二次函数地三种表达形式：①一般式： (≠、、为常数)，顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出、、地值. ②顶点式： ()(≠、、为常数),顶点坐标为对称轴为直线，顶点地位置特征和图像地开口方向与函数地图像相同，当时，最值. 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式. 例：已知二次函数地顶点()和另一任意点()，求地解析式. 解：设()，把()代入上式，解得(). 注意：与点在平面直角坐标系中地平移不同，二次函数平移后地顶点式中，>时，越大，图像地对称轴离轴越远，且在轴正方向上，不能因前是负号就简单地认为是向左平移. 具体可分为下面几种情况： 当>时，()地图象可由抛物线向右平行移动个单位得到； 当<时，()地图象可由抛物线向左平行移动个单位得到； 当>>时，将抛物线向右平行移动个单位，再向上移动个单位，就可以得到()地图象； 当><时，将抛物线向右平行移动个单位，再向下移动个单位可得到()地图象； 当<>时，将抛物线向左平行移动个单位，再向上移动个单位可得到()地图象； 当<<时，将抛物线向左平行移动个单位，再向下移动个单位可得到()地图象.
③交点式： ()() (≠) [仅限于与轴即有交点时地抛物线，即≥] . 已知抛物线与轴即有交点（，）和（，）,我们可设()(),然后把第三点代入、中便可求出. 由一般式变为交点式地步骤： 二次函数 ∵，(由韦达定理得), ∴ () [()] ()(). 重要概念： ，，为常数，≠，且决定函数地开口方向.>时，开口方向向上； <时，开口方向向下.地绝对值可以决定开口大小. 地绝对值越大开口就越小，地绝对值越小开口就越大. 能灵活运用这三种方式求二次函数地解析式； 能熟练地运用二次函数在几何领域中地应用； 能熟练地运用二次函数解决实际问题.b5E2R。 二次函数解释式地求法： 就一般式＋＋（其中，，为常数，且≠）而言，其中含有三个待定地系数，，．求二次函数地一般式时，必须要有三个独立地定量条件，来建立关于，，地方
-1 - 4 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 用配方法解二次函数的相关问题的导练案一、选择题 1．下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；③y=4 x2+x2; ④y＝5－2x2，二次函数的 有（） A．②B．②③④C．②③D．②④ 2．抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是（） A．向下，(0，4)B．向下，(0，－4)C．向上，(0，4)D．向上，(0，－4) 3．抛物线y=-1x2-x的顶点坐标是（） 2 A．(1，1) 2B．(-1，)C．(1，1)D．(1，0) 22 4．二次函数y＝ax2＋x＋1的图象必过点（） A．(0，a)B．(－1，－a)C．(－1，a)D．(0，－a) 5、已知方程x2-6x+q=0可配方成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=2可配方成下列的（） A．（x-p）2=5B．（x-p）2=9C．（x-p+2）2=9D．（x-p+2）2=5 6、把方程x2+3x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（） 2 A．（x+3）2=-73B．（x+3）2=-15C．（x+3）2=15D．（x+3）2=73 416242416二、填空题 1．把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k形式 为，顶点坐标是，对称轴是直线．当x＝时，y最值＝；当a＜0时，x时，y随x增大而减小；x时，y随x 增大而增大．
2．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为．当x＝时，y有最______值是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是，当x时，y随x增大而减小，当x时，y随x增大而增大． 3．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是，它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 4．把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得，这个函数的图象有最点，这个点的坐标为． 5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝时，函数y有最值是，当x时，函数y随x的增大而增大，当x＝时，y＝0．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状大小完全相同，只是位置不同，则a＝． 7．抛物线y＝2x2先向平移个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向平移个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4． 三、解答题 1．已知二次函数y＝2x2＋4x－6． (1)将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
二次函数求最值之高级求法 问题阐述： 对于二次函数2 y ax bx c =++(0a ≠)，我们都知道当0a >时，有最小值2 44ac b a -；当0a <时，有最大值2 44ac b a -。但是，我们真的在求最值过程中很少用这个公式直接计算，因为这里计算量比较大。 因此，大多数人在求解最值过程中用的最多的方法便是配方法求最值，这也是普遍能够接受的方法。那有没有更快的方法来求解二次函数的最值呢？答案是肯定的，今天，我们用一种高级一点的方法来快速求解二次函数的最值。 首先，我们来看一个基本的不等式()2 0a b -≥恒成立，因此得到222a b ab +≥，两边加上一个2ab ，得到()24a b ab +≥，即2 2a b ab +??≤ ???，当a b =时，这里就取到等号。 求二次函数的最值问题时，我们要保证a b +是一个定值，然后就可以利用刚刚证明的一个基本不等式2 2a b ab +??≤ ??? 来求二次函数的最大值或最小值。 【求最大值】 例1：求二次函数246y x x =-++的最大值。 解：原式化为，()46y x x =-+， 因为()44x x +-=是一个定值， 所以原式()2 4646102x x y +-??≤+=+= ???
