据收集到的数据，构建初始的人口矩阵。 2. 模型参数设置 在进行Leslie模型的模拟研究时，需要设置一些参数。参数
的设定需要考虑到中国的实际情况和政策因素。例如，考虑到计划生育政策的实施，可以设置适当的生育率和死亡率等。 3. 模拟实验和结果分析 在获得初始人口矩阵和模型参数后，可以进行模拟实验。通过对人口矩阵进行一系列迭代运算，可以得到未来人口的预测结果。同时，还可以通过改变不同参数的设定，模拟不同的人口政策对未来人口的影响。 根据模拟结果，可以进行相关的结果分析。例如，可以分析未来人口的年龄结构变化、人口增长速度以及人口总量等指标的趋势。分析结果可以为政府制定人口政策提供参考依据。 四、结论与展望 本研究基于Leslie模型，对中国未来人口进行模拟，通过构建人口转移率矩阵，预测了未来人口的变化。根据实验结果，可以得出一些结论和建议。 首先，中国未来人口将呈现老龄化的趋势。随着生育率的下降和医疗保健水平的提高，中国人口将面临老龄化的挑战，需要加强养老服务和保障体系的建设。 其次，通过调整生育率和死亡率等参数，可以有效控制未来人口的增长速度。政府可以灵活调整相关政策，以实现人口数量的合理控制。 最后，本研究还存在一些限制，例如未考虑到迁移对人口变化的影响，未来研究可以进一步完善和拓展该模型。 总而言之，基于Leslie模型的中国未来人口策略模拟研究是一项重要的研究工作，可以为政府的人口政策制定提供科学依据。未来，我们需要进一步深入研究人口模型，提升模拟结果的准确性和可靠性，为中国的人口发展提供更好的指导
基于Leslie模型的人口增长预测与研究 随着社会的发展，人类生活水平的不断提高，人口数量在不断的增长。由于地球的资源有限，随着人口的增加，人与人的矛盾日渐突出，人口问题已成为当今世界最备关注的问题之一，当然人口增长规律的探究以及对人口总量的预测在一个国家定制长远的发展规划上面有着非常重要的价值。 标签：人口；人口模型；人口增长；Leslie模型分析 引言 人口增长模型是人口发展过程的定量推测，需要推测出在未来的人口增长趋势。通过对Leslie人口模型的更细的结构化，再通过历年的统计数据可以拟合求出未来的人口总数据、人口的性别比例、年龄比例和城镇农村的城乡构成，还有未来人口中劳动力比例人们的抚养水平及老龄化比例，从而可以指定政策来进行宏观调控。决定人口增长的要素为出生率、死亡率和上一年的人口数，但人口分布，人口素质，宏观政策和人口结构（如：年龄结构，性别比例等）等众多因素能够影响出生率与死亡率的波动，从而从根本上影响人口的增长。由于对世界人口的研究，每个时间段的世界人口没有人口的流动，故可以认为世界人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说，计算人口中数时没有迁入迁出这个因素。所以某时刻人口总量=人口基数+新生人口数-死亡人口数。随着社会的不断发展，人们的生活质量得到了不断地提高，人口增长模型也不断地发生着改变。从最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型，世界的人口增长随着社会的发展在各个时期都发生着不一样的变化。有些时候人口增长模型也会因为各国的国情而发上变化。 1 人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus，1766--1834） 1.1 模型假设 时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r。以N（t）表示t时刻某地区（或国家）的人口数，假设人口总数N（t）足够大，可以视做连续函数处理，且N（t）关于t连续可微。 1.2 模型建立及求解 显然此时人口数随时间呈指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus 模型）。 1.3 模型检验 19世纪以前对于欧洲一些地区的人口统计数据与人口指数增长模型可以很好的契合。19世纪以后的许多国家，模型出现了很大的误差。
基于Leslie矩阵模型的人口数量的预测 摘要：本文主要研究了“全面二孩”政策下我国未来人口数量的变化，通过Leslie 矩阵预测模型，预测我国未来30年的人口数量的变化。得到2015-2050年我国人口总数呈现先上升后缓慢下降的结果。 关键词：Leslie矩阵预测模型；中国人口预测 对于人口预测问题，人口的变化除了与出生率、死亡率密切相关之外,还和性别比例、年龄结构有巨大联系。下面结合出生率、死亡率、性别比例和年龄结构对接下来30年的人口数量的变化进行分析，并将预测出的中国未来30年的人口数量。 Leslie模型是以人口的年龄与性别为基数的离散型矩阵模型，用于中长期人口预测，其目的是为了提高模型的全面性和可靠性。本文建立Leslie模型对中国未来30年的人口数量进行预测。 1.参数定义 我们约定忽视婴儿死亡率，将中国人口按年龄段分为数段，因此当段数达到一定大小的时候就能包含全部年龄层的人，这里将5岁分为一个年龄段，共分为21段，再将时间序列也分割成数段，此处以一年为一段来研究未来30年每年的人口结构，得到： ——在t年的第i个年龄段的人数i=1,2,3,…,21 这里的表示的是最低年龄段的人数，即0-5岁的人数，存在整数21使得表示的是年龄最大的人的人数，即“100岁以上的人的数量”。 其他参数： ：表示第i年龄段上的个体在一年内的繁殖率，i=1，2， (21) ：表示第j年龄段上的个体在一年以内的存活率,j=1，2， (20) 假设j＞n-1时，为0，即假设当人超过100岁后全部死亡，则： ：表示第t年的时候，反映各年龄段人口分布的列向量； ：第t年时，第i年龄段上的个体数量； ：第i年龄段上的妇女的年生育率； ：i岁人口的女性比例。 2.模型建立 建立Leslie矩阵 令，得到Leslie人口发展模型： 则人口发展模型的矩阵化简式为： 与矩阵模型等价的联合方程为： 3.参数确定 由于中国每年的移民数量过少，对整体的影响可以忽略不计，故假设我国为一个封闭的系统，第t+1年的i+1岁的人口数量是由第t年的i岁的人口减去该年i岁的死亡人口而得。因此，t+1年的i+1岁人口为：
