高等计算流体力学讲义(1)
第一章 计算流体力学基本原理
第1节 流体力学基本方程
一、 非定常可压缩Navier －Stokes 方程
不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型N －S 方程可以写为下列向量形式：
()
()
()
0v v v t
x
y
z
??-?-?-+
+
+
=????U F F G G H H ， (1)
其中
u v w E ρρρρρ?? ? ? ?= ? ? ???U 2()u u p uv uw E p u ρρρρρ?? ?+ ? ?= ? ? ?+??F 2
()v vu v p vw E p v ρρρρρ?? ? ? ?=+ ? ? ?+??G 2()w uw vw
w p E p w ρρρρρ??
? ?
?= ?+ ? ?+??
H ， 0
xx xy v xz
xx xy xz
T u v w k x ττττττ??
? ?
?
=
? ?
?
?+++ ???
?F 0xy yy v yz
xy yy yz
T u v w k y ττττττ??
? ? ?=
? ? ??+++ ???
?
G ， 0
xz zy v zz
xz zy zz
T u v w k z ττττττ?? ? ? ?=
? ?
??+++ ?
??
?
H 。 如果忽略N －S 方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为Euler 方程：
0t
x
y
z
????+
+
+
=????U F G H 。 (2)
方程(1)、(2)称为向量守恒型方程。其重要特点是：连续、动量和能量方程被写为统一形式。其中，,,,,,,v v v U F G H F G H 均为列向量，U 是方程的解向量，称为守恒变量；,,,,,v v v F G H F G H 称为通量（flux ），具体说,,F G H 为无粘通量，
,,v v v F G H 为粘性通量。
所谓守恒型方程，是空间导数项为散度的形式的方程。(1)，(2)式所示的向量型守恒方程，实际上仍然是散度形式。显然，(1)，(2)式的另一种等价形式为：
0t
?+?=?U E
， (3)
其中 ()()()v v v =-+-+-E F F i G G j H H k
，
或
=++E Fi G j H k
，
通量张量，,,i j k 为直角坐标系三个坐标轴方向的单位基矢量。把(3)式在任意固定的控制体上积分，并利用Gauss 公式，有
0S
d dS t
Ω
?Ω+
=??????
U E n
。 (4)
这就是守恒积分型方程。可见，守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。(4)式是我们以后将要讲到的有限体积方法的出发方程，而(1)、(2)或(3)是则是有限差分方法的出发方程。
二、流体力学方程的简化形式
根据具体流动状态，N －S 方程可以进行各种简化。简化的形式及其适用条件是理论流体力学的重要研究内容之一。这里我们对于各种简化方程作一归纳，见下图：
图1.N －S 方程的简化形式
三、 曲线坐标系中的基本方程
当求解域的形状比较复杂时，计算流体力学方法通常在曲线坐标系中实施。因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本方程的形式。在曲线坐标中，矢量可以采用在直角坐标中的分量形式，也可以采用协变或逆变分量，基本方程也将因此呈现出不同的形式。最简单，应用也最普遍的形式是矢量分量为直角坐标系中的分量。下面，我们讨论这种情况下的流体力学基本方程。
直角坐标到曲线坐标的变换及其逆变换关系为：
(,)(,)x y x y ξξηη== (5) (,)(,)
x x y y ξηξη== (6)
1、导数的变换
对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有
x x x
φφφξηξ
η
???=+
??? 。 (7)
同理可得
y y y
φφφξηξ
η
???=
+
???。 (8)
对于二阶偏导数，有
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2(
)
(
)(
)
[
][]
()2
()
x x xx xx x
x
xx xx x x x x x x xx xx x x x x x
x x x φφ
φξηξ
η
φφφ
φ
ξηξηξηξη
φφφφφφξηξξηηξηξηξ
ξηξηη
φφφφ
φξηξξηηξ
η
ξ
ξη
η
????=+???????
??
?=
+++????????????=
+++
++
?????????????=
+
+
++
??????。
同理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
()2
()yy yy y y y y y φφφφφφξηξξηηξ
η
ξ
ξη
η
??????=
+
+
++
???????，
2
22
2
2
2()xy xy x y x y y x x y x y
φφφφφ
φξηξξξηξηηηξ
η
ξ
ξη
η
??????=
+
+
+
++
????????。
把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace 方程
2
2
22
x
y
φφ??+
=??
为例，把上述二阶导数的变换关系代入上述Laplace 方程，得
2
2
2
22
22
22
[()()]2[][()()]
()()0
x y x x y y x y xx yy xx yy φφφξξξηξηηηξξη
η
φφξξηηξ
η
???++++
+??????+
++
+=??。 (9)
2、度量系数及其计算方法
在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数：,,,x y x y ξξηη。这些系数称为坐标变换公式(5)对应的度量系数（metrics ）。我们看到，为了求解计算平面中的偏微分方程，如(9)式，必须确定度量系数（有时还包括
,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一般情况下，我们只知道坐标变换关系(5)、(6)的离散表达式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造,,,x y x y ξξηη的差分近似是不容易的。以x ξ为例，根据偏导数的意义，x ξ为y 保持不变时ξ随x 的变化，如图2所示，网格点P 处的x ξ的计算公式应为：
)Q P
x P Q P
x x ξξξ-=
-。
由于Q 一般不是网格点，因此,Q Q x ξ是未知的，只能通过插值方法确定。 另一方面，我们可以定义逆变换(6)式的度量系数,,,x x y y ξηξη。在贴体坐标系中，这些度量系数的有限差分离散非常简单。如果采用中心差分离散，有
1,1,,,1,1
,1,1,,,1,1
,)2)2)2)2i j i j
i j i j i j i j i j i j
i j i j i j i j x x x x x x y y y y y y ξηξηξηξη
+-+-+-+--=?-=
?-=?-=
? 。 (10)
这就提示我们，如果能够找到,,,x y x y ξξηη和,,,x x y y ξηξη之间的关系，我们就可以得到,,,x y x y ξξηη等的计算方法。下面，我们推导二者之间的关系。 由变换关系(5)式，有
x y x y d dx dy d dx dy
ξξξηηη=+=+，
写成矩阵形式
x y x
y d dx d dy ξξξηηη??????
=??
?????????? 。 (11)
由逆变换(6)式，有
x x dx d y y dy d ξ
ηξ
ηξη??????=????????????。 (12)
(11)、(12)式中的矩阵称为正变换和逆变换的Jacobi 矩阵。由(11)、(12)易知
1
x y x y x x y y ξηξ
ηξξηη-??
??=??????
??， (13)
即
1x y x y y x y x J η
ηξ
ξξξηη-??
??
=????-??
??， (14)
其中
1
x y x
y
x x J x y x y y y ξηξηηξξ
η
ξξηη-=
=-=
(15)
为坐标变换的Jacobi 行列式（jacobian ）。因此，
1111x x y y y J y J x J x J
ηξ
η
ξξηξη=
=-=-=
。 (16)
根据(10)、(15)、(16)式，可以得到,,,x y x y ξξηη的差分离散形式。 如何计算,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη呢？考虑
10
x y x y x y x y ξξξηηηξξξξξξ=+==+=。 (17)
根据(17)式，我们同样可以得到
11x y y J x J
ηη
ξξ=
=-
。
现在，把(17)式分别对,ξη求导：
2
2
()()()()()()2()0
()()()()()x y x y x y xx xy xy yy x y xx xy yy x y x y x y x y xx xy xy yy x x y x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y x y x y x y x x y y ξξξξξξξξξξξ
ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξηηξηξξηξη
ηηξηηξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ+=+++=+++++=++++=+=+++=++++()0
()()()()()()0
()()y xx xy yy x y x y x y x y xx xy xy yy x y xx xy yy x y x y x x y x x x y x y y y x y x y x y x y x y x x y y x y x x x y x y y y x y x y ξηξηξηξηηξξηξηξηηηξξηξηξηξη
ξξηξξηξηξηξηξηηξξηξηξηηηηξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ+=+++++=+=+++=+++++=+++++=+=2
2
()()()()2()0
y x y xx xy xy yy x y xx xy yy x y x y x y x y x x y y x y x x y y x y ηηηηηηηη
ηηηηηηηηηηηηηηηηηηξξξξξξξξξξξξξξ+++=+++++=++++=，
上面四个关系中，只有三个是独立的，写成矩阵形式，有：
22
22()2()()
()2()x y xx xy x y yy x y x y x x y y x x x y x y y y x y x x y y x y ξξξξξξξξξηξηηξξηξηξη
η
ηη
ηηηηη
ξξξξξξξξξ????
+???
????
?+=-+????????????+??????
。 (18)
所以
1
22
22
()2()()
()2()x y xx xy x y yy x y x y x x y y x x x y x y y y x y x x y y x y ξξξξ
ξξξξξηξηηξξηξηξηηηη
ηηηηηξξξξξξξξξ-????+??
???
?
??=-++??????
???
???+??
??
??
， 22
222
2()2()1()
[()()]()2()x y xx xy x y yy x y x y J y Jy y J y Jx y J x y x y Jx y x y J x y x y J x Jx x J x x y ξξξξ
ηξηξηηξηηξξξξηξη
ξηηξηξη
ξηηηη
ξξξξξξξξξ????+??-???
