全国高中数学联赛试题分类汇编 11复数

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编

复数部分

2019A 11、称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有

2211420n n n n z z z z ++++=，求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整

数m ，均有12m z z z C +++≥L 。

★解析：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知0n z ≠ ．由条件得

2

114210n n n n z z z z ++????++= ? ?????

（n N *∈），解得1134n n z i z +-±=（n N *∈），因此112n n z z +=，

故111

11

22

n n n z z --=?

=（n N *∈）① 进而有1111333

124n n n n n n z i z z z z ++-±+=?+

==② 记12m m T z z z =+++L （m N *

∈）则

当m 为偶数时，记2m s =，由②得

122122122

223333

s

m k k

k k k k k T z z z z z z ∞∞--===≥+-+>+=-=

∑∑ 当m 为奇数时

，

记

21m s =+，由①

②得

21

2122212111

1332322s k k s s k k s k s z z z ∞∞

+---=+=+=<==+?∑∑， 故1221221

2122233s

m k k s k k

k k T z z z z z z z ∞-+-==??

≥+-+->-+= ???

∑∑ 当1m =时，1131T z ==>

，综上知3

C =满足要求。 另一方面，当11z =，22132k k i z -=，2121

132

k k i

z ++-+=（k N *∈），时，易验证得{}n z 为“有趣的”数列，

此时()21122121

1

333343

lim lim lim 1123s

s

s k k k s s s k k i i T z z z +++→∞

→∞

→∞

==---+=++=+=+=∑， 这表明3C ≤

3

C =

2019B 11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均

有22

11420n n n n z z z z ++++=，证明：对任意正整数m

，均有123

m z z z +++<

L 。 ★证明：归纳地可知0n z ≠ ．由条件得2

114210n n n n z z z z ++????++= ? ?????

（n N *

∈

），解得

1n n z z +=

n N *∈），因此112n n z z +=，故11111

22n n n z z --=?=（n N *∈）①

进而有111112n n n n n n z z z z z ++-+=?+

==② 记12m m T z z z =+++L （m N *

∈）则

当m 为偶数时，记2m s =，由②得

212212211

1

1

23s m k k k k k k k k T z z z z ∞∞

---===≤+<+==

∑∑∑

。 当m 为奇数时，

记

21

m s =+，

由

①

②

得

21

212211

12s k k s k s k s z z z ∞∞

+-=+=+=<==+∑∑，

故21221212113s

m k k

s k k

k k T z z z z z ∞

-+-==??

≤++<+= ???

∑∑ 综上知结论获证。

2018A 6、设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222

=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为

◆答案：2

3

-

★解析：设bi a z +=（R b a ∈,，且12

2=+b a ）

则原方程变为()()02222

2

=-+++i bx bx ax ax ，所以???=-=++0

202222bx bx ax ax ***

，

①若0=b ，则12

=a ，解得1±=a ，检验得，1=a ，31±-=x ，即1-=z ；

②若0=b ，则由**知0=x 或2，检验得：2=x ，代入* 得4

1

-=a ，415±=b ，

所以i z 4

15

41±

-=；

综上满足条件的所有复数之和为2

341541415411-=--++-+

-i i

2018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则

1

3

3221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 2

3

2-r

★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，3

31

z z =，因此

133221z z z z z z w ++=。

于是()()

w w w z z z z z z z z z r Re 2322

3222

1

3213212

+=++++=++++=

解得2

3

Re 2-=r w 。

2017A 11、（本题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且

2)Re()Re(2221==z z ，（其中)Re(z 表示复数z 的实部） ⑴求)Re(21z z 的最小值；

⑵求212122z z z z --+++的最小值。

★解析：⑴对2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），由条件知，

()0Re >=k k z x ，()2Re 2

==-k

k k z y x 因此：

()()()()()

2

222Re Re 2121212

22

12121221121≥-+≥-++=

-=++=y y y y y y y y

y y x x i y x i y x z z 又当221=

=z z 时，()2Re 21=z z ，这表明)Re(21z z 的最小值为2。

⑵对于2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），将k z 对应到平面直角坐标系xOy 中的点

()k k k y x P ,，记/2P 是2P 关于x 轴的对称点，则1P ，/2P 均位于双曲线222=-y x 的右支上。

设21,F F 分别是双曲线的左右焦点，易知()()0,2,0,221F F -。根据双曲线的定义，有

2221+=PF PF ,222/21/2+=F P F P ，进而得到: =--+++212122z z z z

/211/211212122P P F P F P z z z z -+=--+++2424/212/221≥-++=P P F P F P ,等

号成立当且仅当2F 位于线段/21P P 上（例如，当i z z 2221+

==时，2F 恰是/

21P P 的中点）

。 综上可知，212122z z z z --+++的最小值为24。

2017B 2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为

★解析：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚

部可得9101022

a a

b b +=??=-+?，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =

2016A 2、设复数z ，w 满足3=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，z ，w 分别表示复数z ，w 的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 ◆答案：65

★解析：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2

|

|w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2

=w ，从而

i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+

因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．

2016B 3、已知复数z 满足z z z z ≠=+22

（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ◆答案：3

★解析：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-

比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有

230,a +=即32

a =-，进而

b ==

于是，满足条件的复数z 的积为33 3.22????-+--= ??? ???????

