课题：函数的周期性
考纲要求：
了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
教材复习
()1 周期函数：对于函数()y f x =，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的
一个周期.
()2最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中 的正数，那么这个最
小正数就叫作()f x 的最小正周期. 基本知识方法
1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，
则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,
① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；
③()()
1
f x a f x +=±
，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；
⑤1()
()1()
f x f x a f x -+=
+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.
⑥1()
()1()
f x f x a f x -+=-
+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.
⑦1()
()1()
f x f x a f x ++=
-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.
⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为
4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.
⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；
⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；
⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；
3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;
二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
4.解决周期函数问题时，
要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.
问题1．(06山东)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的
值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2
问题2．()1(00上海) 设()f x 的最小正周期2T =且()f x
它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,
()f x =
()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，
当1921x << 时，()f x 的解析式是
()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，
已知当0x I ∈时，()2
f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
问题3．()1（04福建）定义在R 上的函数()x f 满足()()2+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，
()42--=x x f ，则 .A sin cos 66f f ππ???
?< ? ????
?； .B ()()sin1cos1f f >；
.C 22cos sin 33f f ππ???
?< ? ????
? .D ()()cos2sin 2f f >
()2（05天津文） 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减， 且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f <<
问题4．定义在R 上的函数()x f ，对任意R x ∈，有()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，
且()00≠f ，()1求证：()10=f ；()2判断()x f 的奇偶性；
()3若存在非零常数c ,使02=??
?
??
c f ，①证明对任意R x ∈都有()()x f c x f -=+成立； ②函数()x f 是不是周期函数，为什么？
问题5．（01全国）设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任
意的121,0,2
x x ??∈????
，都有1212()()()f x x f x f x +=?.
()1设(1)2f =，求1(
)2f 、1
()4f ；()2证明：()f x 是周期函数. ()3记??
? ??
+=n n f a n 212，求lim(ln )n n a →∞.
课后作业：
1.（2013榆林质检）若已知()f x 是R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当()0,2x ∈时，2
()2f x x =，则(7)f 等于 .A 2- .B 2 .C 98- .D 98
2.设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则
.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-
3.函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0-上
是减函数，那么()f x 在[]2,3上是
.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数
4.设1
()1x f x x -=
+，记(){[()]}n n f
f x f f f f x =???个，则2007()f x =
5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ?
?=-+ ??
?，且()23f -=，
则(2014)f =
6.设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1
(3)()
f x f x +=-
，且当[]3,2x ∈--时，
()2f x x =，则(113.5)f = .A 27
-
.B
27
.C
15
-
.D 15
7.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()
(1)1()f x f x f x -+=
+，
当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f = .A 1- .B 1
.C 12 .D 12
-
8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，
2()2f x x x =-.()1求证：()f x 是周期函数；()2当[2,4]x ∈时，求()f x 的表达式；
()3计算(1)(2)(3)(2013)f f f f +++
+.
9.（05朝阳模拟）
已知函数()f x 的图象关于点3,04??
- ???
对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值
走向高考：
1.（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间()0,6内解
的个数的最小值是 .A 2 .B 3 .C 4 .D 5
2.（2012山东）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当3-≤1x <-时， ()2
()2f x x =-+，当1-≤3x <时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++= .A 335 .B 338 .C 1678 .D 2012
3. (96全国)已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-， 当0≤1x <时，()f x x =，则(7.5)f 等于
.A 0.5 .B 0.5- .C 1.5 .D 1.5-
4.（06安徽）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=
，若()15f =-， 则()()5f
f =
5. (06福建文）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =
设63(),(),52a f b f ==5
(),2
c f =则
.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<
6.（04天津）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期
是π，且当]2,
0[π
∈x 时，x x f sin )(=，则53
f π
??
???
的值为
.A 2
1-
.B
2
1 .C 2
3-
.D
2
3 7.（05天津）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1=
x 对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=
8.★（05广东）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，
(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==． （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论.