32解：原式化为，71623y x x ??=-+ ???，到此，我们发现现在不能用基本不等式求出最大值，因为x 与7123 x -的和并不是定值，因此我们陷入了困境。实际上我们可以换一个角度思考，既然要出现和为定值，那么我们就只需要配出一个和为定值的形式即可。 因此，原式可以这样变形：17136323y x x ????=?-+ ??????? ， 这里就有1717=3232 x x ??+- ???为定值了， 那么我们就可以利用基本不等式求解二次函数的最大值了， 所以原式2 171492433233636=21616x x y ????+- ? ??? ?≤+=?+ ? ??? 【求最小值】 例3：求二次函数246y x x =++的最小值。 解：原式化为，()46y x x =++，因为()442x x x ++=+并不是一个定值，那么我们就不能够直接运用基本不等式求最值，那么我们就得从例2的求解方法中采用的配凑思想，因为()44x x -++=是定值. 因此原式()()46y x x =--++， 由基本不等式22a b ab +??≤ ??? ，两边添一个负号， 不等号改变方向，即2 2a b ab +??-≥- ??? 。 所以原式()2464622x x y -++??≥-+=-+= ???
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
二次函数知识点总结与典型试题 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 总结： 3. y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：总结：
二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都 可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a
二次函数配方法练习 The latest revision on November 22, 2020
1．抛物线y ＝2x 2－3x －5配方后的解析式为顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大 ． 2．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，配方后为 它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______． 3．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______． 4．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，配方后为当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0． 5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______． 6．抛物线y ＝2x 2如何变化得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．请用两种方法变换。 7．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是() A ．向下，(0，4) B ．向下，(0，－4) C ．向上，(0，4) D ．向上，(0，－4) 8．抛物线x x y --=221 的顶点坐标是() A ．)21,1(- B ．)21,1(- C ．)1,21 (- D ．(1，0)
二次函数的三种表达形式： ①一般式： y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。 ②顶点式： y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。 注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况： 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式： y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤： 二次函数 ∵x1+x2=-b/a，x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2). 重要概念： a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
二次函数表达式三种形式 一．选择题（共12小题） 1．（2015?永春县校级质检）把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（） A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1 2．（2014?XX模拟）将y=（2x﹣1）?（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（）A．B． C．D． 3．（2015秋?XX校级期中）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（） A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x2 4．（2015秋?XX校级月考）一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4 5．（2015秋?禹城市校级月考）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
6．（2014秋?岳池县期末）顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（） A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2 7．（2014秋?招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（） A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4 8．（2013秋?青羊区校级期中）若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2 9．（2013秋?江北区期末）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（） A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10．（2014?XX县校级模拟）如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的 值等于（） A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14 11．（2015?XX模拟）二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125B．4 C．2 D．0 12．（2015?宜城市模拟）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（） A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣
第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法 【问题探索】 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子； （2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2 510060000y x x =-++。 【新课引入】 提问： 1、在式子2 510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？ 答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。 2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想 2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。 （其中） 答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。 总结：一般地，形如2 y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。因此，最简单的二次函数形式是2 (0)y ax a =≠ 举例：2 510060000y x x =-++和2 100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2 S r π=等，都是二次函数． 3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？ 答案：是，因为化简能变成2 y ax bx c =++（0a ≠）的形式。
二次函数表达式三种形式的联系与区别 二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。 一、一般式：)0(2≠++=a c bx a y x 优点：二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c ，三系数一目了然。 缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴 二、顶点式：)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y b a b x 优点：很容易看出顶点坐标和对称轴 缺点：不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 三、交点式：))((2 1x x x x a y --= 优点：很容易看出图像与x 轴的交点坐标（x 1，0）和（x 2 ，0） 缺点：（1）不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 （2）当图像不与x 轴相交时，此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 （1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理） a ac a a ac a a c a x a b a x a b a x a b a c bx a y b a b x b a b x a b a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++ =+ =++=++（
