根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
1860 1870 1880 1890 1900 1910 1930 1940 1950 1960 1970 1980 指数增长模型：rt e x t x 0)(=
Logistic 模型：()011m
rt
m x x t x e x -=
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
解：模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人
口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0
)0(x x rx
dt dx
由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：
}2
120010120
()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x e
y x t a r a x =+=⇒=+⇒
=====
程序：
t=1790:10:1980;
x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5
123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);
plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198
r= 0.0214
x0= 1.2480e-016 所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;
x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)
得到x(t)= 598.3529。即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 610⨯。
1780
1800182018401860188019001920194019601980
050
100
150
200
250
300
350
模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设)/1()(m x x r x r -=，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，m x 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=0)0()1(x
x x x rx dt
dx
m 建立函数文件curvefit_fun2.m
function f=curvefit_fun2 (a,t)
f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790))); 在命令文件main.m 中调用函数文件curvefit_fun2.m % 定义向量（数组） x=1790:10:1990;
y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4]; plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on;
a0=[0.001,1]; % 初值
% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m 文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:5:2020;
yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); % 预测2010年的数据 x1=2010;
y1=curvefit_fun2(a,x1) hold off 运行结果：
a=311.9531 0.02798178 y1 =267.1947
其中a(1)、a(2)分别表示()011m
rt
m x x t x e x -=
⎛⎫+- ⎪⎝⎭
中的m x 和r ，y1则是对美国美
国2010年的人口的估计。
1750
180018501900195020002050
050
100
150
200
250
300
第二题：
问题重述：
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量
的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
问题分析：
鲈鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼
的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联
系，共同影响鱼的体重。建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规
律
模型假设：
1、鲈鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；
2、鲈鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；
3、鲈鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲈鱼的体重；
4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。
符号说明：
模型的建立及求解：
（一）、鲈鱼体重与身长模型的确立
为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：
身长
体重
身长与体重散点图
从图形上看，鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到：
21.6247*L -59.3124*L +709.7392W
(1)
根据拟合的函数，我们画出拟合图：
200
400600800100012001400160018002000身长与体重拟合图
从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好，下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计，用相对误差检验拟合度，得到下表：
表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，
说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。 （二）、鲈鱼体重与胸围的模型确立
仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈鱼体重与胸围的散点图：
20
22
24
2628
30
32
胸围
体重
胸围与体重散点图
从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式：
92*C-1497.5W (2) 根据拟合函数（2），画出胸围与体重关系的拟合图：
胸围与体重拟合图
利用拟合函数及实际数据，求出实际值与拟合值得相对误差表：
从鲈鱼胸围与体重的拟合图，及表二中的数据，我们可以得出用线性函数拟合胸围与体重的关系拟合程度高，鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，说明用线性函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。 （三）、建立体重与身长、胸围相互影响的模型
实际情况下，鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响，因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。
