故此时，18810=+≥B
④若0
2015AB10、(本题满分20分)设4321,,,a a a a 是4个有理数，使得
{}????
??
----=≤<≤3,1,81,23,2,2441|j i a
a j
i
，求4321a a a a +++的值。
★解析：由条件可知，(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321a a a a <<<，则
||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ，最大与次大的两
个数分别是34||||a a 及24||||a a ，从而必须有12
1324341,8
1,3,24,
a a a a a a a a ?
=-???
=??=?=-?? 10 分
于是2341112
113,,248a a a a a a a =-===-． 故2
231412113{,}{,24}{2,}82
a a a a a a =--=--，15分
结合1a Q ∈，只可能11
4
a =±．
由此易知，123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411
,,4,642
a a a a =-==-=．
检验知这两组解均满足问题的条件． 故12349
4
a a a a +++=±
． 20 分
2015A 二、(本题满分40分)设{}n A A A S ,,,21Λ=，其中n A A A ,,,21Λ是n 个互不相同的有限集合(2≥n )，满足对任意的S A A j i ∈,,均有S A A j i =Y ，若2min 1≥=≤≤i n
i A k .证明：存在
Y n
i i A x 1
=∈，使得x 属于n A A A ,,,21Λ中至少
k n
个集合(这里X 表示有限集合X 的元素个数)。 ★证明：不妨设1||A k =．设在12,,,n A A A L 中与1A 不相交的集合有s 个，重新记为12,,,s B B B L ，设包含1A 的集合有t 个，重新记为12,,,t C C C L ．由已知条件，1()i B A S ∈U ，即112(){,,,}i t B A C C C ∈U L ，这样我们得到一个映射 12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=L L U ． 显然f 是单映射，于是，s t ≤． 10 分
设112{,,,}k A a a a =L ．在n A A A ,,,21???中除去12,,,s B B B L ，12,,,t C C C L 后，在剩下的
n s t --个集合中，设包含i a 的集合有i x 个(1i k ≤≤)，由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个i a ，从而 12k x x x n s t +++≥--L ． 20 分
不妨设11max i i k x x ≤≤=，则由上式知i n s t
x k --≥，即在剩下的n s t --个集合中，包含1a 的集
合至少有n s t
k
--个．又由于),,2,1(1t i C A i ???=?，故12,,,t C C C L 都包含1a ，因此包含1
a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s t
t k k k
---+---+=≥(利用2k ≥) n
k
≥(利用s t ≤)． 40 分
2015B 6、设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{}
)(2),(22y x y x y x A +=+=和
{}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A I 是单元集，则k 的值为
◆答案： 2--★解析：点集A 是圆周22
:(1)(1)2x y Γ-+-=，点集B 是恒过点)3,1(-P 的直线
:3(1)l y k x -=+及下方(包括边界)．作出这两个点集知，当A 自B 是单元集时，直线l 是过
点P 的圆Γ的一条切线．故圆Γ的圆心 M (1, l)到直线l ，
=2k =-
2014A 2、设集合?
??
???≤≤≤+21|3b a b a 中最大元素与最小元素分别为N M ,，则N M -的值为 ◆答案： 325-
★解析：由21≤≤≤b a 知，521
3
3=+≤+b a ，当1=a ，2=b 时，得最大元素5=M ，又
323
3≥+≥+a a
b a ，
当3==b a 时，得最小元素32=m 。因此，325-=-m M 。
2014A 三、(本题满分50分)设{
}100,,2,1Λ=S ，求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的
最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。
★解析：对有限非空实数集A ，用A min ，A max 分别表示A 中的最小元素和最大元素。 考虑S 的所有包含1且至少有两个元素的子集，一共有12
99
-个，它们显然满足要求，因为
()i j i A A A max 1min <=I ，故1299
max -≥k 。
下面证明99
2≥k 时不存在满足要求的k 个子集.我们用数学归纳法证明：对整数3≥n ，集合
{}n ,,2,1Λ的任意m (12-≥n m )个不同的非空子集m A A A ,,,21Λ中，存在两个不同的子集
j i A A ,，满足φ≠j i A A I ，且()i j i A A A max min =I ①
显然只需对1
2-=n m 的情形证明上述结论。
当3=n 时，将{
}3,2,1的全部非空子集分成三组：第一组{}{}{}3,2,3,1,3；第二组{}{}2,1,2；第三组{}
{}3,2,1,1。由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个是在同一组，取同组的两个子集j i A A ,，排在前面的记为i A ，则满足①；
假设当n (3≥n )时，结论①成立，考虑1+n 时，若n A A A 221,,,Λ中至少有1
2-n 个子集不含
1+n ，对其中的12-n 个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足①；若至多有121--n 个子集
不含1+n ，则至少有121+-n 子集含1+n ，将其中121
+-n 子集去掉1+n ，得到{
}n ,,2,1Λ的121+-n 个子集。
又由于{
}n ,,2,1Λ的全体子集可以分成12-n 组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，在上述121+-n 个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.