2015A 3、已知复数数列{}n z 满足11=z ，ni z z n n ++=+11),2,1(Λ=n ，其中i 为虚数单位，

n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为

◆答案：2015 + 1007i ． ★解析：由

己

知

得

，

对

一

切

正

整

数

n

，

有

211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+?+=+．

2006*8、对一切R ∈θ，复数i a a z )sin 2()cos (θθ-++=的模不超过2，则实数a 的取值范围

为

◆答案：?

???

★解析：依题意，得2z ≤ 22

(cos )(2sin )4a a θθ?++-≤

22(cos 2sin )35a a θθ?-≤-2sin()35a θ??--≤- （

?=）（对任意

实数θ成立）2

35a ?≤-a ?≤故 a 的取值范围为 55?-???。

2002*7、已知复数21,z z 满足3,221==z z ,若它们所对应向量的夹角为0

60,则=-+2

12

1z z z z

◆答案：

7

133

★解析：由余弦定理得1921=+z z ,721=-z z ,可得 2

121z z z z -+=7133

2001*8、若复数21,z z 满足3,221==z z ，i z z -=-2

3

2321，则=?21z z ◆答案：i 13

721330+-

★解析：由3z 1-2z 2=211122213

1z z z z z z ??-??=)32(6

1

1221z z z z - 可得=+-?-=--=--=i i

z z z z z z z z z z 2

323632)23(632)23(61

221122121i 13721330+-．

本题也可设三角形式进行运算．

2000*6、设5

sin

5cos

π

π

ωi +=，则以9

73,,,ωωωω为根的方程是( )

A.012

3

4

=++++x x x x B. 012

34=+-+-x x x x

C. 01234=++--x x x x

D. 012

34=--++x x x x

◆答案：B

★解析：由于015=+ω，故9

7

3

,,,ωωωω都是方程015

=+x 的根．

又()()

01112

3

4

5

=+-+-+=+x x x x x x ．选B ．

1999*8、已知125arctan =θ，那么，复数i

i z ++=2392sin 2cos θθ的辐角主值是______ ◆答案：

4

π

★解析： z 的辐角主值()()[][]

4

2856128561arg 239512arg arg 2

π

=

+=-+=i i i z 。

1999*二、（本题满分50分）给定实数c b a ,,，已知复数321,,z z z 满足：

???

??=++===111

33221321z z z z z

z z z z ，求321cz bz az ++的值。 ★解析：记θθθ

sin cos i z i +=，则设θi e z z =21，αi e z z =32，则()αθ+=i e z z 3

1，根据题设得

()1=+++αθαθi i i e e e ，则其虚部()0sin sin sin =+-+αθαθ（利用和差化积公式）

即02

sin 2sin 2sin =+α

θαθ，得πθk 2=或παk 2=或παθk 2=+，Z k ∈， 所以21z z =或32z z =或31z z =，

①若21z z =，代入原式得012

13=+???

? ??z z ，得i z z =13或i z z -=13

， 此时221321)(c b a ci b z z cz bz az ++=

±+=++。

②若32z z =，同理可得， 2

2321)(a c b cz bz az ++==++ ③若31z z =，同理可得，2

2321)(b a c cz bz az ++==++，

综上所述，321cz bz az ++值有22)(c b a ++或22)(a c b ++或22)(b a c ++。

1998*8、设复数θθsin cos i z += (πθ≤≤0)，复数z ,z i )1(+,z 2在复平面上对应的三个点分别是R Q P ,,，当R Q P ,,不共线时，以线段PQ ，PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，则点S 到原点距离的最大值是_______. ◆答案：3

★解析：因为OP OR OQ OP OR OP OQ OP QP PQ OP OS -+=-+-+=++=, 即()()()ααααsin 2cos sin cos 2221-+-=+=-++=i z iz z z z i OS ∴()()ααααα2sin 25sin 2cos sin cos 22

2-=-+-=OS ．

即当2

2π

α=，即4

π

α=

时，OS 取得最大值3．

1998*13、（本题满分20分）已知复数θθcos sin 1i z +-= (

πθπ

<<2

)，求z 的共轭复数z 的

辐角主值。

★解析：??

?

??+??? ??++??? ??+=??? ??++??? ??++=24cos 24sin 224cos 22sin 2cos 12θπθπθπθπθπi i z 即??

?

?????? ??++??? ??+??? ??+=24sin 24cos 24cos 2θπθπθπi z

当πθπ<<2时，??

