1、浙江省高中数学竞赛试题
2、河北省高中数学竞赛试题
3、全国高中数学联赛广东省预赛
4、全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
5、浙江省高中数学竞赛试题
6、湖北省高中数学竞赛试题
7、全国高中数学联合竞赛一试试题
8、二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
9、全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
10、全国高中数学联赛山东省预赛试题
11、全国高中数学联赛江西省预赛试题
12、全国高中数学联赛山西省预赛
13、全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
14、全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
15、全国高中数学联赛安徽省预赛试题
16、新知杯上海市高中数学竞赛试题
17、湖南省高中数学竞赛试卷A卷
共102页
浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[
,]42
ππ
θ∈
） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）
A. 2
B. C. 2±
D. ±
3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈?， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）
A. 充分且必要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 非充分且非必要条件
4. 过椭圆2
212
x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45o 弦AB ，则AB 为（ ） A.
B.
C.
D.
21243400,33
x x x x AB -=?==
?==。正确答案为C 。 5. 函数150
()51
x
x
x f x x -?-≥=?-
正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
2
2
1
2
2
3
1
A. 4+
52π B. 4+32π C. 4+2
π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y L L 若程序运行中 输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8
8. 在平面区域{}
(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）
A. 4
B.8
C. 16
D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π
=-
-在0,2π??
????
上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12??
??? B 1, 12?????? C. 1, 12?????? D. 1, 12??
???
10. 已知[1,1]a ∈-，则2
(4)420x a x a +-+->的解为（ ）
A. 3x >或2x <
B. 2x >或1x <
C. 3x >或1x <
D. 13x <<
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11. 函数()2sin
2
x
f x x =的最小正周期为______ ____。 12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=____ ______.
13. 向量(1,sin )a θ=r
，(cos b θ=r ，R θ∈，则a b -r r 的取值范围为 。
14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点），D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为_ _。 15．设y x ,为实数，则
=+=+)(m ax 2210452
2y x x
y x _____ ________。
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___ ______种。（用组合数符号表示）
17. 设z y x ,,为整数，且3,33
3
3
=++=++z y x z y x ，则=++2
2
2
z y x _ _。
18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。
19. 给定两个数列
{}
n x ，
{}
n y 满足100==y x ，)1( 21
1
≥+=
--n x x x n n n ，
)1( 211
21
≥+=--n y y y n n n 。证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得 n j n x y =。
20. 已知椭圆22
22154
x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右侧
一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。
浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括
号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知53[
,]42
ππ
θ∈
D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ
解答：因为53[,]42
ππ
θ∈
cos sin cos sin θθθθ--+
2cos θ=。正确答案为D 。
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）
B. 2
B. C. 2±
D. ±
42a =?=±。正确答案为C 。
3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈?， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）
A. 充分且必要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。正确答案为B 。
4. 过椭圆2
212
x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45o 弦AB ，则AB 为（ C ） A.
3
B. 3
C. 3
D. 3
解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得
21243400,33
x x x x AB -=?==
?==。正确答案为C 。
5. 函数150
()51
x
x
x f x x -?-≥=?-
解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A 。 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+
52π B. 4+32π C. 4+2
π D. 4+π 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2
π
），所以该几何体的体积为5221342
2
π
π
π??+-
=+
。正确答案为A 。 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y L L 若程序运行中 输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ B ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 答案 经计算32x =。正确答案为 B 。
8. 在平面区域{}
(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点
(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4
B.8
C. 16
D. 32
解答：平面区域{}
(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有
22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤
由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A 。
2
2 2
2
1
2
2
3
1
9. 已知函数()sin(2)6f x x m π
=-
-在0,2π??
????
上有两个零点，则m 的取值范围为（ C ） A. 1, 12??
??? B 1, 12??
????
C. 1, 12??
????
D. 1, 12??
???
解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π
=-
与直线y m =在0,2π??
????
上有两个交点，
所以m 的取值范围为1
, 12??????