因此，相应地有两个子集j i A A ,，满足{}1+=n A A j i I ，这两个子集显然满足结论①。
故1+n 时结论也成立。 综上所述，所求k 的最大值为12
99
-
2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}
A x A x x
B ?-∈-=2
2,|，则集合B 中所有元素的和为
◆答案：5-
★解析：易得{}0,1,2,3---?B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--
2008A B2、设)4,2[-=A ,{
}
04|2
≤--=ax x x B ，若A B ?,则实数a 的取值范围为( ) A. )2,1[- B. ]2,1[- C. ]3,0[ D. )3,0[ ◆答案： D
★解析：因为2
40x ax --=有两个实根
12a x =
22a x =B A ?等价
于12x ≥-且24x <
，即22a -
且42a ，解之得03a ≤<．
2007*6、已知A 与B 是集合{
}100,,3,2,1Λ的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且B A I 为空集，若A n ∈，则B n ∈+22，则集合B A Y 的元素个数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 ◆答案：B
★解析：先证66≤B A Y ，只须证33≤A ，为此只须证若A 是{
}49,,2,1Λ的任一个34元子集，则必存在A n ∈，使得B n ∈+22。证明如下：
将{
}49,,2,1Λ分成如下33个集合：{}4,1，{}8,3，{}12,5，…，{}48,23}共12个；{}6,2，{}22,10， {}30,14，{}38,18共4个；{}25，{}27，{}29，…，{}49共13个；{}26，{}34，{}42，{}46共4个。由于A 是{}49,,2,1Λ的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合
中至少有一个2元集合中的数均属于A ，即存在A n ∈，使得B n ∈+22。
如取{
}46,42,34,26,49,,29,27,25,18,14,10,2,23,,5,3,1ΛΛ=A , {}A n n B ∈+=|22，则B A ,满足题设,且66≤B A Y 。
2006*3、已知集合{}05|≤-=a x x A ，{}06|>-=b x x B ，N b a ∈,，且
{}4,3,2=N B A I I ，则整数对),(b a 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42
◆答案：C
★解析： 50x a -≤5a x ?≤
；60x b ->6
b
x ?>。要使{}2,3,4A B N ??=，则12645
5b
a ?≤
?≤
，即6122025b a ≤
6530C C =。
2004*三、(本题满分50分) )对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合{}1,,2,1.-+++n m m m m Λ的任一个)(n f 元子集中，均至少有3个两两互素的元素。 ★解析：
⑴ 当4≥n 时，对集合()=n m M ,{}1,,2,1.-+++n m m m m Λ，
当m 为奇数时，m ，1+m ，2+m 互质，当m 为偶数时，1+m ，2+m ，3+m 互质．即M 的子集中存在3个两两互质的元素，故)(n f 存在且n n f ≤)(． ①
取集合{}1,|3,|2|+≤=n t t t t T n 或，则T 为(){}1,,3,2,2+=n M n Λ的一个子集，且其中任3个
数无不能两两互质．故1)(+≥T n f ．(T 表示元素个数)
但???
???+-??????++??????+=613121n n n T ．故1613121)(+??
?
???+-??????++??????+≥n n n n f ② 由①与②得，5)5(,4)4(==f f ，6)6(5≤≤f ，7)7(6≤≤
f ，8)8(7≤≤f ，9)9(8≤≤f ．
现计算)6(f ，取{}5,4,3,2,1,+++++=m m m m m m M ，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数4,2,++k k k ()20(0d m k ≡)时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故5)6(=f ．
而()(){}n m M M n m n m +=+Y ,1,，故1)()1(+≤+n f n f . ③ 所以6)7(=f ，7)8(=f ，8)9(=f ．
∴ 对于94≤≤n ，1613121)(+??
?
???+-??????++????
??+=n n n n f 成立． ④ 设对于k n ≤④成立，当1+=k n 时，由于
()(){}k m k m k m M M k m k m +-+-+=-+,,4,55,1,ΛY ．
在{}k m k m k m +-+-+,,4,5Λ中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的()5,-k m M 中取出)(n f 个数就必有3个两两互质的数．于是 当4≥n 时，1)6()(4)()6(-+=+≤+f n f n f n f ． 故16232221)6()5()1(+??
?
???+-??????++????
??+=-+-≤+k k k f k f k f ， 比较②，知对于1+=k n ，命题成立．
∴对于任意4≥n ，*
∈N n ，1613121)(+??
????+-??????++????
??+=n n n n f 成立． 又可分段写出结果：
????
???????∈+=+∈+=+∈+=+∈+=+∈+=+∈=+=***
***N
k k n k N k k n k N k k n k N
k k n k N
k k n k N k k n k n f ,5654,4644,3644,2634,1624,614)(
2003*9、已知{}034|2<+-=x x x A ，{}
,05)7(2,02|2
1≤++-≤+=-x a x a x B x 若
B A ?，则实数a 的取值范围是 ◆答案：[]1,4--
★解析：由题意得()3,1=A ；又x
a --≤12
，因为??? ?
?
--∈--41,12
1x
；当()3,1∈x 时，
725
2-+≥x x a ，
因为
(
)
4,75725
2--∈-+x x ．因为B A ?，即x a x
x --≤≤-+122725
恒成立，所以
14-≤≤-a ．
2002*5、已知两个实数集合{}10021,,,a a a A Λ=与{}5021,,,b b b B Λ=，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且)()()(10021a f a f a f ≤≤≤Λ则这样的映射共有( )
A.50100C 个
B. 4899C 个
C. 49100C 个
D. 49
99C 个
◆答案：D
★解析：不妨设5021b b b <<<Λ，将A 中元素10021,,,a a a Λ按顺序分为非空的50组，定义映射B A f →:，使得第i 组的元素在f 之下的象都是i b (50,,2,1Λ=i )，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为49
99C ，则这样的映射共有49
99C ，故选D 。
2001*1、已知a 为给定的实数，那么集合{}
023|2
2=+--=a x x x M 的子集的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 不确定 ◆答案：C
★解析：方程0232
2
=+--a x x 的根的判别式0412
>+=?a ，方程有两个不相等的实数根．由M 有2个元素，得集合M 有422=个子集．
2000*1、设全集是实数，若{}
02|
≤-=x x A ，{
}
x x x B 1010|22
==-，则B C A R I 是( ) A.{}2 B.{}1- C. {}2|≤x x D.φ
◆答案：D
★解析：由题意得：A={2}，B={2，－1}，故选D ．
1998*2、若非空集合{}5312|-≤≤+=a x a x A ,{}223|≤≤=x x B ，则能使B A A I ?成立的所有a 的集合是( )
A.{}91|≤≤a a
B. {}96|≤≤a a
C. {}9|≤a a
D.φ ◆答案：B
★解析：即B A ?，φ≠A ．所以2253123≤-≤+≤a a ，解得96≤≤a 。故选B ．
1996*7、集合?