?-??=-+-+??????+??????-+????
??
。(19)
同理
2
2
222
2()2()1()
[()()]()2()x y xx xy x y yy x y x y J y Jy y J y Jx y J x y x y Jx y x y J x y x y J x Jx x J x x y ξξξξ
ηξηξηηξηηξξξξηξη
ξηηξηξη
ξηηηη
ηηηηηηηηη????
+??-???
?-??=-+-+??????+??????-+????
??
。
(20)
对(19)、(20)式的右端进行有限差分离散，就可以算出,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη。
三、任意曲线坐标系中流体力学方程组的守恒形式
考虑直角坐标系中的二维守恒型Navier －Stokes 方程：
()
()
0v v t
x
y
??-?-+
+
=???U F F G G 。 (21)
利用一阶导数的变换公式，有
()
()
()()
0v v v v x y x y t
ξξηηξ
ξ
η
η
??-?-?-?-+
+
+
+
=?????U F F G G F F G G 。(22)
(22)式称为(,)ξη平面上Navier －Stokes 方程的弱守恒形式。在(22)式两侧乘以Jacobian J ，有
()
()
()
()
0v v v v x y x y J J
J
J
J
t
ξξηηξξ
η
η
??-?-?-?-++++=?????U F F G G F F G G 。
上面的方程中的各项可以进一步整理：
()()
()
{[()()]}
()
()()
()()
()
{[()()]}
()
()()
(),
v v x y v x v y v x v y v v x y v x v y v x v y J J t
t
J J J J J J
J
J J J ξξξξξ
ξ
ξ
ξξξ
ξηηηηη
η
η
ηηη
η
??=
???-?-?+=-+-?????----???-?-?+=
-+-?????----??U U F F G G F F G G F F G G F F G G F F G G F F G G
得
(){[()()]}{[()()]}()[()()]()[
()()]0
v x v y v x v y v x x v y y J J J t
J J J J ξξηηξ
η
ξηξηξη
ξ
η
???+-+-+-+-???????--+
--+
=????U F F G G F F G G F F G G 。(23)
注意到
[()()]()()0
[()()]()()0
x x y y J J y y J J x x ηξηξξηξηξηξηξη
ξη????+=+
-=????????+
=
-+
=????，
所以，(23)式可化简为
(){[()()]}{[()()]}0v x v y v x v y J J J t
ξξηηξ
η
???+-+-+
-+-=???U F F G G F F G G 。
(24)
(24)式称为(,)ξη平面上Navier －Stokes 方程的强守恒形式，一般记为：
()()()0v v
t
ξη??
?+
-+-=???U F F G G ， (25)
其中
[][][][]x y x y v v x v y v v x v y
J J J J J ξξηηξξηη==+=+=+=+U
U F F G G F G F F G G F G 。 (26)
第2节 有限差分方法和有限体积方法
本节从一般意义上介绍求解Euler 方程的有限体积方法和有限差分方法。
本节将不介绍具体的空间离散格式，也不涉及时间导数的离散方法；而是以半离散的有限差分和有限体积方法为例，讨论有限体积和有限差分方法的主要特征以及二者之间的关系。注意到，本节中的所有分析，都假定网格是不随时间变化的，因此所有几何量都可以从时间导数项中提出。当网格随时间变化，例如动网格的情况下，除了随时间变化的几何量不能从时间导数项中提出来，其他的分析和本书是相同的。
考虑二维守恒型Euler 方程：
0=??+??+??y
G x
F t
U (1)
其中：
?????
????
???=E v u U ρρρρ ????????????++=)(2
p E u uv p u u F ρρρρ ?????
?
??????++=)(2
p E v p v uv
v G ρρρρ (1)式也可以写为：
()0U F i G j t
?+?+=?
(2)
图3.有限体积方法的控制体
一、有限体积方法－方案A
考虑图3所示控制体ij Ω，在控制体ij Ω上积分（2）式，有
,()0
ij
i j ij U F i G j ndl t
?Ω?Ω+
+?=??
（3）
其中,ij
i j ij
U dxdy U Ω=
Ω?
。（3）式的通量项可以写为：
1
4
1
()[()()]s s ij
A x y A s Fi Gj ndl n F U n G U dl
-=?Ω+?=
+∑?
?
(4)
其中n
是控制体边界的外法线单位向量；s 代表控制体的四个边，A s 代表控制体的角点，参考上图，A 0＝A 4。（3）式可以写为：
1
4
,1
[()()]0
s s A i j ij
x y A s U n F U n G U dl t
-=?Ω+
+=?∑?
(5)
到目前为止，（5）式是精确的。有限体积方法主要研究如何对（5）式中的积分项进行近似。最简单的近似方法是采用中点公式对积分项进行数值积分。以s=3的控制体边界（其中点记为i+1/2,j ）为例：
32
1/2,1/2,1/2,[()()][()()]()A i j x y x y i j i j A H n F U n G U dl n F U n G U l +++=
+≈+??
（6）
1/2,i j H +称为(i+1/2,j)边界处的数值通量。其他各边的计算方法类似。把4各边的
数值通量的表达式代入（6）式，就得到了所谓半离散的有限体积格式：
,1/2,1/2,,1/2,1/21()0i j i j i j i j i j ij
U H H H H t
+-+-?++++=?Ω （7）
这里需要强调的是：1)上面的过程只是对空间项进行了离散，时间导数项尚未离散，所以称为半离散格式。时间离散的方法可采用向前差分，向后差分，Runge －Kutta 方法等。2)有限体积方法只能计算出守恒变量在控制体内的平均值，但计算通量时需要知道物理量在某些具体点上的值。所以需要由单元上物理量的平均值估计物理量的空间分布，这一过程成为“重构”（reconstruction ）。最简单的重构方法认为：,ij i j U U =，其中（i ，j ）点位于相应控制体质心的位置。这种方法至多可达到空间二阶精度，与（6）式中采用中点公式是相协调的，在本节我们就采用这种方法。
下面讨论（6）式如何具体计算。假定控制体边界为直线，则（6）式中的1/2,(,,)x y i j n n l +?可以精确计算。在网格充分光滑的条件下，通量F ，G 至少可由下面两种方法得到：
i. 1/2,,1,()/2i j i j i j U U U ++=+，1/2,1/2,1/2,1/2,[()](),[()]()i j i j i j i j F U F U G U G U ++++==； ii. 1/2,,1,1/2,,1,[()][()()]/2,[()][()()]/2i j i j i j i j i j i j F U F U F U G U G U G U ++++=+=+。
上面的方法与中心差分的思想类似。应该指出这两种方法并不是计算数值通量的合适方法，因为他们可能导致格式不稳定。这里使用这两种方法主要是为了说明有限体积方法的概念，实用的计算通量的方法必须引入某种形式的人工粘性或者格式粘性。在计算出通量以后，在加上合适的时间方向的积分方法，就构成了完整的有限体积格式。下面总结有限体积方法实施的具体步骤： i 由n 时刻的n ij U 重构n 时刻),,(n t y x U 的分布。 ii 在控制体的每个边界上计算数值通量。
iii 采用适当的时间方向的离散方案计算出1+n ij U 。
二、有限体积方法－方案B
有限体积方法也可以通过曲线坐标中的守恒型方程得到。考虑曲线坐标中的Euler 方程：
[()]
[()]
()0
x y x y F G J F G J U J t
ξξηηξ
η
?+?+?+
+
=??? （8）
这里假定网格是静止的0t t ξη==，,ξη是无量纲的且1ξη?=?=。注意到在曲线坐标系中ij Ω是正方形。在ij Ω上积分（8）式有：
1/2
1/21/21/2
1/2
1/21/21/2
,,(){[()][()]}{[()][()]}0
j i i j i j j i i j i j x y x y x y x y U J F G J F G J d t
F G J F G J d ηηξξξξη
ηξξηηηηξ
ξξηξξξξη
ηηηηξ++--++--========???+
+-+?+
+-+=?? （9）
采用中点公式近似上式中的积分并注意到1ξη?=?=，有：
,,1/2,1/2,,1/2,1/2(){[()][()]}
{[()][()]}0
i j i j x y i j x y i j x y i j x y i j U J F G J F G J t
F G J F G J ξξξξηηηη+-+-?++-+?++-+= （10）
其中i+1/2,j 处的数值通量为：
1/2,1/2,[()]i j x y i j H F G J ξξ++=+ （11）
因此，基于曲线坐标的有限体积格式可以写为：
,1/2,1/2,,1/2,1/2,1()0i j i j i j i j i j i j
U H H H H t
J +-+-?+-+-=? （12）
显然，（12）式和（7）式应该是等价的。因此有：
1/2,1/2,1/2,1/2,,1/2,1/2,1/2,1/2
i j i j i j i j i j i j i j i j H H H H H H H H ++--++--==-==- （13）
以及
,,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,,1/2,1/2,()()()()()()()()()()()()()()()i j i j x i j x i j i j y i j y i j i j x i j x i j i j