??????? ??++??? ??+-??? ??+-=24sin 24cos 24cos 2θπθπθπi z 即??

?

?????? ??-+??? ??-??? ??+-=243sin 243cos 24cos 2θπθπθπi z

1997*9、已知复数z 满足11

2=+

z

z ，则z 的幅角主值范围是 ． ◆答案：43arccos 212143arccos 2121+??? ?

?

+≤≤-??? ??+πθπk k ，（1,0=k ）

★解析：记)sin (cos θθi r z +=，则112=+z z 等价于01)12cos 4(42

4=+-+r r θ，这个

等式成立等价于关于x 的二次方程01)12cos 4(42

=+-+x x θ有正根．

所以()041,042cos 41,01612cos 221212

>=>-=+≥--=?x x x x θθ，

解得4

32cos -≤θ。 即()()4

3

arccos 12243arccos 12++≤≤-+πθπk k ．

所以43arccos 212143arccos 2121+??? ?

?

+≤≤-??? ??+πθπk k ，（1,0=k ）

∴ 辐角主值为2

43θ

π-．

1997*15、（本题满分20分）设非零复数54321,,,,a a a a a 满足：

???

????=????

??++++=++++===S

a a a a a a a a a a a a a a a a a a 54321543214

5342312111114，其中S 为实数，2≤S 。 求证：复数54321,,,,a a a a a 在复平面上对应的点位于同一圆周上。

★证明：设q a a a a a a a a ====45342312，则由下式得()

0144

32411=++++???

? ??-q q q q q a a ． 得4

114q

a a =

或01432=++++q q q q ，故22

1±=q a ，或01432=++++q q q q ． ⑴ 若22

1±=q a ，则得S q q q q =???

?

??++++±221112． 即???

?

????-???? ??++±=????????-???? ??++???? ??+±=45211211122

2q q q q q q S ．

∴ 由已知，有R q q ∈-???? ??++45

2112，且1452112

≤-???? ?

?++q q ． 令()θθsin cos 211i h q q +=++

，(0>h )．则()R i h ∈-+4

5

2sin 2cos 2θθ，所以02sin =θ， 又()1452sin 2cos 12≤-+≤-θθi h ，即()4

9

2sin 2cos 412≤+≤θθi h ，所以02cos >θ，

故πθk =(Z k ∈)

∴R q

q ∈+1

．再令()ααsin cos i r q +=，(0>r )．同理可得0sin =α或1=r ．

若0sin =α，则r q ±=为实数．此时21

≥+

q

q ．此时25211≥++q q ，或

2

3

211-≤++

q q ． 此时，由1452112

≤-???? ?

?++q q ，知1-=q ．此时，2=i a ． 若1=r ，仍有2=i a ，故此五点在同一圆周上．

⑵ 若014

3

2

=++++q q q q ．即015

=-q ，∴1=q ．此时54321a a a a a ====，即此五点在同一圆上．

综上可知，表示复数54321,,,,a a a a a 在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

1996*8、复平面上非零复数21,z z 在以i 为圆心1为半径的圆上，21z z ?的实部为零，1z 的辐角主值为

6

π

，则=2z ____________．

◆答案：i 2

323+-

★解析：1z 满足1=-i z ；6arg 1π

=

z ，得i z 21231+=

，)6

sin()6cos(1ππ-+-=i z ． 设2z 的辐角为θ(πθ<<0)，则()θθθsin cos sin 22i z +=．

所以??

????

-+-=?)6sin()6cos(sin 221πθπθθi z z ，若其实部为0，则26ππθ=-，于是32πθ=，

i z 2

3

232+-

=。

1995*2、设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为2021,,,z z z Λ，则

复数199520199521995

1,,,z z z Λ所对应的不同的点的个数是( )

A.4

B.5

C.10

D.20

◆答案：A

★解析：设θθsin cos 1i z +=，则1

1-?=k k z z ε，其中

10

sin

10

cos

π

π

εi +=．显然

i i =-=-==5

10

15

20

,1,,1εε

ε

ε

．

∴ ()()()()1

1199519951995sin 1995cos 1995sin 1995cos ---+=?+=k k k i i i z θθεθθ．

∴ 共有4个值．选A ．

1995*7、设βα,为一对共轭复数，若32=-βα，且2β

α

为实数，则=α_____． ◆答案：2

★解析：设yi x +=α，(R y x ∈,)，则y 2=-βα．∴3±=y ．

设θα=arg ，则可取πθθ22=+，(因为只要求α，故不必写出所有可能的角)． 则πθ3

2

=，于是1±=x ．1=α．

1994*一、（本题满分25分）关于x 的二次方程0212

=+++m z x z x ，其中m z z ,,21均是复数，且i z z 2016422

1+=-，设这个方程的两个根为βα,，满足72=-βα ，求m 的最大值和最小值。

★解析：设bi a m += (R b a ∈,)．则()()[]i b a m z z -+-=--=?5444422

1．设?的平方

根为vi u +．(R v u ∈,)，即()()()[]i b a vi u -+-=+5442

．72=-βα，即282

=-β

α，

所以()()754=-+-i b a ，即()()2

2

2

754=-+-b a ，即表示复数m 的点在圆

()()222754=-+-b a 上，该点与原点距离的最大值为417+

，最小值为417-．

1993*6、设n m ,为非零复数，i 为虚数单位，C z ∈，则方程n mi z ni z =-++与

m mi z ni z -=--+在同一复平面内的图形(21,F F 为焦点)是( )

z 2

-4

4

x

O

y Z 2

Z 3

y

◆答案：B

★解析：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为()mi ni ,-，由①0>n ，故否定A ，