?????
∈-
<≤-*N x x x
,21
10log 1|1的真子集的个数是_____________________． ◆答案：1290
-
★解析：由已知，得2lg 1<≤x 即10010<≤x ．故该集合有90个元素．其真子集有1290
-个．
1995*12、设{
}1995,,3,2,1Λ=M ，A 是M 的子集且满足条件:当A x ∈时，A x ?15，则A 中元素的个数最多是______． ◆答案：1870 ★解析：因为1995=15×133．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求． 在所有15的倍数的数中，152的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个．即
1870≥A ．又{}k k 15,(133,,11,10,9Λ=k )中的两个元素不能同时取出，故187081331995=+-≤A ．综上1870=A
1994*9、已知点集??
??????????? ??≤-+-=2
2
225)4()3(|),(y x y x A ，
??
??????????? ??>-+-=2
2
225)5()4(|),(y x y x B ，则点集B A I 中的整点(即横、纵坐标均为整数的
点)的个数为__ ____． ◆答案：7
★解析：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)， (1， 5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．
1993*1、若(){}0sin tan |,2=+=x y y x M ππ，(){}
2|,2
2≤+=y x y x N ，则N M I 的元素
个数是( )
A.4
B.5
C.8
D.9 ◆答案：D ★解析：对集合M ，可得0sin ,0tan ==x y ππ，即k y =(Z k ∈)，m x = (Z m ∈)，N M I 即圆22
2
=+y x 及圆内的整点数．共9个．选D ．
1993*3、集合B A ,的并集{}321,,a a a B A =Y ，当B A ≠时，()B A ,与()A B ,视为不同的对，则这样的()B A ,对的个数是( )
A.8
B.9
C.26
D.27 ◆答案：D ★解析： A a ∈1或A a ?1，有2种可能，同样B a ∈1或B a ?1，有2种可能，但A a ?1与B a ?1不能同时成立，故有122
-种安排方式，同样32,a a 也各有122
-种安排方式，故共有
()
27123
2
=-种安排方式．选D ．
1993*二、(本题满分35分)设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集m A A A ,,,21Λ两两不包含。试证：⑴
11
1
≤∑=m
i A n
i C
⑵
21
m C m
i A
n i
≥∑=，其中i A 表示i A 所含的元素个数，i A n C 表示从n 个不同元素中取出i A 个的
组合数。
★证明：
⑴ 即证：若n k k k m =+++Λ21，则()()()!!!!!!!12211n k n k k n k k n k m m ≤-++-+-Λ． 由于!n 表示n 个元素的全排列数，而()!!i i k n k -表示先在这n 个元素中取出i k 个元素排列再把其其余元素排列的方法数，由于i A 互不包含，故
()()()!!!!!!!12211n k n k k n k k n k m m ≤-++-+-Λ成立．
⑵ ∵()221
11111m C C m i A n m i A
n i i
=+++≥???
?????
? ??∑∑==Λ．且1101<<∑=m i A n i C ，故21m C m i A n i ≥∑=．
1992*二、(本题满分35分)
设集合{
}n S n ,,2,1Λ=．若X 是n S 的子集，把X 中所有数的和称为X 的“容量”(规定空集的 容量为0)，若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为的奇(偶)子集．
1．求证：n S 的奇子集与偶子集个数相等．
2．求证：当3≥n 时，n S 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．当 3≥n 时，求n S 的所有奇子集的容量之和．
★证明：⑴ 对于n S 的每个奇子集A ，当A ∈1时，取{
}1\A B =，当A ?1时，取{}1Y A B =，则B 为n S 的偶子集.反之，若B 为n S 的偶子集，当B ∈1时，取{
}1\B A =，当B ?1时，取{}1Y B A =，于是在n S 的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，故n S 的奇子集与偶子集
的个数相等.
⑵ 对于任一n S i ∈，1>i ，含i 的n S 的子集共有12-n 个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.