（2）顶点式转化为一般式 展开整理即可 c bx a a ac bx a a ac a bx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b x b a b x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2( （3）交点式转化为一般式 展开，利用韦达定理整理可得 二次函数)0(2≠++=a c bx a y x 与x 轴有两交点（x 1，0）和（x 2，0） 则x 1 和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ] )([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得： a c a b x x x x =-=+2121 代入得： c bx a a c x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([] )([ 三种表达式视情况而定； （1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示； （2）知道顶点坐标，常用顶点式来表示； （3）如果知道图像与x 轴的交点坐标，常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。
§6.2二次函数的图像与性质⑸ 【课前自习】 1. 根据y 2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称； 抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称； 抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称. 5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式. 一、探索归纳： 1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ . 2.你有办法解决问题①吗？ y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 . 3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质. 练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2
④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ， 说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 . 练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x 二、典型例题： 例1、用描点法画出y ＝1 2x 2＋2x －1的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： ⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点. 例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标.
课题：二次函数中面积最值问题（复习课） 教学目标：利用二次函数的最值求面积最值问题 教学重点：利用二次函数的顶点公式或者配方法求解面积的最值 教学难点：利用二次函数的性质和自变量取值范围求面积的最值 教学过程：复习巩固：小题热身:1.二次函数 142--=x x y 的顶点是_________ 2.当x= 时, y=3（x-5）2+6 有最___值为________ . 3.当x= 时,y=-2x2+8x-7有最___值为_______ . 引入： 王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少? 变一变 王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,（墙长10米）另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少? 巩固：（2016?绍兴） 课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 1.这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m2． 2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题： （1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？ 请通过计算说明． 归纳总结：运用二次函数求几何图形面积最值一般步骤 1.审题 2.引入自变量 3.用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量 4.根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，并求得自变量的取值范围. 5.根据函数关系式，求出最值及取得最值时自变量的值. 6.检验结果的合理性
二次函数图像和性质（5） 学习目标： 1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象． 学习重点：配方法或公式法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习难点：配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习过程： 一、复习引入 1、()k h x a y +-=2 的图像和性质填表： 2.抛物线()1222 ++=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 是由抛物线2 2x y =先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的。 二、自主探究 探究一：配方法求顶点坐标、对称轴 （1）问题：你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题①吗？ 222++=x x y 222++=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 . （3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式， 从而直接得到它的图像性质. （4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①222+-=x x y ②232 ++=x x y ③ y ＝12 x 2－6x ＋21 对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点 ④4322 +-=x x y ⑤232 ++-=x x y ⑥x x y 22 --= 对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点
探究二：用公式法求顶点坐标、对称轴 c bx ax y ++=2 = 对称轴 顶点坐标 用公式法把下列二次函数的顶点坐标、对称轴： ①4322 +-=x x y ②232 ++-=x x y ③x x y 22 --= 三、合作交流 根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表： 四、精讲点拨 1、抛物线2 2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 2、二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 3、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 4、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 2 3 6、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+ B ．22(1)y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =- 7、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 （A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 8、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 3212 12 +??? ??-=x y 9、把抛物线2 y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2 (1)3y x =--- B ．2 (1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+ D ．2 (1)3y x =-++