y i j y i j i j x i j x i j i j J J n l y J n l x J n l y J n l x J n l y ξξξξη++++++------++=Ω=?=?=?=-?=-?=?=-?=-?=?=-?1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2
,1/2,1/2
()()()()()()()
()()y i j y i j i j x i j x i j i j y i j y i j i j J n l x J n l y J n l x ηηη++++------=?=?=-?=-?=-?=?（14） 其中，
1/2,1/2,1/21/2,1/2
,1/21/2,1/21/2,1/2()()()()()()i j i j i j i j i j i j ±±+±-±+±-±?=-?=- 。
注意到，向量1/2,1/2,()()x i j y i j J i J j ξξ+++
的方向与控制体的外法线的方向并不一
定相同，1/2,1/2,()()x i j y i j J i J j ξξ+++
总是指向i 或j 增加的方向。在计算中，采用
这种定义更为方便。我们定义指向i 或j 增加的方向的单位法向量为*n
，
1/2,1/2,1/2,1/2,*
1/2,1/2,1/2,()()()()()()x i j y i j i j i j i j x i j y i j
J i J j y i x j n l J i J j
ξξξξ++++++++?+?==?+
（15）
由（11）式
*
*
1/2,1/2,1/2,1/2,[()][()()]()i j x y i j x y i j i j H F G J n F U n G U l ξξ++++=+=+?（16）
则基于直角坐标系Euler 方程的有限体积方法和基于曲线坐标系的有限体积方
法均可写为
,1/2,1/2,,1/2,1/21()0i j i j i j i j i j ij
U H H H H t
+-+-?+-+-=?Ω， （17）
因此，（14）成立时，从直角坐标系方程出发构造有限体积方法和从曲线坐标系方程出发是完全等价的。
三、 有限差分方法
下面讨论有限差分方法。对（8）式直接进行半离散差分近似（只离散空间导数项）并注意到1ξη?=?=，如果我们要求差分格式是守恒型的，则有：
,1/2,1/2,,,1/2,1/2()1{[()][()]{[()][()]0
i j x y i j x y i j
i j
x y i j x y i j U F G J F G J t
J F G J F G J ξξξξηηηη+-+-?++-+?++-+= （18）
在形式上（18）与（12）非常类似，唯一的区别是此时因变量是,i j U 而非单元上的平均值,i j U 。有限差分方法和有限体积方法的主要区别体现在通量的计算上。在有限差分方法中没有定义控制体，所以度量系数在单元边界处没有定义，因此当采用中心差分时，1/2,1/2,[()]i j x y i j H F G J ξξ++=+的计算方法为：
1/2,,1,{[()][()]}/2i j x y i j x y i j H F G J F G J ξξξξ++=+++ （19）
在有限差分方法中，在网格点上的度量系数(如,()x i j J ξ)也需要通过差分方法计算，因此对网格的光滑性有一定要求。
四、有限差分方法与有限体积方法的异同
有限体积方法和有限差分方法是密切相关的。事实上，在矩形网格上，二者可以做到完全等价。但是，从实施过程及计算结果看，有限差分方法和有限体积方法有如下不同：
i) 有限体积方法中几何量（度量系数）和物理量的计算是独立的；有限差分方法要对几何量（度量系数）和物理量的确定组合进行差分运算，所以采用不同的差分格式，几何量对计算结果的影响是不同的。
ii) 有限差分方法计算得到的是网格点上的物理量，有限体积方法得到的是单元的平均值。
有限体积方法的特点是：
i ）当网格尺度有限时，可以比有限差分方法更好的保证质量守恒、动量守恒和能量守恒定律的满足；
ii ）在复杂区域上容易实施；
iii ）对多维问题而言，高精度（高于二阶）有限体积方法的构造和实施比较困难。
有限差分方法的特点是：
i ）有限差分方法只需构造偏导数的离散方法，这使得它比较容易推广到高阶精度，对于多维问题也是如此。
ii ）在曲线坐标系中，有限差分方法要对几何量和物理量的确定组合进行差分离散，这样做的后果之一是有限差分方法可能产生所谓几何诱导误差（Geometry Induced Error ）。例如，考虑一无界均匀流场，易知，该流动应是定常的。即,,,
0i j U i j t
??=?。在由一般曲线坐标构成的网格（求解域可以是有
界也可以是无界的，计算边界条件是给定的均匀流动参数）上采用有限差分方法计算此流动，可能有
,0i j U t
?≠?。（而采用有限体积方法，则恒有
,,,
0i j U i j t
??=?。）这种现象，是几何诱导误差的表现之一。
作业1：初始条件为一无界均匀流场，试证明，采用有限体积方法求解该流动问题时，恒有： ,,,0i j U i j t ??=?；而在一般曲线坐标系中，用有限差分方法求解该问题时，则可能有
,0i j U t
?≠?。构造一种度量系数（metric terms ）的计算
方法，使得使用有限差分方法进行计算时，仍有,,,0i j U i j t
??=?。
提示：假定网格（或控制体）是静止的，具体做法可参考AIAA J Vol. 38, No.9 PP.1586-1593.
第3节 半离散格式的时间推进方法, N-S 方程的计算方法
一、半离散格式的时间推进方法
在以后的章节，我们在推导差分格式时，经常用到所谓“半离散格式”，即时间方向的导数暂时不离散，只进行空间离散。这种做法的好处一是可以以简明的方式集中讨论比较复杂的空间格式，而是可以构造专门的时间方向离散方法，而这种时间离散方法，理论上可以和各种空间离散方法进行组合，从而构造出多种“全离散”格式。事实上，在上一节我们已经采用了“半离散”的概念。对于有限体积方法，半离散格式可以写为：
,()ij i j U Q U t
?=? （1）
其中
,1/2,1/2,,1/2,1/21()()i j i j i j i j i j ij
Q U H H H H +-+-=-
-+-Ω
上式中的U 代表格式中计算数值通量时用到的所有单元中守恒变量的平均值。对于有限差分方法，它的半离散格式可以写为与（1）类似的形式：
,,()i j i j U Q U t
?=? （2）
注意到，对于求解域内的所有i ，j 点，（1）式以及（2）式分别构成了一阶常微分方程组，所以，所有求解常微分方程组的数值方法均可以用于求解（1）式或（2）式，如常见的线性多步法，Runge －Kutta 法等。下面我们不准备对于这些方法进行详细讨论，只给出几种典型的方法，以使读者对于求解过程有大致的概念。
1 Euler 显式方法
以（2）式为例，Euler 显式方法可以写为：
1,,,()n n n
i j i j i j U U tQ U +=+? （3）
由于,i j Q 是n U 的已知函数，所以由n U 可以计算出,i j Q ，进一步由（3）式计算出1n U +。
2 Euler 隐式方法
Euler 隐式方法可以写为：
11
,,,()n n n i j i j i j U U tQ U
++=+? （4）
对于所有i ，j ，（4）式构成了一组代数方程，如果,i j Q 和1n U +之间的关系不是线性的，则（4）是一个非线性方程组。这个方程组可以用诸如牛顿迭代等方法求解。显然，在推进一个时间步的过程中，Euler 隐式方法的计算量远远大于Euler 显式方法，但是Euler 隐式方法允许大的时间步长，从而可以比Euler 显式方法用较少的步数推进到同一时间点；如果我们感兴趣的是定常解，则隐式方法的收敛速度通常快于显式方法。
3 Runge －Kutta 方法
二阶的Runge －Kutta 方法就是通常的预测－校正方法：
*
,,,1**
,,,,()1(())
2
n
n
i j i j i j n n i j i j
i j
i j U U tQ U U
U
U
tQ U +=+?=
++?
在含有激波的流动计算中，常用的还有三阶具有TVD 性质的Runge －Kutta 方法：
(0)
,,(1)
(0)
(0)
,,,(2)
(0)
(1)
(1)
31
,,,,44(3)
(0)
(2)
(2)
12,,,,33
1
(3)
,,()
(())(())
n
i j i j
i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j n i j i j
U U U U tQ U U U U tQ U U U U tQ U
U U +==+?=++?=++?= 二、Navier －Stokes 方程的有限体积和有限差分格式
容易看出，把Euler 方程的通量,F G 替换为,v v F F G G --，则可以得到相应的Navier －Stokes 方程的有限体积和有限差分格式的一般形式。具体的说，Navier －Stokes 方程的有限体积格式可以写为：
,1/2,1/2,,1/2,1/2,1/2,,1/2,,,1/2,,1/21[()
()]0
i j i j i j i j i j ij
v i j v i j v i j v i j U H H H H t
H H H H +-+-+-+-?+-+-?Ω--+-=（5）
有限差分格式可以写为：
,1/2,1/2,,1/2,1/2,1/2,,1/2,,,1/2,,1/21[()
()]0
i j i j i j i j i j ij
v i j v i j v i j v i j U H H H H t
J H H H H +-+-+-+-?+-+-?--+-= （6）
其中无论是有限体积方法还是有限差分方法，粘性数值通量均可写为：
,1/2,1/2,[()]v i j v x v y i j H F G J ξξ++=+ （7） 在有限体积方法中，粘性数值通量也可以写为：
**
,1/2,1/2,1/2,[]()v i j x v y v i j i j H n F n G l +++=+? 。（8）
通过上面的讨论，我们知道：Navier －Stoke 方程的离散相当于在Euler 方程中无粘通量离散的基础上，添加粘性通量的离散。在本节，我们介绍粘性通量的离散方法，而后面的几章中，我们将集中介绍无粘通量的离散方法。 （7）和（8）式可以写为下面的具体形式：
,1/2,1/2,0()()[()()]xx x
xy y v i j
xy x yy y xx xy x xy yy x i j
J H J T T u v k u v k J x y τξτξτξτξττξττξ++??
