各省数学竞赛试题汇编——函数小题目
1．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.
【答案】
【解析】
由得，所以函数的定义城为.
故答案为
2．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。【答案】10
【解析】
由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：
由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．
3．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得
，则正整数的最大值是________.
【答案】6
【解析】
由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 4．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得
，则正整数的最大值是________.
【答案】6
【解析】
由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 5．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得
，则正整数的最大值是________.
【答案】6
【解析】
由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 6．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】
【解析】
由知x＞0，故.
令，则.
当时，；当时，.
所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.
故，即.
7．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________. 【答案】
【解析】
设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故.
故答案为：
8．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.
【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.
【解析】
，因为，所以当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.
故答案为：当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.
9．【2018年广东预赛】已知方程在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k的取值范围是__________. 【答案】
【解析】
记，令，得.
当时，在（）上为增函数.当时，在（）上为减函数.所以在点处取得最大值，
当且仅当时，在区间（-2，2）内恰有两个实根，故k的取值范围是.
故答案为：
10．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.
【答案】
【解析】
因为，所以，
即，代入，得.
由.
11．【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有
，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.
当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式
，即，解得.故不等式的解集为.
12．【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解法一原方程化为．
（1）．
（2）时，的两根分别为1、3，不符合题意．
（3）时，的两根分别为2，．
因此，符合题意要求．
（4），即时，若，不符合要求；
若，因此，符合要求．
解法二，因为，所以
．
上单调递增，在上单调递减．
又，所以的取值范围是．
13．【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________.
【答案】（1，2）（4，5）
【解析】
由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.
故答案为：（1，2）（4，5）
14．【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______．
【答案】
【解析】
设，
则
①＋②＋③得．解得．
又当时，有解．
故当时，取到最小值．
15．【2018年山东预赛】已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9
【解析】
由题设，则．
因为，则必为完全平方数．
设，则．
所以．
解得，8，,0．所以的最大可能值为9.
16．【2018年山东预赛】设为最接近的整数，则______．
【答案】
【解析】
设，则，即．
而，因此满足个．
注意到，从而或7．
由于，所以．
因此．
17．【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________
【答案】
【解析】
将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.
故答案为：
18．【2018年天津预赛】若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________
【答案】
【解析】
由可得
即
也即，所以.
由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知
在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.
方程等价于
也即
两边平方，解得.因此，不等式的解集是.
故答案为：
19．【2018年河南预赛】已知函数，若的定义域为，值域为
，则的值为______．
【答案】0
【解析】
因为，
所以有，得，故上是增函数，
进而．解得（舍）或．
故填0．
20．【2018年河北预赛】若，且满足那么. 【答案】1
【解析】
把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数，另，故，所以.
21．【2018年四川预赛】设函数上的最大值为，最小值为，那么的值为______. 【答案】4
【解析】
因为上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.
又的最大值为
故
故答案为：4
22．【2018年四川预赛】的值为______.
【答案】1
【解析】
令，则
从而，化简为.
所以，原式
故答案为：1
23．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.
【答案】
【解析】
由为奇函数可知，解得a= 2，即，
由此得的值域为.
24．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解. 【答案】3
【解析】
因为
由得到，或.
由，得一个解；由得两个解，共3个解.
25．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】
【解析】
由.
令，
，
所以.
26．【2018年江西预赛】函数的值域是区间______．
【答案】
【解析】
显然函数定义域为，在此区间内，
由于，即，
故有角使得．
于是，
因为，则．
在此范围内，则有．
因此．（当时，；当时，）
故答案为：
27．【2018年山西预赛】函数的值域为________.
【答案】
【解析】
由条件知.
令.则
，
，
，
因为，所以，.
28．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则=__________.
【答案】
【解析】
对角度x进行简单的分类，然后根据三角函数的定义得到
利用函数的周期性得到.
故答案为：
29．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为，则上的表达式为__________.
【答案】
【解析】
①
由于是以4为周期的周期函数，所以当时
此时由周期性及①式的结果得到
故答案为：
30．【2018年湖南预赛】设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
对于每一个，函数是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有
由于函数图像交点的横坐标c满足
，
得到其图像为两条折线组成，且
故答案为：
31．【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．
【答案】2
【解析】
由为奇函数，且其图象关于直线对称，
知，且，
所以．
是以8为周期的周期函数．
又，
所以．
32．【2018年福建预赛】已知整系数多项式，若
，则______．
【答案】24
【解析】
设，则，
于是．
所以．
所以是多项式的一个根．
又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点．
所以整除．故为整数．
所以．
由，得．
所以．
33．【2018年福建预赛】已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则______．
【答案】
【解析】
在中，令，得
．
令，得．
又，所以，即
．
又，
，
所以．
故．
34．【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时，恒为正值，则实数a的取值范围是____________。【答案】
【解析】
注意到，二次函数的图像为抛物线，其对称轴为.