而对于元素1，只要把n S 的所有子集按是否含有3配对(即在上证中把1换成3来证)，于是也可知1的奇子集与偶子集中占的个数一样，于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集中占的个数一样.所以n S 的所有奇子集的容量的和，与所有偶子集的容量的和相等. ⑶ 由于每个元素在奇子集中都出现2
2
-n 次，故奇子集的容量和为
()322)1(2321--?+=?++++n n n n n Λ．
1991*5．设{
=-=2
2|),(y x y x S 奇数，}R y x ∈,，
{
)2cos()2(cos )2sin()2sin(|),(2222y x y x y x T ππππ-=-=，}R y x ∈,，则( ) A ．T S ? B ．S T ? C ．T S = D ．φ=T S I
◆答案：A
★解析：若2
2
y x -为奇数，则(
)
(
)()()2
2
2
2
2cos 2cos 2sin 2sin y x y
x ππππ-=-成立，即T S ?．
又若y x =时，(
)(
)
(
)()2
2
2
2
2cos 2cos 2sin 2sin y x y x ππππ-=-也成立，即得S T ，选A ．
1991*12．设集合{}1000,,2,1Λ=M ，现对M 中的任一非空子集X ,令X a 表示X 中最大数与最小数的和．那么，所有这样的X a 的算术平均值为 ． ◆答案：1001
★解析：对于任一整数n (10000≤2-n 个，以n 为最小数的集
合有n
-10002
个，以n -1001为最小数的集合则有1
2
-n 个，以n -1001为最大数的集合则有
n -10002个．故n 与n -1001都出现12-n n -+10002次．
∴ 所有X a 的和为()()1210012
2100121100010001
10001-?=+?∑=--n n
n ． ∴ 所求平均值为1001．
又解：对于任一组子集{}k b b b A ,,,21Λ=，k b b b <<<Λ21 (10001<≤k )，取子集
{}k b b b A ---=1001,,1001,100121/Λ，若/A A ≠，则此二子集最大数与最小数之和为
20021001100111=-+-++k k b b b b ，平均数为1001．若/A A =，则A 本身的为1001． 由于每一子集均可配对．故所求算术平均数为1001．
1991*一、设{
}n S ,,2,1Λ=，A 为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后不能构成与A 有相同公差的等差数列．求这种A 的个数(这里只有两
项的数列也看作等差数列)．
★解析：易知公差11-≤≤n d ．
设k n 2=，1=d 或1-=n d 时，这样的A 只有1个，2=d 或2-=n d 时，这样的数列只有2个，3=d 或3-=n d 时这样的数列只有3个，……，1-=k d 或1+k 时，这样的数列有1-k 个，k d =时，这样的数列有k 个．
∴ 这样的数列共有()2
2
4
1221n k k k =
=-?+++Λ个． 当12+=k n 时，这样的数列有()()
141)1(2212
-=
+=?+++n k k k Λ个． 两种情况可以合并为：这样的A 共有()8
1141
2--+-n n 个(或??
?
???241n 个)．
解法二：对于??
?
???=2n k ，这样的数列A 必有连续两项，一项在{
}k ,,2,1Λ中，一在{}n k k ,,2,1Λ++中，反之，在此两集合中各取一数，可以其差为公差构成一个A ，于是共
有这样的数列
当k n 2=时，这样的A 的个数为2
2
4
1n k =
个；当12+=k n 时，这样的A 的个数为()
14
1)1(2
-=
+n k k 个． ∴ 这样的数列有??
?
???241n 个．
解法一也可这样写： 设A 的公差为d ，则11-≤≤n d ． ⑴ 若n 为偶数，则
当21n
d ≤≤时，公差为d 的等差数列A 有d 个；
当12
-≤时，公差为d 的等差数列A 有d n -个． 故当n 为偶数时，这样的A 共有2
4
1)12(21221n n n n =??????--+++??? ??+++ΛΛ个．
⑵ 若n 为奇数，则
当2
1
1-≤≤n d 时，公差为d 的等差数列A 有d 个；
当12
1-≤≤+n d n 时，公差为d 的等差数列A 有d n -个.
故当n 为奇数时，这样的A 共有()141)212121212-=??????-+
+++??? ??
-+++n n n ΛΛ个． 两种情况可以合并为：这样的A 共有()81141
2--+-n n 个(或??
????241n 个)． 解法二：对于??
?
???=2n k ，这样的数列A 必有连续两项，一项在{
}k ,,2,1Λ中，一在{}n k k ,,2,1Λ++中，反之，在此两集合中各取一数，可以其差为公差构成一个A ，于是共有这样的数列
当k n 2=时，这样的A 的个数为2
2
4
1n k =
个；当12+=k n 时，这样的A 的个数为()
14
1)1(2
-=
+n k k 个． ∴ 这样的数列有???
???241n 个．
1990*4、点集?
?????
+=???
?
?++y x y x y x lg lg 9131lg |),(33中的元素个数为( ) A. 0 B. 1 C.2 D.多于2
◆答案：B
★解析：由题意得09
1
3133
>=++
xy y x ．又xy y x y x =??≥++33333913139131，等号当且
仅当9
13133
==y x 时，即333=x ，393=y 时成立．故选B ．
1989*5.若?
?????≠-≠∈+++=
=0,1,,11|t t R t t t i t t z z M ， []{}
1,,)cos(arccos )cos(arcsin 2|≤∈+==t R t t i t z z N ，则N M I 中元素的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.4 ◆答案：A
★解析：M 的图象为双曲线1=xy (0≠x ，1≠x )，N 的图象为22
2
=+y x (0≥x )，二者无公共点．选A ．
1989*6.集合{}z l n m l n m u u M ∈++==,,,4812|，
{}z r q p r q p u u N ∈++==,,,121620|的关系为( )
A.N M =
B.M N N M ??,
C.N M ≠
? D. M N ≠
?
◆答案：A
★解析：)23(44812l n m l n m u ++=++=，由于l n m ++23可以取任意整数值，故M 表示所有4的倍数的集合．同理)345(4121620r q p r q p u ++=++=也表示全体4的倍数的集合．
1988*3.平面上有三个点集P N M ,,:{}
1|),(<+=y x y x M ，
()???????
?
??
++??? ??++??? ??-=2221212121,2222y x y x y x N ，
{}1,1,1|
),(<<<+=y x y x y x P 。则( )
A.N P M ≠
≠
?? B. P N M ≠
≠
?? C. M N P ≠
≠
?? D.A 、B 、C 都不成立
◆答案：A
★解析：M 表示以()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N 表示焦点为???
??-21,21，??