由于n 为椭圆的长轴，而C 中两个焦点与原点距离(分别表示m n ,)均小于椭圆长轴，故否定

C ．

由B 与D 知，椭圆的两个个焦点都在y 轴负半轴上，由n 为长轴，知n OF =1，于是0

m OF -=2．曲线上一点到ni -距离大，否定D ，故选B ．

1993*7、二次方程()0)1()(12

=++++-λλi x i x i (i 为虚数单位，R ∈λ)有两个虚根的充

分必要条件是λ的取值范围为________． ◆答案：2≠λ

★解析：即此方程没有实根的条件．当R ∈λ时，此方程有两个复数根，若其有实根，则

012=++x x λ，且02=--λx x ．相减得()()011=++x λ．

当1-=λ时，此二方程相同，且有两个虚根．故1-=λ在取值范围内． 当1-≠λ时，1-=x ，

代入得2=λ．即2=λ时，原方程有实根1-=x ．故所求范围是2≠λ．

1993*9、若C z ∈，65)4arg(2

π=-z ，3

)4arg(2

π=+z ，则z 的值是_ _______．

◆答案：()

i 31+±

★解析：如图，可知2

z 表示复数(

)0

0120sin 120cos 4i +．

∴(

)(

)

i i z 3160sin 60cos 20

0+±=+±=．

1992*5、设复数21,z z 在复平面上对应的点分别为B A ,，且41=z ，0242

22121=+-z z z z ，O 为坐标原点，则OAB ?的面积为( )

A.38

B. 34

C. 36

D. 312 ◆答案：A ★解析：注意到3

sin 3cos 221π

πi z z ±=．∴82=z ，21,z z 的夹角为060． 所以382

38421=???=S ．选A ．

1992*10、设21,z z 都是复数，且7,5,32121=+==z z z z ，则3

12arg ???

?

??z z 的值是______．

◆答案：π

★解析：2

1

532753cos 22231-=??-+=

∠Z OZ ,即031120=∠Z OZ ，

∴3arg 12π=???

?

??z z 或35π

． ∴ π=???

?

??3

12arg z z ．

1991*11．设复数21,z z 满足3211=+=z z z ，3321=-z z ，则

=+2000212000213)()(log z z z z ．

◆答案：4000

★解析：由(

)2

2

212

212212z z z z z z +=-++，得32

=z

．由于32211==+=z z z z ，

故0

21120arg arg ±=-z z ． ∴(

)

4000040002000212000

2132000120cos 32)()

(=??=+z z z z ．

故4000)()

(log 2000212000

213=+z z z z ．

1990*5．设非零复数y x ,满足02

2=++y xy x ，则代数式1990

1990

???

? ??++?

??

? ??+y x y y x x 的值是

( )

A.19892-

B.1-

C.11

D.以上答案都不对

◆答案：B

★解析：记

ω=y x 或2ω，其中00120sin 120cos i +=ω．012=++ωω．且13

=ω．若ω=y

x ，则得11990

1990

-=???

?

??++?

???

??+y x y y x x ．若2ω=y x

，则得11990

1990

-=???

?

??++???

? ??+y x y y x x ．选B ．

1989*1．若B A ,是锐角△ABC 的两个内角，则复数)cos (sin )sin (cos A B i A B z -+-= 在复平面内所对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 ◆答案：B

★解析：由于0

18090,0<+<<

0009090>->>B A ，

所以B A cos sin >，B A sin cos <．故0sin cos <-A B ,0cos sin >-A B ． 即点Z 位于第二象限．选B

1988*11、（本题满分15分）复平面上动点1z 的轨迹方程为101z z z =-，0z 为定点，00≠z ，另一个动点z 满足11-=z z ，求点z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置。 ★解析：z z 1

1-=，故得z z z 110=--，即110=+zz ．0011z z z =+．即以01z -为圆心

1z 为半径的圆．

1986*2、 设z 为复数，{

}

2

2

1)1(-=-z z z ，那么( )

A ．{}纯虚数=M

B ．{}实数=M

C ．{}

实数?≠M ?≠{}复数 D ．

{}

复数=M ◆答案：B

★解析：即()()

011)1(2

=----z z z ，即()