?
?+????=+?
????
?+++++??
???
?（9） 或者
****,1/2,1/2,**1/2,0()()()xx x xy x v i j
i j xy x yy y
xx xy x xy yy y i j
n n H l n n T T u v k n u v k n x y ττττττττ+++????+??
??=?+????
??+++++?????? （10） 其中
2(),2(),()
xx x x y yy y x y xy yx y x u u v v u v u v τμλτμλττμ=++=++==+ 粘性通量一般用中心型格式离散。注意到：为了计算在1/2,i j +处的粘性通
量，我们只需计算出1/2,i j +处的,x y φφ，其中φ分别为,,u v T 。在有限差分方法中，1/2,i j +处,x y φφ的算法为：
1,,1/2,1/21/2,1/2
1/2,1/2,1/2,1/2,()()()()i j i j
i j i j x i j x x i j x i j x i j ξηφφφφφφξφηξηξ
η
++++-++++--=+=+?? 1,,1/2,1/21/2,1/2
1/2,1/2,1/2,1/2,()()()()i j i j
i j i j y i j y y i j y i j y i j ξηφφφφφφξφηξηξ
η
++++-++++--=+=
+
??
在网格充分光滑时，在角点1/2,1/2i j +±处的φ可以通过周围整节点函数值的算术平均得到，例如：
1/2,1/2,1,,11,11()4
i j i j i j i j i j φφφφφ++++++=
+++。 （11）
注意到，为了计算,x y φφ，我们需要知道1/2,i j +处的1/2,()x i j ξ+，1/2,()x i j η+，
1/2,()y i j ξ+，1/2,()y i j η+。在有限差分方法中，一般取：
,1,1/2,,1,,1,1/2,,1,,1,1/2,,1,,1,1/2,,1,()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x i j x i j
x i j i j i j y i j y i j
y i j i j i j x i j x i j
x i j i j i j y i j y i j
y i j i j i j
J J J J J J J J J J J J J J J J ξξξξξξηηηηηη+++++++++++++=++=++=++=
+。
在有限体积方法中，,x y φφ可以根据Gauss 公式计算，建立如图4中虚线所示的辅助控制体1/2,i j +Ω，则：
1/2,1/2,1/2,i j
i j
i j dl
dxdy
φφ++?Ω+Ω?≈
???
n
，
由此可得
1/2,1/2,()()i j j i x i j i j j i j i i j y i j i j j i y y x y x y x x x y x y
φφφφφφ++??-??=??-????-??=
??-??
其中
()()()(
)()()1,,1/2,1/21/2,1/2
i i j i j
j i j i j ++++-?=-?=-。
图4 辅助控制体和插值系数计算点
在有限体积方法中，当然也可以用（11）式计算1/2,1/2i j φ++。但是，为了在非均匀（但充分光滑）网格上达到二阶精度，更好的方案是采用双线性插值的方法。具体说：
i+1,j
i,j
i,j+1
i+1,j+1
i+1/2,j+1/2
i+1/2,j+3/2
i+1/2,j-1/2
i+3/2,j+1/2
i-1/2,j+1/2
1/2,1/21/2,1/21/2,1/2,1/2,1/21/2,1/21,1/2,1/21/2,1/2,11/2,1/21/2,1/21,1
(1)(1)(1)(1)i j i j i j i j i j i j i j
i j i j i j i j i j i j φαβφαβφαβφαβφ++++++++++++++++++++++=+-+-+--，
参考图4，,αβ的定义为：
1/2,1/23/2,1/2
1/2,1/21/2,1/21/2,1/21/2,1/23/2,1/2
1/2,1/21/2,3/2
1/2,1/21/2,1/21/2,1/21/2,1/21/2,3/2
i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j αα++++++-++++++++++++++-++++++-=
-+--=
-+-r r r r r r r r r r r r
其中r 为矢径。
1．流体的连续介质模型：研究流体的宏观运动，在远远大于分子运动尺度的范围里考察流体运动，而不考虑个别分子的行为，因此我们可以把流体视为连续介质。 它有如下性质： （1）流体是连续分布的物质，它可以无限分割为具有均布质量的宏观微元体。 （2）不发生化学反应和离解等非平衡热力学过程的运动流体中，微元体内流体状态服 从热力学关系 （3）除了特殊面外，流体的力学和热力学状态参数在时空中是连续分布的，并且通常 认为是无限可微的 2．应力：有限体的微元面积上单位面积的表面力称为表面力的局部强度，又称为应力，定义如下：=n T A F A δδδlim 0→ 3．流体的界面性质：微元界面两侧的流体的速度和温度相等，应力向量的大小相等.方向相反或应力分量相等。 4．流体具有易流行和压缩性。 5．应力张量具有对称性。 6．欧拉描述法：在任意指定的时间逐点描绘当地的运动特征量（如速度、加速度）及其它的物理量的分布（如压力、密度等）。 7．拉格朗日描述法：从某个时刻开始跟踪质点的位置、速度、加速度和物理参数的变化，这种方法是离散质点的运动描述法称为拉格朗日描述法。 8.流线：速度场的向量线，该曲线上的任意一点的切向量与当地的的速度向量重合。 迹线：流体质点点的运动迹象。 差别：迹线是同一质点在不同时刻的位移曲线。 流线是同一时刻、不同质点连接起来的速度场向量线。 流线微分方程：ω dz v dy u dx == 迹线微分方程：t x U i i ??= 9．质点加速度：质点速度向量随时间的变化率。 U U t U a )(??+??= 质点加速度=速度的局部导数+速度的迁移导数。 物理量的质点导数=物理量的局部导数+物理量的对流导数。
大型飞机高级人才培养班 航空工程全日制工程硕士研究生培养方案 一、适用类别或领域 航空工程（085232） 二、培养目标 材料工程、电子与通信工程、控制工程、航空工程领域全日制工程硕士 (以下简称航空工程等领域全日制工程硕士)是与以上各工程领域任职资格相联系的专业学位，主要为国民经济和国防建设等领域培养应用型、复合型高层次工程技术和工程管理人才。大飞机班旨在探索一条“以国家大型项目人才需求为索引，培养具有献身精神、团结协作精神、开拓创新精神的设计型和复合型人才”的研究生培养新模式，是北航研究生培养体系的一部分。 航空工程等领域全日制工程硕士培养的基本要求是： 1、坚持党的基本路线，热爱祖国、遵纪守法、品行端正、诚实守信、身心健康，具有良好的科研道德和敬业精神。 2、在本领域掌握坚实的基础理论和系统的专门知识，有较宽的知识面和较强的自立能力，具有大飞机设计、制造、运营、管理等领域需求的创造能力和工程实践能力。 3、掌握一门外国语。 三、培养模式及学习年限 1．航空工程等领域全日制工程硕士研究生培养实行导师负责制，或以导师为主的指导小组制，负责制订硕士研究生个人培养计划，选课、组织开题报告、论文中期检查、指导科学研究和学位论文，并与中国商飞、第一飞机设计研究院、西飞公司等航空企业联合培养，实行导师组指导。 2．硕士研究生一般用1学年完成课程学习，课程学习实行学分制，具体学习、考核及管理工作执行《北京航空航天大学研究生院关于研究生课程学习管理规定》。 3．专业实习是全日制工程硕士研究生培养中的重要环节，全日制工程硕士研究生在学期间，应保证不少于0.5年的工程实践。 4．学位论文选题应来源于航空工程等领域工程技术背景。鼓励实行双导师制，其中第一导师为校内导师，校外导师应是与本工程领域相关的专家，也可以根据学生的论文
《计算流体动力学分析》学习报告 计算流体力学基础： 本章主要讲解流体动力学的核心思想以及流体动力学的控制方程。 1、计算流体动力学（Computational Fluid Dynamic ）基本思想：把原来在时间和空间上的连续的物理量，用一系列离散点上的变量值来代替，通过一定的原则和方式建立变量之间的代数方程式，求解之后获得变量的近似值。 2、CFD 控制方程： 质量守恒方程 0)·=?+??u t ρρ（ 动量守恒方程（Navier-Stokes 方程） Fz z y x z u w div t w F z y x y u v div t v F z y x x u u div t u zz zx zx y zy yy xy x zx yx xx +??+??+??+??-=+??+??+??+??+??-=+??+??+??+??+??-=+??τττρρρτττρρρτττρρρ)()()()()()( 能量守恒方程 T p S gradT c k div T u div t +=+??)()(T ( ρρ） S T 为粘性耗散项。 方程含有u ，v ，w ，p ，T 和ρ六个未知量，所以还需要一个方程组，才能使其封闭，而这个方程组就是联系P 和ρ的状态方程组：P=（ρ，T ）。 组分质量守恒方程（在一个系统中，可能存在质的交换，或者存在化学组分时使用。） ()s s s s S c grad D div c u div t +=+??)()(c (s ρρρ ） 为便于对控制方程进行计算和分析，对CFD 控制方程写成通用格式： ()S z z y y x x z w y v x u t S grad div u div t +??Γ??+??Γ??+??Γ??=??+??+??+??+Γ=+??)()()()()()())()(φφφφρφρφρρφφφρρφ 依次为瞬态项，对流项，扩散项和源项。 3、湍流控制方程 三维的N-S 方程无论对于层流还是湍流都是是使用的，但由于直接求解三维瞬态的控制方程，对计算机的内存和速度要求很高，因此在工程上广为采用的方法是对瞬态的N-S 方程进行实践平均处理，同时补充反应湍流特性的其他方程，例如湍动能方程以及湍流耗散率方程