? ??-21,21，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P 表示由1±=+y x ，1±=x ， 1±=y 围成的六边形内部的点的集合．故选A ．
1987*5.已知集合
{})lg(,,xy xy x M =,
{}y x N ,,0=,且N
M =，则
???? ??+++???? ??++???? ??++???? ??+2001200133221111y x y x y x y x Λ的值为 (陕西供题) ◆答案：2-
★解析：M ∈0，但0≠xy ，故只有0)lg(=xy ，即1=xy ．
∴ N ∈1，故1=x ，或1=y ，若1=y ，则由1=xy 得，1=x ，与元素相异性矛盾．故1≠y ． ∴1=x ，1=x 或1-=x ，其中1=x 同上矛盾．故1-=x ．1-=y ．
∴ 2122=+
k k
y x
；21121
2-=+++k k y
x (*∈N k )．故所求值为2-． 解：0≠xy ，得0,0≠≠y x ．故1=xy ．若1=y ，则1=x ，矛盾，故1-=x ，1-=y ．原式为2-．
1987*6．已知集合(){}0,,>=+=a a y x y x A ，(){}
y x xy y x B +=+=1,，若B A I 是
平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为 ．(青海供题) ◆答案：2=a 或22+
★解析：集合A 的图形是依次连()0,a ，()a ,0，()0,a -，()a -,0四点的线段． 集合B 的图形是直线1=x ，1-=x ，1=y ，1-=y ．它们交得一个正八边形． 若此4条直线为图中的4条实线，则215.22tan 0
=+=a ．或此正八边形 各边与原点距离相等，知直线a y x =+与原点距离等于1．所以2=a ． 若此4条直线为图中的4条虚线，则2222+=a ，得22+=a ． ∴2=a 或22+=a ．
1984*1、 集合(){}
为常数a a z z
S ,arg 2
==在复平面上的图形是( )
A ．射线a z 2arg =
B ．射线a z 2arg -=
C ．射线a z =arg
D ．上述答案都不对 ◆答案：D
★解析：由于[)π2,0arg ∈z ， a z -=π2arg ，故选D ．
1983*4、已知(){
}2
,x y y x M ≥=，()()
{}
1,2
2
≤-+=a y x y x N ，那么使N N M =I 成立
的充要条件是( ) A.45≥
a B. 4
5
=a C.1≥a D.10<★解析：N N M =I 的充要条件是圆()12
2≤-+a y x 在抛物线2
x y =内部(上方)．即1≥a ，
且方程01)12(2
2=-+--a y a y 的0≤?解得，4
5
≥
a ，选A ．
1982*7、 设(){}0,1,>==x xy y x M ，(){}
π=+=y arc x y x N cot arctan ,，那么( )
A ．(){1,==xy y x N M Y
B ．M N M =Y
C ．N N M =Y
D ．(){}
1,==xy y x N M Y ，其中y x ,不同时为负数
◆答案：B
★解析：M 是双曲线1±=xy 在第一、四象限内的两支； 由y arc x cot arctan -=π，y x 1-
=，即1-=xy ，若,0?
??-∈0,2arctan πx ，而()π,0cot ∈y arc ，()ππ,0cot ∈-y arc ，故0>x ．即N 是1-=xy 在第四象限的一支．故
选B ．
高考数学试题分类汇编集合理
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
各省高中数学竞赛预赛试题汇编
2012各省数学竞赛汇集
目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：
数列历年高考真题分类汇编
专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a == ?? ?…， 10n n a a +->，{}n a 递增， 当4n … 时，11132122 n n n n a a a a +=+>+=，
所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品
应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高考语文,文学类文本阅读历年真题汇编
2016年高考语文试题分类汇编：现代文 全国卷1 三、文学类文本阅读（25分） 11．阅读下面的文字，完成（1）-（4)题(25分) 锄李锐 拄着锄把出村的时候又有人问：“六安爷，又去百亩园呀？” 倒拿着锄头的六安爷平静地笑笑：“是哩。” “咳呀,六安爷，后晌天气这么热，眼睛又不方便，快回家歇歇吧六安爷！” 六安爷还是平静地笑笑：“我不是锄地，我是过瘾。” “咳呀，锄了地，受了累，又没有收成，你是图啥呀六安爷？” 六安爷已经记不清这样的回答重复过多少次了，他还是不紧不慢地笑笑：“我不是锄地，我是过瘾。” 斜射的阳光晃晃地照在六安爷的脸上，渐渐失明的眼睛，给他带来一种说不出的静穆，六安爷看不清人们的脸色，可他听得清人们的腔调，但是六安爷不想改变自己的主意，照样拄着锄把当拐棍，从从容容地走过。 百亩园就在河对面，一抬眼就能看见。一座三孔石桥跨过乱流河，把百亩园和村子连在一起。这整整一百二十亩平坦肥沃的河滩地，是乱流河一百多里河谷当中最大最肥的一块地。西湾村人不知道在这块地上耕种了几千年几百代了。