此模型的建立是基于假设⑶，（4），即：鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长
表示：π
42C
.因此可以分析得出2LC W ∝.又物体质量等于密度与体积的乘积，因
此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：
2LC W α=，问题转化为对系数α的求解。根据已知数据，利用MATLAB 软件求解，
得到：
α≈0.0327 （3）因此，
2
.0LC
W=
0327
（4）
利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：
根据表三的数据，可以知道模型三的拟合程度也较好，相对于模型一、二，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响，用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际。
Malthus模型和Logistic 模型 随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日 益成为制约国家发展的瓶颈，了解了人口增长函数，也就掌握了人口的发展动态和发展规律，这对国家的发展有重要意义。 1798年.英国人口学家和政治经济学家马尔萨斯以两个假设为前提：第一，食物为人类生存所必须；第二，人的性本能几乎无法限制，提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus人口模型：人口总数为p(t),人口的出生率为b,死亡率为d。任取时段【t, t + dt ],在此时段中的出生人数为b p(t)dt ,死亡人数为d p(t)dt。假设出生数及死亡数与p(t)及dt均成正比，而且以矩形取代了曲边梯形的面积。在时段【t, t+dt ]中，人口增加量为p(t dt)- p(t)?d p(t), 它应等于此时段中的出生人数与死亡人数之差，即 d p(t) =b p(t) dt —d p(t) dt = a p(t) dt, 其中a=b—d称为人口的净增长率。于是p(t)满足微分方程 ^=ap(t). (1) dt 若已知初始时刻t=t0时的人口总数为P0,那么p(t)还满足初始条件t=t0 时，p(t) =p0. (2) 可以求得微分方程(1)满足初始条件⑵ 的解为(设a是常数) p(t)=p c e a(t _t0), ⑶ 即人口总数按指数增长。
模型参数的意义和作用：t0为初始时刻(初始年度)，P0为初始年度t0的人口总数，a为每年的人口净增长率，b为人口出生率，d 为人口死亡率。Malthus 人口模型所说的人口并不一定限于人，可以是认可一个生物群体，只要满足类似的性质即可。 现在讨论模型的应用和正确性。例如，根据统计数据知在1961 年全世界人口为30.6 亿，1951 年-1961 年十年每年人口净增长率约为 0.02。取t o=1961, p o=3.06*109和a =0.02，就有 9 0.02(t-t0) p(t)=3.06*10 *e ， 用这个公式倒计算全世界在1700-1961 年间的人口总数，并把计算结 果与实际统计数据作比较可以发现它们是比较符合的。例如根据统计数据，在1700-1961 年间地球上人口总数大约每35 年增加一倍，而由上述方程可以容易地证明人口总数每34.6 年增加一倍。事实上，假设人口总数每T年增加一倍，由公式得e0.02T=2, T=50ln2=34.6，因此Malthus 人口模型在一个不太长的时间中使用还是相当精确的，但如果对Malthus 人口模型不加限制地使用，就会出现很不合理的情况：到2510 年地球上人口将达到2*1014，即把地球上的全部海洋变成陆地，每人也只能分到0.87 平方米的土地；而到2670年地球上人口将达到 3.6*1016个，那样只好一个人站在另一个人的肩上叠成两层了，因此，Malthus 人口模型是不完善的，必须加以修改。 分析Malthus 人口模型的推导过程发现，我们假设了人口增长率 a 为常数，这个假设实际上只是在群体总数不太大而且食物丰富时才合
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1930 1940 1950 1960 1970 1980 指数增长模型：rt e x t x 0)(= Logistic 模型：()011m rt m x x t x e x -= ⎛⎫ +- ⎪⎝⎭ 解：模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人 口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0 )0(x x rx dt dx 由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到： }2 120010120 ()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x e y x t a r a x =+=⇒=+⇒ ===== 程序： t=1790:10:1980; x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198 r= 0.0214 x0= 1.2480e-016 所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;
《数学模型》实验报告 实验名称：如何预报人口的增长成绩：____________ 实验日期：2009年4月22日 实验报告日期：2009年4月26日 人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到”地球在变小"，人 口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义?本节介绍几个经典的人口模型? 3.3.1模型I:人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus,1766--1834） 1）模型假设 时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r.以P（t）表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数P（t）足够大，可以视做连续函数处理，且P（t）关于t连续可微. 2）模型建立及求解 据模型假设，在t到时间内人口数的增长量为 5 两端除以，得到 5 即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比 令，就可以写出下面的微分方程： 5 如果设时刻的人口数为，则满足初值问题： （1） 下面进行求解，重新整理模型方程（1）的第一个表达式，可得 5 两端积分，并结合初值条件得 显然，当时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus模型）.如 下图3-2所示. 3）模型检验 19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后的许多国家，模型遇 到了很大的挑战. 注意到，而我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬,不合常理，应该予以修正? 图3-2 4）模型讨论 为了做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所做的假设和限制是非常必要的 我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄，性别，大小等）对人口增