高等计算流体力学讲义（2） 第二章 可压缩流动的数值方法 §1. Euler 方程的基本理论 0 概述 在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。 1非线性守恒系统和Euler 方程 一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式 =??+??x F t U ，0,>∈t R x （1） 其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即： 0)(lim =→U F U 即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。 守恒律的物理意义 设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =??R R 。即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时 间变化，但其总量保持守恒。 多维守恒律可以写为 )(=++??+??k H j G i F t U （2） 守恒律的空间导数项可以写为散度形式。 守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式
研究生《流体力学实验》 ——飞机标模染色液流动显示 实验报告 班级 姓名 实验日期 指导教师 北京航空航天大学流体力学研究所
一、实验目的 1. 掌握染色流动显示技术的基本原理、应用方法和实验过程中应注意的技术问题。 2. 了解战斗机典型绕流现象和特性，包括机翼前缘涡（边条涡）、机头涡的形态、特征、涡 系间相互作用，以及攻角影响等，并分析这些流动现象对飞机气动性能的影响。 二、基本原理 流动显示技术是显示技术包括方法、设备、记录手段、图像处理和数据分析等方面，逐渐形成专门的实验技术。 水洞中常用的流动显示技术有氢气泡方法和染色方法等（属于示踪粒子方法），配以激光片光源等辅助手段可以得到很多有意义的细节结果。染色线流动显示是在在被观测的流场中设置若干个点，在这些点上不断释放某种颜色的液体，它随流过该点的流体微团一起往下游流去，流过该点的所有流体微团组成了可视的染色线。染料选取应注意：1.所选取的染料应使染色线扩散慢、稳定性好；2.染色液应与水流具有尽可能相同的密度（与酒精混合）； 3. 染料颜色与流场背景形成强的反差（荧光染料）注入方式；4.在绕流物体表面开孔；5.直接注入流场中所需要观测的位置。 本实验选用飞机标模，利用染色液方法观察其绕流的典型流动现象，重点关注机头涡、边条涡及其对基本翼（主翼也称后翼）流动的影响。 三、实验装置及模型 1.实验模型 飞机标模由机身、机翼、尾翼构成，见图2。机身为尖拱型头部加圆柱形后体，机翼为大后掠边条加中度后略三角翼主翼，尾翼包括水平尾翼和垂直尾翼（单立尾）。各部分表面都布有染色液出孔。
2.实验风洞 北航1.2米多用途低速串联水平回流式水洞。该水洞实验段尺寸大、流场品质高，与同类设备比较，不但在国内领先，而且达到国际先进水平。设备主实验段1.2米×1米×16米（高×宽×长），流速范围0.1～1.0米/秒。主实验段主要流场品质：湍流度0.27％～0.45％，截面速度不均匀度：0.46％。 四、实验步骤 1.实验准备，将染色液注入系统； 2.开启水洞，水流速度稳定到10cm/s； 3.调整攻角； 4.待流场稳定后，调节染色液流量，得到清晰的流动结构显示形态； 5.待流动稳定后，观察稳定的流态，拍摄照片； 6. 将攻角分别调整到0 o，5o，10o，15o，20o，25o，30o，35o，40o，45o，50o，55o，60o，重复步骤5，直到所要求的攻角状态实验全部完成。 五、实验结果报告 1．实验条件： ①水温t=20o C； 水的运动粘性系数υ=0.878×10-6米2秒； 附：水的运动粘性系数随温度的变化： ②水流速度 U = 0.1 米/秒； ③特征长度C=0.115m （C为模型机翼平均弦长） 计算：雷诺数 Re = UC /υ= 1.310×104； 2．实验结果和分析
计算流体力学课程总结 计算流体动力学(computational Fluid Dynamics,简称CFD)是通过计算机数值 计算和图像显示，对包含有流体流动和热传导等相关物理现象的系统所做的分析。是用电子计算机和离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的一个分支。 流体力学和其他学科一样，是通过理论分析和实验研究两种手段发展起来的。很早就已有理论流体力学和实验流体力学两大分支。理论分析是用数学方法求出问题的定量结果。但能用这种方法求出结果的问题毕竟是少数，计算流体力学正是为弥补分析方法的不足而发展起来的。计算流体力学是目前国际上一个强有力的研究领域,是进行传热、传质、动量传递及燃烧、多相流和化学反应研究的核心和重要技术，广泛应用于航天设计、汽车设计、生物医学工业、化工处理工业、涡轮机设计、半导体设计、HAVC&R 等诸多工程领域。 计算流体力学的任务是流体力学的数值模拟。数值模拟是“在计算机上实现的一 个特定的计算，通过数值计算和图像显示履行一个虚拟的物理实验——数值实验“。 数值模拟包括以下几个部分。首先，要建立反映问题(工程问题、物理问题等)本质数 学模型。其次，数学模型建立以后需要解决的问题是寻求高效率、高准确度的计算方法。再次，在确定了计算方法和坐标系统后，编制程序和进行计算式整个工作的主体。最后，当计算工作完成后，流畅的图像显示是不可缺少的部分。 还有一个就是CFD的基本思想问题，它就是把原来在时间域及空间域上连续的物理量的场，如速度场和压力场，用一系列有限个离散点上的变量值的集合来代替，通 过一定的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系的代数方程组，然后求 解代数方程组获得场变量的近似值。 经过四十多年的发展，CFD出现了多种数值解法。这些方法之间的主要区别在于 对控制方程的离散方式。根据离散的原理不同，CFD大体上可分为三个分支： ?有限差分法(Finite Different Method，FDM) ?有限元法(Finite EIement Method，FEM) ?有限体积法(Finite Volume Method，FVM) 有限差分法是应用最早、最经典的CFD方法，也是最成熟、最常用的方法。它将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程的 导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。求出差分万程组 的解，就是微分方程定解问题的数值近似解。它是一种直接将微分问题变为代数问题 的近似数值解法。
计算流体力学教案 Teaching plan of computational fluid mechanics
计算流体力学教案 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 一、流体地基本特征 1.物质地三态 在地球上，物质存在地主要形式有：固体、液体和气体。 流体和固体地区别:从力学分析地意义上看，在于它们对外力抵抗地能力不同。 固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。 流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。 液体和气体地区别：气体易于压缩；而液体难于压缩； 液体有一定地体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形状地容器，无一定地体积，不存在自由液面。 液体和气体地共同点：两者均具有易流动性，即在任何 微小切应力作用下都会发生变形或流动，故二者统称为流体。 2.流体地连续介质模型
