函数周期性分类解析
一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立
则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论
1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；
2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数
4、 y=f(x)满足f(x+a)=()
x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-
(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()
f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()
f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=
)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则
函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；
11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；
12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它
的一个周期。
13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。
T 15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(
)=0.
2
函数的周期性练习题高一
一．选择题（共15小题）
1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈
（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）
A．1 B．C．﹣1 D．﹣
2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]
时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f （x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣
4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
5．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，
则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．5
6．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣
2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：
，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.5
8．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则
f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2
9．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．3
10．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则
f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．5
11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f （﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9 D．10 15．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共10小题）
16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有
f（x+3）=，则f（2014）=．
17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则
f（2013）的值为．
19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．
20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．
21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．
22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（8）﹣f（14）=．
23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．
24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则
=．
25．若f（x+2）=，则f（+2）?f（﹣14）=．
三．解答题（共5小题）
26．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）．
27．函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；
（2）求的值．
28．已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），
当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．
（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；
（2）求f（24）的值．
29．已知函数f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为3，且x∈[0，1]时，f（x）=x2﹣x+2，求f（﹣2014）的值．
30．定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，
且当x∈（0，1）时，f（x）=2x+2﹣x．
（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；
（2）判断f（x）在（﹣2，﹣1）上的单调性，并给予证明．
函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数
又∵f（x﹣2）=f（x+2）
∴函数f（x）为周期为4是周期函数
又∵log232＞log220＞log216
∴4＜log220＜5
∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）
又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，
∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C
2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f （x）．函数f（x）是以6为周期的函数．
f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣
=．故选B
3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，
∴f（x+3）=﹣，
则f（x+6）=f（x），
即函数f（x）的周期为6，
∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，
又∵偶函数f（x），
当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，
∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，
因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，
∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，
f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，
∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；
5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，
∴f（2015）=f（﹣1），
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．
6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，
∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，
∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，
故选：A
7．【解答】解：∵，∴==f
（x）
∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4
∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）
∵f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）
∵当2≤x≤3，f（x）=x
∴f（2.5）=2.5
∴f（5.5）=2.5 故选D
8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的奇函数，
又
∵
，
∵，∴，
∴f（log354）=﹣2，故选：A．
9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0
则：f（﹣x）=﹣f（x）
所以函数是奇函数
由于函数周期是4，
所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=
∴f（x+2+2）==f（x）
∴f（x）是以4为周期的函数
∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5
f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）
又∵f（﹣1）===﹣
∴f（f（5））=﹣
故选B
11．【解答】解：∵f
（x+5）=f（x﹣5），
∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，
则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．
12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，
因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，
故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，
又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，
即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．
∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．
14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，
当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，
在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：
由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．
15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，
∴f（x+2）=f（x），
∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|
∴作图如下：
∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C
二．填空题（共10小题）
16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，
∴f（x+6）==f（x），
∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，
∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）
=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣5
17【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，
x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，
当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，
如图：
又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，
可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；
故答案为8；
18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），
∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），
即f（x+3）=﹣f（x），
∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，
故答案为：﹣3．
19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；
由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣
y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．
而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），
今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．
于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；
∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．
而2010=3×670，于是f （2010）=0；
故答案为0．
20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，
则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），
∴函数f（x）是周期函数且T=4，
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），
∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．
21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，
∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，
∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，
又∵f（x+6）=f（x）．
故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，
又∵2012=335×6+2，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338
22．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，
f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，
故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．
23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，
则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），
又f（2）＞1，
∴f（2014）＜﹣1，
即＜﹣1，即为＜0，
即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．
25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin
=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，
同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，
∴f（+2）?f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：
三．解答题（共5小题）
26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数；
（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，
由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，
又f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，
∴f（x）=x2+2x，
又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，
∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，
从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；
（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．
27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数
则，x∈[﹣1，0]．
（2）
，
∵1﹣log32∈[0，1]，
∴，
即．
28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，
∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．
又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，
∴．
（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∴，
∴，
∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，
∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，
∴f（﹣2014）=﹣2．
30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，
所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）
当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）
所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…
（7分）
（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）
先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．
设0＜x1＜x2＜1，
则
因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是
，
从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）
函数周期性分类解析 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足f(x+a)=() x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= () x f 1 -(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1() ()1() f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1() ()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.
8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= ) (1) (1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的 一个周期。 9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则 函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； 11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它 的一个周期。 13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2 T )=0.