人口增长模型论文 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
人口增长分析以及模型建立 目录 一、我国人口转变的过程及特点 (3) (一)我国人口转变过程及带来的人口红利 (3) (二)我国人口转变的特点 (3) 四、我国充分利用机遇,有效迎接挑战的政策措施 (11) (二)、转变经济增长方式，优化利用人口红利 (11) (四) ............................................................................................................................... 、 按照人口转变的规律设计未来的养老模式 (11) 论文摘要: 我国推行计划生育政策以来，共少出生4亿多人，使世界人口数量达到60亿推迟4年。纵观全局，21世纪头20年，对我国来说，是一个必须抓住并且可以大有作为的战略机遇期。认识人口变化规律，作出较准确预测，是有效控制人口增长的前提运用数学建模的方法，对我国人口做出分析和预测是一个值得深入研究的问题，对我国制定与社会经济发展相协调的健康的人口发展计划有着决定性意义。 论文关键词:人口转变;人口红利经济增长数学建模 一、我国人口转变的过程及特点 (一)、我国人口转变过程及带来的人口红利 一国人口生育率的迅速下降在造成人口老龄化加速的同时，少儿抚养比亦迅速下降,劳动年龄人口比例上升，在老年人口比例达到较高水平之前，将形成一个劳动力资源相对丰富、抚养负担轻、于经济发展十分有利的“黄金时期”,人口经济学家称之为“人口红利”。
考虑年龄结构的人口模型（Leslie 模型） 对Logistic 模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic 模型中反映出来。基于这一事实，Leslie 在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。 由于男、女性人口（或雌、雄性个体）通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。将女性按年龄划分成m +1个组，即0,1,…,m 组，例如，可5岁（或10岁）一组划分。将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年（或10年）为一个时段。记j 时段年龄在i 组中的女性人数为N （i ,j ），b i 为i 组每一妇女在一个时段中生育女孩的平均数，i p 为i 组女性存活一时段到下一时段升入i +1组的人数所占的比例（即死亡率d i =1-i p ）同时假设没有人能活到超过m 组的年龄。实际上可以这样来理解这一假设，少量活到超过m 组的妇女（老寿星）人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b i 、i p 不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b i 、i p 事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。 根据以上假设可以得出以下j +1时段各组人数与j 时段各组人数之间的转换关系： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=++++=+-) ,1()1,(),0()1,1(),(),0(),0()1,0(1010j m N p j m N j N p j N j m N b j N b j N b j N m m 显然，0,≥i j p b 。 简记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=),(),0(j m N j N N j ， ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+)1,()1,0(1j m N j N N j 并引入矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000000000110 110m m m p p p b b b b A 则方程组（4.28）可简写成
L e s l i e人口模型及例题详解 The saying "the more diligent, the more luckier you are" really should be my charm in2006.