西湾村人不知把几千斤几万斤的汗水撒在百亩园，也不知从百亩园的土地上收获了几百万几千万斤的粮食，更不知这几百万几千万斤的粮食养活了世世代代多少人。但是，从今年起百亩园再也不会收获庄稼了，煤炭公司看中了百亩园，要在这块地上建一个焦炭厂。两年里反复地谈判，煤炭公司一直把土地收购价压在每亩五千元，为了表示绝不接受的决心，今年下种的季节，西湾村人坚决地把庄稼照样种了下去。煤炭公司终于妥协了，每亩地一万五千块。这场惊心动魄的谈判像传奇一样在乱流河两岸到处被人传颂。一万五千块，简直就是一个让人头晕的天价。按照最好的年景，现在一亩地一年也就能收入一百多块钱。想一想就让人头晕，你得受一百多年的辛苦，留一百多年的汗，才能在一亩地里刨出来一万五千块钱呐！胜利的喜悦中，没有人再去百亩园了，因为合同一签，钱一拿，推土机马上就要开进来了。 可是，不知不觉中，那些被人遗忘了的种子，还是和千百年来一样破土而出了。每天早上嫩绿的叶子上都会有珍珠一样的露水，在晨风中把阳光变幻得五彩缤纷。这些种子们不知道，永远不会再有人来伺候它们，收获它们了。从此往后，百亩园里将是炉火熊熊、浓烟滚滚的另一番景象。 六安爷舍不得那些种子。他掐着指头计算着出苗的时间，到了该间苗锄头遍的日子，六安爷就拄着锄头来到百亩园。一天三晌，一晌不落。 现在，劳累了一天的六安爷已经感觉到腰背的酸痛，满是老茧的手也有些僵硬，他蹲下身子摸索着探出一块空地，然后，坐在黄土上很享受地慢慢吸一支烟，等着僵硬了的筋骨舒缓下来。等到歇够了，就再拄着锄把站起来，青筋暴突的臂膀，把锄头一次又一次稳稳地探进摇摆的苗垅里去。没有人催，自己心里也不急，六安爷只想一个人慢慢地锄地，就好像一个人对着一壶老酒细斟慢饮。 终于，西山的阴影落进了河谷，被太阳晒了一天的六安爷，立刻感觉到了肩背上升起的一丝凉意。他缓缓地直起腰来，把捏锄把的两只手一先一后举到嘴前，轻轻地啐上几点唾沫，而后，又深深地埋下腰，举起了锄头，随着臂膀有力的拉拽，锋利的锄刃闷在黄土里咯嘣咯嘣地割断了草根，间开了密集的幼苗，新鲜的黄土一股一股地翻起来。六安爷惬意地微笑着，虽然看不清，可是，耳朵里的声音，鼻子里的气味，河谷里渐起的凉意，都让他顺心，都让他舒服。银亮的锄板鱼儿戏水一般地，在禾苗的绿波中上下翻飞。于是，松软新鲜的黄土上留下两行长长的跨距整齐的脚印，脚印的两旁是株距均匀的玉茭和青豆的幼苗。六安爷种了一辈子庄稼，锄了一辈子地，眼下这一次有些不一般，六安爷心里知道，这是他这辈子最后一次锄地了，最后一次给百亩园的庄稼锄地了。 沉静的暮色中，百亩园显得寂寥、空旷。六安爷喜欢这天地间昏暗的时辰，眼睛里边和眼睛外边的世界是一样的。他知道自己在慢慢融入眼前这黑暗的世界里。 很多天以后，人们跟着推土机来到百亩园，无比惊讶地发现，六安爷锄过的苗垅里，茁壮的禾苗均匀整齐，一棵一棵蓬勃的庄稼全都充满了丰收的信心。没有人能相信那是一个半瞎子锄过的地。于是人们想起六安爷说了无数遍的话，六安爷总是平静固执地说，“我不是锄地，我是过瘾。” （1）下列对小说相关内容和艺术特色的分析鉴赏，最恰当的两项是( )（5分）
2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品
2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.
2018年全国高考语文试题汇编----诗歌鉴赏
2018年全国高考语文试题汇编----诗歌鉴赏 一、诗歌鉴赏（共7题；共59分） 1.（2018?卷Ⅰ）阅读下面这首唐诗，完成小题。野歌李贺 鸦翎羽箭山桑弓，仰天射落衔芦鸿。 麻衣黑肥冲北风，带酒日晚歌田中。 男儿屈穷心不穷，枯荣不等嗔天公。 寒风又变为春柳，条条看即烟濛濛。 （1）下列对这首诗的赏析，不正确的一项是（） A. 弯弓射鸿，麻衣冲锋、饮酒高歌都是诗人排解心头苦闷与抑郁的方式。 B. 诗人虽不得不接受生活贫穷的命运，但意志并未消沉，气概仍然豪迈。 C. 诗中形容春柳的方式与韩愈《早春呈水部张十八员外》相同，较为常见。 D. 本诗前半描写场景，后半感事抒怀，描写与抒情紧密关联，脉络清晰。（2）诗中最后两句有何含意？请简要分析。 2.（2018?卷Ⅱ）阅读下面这首宋词，完成小题。题醉中所作草书卷后（节选）陆游 胸中磊落藏五兵，欲试无路空峥嵘。 酒为旗鼓笔刀槊，势从天落银河倾。 端溪石池浓作墨，烛光相射飞纵横。 须臾收卷复把酒，如见万里烟尘清。 （1）下面对这首诗的赏析，不正确的一项是（） A. 这首诗写诗人观看自己已完成的一副草书作品，并回顾它的创作过程。 B. 诗人驰骋疆场杀敌报国的志向无法实现，借书法创作来抒发心中郁闷。 C. 诗人把书法创作过程中自己想象成战场上的战士，气吞山河，势不可挡。 D. 诗人豪情勃发，他在砚台中磨出浓黑墨汁，也映射着烛光纵横飞溅。（2）诗中前后两次出现“酒”，各有什么作用？请结合诗句简要分析。 3.（2018?卷Ⅲ）阅读下面这首唐诗，完成小题。精卫词 王建 精卫谁教尔填海，海边石子青磊磊。 但得海水作枯池，海中鱼龙何所为。 口穿岂为空衔石，山中草木无全枝。
2019-2020高考数学试题分类汇编
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （A ）（–1，1） （B ）（1，2） （C ）（–1，+∞） （D ）（1，+∞） 7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ，则A B = . 10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = ． 一、 集合(2020) 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则 a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.