函数周期性 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足f(x+a)= () x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= () x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1()()1() f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1() f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(2 T )=0. 一、选择题 1. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2．已知函数)(x f y =是一个以4为最小正周期的奇函数，则=)2(f （ ） A ．0 B ．－4 C ．4 D ．不能确定 3.（2009江西）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=） ， 且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+） ，则(2008)(2009)f f -+的值为 （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 4. 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件) x (f 1)2x (f = +，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 ( ) A. 5 B. 5- C. 51 D. 5 1- 5. ()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ） A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数 6. 偶函数()f x 是以2为周期的函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为( ) .A 35 .B 85 .C 38- .D 53 7.已知偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+，且当]0,1[x -∈时，943)x (f x + =， 则)5log (f 3 1的值等于 ( )
函数的周期性 基本知识方法 1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()() 1 f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1() ()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1() ()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1() ()1() f x f x a f x ++= -，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2 2．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数， 它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上, ()f x =
课题：函数的周期性 考纲要求： 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 教材复习 ()1 周期函数：对于函数()y f x =，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的一个周期. ()2最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中 的正数，那么这个最 小正数就叫作()f x 的最小正周期. 基本知识方法 1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()() 1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1() f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1() f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =. ⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；
函数周期性和对称性高一数学 一?定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使f(x T) f(x)恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 二?重要结论 1、f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数； 2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 3、若函数f x a f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数 1 4、y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 f x 1 5、若函数y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 f x 6、f (x a) 1一3，则fx是以T 2a为周期的周期函数. 1 f(x) 7、f(x a)1一L(x)，则f x是以T 4a为周期的周期函数? 1 f(x) 8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 ( b-a)是它的一个周期。 9、函数y f(x) x R的图象关于两点 A a, y0、B b, y0 a b都对称，则函数 f (x)是以 2 b a为周期的周期函数； 10、函数y f(x) x R的图象关于A a, y。和直线x b a b都对称，则函数f(x)是以 4 b a为周期的周期函数； 11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，贝U f(x)为周期函数且2 a是它的一个周期。 12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。 13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, 0),则f(-)=0. 2 函数的轴对称： a b 定理1 ：如果函数y f x满足fax f b x，则函数y f x的图象关于直线x 对 2 称? 推论1：如果函数y f x满足fax fax，则函数y f x的图象关于直线x a对称?
浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的周期性 教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用 函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。 学情分析：大多数学生了解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应 用，对函数的周期的求法还没有掌握。 教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶 性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。 教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。 教学流程： 一、回顾上节课内容（问答式） C1.奇偶函数的判断基本步骤： （1）先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数； （2）定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。 C2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点（0，0）对称；偶函数关于y 轴对称。 二、函数的周期 C 1.周期的概念 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫f(x)的周期，如果所以的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。 C 判断：最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期是不变。 答：错,不一定不变 2.周期函数的性质 C (1)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f(x)的周期，则ｋT(k ∈Z,k ≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。 （2）如何判断函数的周期性: ⑴定义; ⑵图象; ⑶利用下列补充性质：设a>0， C-①函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 。 B-②函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 2a 。 B-③函数y=f(x),x ∈R,若 ，则函数的周期为 2a 。 B-④函数f(x)时关于直线 x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为||2a b - 了解证明过程： 证明：由已知得： )(1)(x f a x f -=+) ()(,)()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+[][] )2()(2x a b b f x a b f +-+=+-∴[])2(x a b b f +--=) 2(x a f -=
高中数学复习典型题专题训练36 题型一：求周期问题 【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且 (20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ） A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数 【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期 【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ??- ?? ?为奇函数．给出以下3个命题： ①函数()f x 的周期是6； ②函数()f x 的图象关于点302??- ??? ，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2 b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ．2a b + B ．2()b a - C ．2 b a - D ．4()b a - 【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =?，且 (0)0f ≠． ⑴求证：()f x 为偶函数； ⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）． 【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意典例分析 板块三.函数的周期性