。正确答案为C 。
10. 已知[1,1]a ∈-，则2
(4)420x a x a +-+->的解为（ C ）
A. 3x >或2x <
B. 2x >或1x <
C. 3x >或1x <
D. 13x << 解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2
()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由2
2
(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>?<或3x >。 正确答案为C 。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11. 函数()2sin
2
x
f x x =的最小正周期为______4π____。 解答：最小正周期为4π。
12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=____6_______. 解答：由1513072S a d =?+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。
13. 向量(1,sin )a θ=r
，(cos b θ=r ，R θ∈，则a b -r r 的取值范围为 [1，3] 。
解答：a b -==r r
，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点），D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为_90o
_。 解答：因为平面AB C ⊥平面11BCC B ，A D ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以 A D ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。即夹角为90o
。
15．设y x ,为实数，则
=+=+)(m ax 2210452
2y x x
y x _____4________。
解答：2
2
2
2
54104105002x y x y x x x +=?=-≥?≤≤
22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-?+≤
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___300
1710C _______种。（用组合数符号表示）
解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有300
1710C 种关灯方法。 17. 设z y x ,,为整数，且3,33
3
3
=++=++z y x z y x ，则=++2
2
2
z y x _3或57_。 解答：将3z x y =--代入333
3
=++z y x 得到
8
3()9xy x y x y
=+-+
+，因为,x y 都是整数，所以 1428
,,,,25116
x y x y x y x y xy xy xy xy +=+=+=+=?????
???====????前两个方程组无解；后两个方程组解得1;4,5x y z x y z ======-。所以=++222z y x 3或57。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。
解答：当20,(1)1,x y x ≤=--+ 当2
0,(1)1,x y x >=-- ---- 5分 由此可知 max 0y =。 ---------------------------------- 10分
当2
min 12,2a y a a ≤≤=-
；当min 11,1a y ≤<=-；
当2min 12a y a a <=-+。 ---------------------------------- 17分 19. 给定两个数列
{}
n x ，
{}
n y 满足100==y x ，)1( 21
1
≥+=
--n x x x n n n ，
)1( 211
21
≥+=--n y y y n n n 。证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得 n j n x y =。
解答：由已知得到：
1112111112(1){1}n n n n n
x x x x x --=+?+=+?+为等比数列，首项为2，公比为2，
所以
11111221
n n n n x x +++=?=-。 ----------------- 5分 又由已知，222
11111
(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=?=?+=++
由011121212221
n n
n y n y y +=?+=?=
-， 所以取21n n
j =-即可。 ------------------- 17分
20. 已知椭圆22
22154
x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右侧一
点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。 解答：125
(3,0),3
F x -=-
左准线方程为;AB 方程为(3)()y k x k =+为斜率。 设1122(,),(,)A x y B x y ，由?????=+
+=116
25)3(2
2y x x k y 2222
(1625)1502254000k x k x k ?+++-=得2222
12121212222
150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k
-+=-=-?=++=-+++----10分 设342525
(,),(,)33
M y N y -
-。由M 、A 、D 共线123412(325)(325),3()3()a y a y y y a x a x ++=
=--同理。 又
131411111616
(,),(,),0
33
F M y F N y F M F N F M F N =-=-⊥??=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 由已知得，
得
212343412325)256,99()()
a y y y y y y a x a x +=-=--（而，即222561625k k -
?+2
12325)9()()a a x a x +--（=256,9-整理得 2
2
(1)(16400)05,3,5k a a a a +-=?=±>-=又所以。--------------17分
河北省高中数学竞赛试题
一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2
403121==+≤
++a a a a a n
n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数，且5
5
y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则满足条
件的所有四位数是 .
3. 已知12
2
2
=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 .
4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）.
5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则n 的最小值为 .
6. 函数2011
2010
32211)(+++
++++++++=
x x x x x x x x x f Λ 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是 .
8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为圆心，
OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线，则21T MT ?垂心的轨迹方程是 .
二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分)
9. 解不等式.1
1122x
x x x x <--+
10、如图，已知B A ,是圆42
2
=+y x 与x 轴的两个交点，P 为直线4:=x l 上的动点。PB
PA ,与圆42
2=+y x 的另一个交点分别为.,N M 求证：直线MN 过定点。 11、求证：23≥n 时，总有313
12
1123
3
3
<+
++
+ Λ成立。 12、已知：)(3)(3),(2 2 2 2 3 3 y x xy y x xy y x y x y x f ++++-+++=,且,2 1 ,≥ y x 求),(y x f 的最小值。 13、（1）在ABC ?中，?=∠90BCA ,则有2 2 2 AB BC AC =+，类比到三维空间中，你能得到什 么结论？请给出证明。 （2）在ABC ?中，?=∠90BCA ，若点C 到AB 的距离为,h ABC ?的内切圆半径为,r 求h r 的最小值。 （3）推广（2）的结论到三维空间，并证明之。 14. 已知数列{}{}n n b a 、满足：).0,(),(21,2*211>∈-+=+==+p N n p a p a b a p a a p a n n n n n n （1）求数列{}n b 的通项； （2）证明： ;13121+=---+n p a p a n n （3）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与p n )18 23 (+ 的大小关系是否确定？请说明理由。
相关主题
文本预览