Leslie 人口模型 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型,借用差分方程模型,仅考虑女性人口的发展变化;如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组,则人口的年龄结构无法刻划,因此必须建立一个更精确的模型;20世纪40年代提出的Leslie 人口模型,就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型; 模型假设 (1) 将时间离散化,假设男女人口的性别比为1:1,因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化;假设女性最大年龄为S 岁,将其等间隔划分成m 个年龄段,不妨假设S 为m 的整数倍,每隔m S /年观察一次,不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; 2 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数,记 第i 年龄组女性生育率为i b 注：所谓女性生育率指生女率,女性死亡率为i d ,记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化; 3 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; 4 生育率仅与年龄段有关,存活率也仅与年龄段有关; 建立模型与求解 根据以上假设,可得到方程 )1(1+t n =∑=m i i i t n b 1)( )()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为 其中,L =⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b 1 记 )]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = 2 假设n 0和矩阵L 已经由统计资料给出,则 为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势,我们先给出如下两个条件： i s i > 0,i =1,2,…,m -1; ii b i 0≥,i =1,2,…,m ,且b i 不全为零; 易见,对于人口模型,这两个条件是很容易满足的;在条件i 、ii 下,下面的结果是成立的： 定理1 t 1 +t
Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20 世纪40 年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。模型假设模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔S / m 年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记ni (t ) 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记n(t ) = [n1 (t ), n 2 (t ),L , n m (t )] 第i 年龄组女性生育率为bi （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为d i ，记si = 1 di , 假设bi , di 不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。建立模型与求解根据以上假设，可得到方程t n1 (t + 1) = ∑ bi ni (t ) i =1 m ni +1 (t + 1) = si ni (t ) 写成矩阵形式为i = 1 ,2.…, m -1 t +1 n(t + 1) = Ln(t ) b1 b2 L bm 1 bm 0 0 s1 0 L 0 其中，L= 0 s 2 0 L M O O O M 0 K 0 s m1 0 （1）记n(0) = [n1 (0), n2 (0),L, nm (0)] 假设n（0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则（2）n(t ) = Lt n(0), t = 0,1, 2,L 为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) si> 0，i=1，2，…，m-1; (ii) bi ≥ 0 ，i=1，2，…，m，且bi 不全为零。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i）、（ii）下，下面的结果是成立的：定理1 L 矩阵有唯一的单重的正的特征根λ = λ 0 ，且对应的一个特征向量为n * =[1，s1/ λ0 ，s1s2/ λ2 ，…，s1s2 …sm-1/ λm 1 ] 0 0 T （3）定理2 若λ1 是矩阵L 的任意一个特征根，则必有λ1 ≤ λ 0 。定理 3 若L 第一行中至少有两个顺次的bi , bi +1 > 0 ，则（i）若λ1 是矩阵L 的任意一个特征根，则必有λ1 < λ 0 。（ii）lim n(t ) / λt0 = cn * ，t > +∞ （4）其中c 是与n（0）有关的常数。定理1 至定理3 的证明这里省去。由定理3 的结论知道，当t 充分大时，有n(t ) ≈ cλt0 n * (5) 定理 4 记β i = bi s1 s2 L si 1 ，q（λ ）= β1 / λ + β 2 / λ +…+ β m / λ ，则λ 是L 的非零特征根的充2 m 分必要条件为q（λ ）=1 态，而各个年龄组的人口数近似地按λ －1 的比例增长。由（5）式可得到如下结论：(i) 当λ >1 时，人口数最终是递增的；(ii) 当λ <1 时，人口数最终是递减的；(iii) 当λ =1 时，人口数是稳定的。根据（6）式，如果λ =1，则有（6）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + bms1 s2…sm-1=1 记R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + bms1 s2…sm-1 （7）R 称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R>1 时，人口递增；当R<1 时，人口递减。Leslie 模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000 头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000 头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20 年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000 头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800 头大象。近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。公园有一些关于大象的资料，供建模参考：1 几乎不再迁入或迁出大象； 2 目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例； 3 初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35% 4 母象初次怀孕大约在10-12 岁,一直到60 岁大约每3.5 年怀胎一次,60 岁后不再受孕,怀孕期为22 个月；5 避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每 3.5 年生育 1 次,所以按月循坏的方案是不足取的；6 避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象 2 年内不再受孕；7 初生象存活到1 岁的比例为70%-80%,此后,直至60 岁前,存活率都比较均匀,大约在95% 以上,大象一