121,[0,]2 x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=?，(1)0f a =>． ⑴求1()2f 及1()4 f ；⑵证明()f x 是周期函数； 题型二：求值问题 【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304??- ??? ，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ??=-+ ?? ?，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线1 2 x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x += ，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【例10】 (2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( ) (A )－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【例11】 （1996全国，15）设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当0≤x ≤1时，()f x x =，则f （7.5）等于（ ） A .0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 【例12】 已知函数f (x )的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)若f (0)＝2004，求f (2004) 【例13】 函数()f x 在R 上有意义，且满足：⑴()f x 是偶函数；⑵(0)999f =； ⑶()(1)g x f x =-是奇函数，求(2008)f ． 【例14】 ()f x 是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，都有(3)()3f x f x ++≤和 (2)()2f x f x ++≥，设()()g x f x x =-， ⑴求证()g x 是周期函数； ⑵如果f （998）=1002，求f （2000）的值．
课时规范练 A 组 基础对点练 1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x 解析：因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D 2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D ．y ＝cos x 解析：A 项中的函数是非奇非偶函数；B 项中的函数是偶函数但不存在零点；C 项中的函数是奇函数；D 项中的函数既是偶函数又存在零点． 答案：D 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1 x B ．y ＝|x |－1 C ．y ＝lg x D ．y ＝? ?? ??12ln|x | 解析：A 项，y ＝1 x 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；易知B 正确；C 项，y ＝lg x 是非奇非偶函数，故C 错误；D 项，y ＝? ????12ln|x | 是递减的． 答案：B 4．设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为R D ．f (x )是周期函数
函数周期性和对称性（知识点，练习题） f(x?T)?f(x)恒成立为非零常数，对于定义域内的任一x，使一．定义：若T则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 ??????xfy?T?aaxffx??为周期的周期函数；是以1、，则 2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 ??????xfa?fa?xfx?T?2a为周期的周期函数是以若函数，则 3、1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 4、y=f(x)满足f(x+a)=??xf1 是它的一个周期。f(x)为周期函数且2a 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则???xf1?f(x)??xf T?2a为周期的周期函数. 6、是以，则??a)f(x1?f(x)1?f(x)??xf T?4a为周期的周期函数 7、是以，则. ??f(x?a)1?f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。 ????????ba?yB,ba,?xRyA f(x))(xy?f是以、9、函数都对称，则函数的图象关于两点 00??ab2?为周期的周期函数； ??????b?ayaR,A?x f(x))(xy?f bx?的图象关于和直线是以都对称，则函数10、函数0??a4?b 为周期的周期函数； a是它的一个周期。2的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且11、若偶函数y=f(x)a 是它的一个周期。x=a对称，则f(x)为周期函数且412、若奇函数y=f(x)的图像关于直线13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。 T)f(=0. ，T≠0), 则(x14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)∈R2函数的轴对称：三 a?b????????xfa?x??fb?xfyy?fx?x对的图象关于直线定理1：如果函数满足，则函数 2. 称????????x?y?fxffa?x?fa?xy ax?. 的图象关于直线1推论：如果函数对称，则函数满足????????xffy?xfx??xfy?0?x轴）对称y（的图象关于直线，则函数满足：如果函数2推论 四函数的点对称： ??????????b,axf?a?xfy?f?x2fba?xy?对称. 如果函数的图象关于点满足，则函数定理2：
1.给出定义：若11 22 m x m - <≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题： ①()y f x =的定义域是R ，值域是11 (,]22 - ； ②点(,0)k 是()y f x =的图象的对称中心，其中k Z ∈； ③函数()y f x =的周期为1； ④函数()y f x =在13(,]22 -上是增函数 上述命题中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 2.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时有()2f x x =，则 (2015)f =（ ） A. 1- B. 2- C. １ D. 2 3.函数21 ()(1cos 2)sin ,2 f x x x x R = +∈是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为 2π 的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2 π 的偶函数 4.已知函数()4cos sin()1(0)f x x x ??π=+-<<，若()13 f π =，则()f x 的最小正周期 为（ ） A. π B. 32 π C. 2π D. 4π 5.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当[3,1)x ∈--时，2 ()(2)f x x =-+， 当[1,3)x ∈-时，()f x x =，则(1)(2)(3)...(2015)f f f f ++++=（ ） A. 336 B. 355 C. 1676 D. 2015 6.在数列{}n a 中，已知122,7a a ==，记n a 与1()n a n N ++∈的积的个位数为2n a +，则2015a =
第三节函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．知识点一函数的奇偶性 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数 f ( x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有 f (－x)＝－f (x)，而不能说存在 x0使 f( －x0) ＝－f( x0)、f( －x0)＝f( x0) ． 3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的． 必记结论 1．函数奇偶性的几个重要结论： (1) 如果一个奇函数 f ( x)在原点处有定义，即 f(0) 有意义，那么一定有 f (0) ＝0. (2) 如果函数 f ( x)是偶函数，那么 f(x)＝f (| x|) ． (3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域 D 是 关于原点对称的非空数集． (4) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．有关对称性的结论： (1) 若函数 y＝f ( x＋ a)为偶函数，则函数 y＝f (x)关于 x＝a对称． 若函数 y＝ f ( x＋ a)为奇函数，则函数 y＝f ( x)关于点(a,0)对称． (2) 若 f( x) ＝f (2 a－ x) ，则函数 f( x) 关于 x＝a 对称． 若 f ( x) ＋f (2 a－x) ＝2b，则函数 f(x)关于点( a，b)对称． [ 自测练习] 1．函数 f( x)＝lg( x＋1) ＋lg( x－1)的奇偶性是( )
§2.3 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称 奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． ( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． ( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． ( √ ) (4)若函数f (x )＝x (x －2)(x ＋a ) 为奇函数，则a ＝2. ( √ ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0. ( √ ) 2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A 解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12 答案 B
