基本知识方法
1.
周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得
f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，
则kT( k? Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，
①fx=fχ?a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；
②f X ? a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；
1
③f X ? a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；
f(X)
④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;
⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)
⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数
⑦f(X ? a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.
1-f(χ)
1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X ? 2) = -f (X),贝U f⑹的值为
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2 2
2(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，
它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,
f (X)=-----------
函数的周期性
2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2?1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________
3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k? Z ,用I k表示区间2k-1,2k?11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。
3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，
fπλ(πλ
f (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；
I 6丿V 6 J
C2兀、f2兀、
C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )
I 3 丿I 3 J
2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是
A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)
B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)
C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)
D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)
4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有
f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，?'；?二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值
为
5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________
则"沁=
6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若?「，… 一,
7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则
()o A: B ： C ：
' ■
D ：；：廷:密:Y 曲氏
A. B.
2 + M C. 2 - 2√2
D. 2
9定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且
f
OF ,
1
求证：
f
O=1 ；
2
判断f X 的奇偶性；
3
若存在非零常数c ,使 2
,①证明对任意x? R 都有f χ ? c = -f χ成立;
②函数f X 是不是周期函数，为什么？
8.已知函数
定义在R 上，对任意实数X 有
f{τ) I 2v2
,若函数 "=1
'的图象关于直线
对称,
,则」
(
则"沁=
8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X ? 2) = - f (X),且χ? [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求
证：f (X)是周期函数；
2当χ? [2, 4]时，求f(x)的表达式；
3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)
9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点
-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿
2
课后作业：
1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ?4)=f(x),当X 0
时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2
B. 2
C.-98
D. 98
2. 设函数f X ( X ? R )是以3为周期的奇函数，且 f 1
1, f 2 = a ,则
A. a 2
B. a —2
C. a 1
D. a -1
3.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，
若f (X)在∣-1,0 1上
是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是
A.增函数
B.减函数
C.先增后减函数
D.先减后增函数
,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 f
I 3 I
5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，
则 f (2014)=
6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1
,且当X t 3,-2]时, f(x)
f (X )=2x , A.--
7
则 f (113.5)= B. - C.-
7
D.- 5
7.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的
1 - f(X ) χ? R ,都有 f(x T)= 1 f(X),
当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11?5
A.
1 -1
B. 1
C.-
2