精品文档 1抛物线y = 2x2—3x—5配方后的解析式为 点坐标为______ .当x= ________ 时,y有最_______ 值是 _____ , 与x轴的交点是_______ ，与y轴的交点是______ ，当x _____ 时，y随x增大而减小，当x ______ 时，y随x增大而增大. 2. ____________________________________ 抛物线y = 3 —2x —x2的顶点坐标是___________________________ ，配方后为它与x轴的交点坐标是_______ ，与y轴的交点坐标是_______ . 3. 把二次函数y=x2—4x+ 5配方成y= a(x —h)2+ k的形式，得 ______ ，这个函数的图象有最________ 点，这个点的坐标为 4. 已知二次函数y = x2+ 4x—3,配方后为当x = ______ 时，函数y有最值____ ，当x 时，函数y随x 的增大而增 大，当x= __________________ 时，y= 0. 5. ____________ 抛物线y = ax2+bx+ c与y= 3—2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a= . 6. 抛物线y= 2x2如何变化得到抛物线y = 2( x —3)2+ 4.请用两种 方法变换。 7. 抛物线y= —3x2—4的开口方向和顶点坐标分别是() A. 向下，(0 , 4) B. 向下，(0,—4) C. 向上，(0, 4) D.向 上，(0,—4)
8 .抛物线y -x2x的顶点坐标是() 2 A. (1, 1) B.( 1,2) C. (1, 1) D. (1 , 0)
专题09 一元二次函数的三种表示方式 一、知识点精讲 通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式， 我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数． 当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系： （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立． （3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)， 则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ b a -，x1x2＝ c a ，即 b a ＝－(x1＋x2)， c a ＝x1x2．所 以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b c x x a a ++) = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 二、典例精析 【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），
二次函数之最值问题研究 成都市天府新区籍田中学 吴磊 【教学目标】 建立二次函数数学模型，并用数学模型求最值； 【教学重点】 根据题意建立数学模型运用适当的数学思想方法解决问题； 【教学难点】 建立二次函数的数学模型，运用数学思想方法解决问题； 一、知识回顾 求最值问题的基本解题步骤： 1．审题．读懂问题，分析问题各个量之间的关系； 2．列数学表达式．用数学方法表示它们之间的关系，即建立二次函数关系式； 3．求值．利用顶点坐标公式24,24b ac b a a ??-- ??? （对称轴法）或配方法求得最值； 对称轴法：（1）把2b x a =- 代入2y ax bx c =++即可求出其最值； （2）自变量不能够取得2b x a =-时， ①当0a >时，离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近，函数值越小； ②当0a <时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近，函数值越大. 配方法：将二次函数2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式，对称轴为x h =． (1)当0a >时，y 有最小值，即当x =h 时，=y k 最小值； (2)当0a <时，y 有最大值，即当x =h 时，=y k 最大值． 4．检验．检验结果的合理性．（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围） 二、分类问题处理: 第一类 常规求最值问题 【例1】（1） 抛物线y=23 x 2－4x ＋21的最小值是（ ） A.21 B.－21 C. 15 D.－15 （2）二次函数281y x x k =++-的最小值是5，则k 的值是（ ） A.22 B －22 C.21 D.－21 〖变式训练〗 （1）抛物线21432 y x x =--+的最大值是（ ） A.3 B.－3 C. -11 D.11 （2）抛物线24y x ax =--的最大值是（ ） A.24a B.2 4a - C.4 D.-4 第二类 含自变量取值限制的求最值问题 【例2】（1）二次函数245y x x =-++，求当61x -≤≤的最值。 练习：1、二次函数2614y x x =--，求当19x -≤≤的最值。
二次函数配方法练习 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
1．抛物线y ＝2x 2－3x －5配方后的解析式为 顶点坐标为 ______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大． 2．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，配方后为 它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______． 3．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______． 4．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，配方后为 当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0． 5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______． 6．抛物线y ＝2x 2如何变化得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．请用两种方法变换。 7．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( ) A ．向下，(0，4) B ．向下，(0，－4) C ．向上，(0，4) D ．向上，(0，－4) 8．抛物线x x y --=22 1的顶点坐标是( )
1．把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（） A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1 2．将y=（2x﹣1）?（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（） A．B．C．D． 3．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线为（）A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x2 4．二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4 5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3 6．顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（） A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2 7．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（） A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4 8．若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2 9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（） A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14 11．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（） A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣ 13．如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它 的解析式为． 14．二次函数的图象如图所示，则其解析式为． 15．若函数y=（m2﹣4）x4+（m﹣2）x2的图象是顶点在原点，对称轴是y轴的抛物线，则 m=． 16．二次函数图象的开口向上，经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x轴的距离为2， 则该二次函数的解析式为． 17．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0）， 那么它对应的函数解析式是． 18．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）三点，求出 抛物线解析式． 19．二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为． 20．如图，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为 （4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．则这个二次函数的解析式是． 21．坐标平面内向上的抛物线y=a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若 ∠ACB=90°，则a的值是．