Logistic 人口阻滞增长模型 一、模型的准备 阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即 增长率0)(=m x r ，代入（2）式得m x r s =，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?????=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解方程（4）可得： rt m m e x x x t x --+= )1(1)(0 （5） 二、模型的建立 我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1
1、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab 编程得到相关的参数-0.0336,180.9871 ==r x m ，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）： 9959.0)y y ()y ?y (1R 51 i 2 i 5 1 i 2i i 2=--- =∑∑== 由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲 线： t e t x 0336.0.0)12 .609871.180(19871 .180)(--+= （6） 根据曲线（6）我们可以对2010年（56=t ）、2020年（66=t ）、及2033年（79=t ） 进行预测得（单位：千万）： 6028.158)79(,5400.148)66(,6161.138)56(===x x x 结果分析：从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布， 程序： 结果：
一、 人口增长模型： 1. 问题 下表列出了中国1982—1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），…人口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口相比较： 述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型 模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型） 1.假设：人口增长率r 是常数. 2.建立模型：记时刻t=0时人口数为0X ,时刻t 的人口为X （t ）,由于量大，X （t ）可以视为连续、可微函数，t 到t+t ?时间段人口的增量为： )() ()(t rX t t X t t X =?-?+ 于是X （t ）满足微分方程：)1()0(0?? ? ???????==X X rX dt dx 3.模型求解：解得微分方程（1）得： X （t ）=0X ) (0t t r e - （2） 表明：t ∞?→?时，t X )0.(>∞?→?r . 4.模型的参数估计 要用模型2对人口进行预报，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1通过Matlab 拟合： 程序：
x=[1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998]'; X=[ones(17,1),x] Y=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); %回归分析 b,bint,stats%输出这些值 rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间 z=b(1)+b(2)*x; plot(x,Y,'k+',x,z,'r')，%预测及作图 运行结果： b = 1.0e+006 * -2.8447 0.0015 bint = 1.0e+006 * -2.9381 -2.7513 0.0014 0.0015 stats = 1.0e+005 * 0.0000 0.0455 0 1.9800
基于logistic模型对中国未来人口的预测分析 随着中国人口的快速增长和老龄化趋势的加剧，人口预测成为了一个重要的研究领域。在这样的背景下，基于logistic模型的人口预测分析成为了一种广泛采用的方法。在本文中，我们将介绍logistic模型以及如何使用它来预测中国未来的人口趋势。 Logistic模型是一种经典的数学模型，它常用于描述一种随时间变化的现象。在人口预测中，logistic模型也可以用来描述人口随时间变化的趋势。首先，我们需要对 logistic模型有一定的了解。 Logistic模型的表达式如下： P(t) = K / (1 + b exp(-r(t-T))) 其中，P(t)表示t时刻的人口数量，K表示人口数量的上限，b、r、T分别是与增长速率相关的系数。Logistic模型的意义在于，当t接近无穷大时，P(t)会趋近于K。 在中国的人口预测中，logistic模型的应用主要分为两步：首先，我们需要拟合一条曲线，以描述人口数量随时间变化的趋势；其次，我们需要使用该曲线来预测未来的人口 数量。 对于中国的人口预测，我们可以将logistic模型应用于历史人口数据，然后将该模型应用于未来的人口预测。以下是中国历史人口数据的示例： | 年份 | 人口数量（单位：亿） | |-----|--------------------| | 1950 | 5.2 | | 1960 | 6.7 | | 1970 | 8.5 | | 1980 | 9.9 | | 1990 | 11.2 | | 2000 | 12.1 | | 2010 | 13.3 | | 2020 | 14.4 |
中国人口增长预测数学建模 引言 中国作为世界上人口最多的国家之一，人口增长一直是一个备受关注的问题。人口数量的增长对于国家的经济、社会、环境等方面都有着重要的影响。因此，预测中国人口的增长趋势对于未来的发展规划具有重要意义。本文将介绍一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。 方法 数据收集 为了进行人口增长预测的数学建模，我们需要收集一系列历史人口数据。这些数据可以从各种统计年鉴、人口普查、政府发布的数据等渠道获取。通常，我们需要收集的数据包括中国的总人口数量、出生率、死亡率、迁入率和迁出率等。 建立数学模型 基于收集到的数据，我们可以建立一个数学模型来描述中国人口的增长情况。常用的数学模型包括指数增长模型、
Logistic增长模型等。在本文中，我们以Logistic增长模型为例。 Logistic增长模型基于以下假设： 1. 人口增长率与当前人口数量成正比； 2. 当人口数量接近一定的上限时，人口增长率会逐渐减小。 Logistic增长模型的公式可以表示为： dP/dt = r*P*(1-P/K) 其中，P表示人口数量，t表示时间，r表示人口增长率，K表示人口的上限。 参数估计 为了应用Logistic增长模型进行人口预测，我们需要估计模型中的参数。参数估计可以通过拟合历史数据来完成。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计等。 模型验证 一旦完成参数估计，我们可以使用模型预测未来的人口变化情况。为了验证模型的准确性，我们可以将预测结果与实际观测数据进行比较。如果预测结果与实际观测数据较为接近，说明模型具有较好的预测能力。
预测未来人口增长 利用建立的数学模型和参数估计，我们可以进行未来人口增长的预测。通过不同的假设和参数值，我们可以探讨不同因素对人口增长的影响。例如，我们可以考虑不同的出生率和死亡率情况下的人口增长，或者研究不同人口政策下的人口增长趋势。 结论 本文介绍了一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。该方法利用历史数据建立数学模型，并通过参数估计和模型验证对未来人口增长进行预测。这种方法可以为政府和决策者提供重要的参考，帮助他们制定合理的人口政策和发展规划。 参考文献 1.陈可，胡花果，刘进登. 人口数学模型与预测[M]. 高 等教育出版社, 2013. 2.李健，孙德友，彭建权. 人口增长模型中的数学建模 的研究[J]. 数学的实践与认识, 2015(4): 53-55.