0)1(=--z z z ，得1=z 或z z =，即z 为实数．选B

1985*5、 设λ,,w z 为复数，1≠λ，关于z 的方程w z z =-λ有下面四个结论：

Ⅰ．2

1λ

λ-+=

w

w z 是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解； Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )

A ．只有Ⅰ、Ⅱ正确

B ．只有Ⅰ、Ⅲ正确

C ．只有Ⅰ、Ⅳ正确

D ．以上A 、B 、C 都不正确 ◆答案：A

★解析：原式两端取共轭：w z z =-λ，乘以λ再取共轭：w z z λλλ=-，相加，由1≠λ，

得方程有唯一解2

1λ

λ-+=

w

w z ．选A ．

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：

2020版高考数学二轮复习专题汇编全集

第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．

B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；

2018年高中数学会考题

2018年高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学） 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ． 若 ac>bc ， 则 a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c

C ．65π D ．32π 4．已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，且 最小值为5，那么函数()f x 在区间 [-7，-3]上（ ） A ．是减函数且最小值为-5 B ．是减 函数且最大值为-5 C ．是增函数且最小值为-5 D ．是增 函数且最大值为-5 5. 函数2 ()1log f x x =-的零点是（ ） A. 1 B. (1,1) C. 2 D. (2,0) 6．在等比数列{}n a 中，若3 2 a =，则12345 a a a a a = （ ） A. 8 B. 16

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2

2018版高中数学专题02频率分布直方图及其应用分项汇编(含解析).pdf

专题02 频率分布直方图及其应用 一、选择题 1．【2017-2018年北京市首都师大附中高二期末】对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率 A. 75，0.25 B. 80，0.35 C. 77.5，0.25 D. 77.5，0.35 【答案】D 故选D. 2．【人教B版高中数学必修三同步测试】根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图(如图),从图中可以看出,该水文观测点平均至少100年才遇到一次的洪水的最低水位是() A. 48 m B. 49 m C. 50 m D. 51 m 【答案】C 【解析】由频率分布直方图知水位为50 m的频率 组距 为0.00520.01,即水文观测点平均至少一百年才遇 到一次的洪水的最低水位是50 m. 本题选择C选项.

3．【福建省三明市A片区高中联盟校2017-2018学年高二上学期阶段性考试】为了解某地区名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区名年龄为~岁的高三男生体重()，得到频率分布直方图如图.根据图示，估计该地区高三男生中体重在kg的学生人数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 点睛：此题主要考查了频率分布直方图在实际问题中的应用，属于中低档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，充分利用频率分布直方图的纵坐标的实际意义，其纵坐标值为：频率/组距，由此各组数据的频率 =其纵坐标组距，各组频数=频率×总体，从而可估计出所求数据段的频数（即人数）. 4．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018学年高二3月联考】某商场在国庆黄金周的促销活动中， 对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为 A. 10万元 B. 12万元 C. 15万元 D. 30万元 【答案】D

2016年普通高中数学会考真题

2016年普通高中数学会考真题 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题 4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ．若ac>bc ，则a>b B ．若a 2>b 2 ，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c

7.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ） A. 16 B. 1 3 C. 12 D. 23 8.一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为 ( ) A ．圆柱和圆锥 B ．正方体和圆锥 C ．四棱柱和圆锥 D ．正方体和球 9．若sin α2＝3 3 ，则cos α＝( ) A ．13 B ．－1 3 C. －23 D. 23 10．要得到)4 2sin(3π +=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ） A ．向左平移 8 π 个单位 B ．向右平移 8 π 个单位

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

2019-2020高中数学题分类汇编(一)——集合(100题)

1.设集合，，，则（）。 A. B. C. D. 2.已知集合，，则_____。 3.设非空集合、满足，则（）。 A.任意，都有 B.存在，使得 C.存在，使得 D.任意，都有 4.已知集合，。 （1）求，； （2）已知，若，求实数的取值的集合。 5.已知集合，，，全集为。 （1）求。 （2）若，求的取值范围。 6.已知集合，集合，若，则的取值范围是（）。 A. B. C. D. 7.已知全集，集合，，则（）。 A. B. C. D. 8.设集合，，分别求满足下列条件的实数的取值范围：（1）；（2）。 9.已知集合全集，，，则 10.已知集合，，当时，实数的取值范围是，则_____。

11.已知全集，，，则（）。 A. B. C. D. 12.若集合，，则（）。 A. B. C. D. 13.若集合，，，则实数的取值范围为 14.设全集，集合，，则_____。 15.已知全集，集合，，则（）。 A. B. C. D. 16.已知集合，，，，则（）。 A. B.， C.， D.，， 17.设、是非空集合，定义，已知， ，则_____。 18.设全集为实数集，集合，，则（）。 A. B. C. D. 19.已知集合， 。（1）求集合，。 （2）已知集合，若集合，求实数的取值范围。 20.已知全集，集合，集合，则集合（）。 A. B. C. D. 21.设全集为，，。 （1）求及； （2），且，求的取值范围。