基于常微分方程的中国人口增长预测 篇一：中国人口增长预测 中国人口增长预测 摘要： 本文通过对题目中所给数据和参考资料以及网站上获得的数据进行分析,利用多种模型对数据规律进行归纳提炼.首先我们建立了,Malthus微分方程,通过求借建立了我国人口增长的指数模型,通过常识和分析我们知道,由于受到资源和多种外在和内在因素的影响,人口的这种增长模式是不可能实现的,它只是在理想情况下的一种模式.为了弥补这个模型的缺点,我们又分别建立了[1]L eslie人口模型, 微分差分混和模型,神经网络模型,灰色模型,等多种模型方式. 建立Leslie模型来预测未来中国大陆人口增长模型。根据死亡率，生育率是否变化，我们建立了两个模型，第一个是死亡率变化的模型，在这个模型中，由于两个因素的变化，使得在预测时只能简单的预测下一年的数据，虽然精度很大，但是预测的时间太短。于是，在分析了死亡率和生育率在所给五年的各年龄段的情况，我们提出了忽略两个因素变化所带来的影响，以使模型更大众化。最后通过检验，发现，在做中短期预测时，结果很令人满意，误差很小。但对于长期的预测准确度有所下降。通过对第一个模型—Leslie人口模型的求解，我们分析得到了短期，中期，长期，较长期（在这我们定义1—3年为短期，5—10年为中期，10年以上是长期）的预测人口数量在各个年
龄段的分布。再对预测数据进行分析，并结合中国的实际国情，很容易知道Leslie人口模型增长只能用来预测中短期的人口发展规律（对与中国的实际国情而言）。于是为了预测探究长期的人口发展模型，我们必须找到更好的模型，结合别人的资料，然后我们又建立了一个有关人口数量的微分方程，这个微分方程包括了各方面影响人口增长和变化的因素，如，育龄女性的百分比，潜在育龄女性的百分比，人口老龄百分比等等。这些因素的介入使得分析人口变化规律更接近实际的情况。随后又建立了另外的模型,多种模型相互结合,是本文的一大特色. 关键字： Malthus模型灰色模型 Leslie人口模型神经网络 一、问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的(附录1) 还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2
Leslie 人口模型 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。 模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记 )](,),(),([)(21t n t n t n t n m = 第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记 1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解 根据以上假设，可得到方程 )1(+t n =∑=m i i i t n b 1 )( )()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为 )()1(t Ln t n =+ 其中，L =⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--00 000 0001 21 121m m m s s s b b b b （1） 记 )]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2） 假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则 ()(0), 0,1,2,t n t L n t == t 1 +t
数学建模人口老龄化问题论文 摘要 我国是世界第一人口大国,地球上每5个人中就有一个中国人.在20世纪的一段时间内,我国人口的增长速度过快,有效地控制我国人口的增长,解决养老金制度面临一胎化政策、人口老龄化、及通膨加剧、社保基金收益低等一系列问题，不仅是深入贯彻科学发展观的需要,而且对于全人类的美好理想来说,也是我们义不容辞的责任。 本文中通过查询国家统计局，中国统计年鉴-2011；东方早报，南方都市报，等各个网站的数据，并对所查信息进行分析，通过模型建立与分析，以解决以下几个问题； 针对问题一 我们利用Leslie模型来预测的，首先我们将人按年龄大小等间距的分隔，建立Leslie矩阵，建立Leslie模型，通过Matlab的程序运算，预测中国未来40年内的各个年龄段的人口数量，通过Excel分析预测中国未来的40年内人口的结构：青少年与中年人的数目相对平衡，而老龄人占大多数，老龄化速度加快； 针对问题二 我们对所搜集到的数据用最小二乘法来分析用残差平方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。利用MatlAB程序求解，并作出养老金累计结余金额实际测量值与回归值的拟合曲线图作出判断，并且运用MatlAB程序预测未来养老金数额，得到结论：未来养老金数额呈直线上升趋势，也就是说未来养老金规模将逐渐变大。 针对问题三 我们采用拟合曲线来分析未来四十年的人均收入，再根据资料取通货膨胀率k=3% 10% 15% 20% 条件下判断未来养老金是否能保障退休水平。 针对问题四 我们从生育问题、国民经济总值、个人税收三个方面提出未来“养老难”的可行性方案。 针对问题五 问题重述 一、分析中国未来 40 年内的人口结构和中国老龄化的速度； 二、对未来的养老金规模进行预测； 三、分析在不同水平的通货膨胀率下未来养老金是否能真正保障退休水平（收入为当时居民收入的平均收入水平或一些保证生活所需的收入水平）； 四、提出解决未来“养老难”的可行性方法； 五、如果将退休年龄从60岁推迟到65岁将会对中国有什么利弊； 问题一 一、模型假设 1、假设人口的出生率与死亡率不随时间段k变化，只与年龄组有关。 2、时间以年为单位，年龄按周岁计算，最大年龄。 3、较短时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变。 4、不考虑移民引起人口总人数的变动。 二、符号说明 1、表示年份（表示规定的初始年）
毕业论文 基于G M(1,1)模型、Logistic 模型、Leslie 模型的“单独二 胎”政策影响研究
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