高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》
【2012四川】设M 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的动点，则MO MF 的最大值是 (A) 3 (B) 3 (C) 43 (D) 答案：B 【2013黑龙江】设12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右 支上存在一点P ，使() 220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r ，O 为原点，且12PF =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是 (A) (B) 1 (C) (D) 答案：B 【2012江西】椭圆22 22153 x y +=的内接正方形面积是 答案 45017 . 【2011江西】以抛物线2y x =上的一点M （1,1）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 和△MCD ，则线段AB 与CD 的交点E 坐标是 答案(1,2)-. 【2013全国】点A ，B 在抛物线2 4y x =上满足4OA OB ?=-u u u r u u u r ， O 为坐标原点，F 为焦点，则OFA OFB S S ???= 答案2.
【2013辽宁】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，斜率为1且过点M （b ，0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，若125 OA OB ?=-u u u r u u u r ，则该椭圆的方程是 答案22 1164 x y +=. 【2013吉林】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若菱形ABCD 的内切圆半 径等于椭圆焦距的6 ，则椭圆的离心率是 答案 2 【2011新疆】已知O,F 分别为抛物线的顶点和焦点，PQ 为过焦点F 的弦， |OF|=a,|PQ|=b ， 求△OPQ 的面积. 答案略 【2013山东】椭圆22 143 x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值. 答案略 【2012辽宁】设不过原点O 的直线l 与椭圆2 214 x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 答案略
历年高考真题遗传题经典题型分类汇总(含答案)
历年高考真题遗传类基本题型总结 一、表格形式的试题 1．（2005年）已知果蝇中，灰身与黑身为一对相对性状（显性基因用B表示，隐性基因用b表示）；直毛与分叉毛为一对相对性状（显性基因用F表示，隐性基因用f表示）。两只亲代果蝇杂交得到以下子代类型 请回答： （1）控制灰身与黑身的基因位于；控制直毛与分叉毛的基因位于。 （2）亲代果蝇的表现型为、。 （3）亲代果蝇的基因为、。 （4）子代表现型为灰身直毛的雌蝇中，纯合体与杂合体的比例为。 （5）子代雄蝇中，灰身分叉毛的基因型为、；黑身直毛的基因型为。 2．石刁柏（俗称芦笋，2n=20）号称“蔬菜之王”，属于XY型性别决定植物，雄株产量明显高于雌株。石刁柏种群中抗病和不抗病受基因A 、a控制，窄叶和阔叶受B、b控制。两株石刁柏杂交，子代中各种性状比例如下图所示，请据图分析回答： （1）运用的方法对上述遗传现象进行分析，可判断基因A 、a位于染色体上，基因B、b位于染色体上。 （2）亲代基因型为♀，♂。子代表现型为不抗病阔叶的雌株中，纯合子与杂合子的比例为。 3．（10福建卷）已知桃树中，树体乔化与矮化为一对相对性状(由等位基因D、d控制)，蟠桃果形与圆桃果形为一对相对性状（由等位基因H、h控制），蟠挑对圆桃为显性，下表是桃树两个杂交组合的试验统计数据： （1）根据组别的结果，可判断桃树树体的显性性状为。 （2）甲组的两个亲本基因型分别为。 （3）根据甲组的杂交结果可判断，上述两对相对性状的遗传不遵循自由组台定律。理由是：如果这两对性状的遗传遵循自由组台定律，则甲纽的杂交后代应出现种表现型。比例应为。 4.（11年福建卷）二倍体结球甘蓝的紫色叶对绿色叶为 显性，控制该相对性状的两对等位基因（A、a和B、b）分别位于3号和8号染色体上。下表是纯合甘蓝杂交试验的统计数据： 请回答： （1）结球甘蓝叶性状的有遗传遵循____定律。 （2）表中组合①的两个亲本基因型为____，理论上组合①的F2紫色叶植株中，纯合子所占的比例为_____。 （3）表中组合②的亲本中，紫色叶植株的基因型为____。若组合②的F1与绿色叶甘蓝杂交，理论上后代的表现型及比例为____。
2019高考语文真题默写汇编
2019高考语文真题默写汇编 1.按要求填空。（5分）(上海卷) （1）士不可以不弘毅，______________。《〈论语〉七则》 （2）______________，尽西风，季鹰归未？（辛弃疾《水龙吟·________》（3）《琵琶行》中，“______________，______________”两句形象地写出了琵琶声的轻快与冷涩。 （四）古诗文默写。（6分）（浙江卷） 23．补写出下列名篇名句的空缺部分。（只选3小题）（6分） （1）其身正，；其身不正___________，___________。（《论语》） （2）覆杯水于坳堂之上___________，___________；___________，水浅而舟大也。（《庄子·逍遥游》） （3）___________，渚清沙白鸟飞回。___________，不尽长江滚滚来。（杜甫《登高》） （4）青山隔送行，疏林不做美___________。夕阳古道无人语___________，。（王实甫《长享送别》） （5）___________，___________。矮纸斜行闲作草，晴窗细乳分茶。（陆游《临安春雨初霁》） 16.在横线处填写作品原句。（北京卷） 陆游看见沈园的桃花，思绪万千：“桃花落，闲池阁。________ ，__________。”唐人多爱牡丹，宋人多爱梅，周敦颐却独爱莲：“________，________ ，香远益清，亭亭净植。” 有一位学者，化用陶渊明诗文中的“________，__________”，将自己狭小的书斋命名为“容安斋”。 有些同学在阅读经典时，只摘抄妙语警句，而不注重领会思想、汲取智慧。用俗话来说，这叫“捡了芝麻丢了西瓜”。用古诗文名句来说，可谓“________，__________”。 16．补写出下列句子中的空缺部分。（6分）（全国2卷） （1）《邹忌讽齐王纳谏》中“____________，____________”，表现了主人公的形象之美。 （2）杜牧《阿房宫赋》中“____________，____________”两句，写阿房宫占地极广且极为高大，以表现其雄壮之美。 （3）苏轼在《赤壁赋》中以“____________，____________”两句，写出了婉转悠长、延绵不尽的乐声之美。 16．补写出下列句子中的空缺部分。（全国1卷） （1）《庄子·逍遥游》中的斥鴳无法理解大鹏，称自己腾跃起飞，“____________，____________ （2）李白《蜀道难》中“____________，____________”两句，回顾了“五丁开山”的传说。 （3）范仲淹《渔家傲（塞下秋来风景异）》中“____________，____________”两句，写戍边将士满怀思想的愁若，但末获胜利仍然不得还乡。 16.补写出下列句子中的空缺部分。（全国3卷） （1）《论语·子罕》中，孔子用“_________________，_________________”两句话阐明，一个普通人，也是有坚定志向的；要改变一个人的志向，是很困难的。