22.集合，，若，则的值为（）。 A. B. C. D. 23.设全集，，， （1）求。 （2）若，求实数的取值范围。 24.已知集合，，则（）。 A.或 B. C. D.或 25.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数， 给出下列命题：对于任意集合，都有；存在集合，使得；用表示空集， 若，则；若，则；若，则 ，其中正确的命题个数为（）。 A. B. C. D. 26.已知集合，，则集合中元素的个数为（）。 A. B. C. D. 27.设全集是三角形，是锐角三角形，是钝角三角形，则（）。 A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是斜三角形 D.是钝角三角形 28.已知集合，，。 （1）求；（2）若，求的取值范围。 29.设集合，若，则集合可以是（）。 A. B. C. D. 30.集合，集合，则（）。 A. B. C. D. 31.集合，，则（）。

高中数学会考真题分类集合

集合 1、 已知集合A={}|(1)0x x x -=，那么下列结论正确的是（ ） .0.1.1.0A A B A C A D A ∈?-∈? 2、 设集合M={1，2，3，4，5}，集合N={2，4，6}，集合T={4，5，6}，则（M∩T ）∪N 是 （ ） A.{2，4，5，6} B.{4，5，6} C.{1，2，3，4，5，6} D.{2，4，6} 3. 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么C I （A∩B ）等于（ ） A.{3，4} B.{1，2，5，6} C.{1，2，3，4，5，6} D. ? 4. 设集合M={－2，0，2}，N={0}，那么下列结论正确的是（ ） A ．N 为空集 B.N ∈M C.N M D.M N 1．设集合U =｛-2，-1，1，3，5｝，集合A =｛-1，3｝，那么U A e = ． 1、已知集合S={a,b,c,d,e},A={b,d},那末C S A=( ) A. {a,c,e} B. {a,b,c} C.{b,c,d} D.{c,d,e,} 1.已知几个{}{}0,1,3,0,1,2A B ==，那么A B ?等于（ ） A. {}0,1 B. {}0,1,2 C. {}3 D. {}0,1,2,3 1．如果集合{}0,1A =，{} 2 1B x x ==，那么集合A B 等于( ) A ．{1} B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}1,0,1- 1．如果集合{1,2}A =-，{|0}B x x =>，那么集合A B 等于（ ） 1.已知集合A={1,2,3}，B={2，3，6,}，那么集合A B=（ ） A. {1，6} B. {2,3} C. {1,2,3} D. {1,2,3，6} 1．已知集合{}0,1,2M =，{}1,4B =，那么集合A B 等于（ ） （A ）{}1 （B ）{}4 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3,4 1.已知集合A={1,2,3}，B={2，3，4,}，那么集合A ?B=（ ） A. {2} B. {2,3} C.. {1,2,3} D. {1,2,3，4} 1．已知集合{}1,2,3A =，{}1,4B =，那么集合A B 等于 （A ）{}1 （B ）{}4 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3,4 1.已知集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么集合A ?B=（ ） A. {3} B. {1,2,3,4,5} C.. {1,2,4,5} D..? 1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R e等于 A. {|1}x x > B. {|1}x x >- C. {|1}x x < D. {|1}x x <- （A ）? （B ）{1}- （C ）{2} （D ）{1,2}-

高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》

【2012四川】设M 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的动点，则MO MF 的最大值是 (A) 3 (B) 3 (C) 43 (D) 答案：B 【2013黑龙江】设12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右 支上存在一点P ，使() 220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r ，O 为原点，且12PF =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是 (A) (B) 1 (C) (D) 答案：B 【2012江西】椭圆22 22153 x y +=的内接正方形面积是 答案 45017 . 【2011江西】以抛物线2y x =上的一点M （1,1）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 和△MCD ，则线段AB 与CD 的交点E 坐标是 答案(1,2)-. 【2013全国】点A ，B 在抛物线2 4y x =上满足4OA OB ?=-u u u r u u u r ， O 为坐标原点，F 为焦点，则OFA OFB S S ???= 答案2.

【2013辽宁】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，斜率为1且过点M （b ，0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，若125 OA OB ?=-u u u r u u u r ，则该椭圆的方程是 答案22 1164 x y +=. 【2013吉林】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若菱形ABCD 的内切圆半 径等于椭圆焦距的6 ，则椭圆的离心率是 答案 2 【2011新疆】已知O,F 分别为抛物线的顶点和焦点，PQ 为过焦点F 的弦， |OF|=a,|PQ|=b ， 求△OPQ 的面积. 答案略 【2013山东】椭圆22 143 x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值. 答案略 【2012辽宁】设不过原点O 的直线l 与椭圆2 214 x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 答案略