微观：流体是由大量做无规则运动地分子组成地，分子之间存在空隙，但在标准状况下，1cm3液体中含有3.3×1022个左右地分子，相邻分子间地距离约为3.1×10-8cm。1cm3气体中含有2.7×1019个左右地分子，相邻分子间地距离约为3.2×10-7cm。 宏观：考虑宏观特性，在流动空间和时间上所采用地一切特征尺度和特征时间都比分子距离和分子碰撞时间大得多。 （1）概念 连续介质（continuum/continuous medium）：质点连续充满所占空间地流体或固体。 连续介质模型（continuum continuous medium model）：把流体视为没有间隙地充满它所占据地整个空间地一种连续介质，且其所有地物理量都是空间坐标和时间地连续函数地一种假设模型：u =u（t,x,y,z）。 （2）优点 排除了分子运动地复杂性。物理量作为时空连续函数，则可以利用连续函数这一数学工具来研究问题。 3.流体地分类
北航考研之科研成果及重点实验室汇总 学校在尖端技术研究领域居于国内高校前列，有40多项科研成果具有开辟意义;该校研制发射成功的多种型号飞行器填补了国内多项空白，如中国第一架轻型旅客机“北京一号”、亚洲第一枚探空火箭“北京二号”、中国第一架无人驾驶飞机“北京五号”、“蜜蜂”系列飞机、共轴式双旋翼无人驾驶直升机等。自2001年至2013年，北航共获国家三大科技奖励49项;特别在2005年至2013年，该校连续7年获得7项国家级科技奖励一等奖。 2013年学校科研经费到款23.23亿元，6项成果获得国家奖励，3位教授及其团体获国家自然科学二等奖，获批5项973项目、12项自然科学基金重点项目，以及237项面上项目，重大工程项目进展顺利并获嘉奖。以“3D打印”为代表的技术创新取得重大进展，“月宫一号”实验装置取得实质进展，物理科学与核能工程学院参与的发现四夸克物质Zc(3900)被评为2013美国《物理》杂志年度研究热点、生物与医学工程学院两篇文章分别名列ESI 近两年热点论文和材料领域近十年高引用论文。 标志性成果 昆虫飞行的空气动力学和飞行力学 实时三维图形平台BH-GRAPH 航空航天、先进制造等复杂工程系统 过渡金属及其化合物纳米材料的可控制备、微结构及特性研究 六方铁磁体的稳定磁结构耦合及其可控磁功能特性 科研机构 截止2013年，北京航空航天大学拥有1个国家实验室、9个国家级重点实验室、4个国家级工程研究中心、42个省部级重点实验室、3个省部级工程中心和3个中关村开放实验室。 国家实验室 航空科学与技术国家实验室 国家重点实验室 虚拟现实新技术国家重点实验室、软件开发环境国家重点实验室、国家计算流体力学实验室、航空发动机气动热力国家科技重点实验室、“863”高技术CIMS设计自动化工程实验室、惯性技术国家级重点实验室、可靠性与环境工程实验室、飞行器控制一体化技术实验室、国家空管新航行系统技术重点实验室。 省部级重点实验室 航空可靠性综合航空科技重点实验室、数字化设计与制造技术北京市重点实验室、网络技术北京市重点实验室、计算机新技术实验室、材料力学实验室、流体力学教育部重点实验室、先进仿真技术航空科技重点实验室、航空电子航空科技重点实验室、特种功能材料与薄膜技术北京市重点实验室、聚合物基复合材料北京市高技术实验室、“复杂系统分析与管理决策”教育部重点实验室、“城市运行应急保障模拟技术”北京市重点实验室等。 研究所 航空探测研究所、A TE技术研究所、可靠性工程研究所、外国语言研究所、设备工程
自然环境和工程装置中的流动常常是湍流流动，模拟任何实际过程首先遇到的就是湍流问题，而湍流问题本身又是流体力学理论上的难题。 对湍流最根本的模拟方法是在湍流尺度的网格尺寸内求解瞬态的三维N-S 方程的全模拟方法，此时无需引进任何模型。然而由于计算方法及计算机运算水平的限制，该种方法不易实现。另一种要求稍低的方法是亚网格尺寸度模拟即大涡模拟（LES ），也是由N-S 方程出发，其网格尺寸比湍流尺度大，可以模拟湍流发展过程的一些细节，但由于计算量仍然很大，只能模拟一些简单的情况，直接应用于实际的工程问题也存在很多问值题[1]。目前数模拟主要有三种方法：1.平均N-S 方程的求解，2.大涡模拟（LES ），3.直接数值模拟（DNS ），而模拟的前提是建立合适的湍流模型。 2、基本湍流模型 常用的湍流模型有： 零方程模型：C-S 模型，由Cebeci-Smith 给出；B-L 模型，由Baldwin-Lomax 给出。一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones 与Launder 提出的标准k-e 模型，以及k-omega 模型。 2.1 零方程模型 上世纪30年代发展的一系列湍流的半经验理论，如Prandtl 的混合长度理论、Taylor 的涡量输运理论、von Karman 的相似性理论等，本质上即是零方程湍流模型。零方程模型直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，由于不涉及代数关系故称为另方程模型： ''m u u v y ρρε?-=? 其中m ε称为涡粘系数，他与分子的运动粘性系数ν有相同的量级。对于一般的三维的情况，上式可写为： '' 223 i j m ij ij u v S K ρεδ-=- K 为单位质量的湍流脉动动能。为了发展上述方法，需要建立m ε与平均速度之间的关系。1925年，普朗特沿这一方向做了重要工作，提出可混合长度理论，混合长度理论认为，存在这样的长度l ,在此长度内流体质点运动是自由的（不与
流体力学 实验指导书与报告 静力学实验 雷诺实验 中国矿业大学能源与动力实验中心
学生实验守则 一、学生进入实验室必须遵守实验室规章制度，遵守课堂纪律，衣着整洁，保持安静，不得迟到早退，严禁喧哗、吸烟、吃零食和随地吐痰。如有违犯，指导教师有权停止基实验。 二、实验课前，要认真阅读教材，作好实验预习，根据不同科目要求写出预习报告，明确实验目的、要求和注意事项。 三、实验课上必须专心听讲，服从指导教师的安排和指导，遵守操作规程，认真操作，正确读数，不得草率敷衍，拼凑数据。 四、预习报告和实验报告必须独自完成，不得互相抄袭。 五、因故缺课的学生，可向指导教师申请一次补做机会，不补做的，该试验以零分计算，作为总成绩的一部分，累计三次者，该课实验以不及格论处，不能参加该门课程的考试。 六、在使用大型精密仪器设备前，必须接受技术培训，经考核合格后方可使用，使用中要严格遵守操作规程，并详细填写使用记录。 七、爱护仪器设备，不准动用与本实验无关的仪器设备。要节约水、电、试剂药品、元器件、材料等。如发生仪器、设备损坏要及时向指导教师报告，属责任事故的，应按有关文件规定赔偿。 八、注意实验安全，遵守安全规定，防止人身和仪器设备事故发生。一旦发生事故，要立即向指导教师报告，采取正确的应急措施，防止事故扩大，保护人身安全和财产安全。重大事故要同时保护好现场，迅速向有关部门报告，事故后尽快写出书面报告交上级有关部门，不得隐瞒事实真相。 九、试验完毕要做好整理工作，将试剂、药品、工具、材料及公用仪器等放回原处。洗刷器皿，清扫试验场地，切断电源、气源、水源，经指导教师检查合格后方可离开。 十、各类实验室可根据自身特点，制定出切实可行的实验守则，报经系(院)主管领导同意后执行，并送实验室管理科备案。 1984年5月制定 2014年4月再修订 中国矿业大学能源与动力实验中心
北航计算流体力学第 15课
进口 出口
n n n 外边界 l l 外流边界形状 n n n 周期边 进口边界 出口边界 （b ）叶栅流 n n n n 进口边界 出口边界 （a ）通道流 固体壁 内流边界形状
二．几个重要概念 边界条件的定义： 边界条件表示求解域外的信息（扰动）对求解域边界的影响。 确定边界条件的原则： 1．若一信息由边界传入求解域，就应指定该信息的边界条件（第一原则）； 2．若一信息由求解域内传出边界，则不应指定该信息的边界条件（第二原则）。 由第一原则确定的边界条件称为解析边界条件； 由第二原则确定不给边界条件，但在数值求解中必须补充的边界条件称为数值边界条件。 由于信息传播的方式由方程的类型所决定，所以边界条件如何确定是由方程的类型所决定的。 又由于信息（扰动）是沿特征线传播的，所以边界条件的确定与特征线与边界交汇的方式有关。
进口 出口 三．进口与出口条件 （一） 一维Euler 方程 0t x U F += 式中： U u e ρρ?? ??=?? ???? ()2u F u p e p u ρρ???? =+????+?? 补充状态方程 21 12 p e u ργ= +- 1．进口边界（用下标 “in ”表示） 1）超音流（u a ∞>） 3个解析边界条件均由来流条件决定，即 in u u ∞= ，in ρρ∞= ，in p p ∞= 2）亚音流（u a ∞<） 2个解析边界条件，1个数值边界条件 in u u ∞= ，in ρρ∞= ，in inner p p = 下标inner 表示内场值。
重庆大学《计算流体力学与计算传热学基础》上机实验水平螺旋管内的对流换热过程 学生：刘伟文 学号：20123000 指导教师：李隆键 专业：热能与动力工程 重庆大学动力工程学院 二O一五年六月
一、前言 螺旋管在热力、化工、石油及核工业等领域得到了广泛应用，螺旋管换热器也具有结构简单、传热系数高等优点。它的传热系数比直管高，在相同空间里可得到更大的传热面积，布置更长的管道，减少了焊缝，提高了安全性。尽管螺旋管的流体阻力增大，压降增大，但是其传热效率的提高导致能量的节约要高于因阻力增大而消耗的能量。因此，螺旋管在许多行业得到普遍应用而倍受青睐。在工程应用中，由于工艺要求，往往需将流体加热至规定的温度范围，传热是其中的基本单元操作，所以有必要对螺旋管的传热与流动特性进行研究。从理论知识我们知道由于向心力的作用，流体从管中心部分由螺旋管内侧流向外侧壁面，因而造成了螺旋管内侧的低压区。在压差作用下，流体从外侧沿着圆管的上部和下部壁面流回内侧。这种流动是与管的轴向垂直的，也就是与流体的主体流动相垂直，称为二次流。流体的这种二次流与轴向主流复合成螺旋式的前进运动。这样，对于流体的传热传质，不仅可依靠流体的径向扩散，还有径向二次流的作用，相当于边界层进行了破坏，增强了流体传质。 二、GAMBIT建模