函数周期性和对称性(知识点，练习题) 一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f (x T) f (x)恒成立 则f(x) 叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、f x f x a ，则y f x 是以T a 为周期的周期函数； 2、若函数y=f(x) 满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x) 为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、若函数f x a f x a ，则f x 是以T 2a 为周期的周期函数 1 4、y=f(x) 满足f(x+a) = 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 fx 1 5、若函数y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 fx 6、f(x a) 1 f(x)，则f x 是以T 2a为周期的周期函数. 1 f (x) 7、 f (x a) 1 f(x)，则f x 是以T 4a为周期的周期函数. 1 f (x) 8、若函数y=f(x) 的图像关于直线x=a,x=b(b>a) 都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a)是它的一个周期。 9 、函数y f (x) x R 的图象关于两点A a, y0 、B b, y0 a b 都对称，则函数f (x) 是以 2b a 为周期的周期函数； 10、函数y f(x) x R 的图象关于A a,y0 和直线x b a b 都对称，则函数f (x) 是以 4b a 为周期的周期函数； 11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2 a是它的一个周期。 12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。 13、若函数y=f(x) 满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x) 为周期函数,6a 是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x∈R，T≠0),则f(T)=0. 2 三函数的轴对称： ab 定理1：如果函数y f x 满足f a x f b x ，则函数y f x 的图象关于直线x 对称. 推论1：如果函数y f x 满足f a x f a x ，则函数y f x 的图象关于直线x a 对称. 推论2：如果函数y f x 满足f x f x ，则函数y f x 的图象关于直线x 0(y 轴)对称
基本知识方法 1. 周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得 f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期， 则kT( k? Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)， ①fx=fχ?a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数； ②f X ? a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数； 1 ③f X ? a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数； f(X) ④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数; ⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x) ⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数 ⑦f(X ? a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数. 1-f(χ) 1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X ? 2) = -f (X),贝U f⑹的值为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2 2(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数， 它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上, f (X)=----------- 函数的周期性
2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2?1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________ 3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k? Z ,用I k表示区间2k-1,2k?11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。 3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时， fπλ(πλ f (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)； I 6丿V 6 J C2兀、f2兀、 C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 ) I 3 丿I 3 J 2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是 A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5) B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5) C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5) D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5) 4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有 f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，?'；?二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值 为 5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________
（山东专用）高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性（含解析） 一、【知识精讲】 1．函数的奇偶性 (1) 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．函数的对称性常见的结论 (1)函数y ＝f (x )关于x ＝ a ＋b 2 对称?f (a ＋x )＝f (b －x )?f (x )＝f (b ＋a －x )． 特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称?f (a ＋x )＝f (a －x )?f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称?f (x )＝f (－x )(即为偶函数)． (2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称?f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ?f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特殊：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称?f (a ＋x )＋f (a －x )＝0?f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于(0,0)对称?f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数?函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称； y ＝f (x ＋a )是奇函数?函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称． [知识拓展] 1．函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )； y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量的值x ：
函数周期性和对称性高一数学 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足f(x+a)=() x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= () x f 1 -(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1() ()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1() f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数； 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()4b a -为周期的周期函数； 11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(2 T )=0. 函数的轴对称： 定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称. 推论1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.
第8节 函数的周期性 【基础知识】 1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论 (1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1() f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()() f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=?． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=?． （7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=?． 【规律技巧】 1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式 T ＝2π|ω| 计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ． 2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．
函数周期性和对称性（知识点，练习题） 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足f(x+a)=() x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= () x f 1 -(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1() ()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1() f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数； 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()4b a -为周期的周期函数； 11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(2 T )=0. 三 函数的轴对称： 定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称. 推论1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称. 推论2：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称