论文题目：中国人口模型与预测 姓名：陈贵华学号：设施农业专业：二班 姓名：刘艳阳学号：********专业：数学与应用数学金融班姓名：王方杰学号：********专业：数学与应用数学金融班 注：团体合作，无明确分工！！
中国人口模型与预测 目录 一.摘要 (2) 二.问题重述................................................................ 错误!未定义书签。 三.问题的分析 (5) 四.建模过程................................................................ 错误!未定义书签。 （一）Malthus模型................................................ 错误!未定义书签。 1.模型假设 ..................................................... 错误!未定义书签。 2.定义符号说明 ............................................. 错误!未定义书签。 3.模型建立 ..................................................... 错误!未定义书签。 4.模型求解 ..................................................... 错误!未定义书签。 （二）Logistic模型.............................................. 错误!未定义书签。 1.基本假设 ..................................................... 错误!未定义书签。 2.定义符号说明 ............................................. 错误!未定义书签。 3.模型建立 ..................................................... 错误!未定义书签。 4.模型求解 ..................................................... 错误!未定义书签。 五.模型的评价与改进 ............................................... 错误!未定义书签。 六.参考文献................................................................ 错误!未定义书签。
指数增长模型和 Logistic 模型 一、问题提出 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。认识人口数量的变化规律，作出较准确的 预报，是有效控制人口增长的前提。 要求：分别建立并求解两个最基本的人口模型，即：指数增长模型和 Logis t i c 模型，并利 用表 1 给出的近两百年的人口统计数据，画出图形拟合数据，对模型做出检验，最后用它预报 2000 年的人口。 1820 1830 1840 1850 9.6 12.9 17.1 23.2 人口（百万） 年（公元） 1890 1900 1910 1920 62.9 76.0 92.0 106.5 1990 人口（百万） 年（公元） 1960 1970 1980 179.3 204.0 226.5 251.4 人口（百万） 模型一：指数增长（Malthus ）模型： (1) 模型假设 常用的计算公式：今年人口 x , 年增长率 r k 年后人口为 x x (1 r ) 0 k k 0 假设：人口增长率 r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）。 x ~t=0 时的人口数， x( t)~时刻 t 的人口数 0
(2)模型建立 （显示模型函数的构造过程） t dx r x （1） d t (3)模型求解 （显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果） 解微分方程（1）得 r t 当t时，x(t)(r0),即随着时间增加，人口按指数规律无限增长。 要用模型的结果（2）式来预报人口，必须对常数r进行估计，可以用表1的数 据通过拟合得到。取x3.9，通过（2）式以及表中1790-1990的数据进行最小二 乘法拟合得r=0.2169.程序如下： 模型求解：取初始值x(0)=3.9 M atlab程序： 建立M文件volum.m,如下： function y=volum(beta,t) y=3.9*exp(beta(1)*t);
人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用 本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。 关键词：人口Logistic模型迭代 人口增长问题相关研究 最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。记t时刻的人口总数为x(t)。初始时刻t=0时的人口为x0。人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。在r>0时，人口将按指数规律增长。 但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。 历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。 基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。因此就有，这个模型就是Logistic 模型。 为表达方便，Logistic方程常被改写成： 由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。本文也将采用Logistic模型对我国人口进行分析。
人口增长logistic模型的拟合 李月200911131952 谭结200911131959 刘延卿200911131915 问题摘要 关于人口模型的研究，我们已经有很多方法。这个题目要求我们用LOGISTIC模型来拟合美国人口数据。了解到LOGISTIC模型的性质和原理之后，我们根据老师给出的数据： 分为以下几个步骤来进行估计。 首先，我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x’=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及k，先拟合线性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。 其次，我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数 y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)] 需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。同样我们利用非线性拟合，就可以得到一个更加好的参数估计。在MATLAB中实现。 最终我们得到结果： （需要完善的部分） 1 关键词 LOGISTIC模型非线性拟合循环语句参数估计内禀增长率