1、先建立一个半径为6的圆面。 2、将该圆面向X轴正方向移动120。 3、用圆面sweep形成螺旋柱体。（绕Y轴正方向）
4、重复以上操作，得到如图所示几何体弯管。 5、设置边界层。
并应用至每个截面：
6、设置圆面的网格，选择pave方式，interval size 选择0.6，这样边界层网格与圆面中心网格过渡较平缓。 7、依次建立体网格。 8、检查网格质量。 最差网格为0.41，满足要求。 8、输出网格。
汽车外部气体流动模拟 振动和噪声控制研究所 1.模型概述 在汽车外部建立一个较大的长方体几何空间，长度约为30m，宽度和高度约为5m，在空间内部挖出汽车形状的空腔，汽车尺寸参照本田CRV为4550mm*1820mm*1685mm。由于汽车向前开进，气体从车头流向车尾，因此将汽车前方空间设为气体入口，后方空间设为气体出口，模拟气体在车外的流动。另外为了节省计算成本将整个模型按1:100的比例缩小，考虑到模型和流体均是对称的，因此仅画出几何模型的一半区域，建立对称面以考虑生成包含理想气体的流体域。在Catia中建立的模型如图1.1所示。 图1.1几何模型 2.利用ICEM CFD进行网格划分 a)导入有Catia生成的stp格式的模型； b)模型修复，删除多余的点、线、面，允许公差设为0.1； c)生成体，由于本模型仅为流体区域，因此将全部区域划分为一个体，选取方法可以 使用整体模型选取； d)为了后面的设置边界方便，因此将具有相同特性的面设为一个part,共设置了in， out，FreeWalls，Symmetry和Body； e)网格划分，设置Max element=2，共划分了1333817个单元，有225390个节点； f)网格输出，设置求解器为ANSYS CFX，输出cfx5文件。 3.利用ANSYS CFX求解 a)生成域，物质选定Air Ideal Gas，参考压强设为1atm，浮力选项为无浮力模型，
域运动选项为静止，网格变形为无；流体模型设定中的热量传输设定为Isothermal，流体温度设定为288k，湍流模型设定为Shear Stress Transport模型，壁面函数 选择Automatic。 b)入口边界设定，类型为Inlet，位置选定在in，质量与栋梁选定Normal Speed，设 定为15m/s，湍流模型设定类型为Intensity and Length Scale=0.05，Eddy Len.Scale=0.1m。 c)出口边界设定，边界类型为Outlet，位置选out。质量与动量选项为Static Pressure，相对压强为0pa。 d)壁面边界设定，边界类型为Wall，位置选在FreeWalls。壁面边界详细信息中指定 WallInfluence On Flow为Free Slip。 e)对称边界设定，边界类型为Symmetry，位置选在Symmetry。 f)汽车外壁面设定，边界类型为Wall，位置设在Body，壁面详细信息选项中指定Wall Influence On Flow为No Slip，即汽车壁面为无滑移壁面。 g)初始条件设定，初始速度分量设为U方向为15m/s，其他两个方向的速度为零。 h)求解设置，残差类型选为RMS，残差目标设定为1e-5，当求解达到此目标时，求解 自动终止。求解之前的模型如图3.1所示。 图3.1求解之前的模型 4.结果后处理 从图4.1中可以看出计算收敛。
2015北京航空航天大学工程力学考博（航空科学与工程学院）参考 书、历年真题、报录比、研究生招生专业目录、复试分数线 一、学院介绍 航空科学与工程学院（以下简称航空学院）是北航最具航空航天特色的学院之一，主要从事大气层内各类航空器（飞机、直升机、飞艇等）、临近空间飞行器、微小型飞行器等的总体、气动、结构、强度、飞行力学与飞行安全、人机环境控制、动力学与控制等方面的基础性、前瞻性、工程性以及新概念、新理论、新方法研究与人才培养工作。 航空学院前身是清华大学航空系，是1952年北航成立时最早的两个系之一，当时称飞机系（设飞机设计和飞机工艺专业），1958年更名为航空工程力学系，1970年更名为五大队，1972年更名为五系，1989年定名为飞行器设计与应用力学系，2003年成立航空科学与工程学院。早期的航空学院荟萃了一批当时国内著名的航空领域的专家，如屠守锷、王德荣、陆士嘉、沈元、王俊奎、吴礼义、张桂联、徐鑫福、徐华舫、何庆芝、伍荣林、史超礼、叶逢培等教授，屠守锷院士（两弹一星元勋）是首任系主任，他们为本院发展奠定了坚实基础。在北航发展史上，航空学院不断输出专业和人才，先后参与组建七系、三系、十四系、宇航学院、飞行学院、无人机所、土木工程系、交通学院等院系。 自建校以来60多年，学院已培养本科毕业生万余人，硕士毕业生两千余人，博士毕业生近千人。毕业生中涌现出王永志、戚发韧、崔尔杰、乐嘉陵、王德臣、张福泽、王浚、钟群鹏、陶宝祺、郭孔辉、赵煦、唐西生、郭孔辉、唐长红等14位两院院士，改革开放后毕业生中也涌现出了“航空报国英模”/原沈飞董事长罗阳、中国商飞董事长金壮龙、第十一届“中国十大杰出青年”/原“神舟”飞船总指挥袁家军、歼15等飞机型号总师孙聪、C919大型客机总师吴光辉以及李玉海、耿汝光、姜志刚、屠恒章、孙聪、方玉峰、王永庆、孙兵、曲景文、李东、余后满、傅惠民、秦福光、陈元先、宋水云、吴宗琼、陈敏、高云峰等一批航空航天院所的年轻总师、总指挥、省市及部门负责人、民营企业家，为我国航空航天、国防事业及国家发展做出突出贡献。 学院作为主力曾先后研制成功我国第一架轻型旅客机“北京一号”、国内第一架高空高速无人侦察机、靶机、蜜蜂系列轻型飞机和第一架共轴式双旋翼直升机等，创造了多项全国第一。学院参与了所有国家重点航空型号以及大部分导弹型号的攻关工作。60多年来，学院取得了上百项国家和省部级教学与科研成果，其中国家级奖20多项。 学院师资力量雄厚，在北航乃至全国同类及相近学院中名列前茅。学院有教授56名（其中博士生导师51名），副教授50名，青年教师中有博士学位的比例为97%。拥有许多国内外著名专家学者，如中国科学院院士高镇同教授、李天教授，中国工程院院士李椿萱教授、王浚教授，“长江学者”特聘教授傅惠民、孙茂、杨嘉陵、高以天、武哲、王晋军、向锦武教授，国家教学名师及“万人计划”王琪教授，杰出青年基金获得者4名，跨/新世纪优秀人才的获得者10名，全国百篇优秀博士学位论文获得者2名；有国家级教学基地2个、国
计算流体力学结课报告200Km/h列车fluent仿真计算 学部：化、环、生学部 学院：化工机械与安全学院 学号：31507095 班级：化1512班 学生姓名：孙金
引言 数值仿真就是对所建立的数值模型进行数值实验和求解的过程。而计算流体力学CFD （Computational Fluid Dynamics）就是在工程仿真实验领域中应用最广泛的一门学科。任何流体运动的规律都是以质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律为基础的。这些基本定律可由数学方程组来描述，如欧拉方程、N-S方程。采用数值计算方法，通过计算机求解这些控制流体流动的数学方程，进而研究流体的运动规律这就是CFD研究问题的方法。在实际计算流体力学方面，采用通用的CFD软件来完成工程上的一些流体力学问题，有极为广泛的应用前景。近年来，随着计算机技术以及相关技术的发展，CFD技术已经在工程领域内取得重大的进步，特别是在高速列车的外型设计方面起了很大作用。随着国家经济的发展，国家运输业也有了很大的发展，特别是列车经过几次提速后，高速列车在国家运输行业中所占比例不断提高。高速列车的特点是庞大、细长、在地面轨道上运行，其空气动力学问题非常复杂。空气在列车表面形成空气流场，空气阻力急剧增加，作用在列车的阻力大部分来自压强阻力，而一部分来自表面磨擦阻力，这就使能耗过大，同时列车可能出现较大的空气升力，导致列车产生“飘”的现象，激发列车脱轨事故的发生，因此研究高速列车气动力性能非常重要。用CFD仿真可以详细了解高速列车的空气动力特性，从而设计出阻力小、噪音低等各方面性能完善的高质量列车。本文采用CFD学科中的常用商业软件Fluent仿真一个时速200km/h的二维流线型车头的外流场，对其空气动力性能进行分析，从而得到不同车辆形状其周围流场的不同，进而分析哪种车型更适合。