考试必备-高中数学专题-程序框图-含答案

高考理科数学试题分类汇编：12程序框图 一、选择题 1 ① （高考北京卷（理））执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ） A ① 1 B ① 2 3 C ① 1321 D ① 610 987 【答案】C 2 ① （普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出的值是59 ,则 （ ） A ① 4=a B ① 5=a C ① 6=a D?7=a （第5题图）

【答案】A 3 ① （普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图所示,程序框图(算 法流程图)的输出结果是 （ ） A ① 16 B ① 2524 C ① 34 D ① 1112 【答案】D 4 ① （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））执行如题(8)图所示的程 序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是 （ ） A ① 6k ≤ B ① 7k ≤ C ① 8k ≤ D ① 9k ≤ 【答案】B 5 ① （高考江西卷（理））阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的 语句为 （ ） A ① 2*2S i =- B ① 2*1S i =- C ① 2*S i = D ① 2*4S i =+ 【答案】C 6 ① （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））阅读如图所示的程序

框图,若输入的10k =,则该算法的功能是 （ ） A ① 计算数列{}12n -的前10项和 B ① 计算数列{}12n -的前9项和 C ① 计算数列{ } 21n -的前10项和 D ① 计算数列{ } 21n -的前9项和网Z ① X ① X ① K] 【答案】A 7 ① （普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））执行右面的程 序框图,如果输入的10N =,那么输出的S = （ ） A ① 1111+2310+ ++…… B ① 111 1+ 2310+ ++……！！！ C ①1111+2311+ ++…… D ① 111 1+ 2311+ ++……！！！ 【答案】B

高中数学会考真题分类统计

统计 63.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（ ） A ．都是从总体中逐个抽样 B ．将总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分抽取 C ．抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 D ．抽样过程中，将总体分成几层，按比例分层抽取 64.一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员的人数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 65.要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽6枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( ) A. 5,10,15,20,25,30 B. 3,13,23,33,43,53 C. 1,2,3,4,5,6 D.2,4,8,16,32,48 66.用样本的频率分布来估计总体情况时,下列选项中正确的是( ) A. 估计准确与否与样本容量无关 B. 估计准确与否只与总体容量有关 C.样本容量越大,估计结果月准确 D. 估计准确与否只与所分组数有关 67.某住宅小区有居民2万户,从中随机抽取200户,调查是否已安装电话,调查结果如下表所示: 电话 动迁户 原住户 已安装 65 30 未安装 40 65 则该小区已安装电话的住户估计有( ) A. 6500户 B. 3000户 C. 19000户 D. 9500户 68.设有一个回归方程2 1.5y x ∧ =-,当变量x 增加一个单位时( ) A. y 平均增加1.5个单位 B. y 平均增加2个单位 C. y 平均减少1.5个单位 . D.y 平均减少2个单位 11．假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0 参考数据： 905 1 2=∑=i i x ，3.1125 1 =∑=i i i y x ， 如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求： （1）, x y ； （2）线性回归方程a bx y +=∧ ； （3）估计使用10年时，维修费用是多少？ 22.校园歌手大奖赛中，甲、乙两组同学（每组5人）的成绩用茎叶图表示如下图所示。如果用 s s 乙甲，分别表示两组同学的成绩的标准差，那么s 甲＿＿＿ s 乙（填<，>，=）。

(完整word版)高中数学会考模拟试题(A).doc

高中数学会考模拟试题（ A ） 一选择题（共20 个小题，每小题 3 分，共 60 分） 在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母按要求填在相应的位置上1．满足条件M {1} {1,2,3} 的集合M的个数是 A4 B3 C 2 D 1 2．sin 6000的值为 A 3 3 1 D 1 2 B C 2 2 2 3．" m 1 " 是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线 (m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直的2 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 4．设函数f ( x) log a x( a 0, a 1) 的图象过点（1 ，– 3），则 a 的值8 A2 B – 2 C 1 D 1 – 2 2 ∥ 5．直线 a 平面 M, 直线 a⊥直线 b,则直线 b 与平面 M 的位置关系是 A 平行 B 在面内 C 相交 D 平行或相交或在面内 6．下列函数是奇函数的是 A y x 2 1 B y sin x C y log 2 ( x 5) D y 2x 3 7．点（ 2，5）关于直线x y 1 0 的对称点的坐标是 A （ 6， 3）B（ -6， -3）C（3， 6）D（ -3， -6） 8．1 cos2 值为 12 6 3 2 3 C 3 D 7 A 4 B 4 4 4 9．已知等差数列{ a n}中，a2 a8 8，则该数列前9 项和S9等于 A 18 B 27 C 3 6 D 45 10．甲、乙两个人投篮，他们投进蓝的概率分别为 2 , 1 ，现甲、乙两人各投篮 1 次 5 2

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》 一、知识清单 1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简). 2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式. 3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200| |B A C By Ax d +++=。 6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆的参数方程为?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 【2010黑龙江】与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (A) 3条 (A) 4条 (A) 6条 答案：选C 【2010浙江】设P 是圆22 36x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 答案：()22109x y -+=. 【2010黑龙江】已知22 1a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是 (A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞ 答案：选B 【2012河北】已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .

高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题11数列C辑(原卷版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题11数列C辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{a n}的通项公式为a n= √5[(1+√5 2 )n?(1?√5 2 )n], n=1,2,?.证明: 存在无穷多个正整数m,使得a m+4a m?1是完全平方数. 2．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知实数列a1,a2,a3,?满足:对任意正整数n，有a n(2S n?a n)=1，其中S n表示数列的前n项和证明: (1)对任意正整数n，有a n<2√n； (2)对任意正整数n，有a n a n+1<1. 3．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知数列{a n}:a1=7,a n+1 a n =a n+2,n=1,2,3,?.求满足a n>42018的最小正整数n. 4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{a n}是等差数列，数列b n}满足b n=a n+1a n+2?a n2,n=1,2,?. (1)证明:数列{b n}也是等差数列； (2)设数列{a n},{b n}的公差均是d≠0，并且存在正整数s、t，使得a s+b t是整数，求|a1|的最小值. 5．【2015高中数学联赛（第01试）】设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得{a i a j|1?i

各高中数学会考试题

河北省高中数学会考试题 一．选择题 （共12题，每题3分，共36分） 在每小题给出的四个备选答案中，总有一个正确答案，请把所选答案的字母填在相应的位置上 1.已知集合A={1，2，3}，B={2,3,4},则AUB= A {2,3} B {1,4} C{1,2,3,4} D{1,3,4} 2. = A 2 1 B - 2 1 C 23 D - 2 3 3.函数y=sinx 是 A 偶函数，最大值为1 B 奇函数，最大值为1 C 偶函数，最小值为1 D 奇函数，最小值为1 4.已知△ABC 中，cosA=2 1 ,则A= A 600 B 1200 C300 或1500 D 600或1200 5. 如果a,b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 A a=b B a 2=b 2 C a ·b=1 D ∣a ∣≠∣b ∣ 6. 已知a=（1,1），b=（2,2），则a – b = A (1,1) B (1，-1) C D (-1，1) 7. 已知△ABC 中，a=6,b=8,c=10,则 cosA= A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 8.已知等差数列{a n },a 1=1,a 3=5,则a n = A 2n-1 B n C n+2 D 2n+1

9.已知等比数列{a n },a 1=2,q=3,则a 3 = A 8 B 12 C 16 D 18 10.已知a?b ?0，则 A ac ﹥bc B -a ﹤-b C a 1﹥b 1 D a c ﹥a c 11.不等式x 2-x-2﹥0的解集为 A （-1,2） B （-∞，-1）U （2，+∞） C （-1,2〕 D 〔-1,2〕 12.已知sinx=1,则cosx= A -1 B 1 C 不存在 D 0 二．填空题，（共4题，每题5分） 13.已知x,y 满足约束条 件 y ≤x ，则z=2x+y 的最大值是 x+y ≤1 y ≥-1 14.已知口袋里有5个红球，15个白球，则从口袋里任取一个球，取到的是红球的 概率为 15.已知函数y=Acosx 最大值为2，则A= 16.已知四边形ABCD 中，=,则四边形ABCD 的形状为 三．解答题，（共4题，第17，18题每题10分，第19,20每题12分） 17.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求 （1）A ∪B,A ∩B (2)已知全集I={1,2,3,4,5,6,7},求C I A,C I B. 18. 解不等式组 x 2-x-6≤0 的解集。 x-1＞0 19. 在等差数列{a n }中，（1）已知a 1=3，a n =21，d=2,求n. (2) 已知a 1=2， d=2，求S n

最新全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集 目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷- 2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级） 3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级） 4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷 5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷 6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷 7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级） 8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷 9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷- 10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷 11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷 12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷页 13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级） 14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级） 15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级） 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为_____. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =_______. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ? 的面积为_______. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 ____________. 8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=______. 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为____. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a += （2） 2 2sin cos cos 2 C A B a b c += +

高中数学会考模拟试题(附答案)

高二数学会考模拟试卷 班级: 姓名: 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =， {}1,2,3,6,7B =，则=)(B C A U （ ） A ．{}2,4,6,8 B ．{}1,3,7 C ．{}4,8 D ．{}2,6 2 0y -=的倾斜角为（ ） A ． 6π B ．3 π C ．23π D ．56π 3 ．函数y ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞ 4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情 况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ） A ．14、12 B ．13、12 C ．14、13 D ．12、14 5．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ． 4π B ．14π- C ．8π D ．18 π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 B C ．2 D ．3 7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ）， （ A ．2 12 cm π B. 2 15cm π C. 224 c m π D. 2 36cm π 8.若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A . a b c >> B . b a c >> C . c a b >> D . b 主视图 6 侧视图 图2 图1