当，即-2＜a＜2时，题设；
当a≥2时，f（x）在区间（-1，1）上为减函数，题设；
当a≤-2时，f（x）在区间（-1，1）上为增函数，题设，这与a≤-2矛盾.
综上,a的取值范围的
35．【2016年上海预赛】不等式的解集为___________。
【答案】
【解析】 设
.则原不等式变为
.记
.故f(t)在区间(o ，+∞)上为减函数，
且f(12)=-1-12=-13.因而，原不等式可写成
36．【2016年浙江预赛】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意实数,x 都有(2)()f x f x +=-，且当
[0,1]x ∈时，()2f x x =，则(103)f =____________.
【答案】36203-. 【解析】
试题分析：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()f x f x -=-；
又∵对任意实数,x 都有(2)()f x f x +=-， ∴()()()()
()42f x f x f x f x +=-+=--=， ∴函数()f x 是周期为4的周期函数； ∵当[0,1]x ∈时，()2f x x =，
∴
()()()()()
()()
1031031034410316103162
1031818103
f f f f f f f =--=--+?=-=---=--=-，
∵[]181030,1-∈，
∴()()()
1031810321810336203f f =-=-=-. 故答案为：36203-. 考点：函数的奇偶性和周期性. 37．【2016年浙江预赛】设，方程
恰有三个不同的根。则
__________。
【答案】2 【解析】
原方程可变形为.要使方程恰有三个不同的根，则.此时，方程恰有三个不同的根.从而，.
38．【2016年上海预赛】已知函数均为常数），函数的图像与函数的图像关于轴对称，函数的图像与函数的图像关于直线对称．则函数的解析式为__________．
【答案】
【解析】
设点在函数的图像上．
则P关于直线的对称点在函数的图像上．
进而，关于y轴的对称点在函数的图像上．
则，即．
故．
39．【2016年江苏预赛】若不全相等的三个实数a、b、c满足，则__________．【答案】0
【解析】
注意到，
．
因为a、b、c不全相等，
所以，．故．
40．【2016年江苏预赛】已知a、b为实数．若二次函数满足，且，则的值为__________．
【答案】3
【解析】
易知，均为方程的根．
则，
．
41．【2016年江苏预赛】已知函数在区间内的值恒正．则实数a的取值范围
是__________．
【答案】
【解析】
解:因为函数）在上恒正，则说明不等式恒成立，则对于底数a分情况讨论，a>1,0 42．【2016年湖北预赛】已知函数满足(1)=2，且对定义域内任意的x均成立．则f(2016)= _________. 【答案】 【解析】 由，易得 . 故是以4为周期的周期函数. 由 43．【2016年甘肃预赛】已知上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点个数为__________． 【答案】7. 【解析】分析：根据条件求出函数在上的零点个数，再利用函数的周期为2求出上的零点。详解：当时，，令舍去），因为函数的周期为2，所以当时，函数的零点为2,3，当，函数的零点为4,5，当，所以6是零点。故在区间上的零点有0,1,2,3,4,5,6.共7个。 点睛：本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程的关系，结合函数的周期性是解题的关键。44．【2016年甘肃预赛】已知a、b为方程的两个根.则__________. 【答案】 【解析】 原方程变形为 . 令. 则或-3或-3. 于是，方程的两根分别为. 故. 45．【2016年北京预赛】设为2014次的多项式，使得.则__________. 【答案】 【解析】 构造函数. 则. 故，其中，中的系数为待定常数. 由为2014次的多项式，得 的常数项必为0. 故. 因此. 46．【2016年山东预赛】方程的解为________. 【答案】2，6 【解析】 若，则方程的解为. 若，方程变为. （1）当3 ≤ x < 6时，方程无解； （2）当x < 3时，方程有解x = 2. 故原方程的解为x = 2，6． 47．【2016年山东预赛】方程的整数解________. 【答案】 【解析】 令.则 . 若，则 ； 若，则 （舍去）. 从而，方程的整数解为. 48．【2016年山东预赛】设分别满足方程.则________. 【答案】2 【解析】 整理得 ， ，即为方程的解. 而只有一个解，则. 49．【2016年安徽预赛】若关于x 的方程有三个不同实根，则实数a的取值范围是________.【答案】 【解析】 设.则 . 当时，单调递减，； 当时，单调递增，； 当时，单调递减； 当时，. 因此，有三个不同实根当且仅当. 50．【2016年新疆预赛】若函数是周期为的奇函数,当时,,则 ______. 【答案】 【解析】 注意到,,且周期为3.于是, 又由为奇函数且,知 .
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