1.简述流体力学有哪些研究方法和优缺点? 实验方法就是运用模型实验理论设计试验装置和流程，直接观察流动现象，测量流体的流动参数并加以分析和处理，然后从中得到流动规律。实验研究方法的优点：能够直接解决工程实际中较为复杂的流动问题，能够根据观察到的流动现象，发现新问题和新的原理，所得的结果可以作为检验其他方法的正确性和准确性。实验研究方法的缺点主要是对于不同的流动需要进行不同的实验，实验结果的普遍性稍差。 理论方法就是根据流动的物理模型和物理定律建立描写流体运动规律的封闭方程组以及相应初始条件和边界条件，运 用数学方法准确或近似地求解流场，揭示流动规律。理论方法的优点是：所得到的流动方程的解是精确解，可以明确地给出各个流动参数之间的函数关系。解析方法的缺点是：数学上的困难比较大，只能对少数比较简单的流动给出解析解，所能得到的解析解的数目是非常有限的。 数值方法要将流场按照一定的规则离散成若干个计算点，即网格节点；然后，将流动方程转化为关于各个节点上流动 参数的代数方程；最后，求解出各个节点上的流动参数。数值方法的优点是：可以求解解析方法无能为力的复杂流动。数值方法的缺点是：对于复杂而又缺乏完整数学模型的流动仍然无能为力，其结果仍然需要与实验研究结果进行对比和验证。 2.写出静止流体中的应力张量,解释其中非0项的意义. 无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即p ij =0（i ≠j ），此时有 P =00000 0xx yy zz p p p ??????????=000000p p p -????-????-??=-p 00000011????1?????? = -p I 式中I 为单位张量，p 为流体静压力。 流体力学中，常将应力张量表示为 p =-+P I T （2-9） 式中p 为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T 称为偏应力张量，即 T =xx xy xz yx yy yz zx zy zz τττττττττ?????????? （2-10） 偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i ＝j 时，p ij 为法向应力，τii = p ij - p ；当i ≠j 时p ij 为粘性剪切应力，τij =p ij 。τii =0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，τii ≠0的流体称为粘弹性流体。 3.分析可压缩(不可压缩)流体和可压缩(不可压缩)流动的关系. 当气体速度流动较小（马赫数小于0.3)时，其密度变化不大，或者说对气流速度的变化不十分敏感，气体的压缩性没有表现出来。因此，在处理工程实际问题时，可以把低速气流看成是不可压缩流动，把气体可以看作是不可压缩流体。而当气体以较大的速度流动时，其密度要发生明显的变化，则此时气体的流动必须看成是可压缩流动。 流场任一点处的流速v 与该点（当地)气体的声速c 的比值，叫做该点处气流的马赫数，用符号Ma 表示： Ma /v c v == （4－20） 当气流速度小于当地声速时，即Ma<1时，这种气流叫做亚声速气流；当气流速度大于当地声速时，即Ma>l 时，这种气流称为超声速气流；当气流速度等于当地声速时，即Ma=l 时，这种气流称为声速气流。以后将会看到，超声速气流和亚声速气流所遵循的规律有着本质的不同。 马赫数与气流的压缩性有着直接的联系。由式(4－11)可得 所以有 222Ma d ρv dv dv ρc v v =-=-。 （4－21） 当Ma≤0.3时，dρ/ρ≤0.09dv /v 。由此可见，当速度变化一倍时，气体的密度仅仅改变9%以下，一般可以不考虑密度的变化，即认为气流是不可压缩的。反之，当Ma>0.3时，气流必须看成是可压缩的。 4.试解释为什么有时候飞机飞过我们头顶之后才能听见飞机的声音. 5.试分析绝能等熵条件下截面积变化对气流参数(v ,p ,ρ,T )的影响.
实验流体力学 第一章：相似理论和量纲分析 ①流体力学相似？包括几方面内容？有什么意义？ 流体力学相似是指原型和模型流动中，对应相同性质的物理量保持一定的比例关系，且对应矢量相互平行。 内容包括： 1.几何相似—物体几何形状相似，对应长度成比例； 2.动力相似—对应点力多边形相似，同一性质的力对应成比例并相互平行 （加惯性力后，力多边形封闭）； 3.运动相似—流场相似，对应流线相似，对应点速度、加速度成比例。 ②什么是相似参数？举两个例子并说明其物理意义 必须掌握的相似参数：Ma ，Re ，St 。知道在什么流动条件下必须要考虑这些相似参数。 相似参数又称相似准则，是表征流动相似的无量纲特征参数 。 1.两物理过程或系统相似则所有对应的相似参数相等。例如：假定飞机缩比模型风洞试验可以真正模拟真实飞行，则原型和模型之间所有对应的相似参数都相等，其中包括C L , C D , C M ： S V L C L 22 1 ρ= S V D C D 22 1 ρ= Sb V M C M 22 1 ρ= 风洞试验可以测得CL, CD, CM 值，在此基础上，将真实飞行条件带入CL, CD, CM 表达式，可以求得真实飞行的升力、阻力和力矩等气动性能参数。 2.所有对应的相似参数相等且单值条件相似则两个物理过程或系统相似。例如：对于战斗机超音速风洞试验，Ma 和Re 是要求模拟的相似参数，但通常在常规风动中很难做到。 由于对于此问题，Ma 影响更重要，一般的方案是保证Ma 相等，对Re 数影响进行修正。 ; Re V p Ma a RT a V L l St V ρ ρωμ∞∞= ====
《计算流体力学》课程大作业 ——基于涡量-流函数法的不可压缩方腔驱动流问题数值模拟 张伊哲 航博101 1、 引言和综述 2、 问题的提出，怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式 3、 程序说明 4、 计算结果和讨论 5、 结论 1引言 虽然不可压缩流动的控制方程从形式上看更为简单，但实际上，目前不可压缩流动的数值方法远远不如可压缩流动的数值方法成熟。 考虑不可压缩流动的N-S 方程： 01()P t νρ??=? ? ??+??=-?+???? U U UU f U (1.1) 其中ν是运动粘性系数，认为是常数。将方程组写成无量纲的形式： 01()Re P t ??=?? ??+??=-?+????U U UU f U (1.2) 其中Re 是雷诺数。 从数学角度看，不可压缩流动的控制方程中不含有密度对时间的偏导数项，方程表现出椭圆-抛物组合型的特点；从物理意义上看，在不可压缩流动中，压力这一物理量的波动具有无穷大的传播速度，它瞬间传遍全场，以使不可压缩条件在任何时间、任何位置满足，这就是椭圆型方程的物理意义。这就造成不可压缩的N-S 方程不能使用比较成熟的发展型．．．偏微分方程的数值求解理论和方法。 如果将动量方程和连续性方程完全耦合求解，即使使用显示的离散格式，也将会得到一个刚性很强的、庞大的稀疏线性方程组，计算量巨大，更重要的问题是不易收敛。因此，实际应用中，通常都必须将连续方程和动量方程在一定程度上解耦。 目前，求解不可压缩流动的方法主要有涡量-流函数法，SIMPLE 法及其衍生的改进方法，有限元法，谱方法等，这些方法各有优缺点。其中涡量-流函数法是解决二维不可压缩流动的有效方法。作者本学期学习了研究生计算流体课程，为了熟悉计算流体的基本方法，选择使用涡量-流函数法计算不可压缩方腔驱动流问题，并且对于不同雷诺数下的解进行比较和分析，得出一些结论。 本文接下来的内容安排为：第2节提出不可压缩方腔驱动流问题，并分析该问题怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式、选择边界条件。第3节介绍程序的结构。第4节对于不同雷诺数下的计算结果进行分析，并且与U.GHIA 等人【1】的经典结论进行对比，评述本
流体力学讲义 课程简介：流体力学是动力、能源、航空、环境、暖通、机械、力学等专业的重要基础课。本课程的任务是系统介绍流体的力学性质、流体力学的基本概念和观点、基础理论和常用分析方法、有关的工程应用知识等；培养学生具有对简单流体力学问题的分析和求解能力，掌握一定的实验技能，为今后学习专业课程，从事相关的工程技术和科学研究工作打下坚实基础。 流体力学学科既是基础学科，又是用途广泛的应用学科；既是古老的学科，又是不断发展、充满活力的学科。当前，流体力学进入了一个新的发展时期：分析手段更加先进，与各类工程专业结合更为密切，与其他学科的交叉渗透更加广泛深入。但由于流体力学理论性较强，概念抽象，学生普遍缺乏对流体的感性认识，使流体力学课程历来被认为是教师难教、学生难学的课程之一。为改进流体力学教学质量，所以，我们采用多媒体教学的方式，尽可能多地给学生提供大量的图片，增加感性认识。 学生在学习的过程中，要特别注意学习目标、学习方法、重点内容、注意事项等问题。 第一章绪论 第一节工程流体力学的研究对象、内容和方法 一、研究对象和内容 研究对象和内容：工程流体力学以流体（包括液体和气体）为研究对象，研究流体宏观的平衡和运动的规律，流体与固体壁面之间的相互作用规律，以及这些规律在工程实际中的应用。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，开始利用流动规律改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体力学是一门基础性很强和应用性很广的学科，是力学的一个重要分支。它的研究对象随着生产的需要与科学的发展在不断地更新、深化和扩大。60年代以前，它主要围绕航空、航天、大气、海洋、航运、水利和各种管路系统等方面，研究流体运动中的动量传递问题，即局限于研究流体的运动规律，和它与固体、液体或大气界面之间的相互作用力问题。60年代以后，能源、环境保护、化工和石油等领域中的流体力学问题逐渐受到重视，这类问题的特征是：尺寸小、速度低，并在流体运动过程中存在传热、传质现象。这样，流体力学除了研究流体的运动规律以外，还要研究它的传热、传质规律。同样，在固体、液体或气体界面处，不仅研究相互之间的作用力，而且还需要研究它们之间的传热、传质规律。