2 问题的重述 3 问题的分析 问题的关键是要做一个LOGISTIC模型。在模型的建立中，至关重要的是对参数的估计。我们知道的LOGISTIC模型，x’=rx(1-x/k)是这个模型的基础，所以我们最重要的任务就是要合理估计参数。 分为以下几个步骤来进行估计。 1我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x’=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及k， 2先拟合线性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。 3我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数 y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)] 需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。同样我们利用非线性拟合，在MATLAB中实现运行。 4 符号说明及问题假设 4-1 符号说明 (注：由于我们主要任务是估计参数，其实没有实际太多的符号说明，这里就给出一些MATLAB中的字母代表的意义，方便大家理解) N 人口数目，以一个人为单位 T 时间，这里指的也是年份 r(r(N)) 内禀增长率，就是在没有外界自然条件限制下的自然增长率，理想状态下的增长率 K 环境承载力或饱和水平，k→ ∞时，模型退化为Malthus 模型
建模案例-人口增长模型 4．1 人口统计模型 人口统计模型Ι ：某城市1990年的人口密度近似为24()20P r r =+。 表示市中心 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。 (1) 试求距市中心 区域内的人口数N ； (2) 若人口密度近似为 ，单位不变，试求距市中心 区域内的人口数。 (⎰⋅=2 02)(10rdr r p N π) 人口统计模型ІІ：设 表示 时刻某城市的人口数，假设人口变化动力学受下列两条规则影响. （1） 时刻净增人口以每年 的比率增加； （2）在一段时间内，比如说从 到 ，由于死亡或迁移， 时刻的人口数 的一部分在 时刻仍然存在，我们用 来表示， ， 是这段时间的长度。试建立在任意时刻 人口规模的模型。 本模型可分下列两方面考虑： （1） 初始时刻t=0,人口数为P(0)，到T 时刻，人口数剩下h(T)p(0)； （2） 在t t t ∆+>-时间，人口增长数为t t r ∆⋅)(，到T 时刻时，由于死亡或迁移，只剩下t t r t T h ∆⋅⋅-)()(，所以，在T 时刻，由人口增长因素所产生的人口数为⎰-T dt t r t T h 0)()( 因此，在T 时刻，总人口数⎰-+=T dt t r t T h p T h T p 0)()()0()()( 0 t t t ∆+ T 4．2 预报人口增长模型 模型一、malthus 指数增长模型 （1） 在t 时刻，人口数为P(t)，由于人口基数很大，可以认为P(t)为连续可导函数； （2） 人口在自然增长过程中的净增长率(r >0)为常数，即单位时间人口的增长量与当时 的人口成正比； （3） 在t t t ∆+>-时间，00)(),()()()()(p t p t rp dt t dp t t p r t p t t p ==⇒∆⋅=-∆+
人口增长模型 篇一：数学建模 logistic 人口增长模型 Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立 Logistic 人口阻滞增长模型 ， 利用表 1 中的数据分别根据从 1954 年、 1963 年、 1980 年到 2005 年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来 50 年的人口情况.并把预测结果与 《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测 的效果好?并结合中国实情分析原因。 表 1 各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、 环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞 作用体现在对人口增长率 r 的影响上，使得 r 随着人口数量 x 的增加而下降。若将 r 表示为 x 的函数 r(x)。则它应是减函数。于是有： dx ?r(x)x,x(0)?x0 dt 对 r(x)的一个最简单的假定是，设 r(x)为 x 的线性函数，即 r(x)?r?sx （1） (r?0,s?0) （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量长率 xm，当 x?xm 时人口不再增长，即增 r(xm)?0，代入（2）式得 s? r xm，于是（2）式为 x)xm （3） r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得： x?dx ??rx(1?) xm?dt ?x(0)?x0 1 / 11
? 解得： （4） x(t)? 1?( xmxm ?1)e?rtx0 （5） 三、模型求解 用 Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2, 90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026 ,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126. 743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2 ,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.02 6,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,12 6.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9 ,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112 .704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743, 127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出 xm 和 r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');% plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); 定 义 函 数
title('1954-2005 年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0) 解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5 得到 1954-2005 实际人口与理论值的结果： 根据《国家人口发展战略研究报告》 我国人口在未来 30 年还将净增 2 亿人左右。过去 曾有专家预测（按照总和生育率 2.0），我国的人口峰值在 2045 年将达到 16 亿人。根据本课 题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20 世纪 90 年代中后期，总和生育 率已降到 1.8 左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均 GDP 达到 3000 美元的目标，要 2 / 11