习题2-1
1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2
11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞
=。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。
（3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-
所以lim 3n n x →∞
=。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞
=- 2.下列说法是否正确：
（1)收敛数列一定有界；
（2）有界数列一定收敛；
（3）无界数列一定发散；
（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确.
（2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3）正确。
(4)错误例如数列21(1)n
n x n ??=+-????
极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。
＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限：
（1)1
(1)lim 1n n n n -→∞+-=；
（2)222lim 11
n n n n →∞-=++; (3）3
23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε
>即可,所以可取正整数1
N ε≥.
因此，0ε?>，1N ε???=????
,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以
1
(1)lim 1n n n n
-→∞+-=. （2）对于任给的正数ε，当3n >时， 要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可,所以可取正整数2max ,3N ε??=????
. 因此，0ε?>，2max ,3N ε???=????
,当n N >时,总有22211n n n ε--<++,所以 222lim 11
n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()1
31333(31)313
n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213
N ε≥+。 因此，0ε?>，213N ε???=+????
，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以 3
23125lim
-=-+∞→n n n . 习题2—2 1。利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： （1）2
1lim x x →∞； （2)-lim x x e →∞； (3)+lim x x e -→∞； （4）+lim cot x arc x →∞
； （5）lim2x →∞；
(6）2-2lim(1)x x →+； （7)1lim(ln 1)x x →+；
(8）lim(cos 1)x x π→- 解：（1）2
1lim 0x x →∞=； （2)-lim 0x x e →∞=； （3)+lim 0x x e -→∞=;
(4)+lim cot 0x arc x →∞=; (5)lim 22x →∞=; （6)2
-2lim(1)5x x →+=； （7)1lim(ln 1)1x x →+=； （8）lim(cos 1)2x x π
→-=- 2。函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（ D ）
（A )必要条件
(B )充分条件 （C ）充要条件 (D ）无关条件
解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时,我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义,大小如何。
3。()00f x -与()00f x +都存在是函数()f x 在点x 0处有极限的( A )
（A ）必要条件
（B )充分条件 （C )充要条件 （D )无关条件
解：若函数()f x 在点x 0处有极限则()00f x -与()00f x +一定都存在.
4．设()21;0,;0,x x f x x x ?+<=?≥?
作出()f x 的图像；求()0lim x f x +→与()0lim x f x -→；判别()0lim x f x →是否存在？
解：()00lim lim 0x x f x x ++→→==，()200lim lim(1)1x x f x x --→→=+=，故()0
lim x f x →不存在. 5．设()x f x x =
,()x x x ?=,当0x →时，分别求()f x 与()x ?的左、右极限，问()0lim x f x →与()0lim x x ?→是否存在？
解：由题意可知()1;0,1;0,x f x x ?
,则()00lim lim11x x f x ++→→==，()00lim lim11x x f x --→→==，因此()0
lim 1x f x →=。 由题意可知()1;0,1;0,x x x ?-?
，()00lim lim11x x x ?++→→==，()00lim lim(1)1x x x ?--→→=-=-，因此()0
lim x x ?→不存在。 *6.用极限的精确定义证明下列极限：
(1）1lim 11x x x →∞-=-+;
（2）2-11lim -2+1
x x x →-=； （3)01lim sin 0x x x
→=. 证：（1)0ε?>，要使()122(1)1111x f x x x x ε---=
+=≤<++-，只要21x ε>+即可.