高考数学试题分类汇编集合
2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤
历年高考试题分类汇编之《曲线运动》,推荐文档
历年高考试题分类汇编之《曲线运动》 （全国卷1）14．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满 足 A.tan φ=sin θ B. tan φ=cos θ C. tan φ=tan θ D. tan φ=2tan θ 答案：D 解析：竖直速度与水平速度之比为：tanφ = ，竖直位移与水平位移之比为：tanθ = gt v 0 ，故tanφ =2 tanθ ，D 正确。 0.5gt 2 v 0t （江苏卷）5．如图所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度 运动．设滑块运动到A 点的时刻为t =0，距A 点的水平距离为x ，水平 0v 速度为．由于不同，从A 点到B 点的几种可能的运动图象如下列选 x v 0v 项所示，其中表示摩擦力做功最大的是 答案：D 解析：考查平抛运动的分解与牛顿运动定律。从A 选项的水平位移与时间的正比关系可知，滑块做平抛运动，摩擦力必定为零；B 选项先平抛后在水平地面运动，水平速度突然增大，摩擦力依然为零；对C 选项，水平速度不变，为平抛运动，摩擦力为零；对D 选项水平速度与时间成正比，说明滑块在斜面上做匀加速直线运动，有摩擦力，故摩擦力做功最大的是D 图像所显示的情景，D 对。本题考查非常灵活，但考查内容非常基础，抓住水平位移与水平速度与时间的关系，然后与平抛运动的思想结合起来，是为破解点。 （江苏卷）13．(15分)抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g ) (1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度，水平发出，落在球台的P 1点(如 1v
高考语文试题分类汇编社科文(答案及解析)
2016年高考语文试题分类汇编：社科文（答案及解析） 全国卷1 阅读下面的文字，完成1?3题 殷墟甲骨文是商代晚期在龟甲兽骨上的文字，是商王室及其他贵族利用龟甲兽骨占卜吉凶时写刻的卜辞和与占卜有关的记事文字，殷墟甲骨文的发现对中国学术界产生了巨大而深远的影响。 甲骨文的发现证实了商王朝的存着。历史上，系统讲述商史的是司马迁的《史记殷本纪》，但此书撰写的时代距商代较远，即使公认保留了较多商人语言的《尚书盘庚》篇，其中亦多杂有西周时的词语，显然是被改造过的文章。因此，胡适曾主张古史作为研究对象，可“缩短二三千年，从诗三百篇做起”。从甲骨文的发现，将商人亲手书写、契刻的文字展现在学者面前，使商史与传说时代分离而进入历史时代。特别是1917年王国维写了《殷卜辞中所见先公先王考》及《续考》，证明《史记殷本纪》与《世本》所载殷王世系几乎皆可由卜辞资料印证，是基本可靠的。论文无可辩驳地证明《殷本纪》所载的商王朝是确实存在的。 甲骨文的发现也使《史记》之类的历史文献中有关中国古史记载的可信性增强。因为这一发现促使史学家们想到，既然《殷本纪》中的商王世系基本可信，司马迁的《史记》也确如刘向、扬雄所言是一部“实录”，那么司马迁在《史记夏本纪》中所记录的夏王朝与夏王世系恐怕也不是向壁虚构，特别是在20世纪20年代疑古思潮流行时期，甲骨文资料证实了《殷本纪》与《世本》的可靠程度，也使历史学家开始摆脱困惑，对古典文献的可靠性恢复了信心。 甲骨文的发现同时引发了震撼中外学术界的殷墟发掘。“五四运动”促使中国的历史学界发生了两大变化：一是提倡实事求是的科学态度，古史辩派对一切经不住史证的旧史学的无情批判，使人痛感中国古史上科学的考古资料的极端贫乏；二是历史唯物主义在史学界产生了巨大影响，1925年王国维在清华国学研究院讲授《古史新证》，力倡“二重证据法”，亦使
2020年高考数学试题分类汇编之立体几何
2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角
高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》
高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》 一、知识清单 1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简). 2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式. 3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200| |B A C By Ax d +++=。 6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆的参数方程为?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 【2010黑龙江】与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (A) 3条 (A) 4条 (A) 6条 答案：选C 【2010浙江】设P 是圆22 36x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 答案：()22109x y -+=. 【2010黑龙江】已知22 1a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是 (A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞ 答案：选B 【2012河北】已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .
