专题09 分式方程
【专题目录】
技巧1：分式的意义及性质的四种题型 技巧2：分式运算的八种技巧
技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 技巧4：分式求值的方法 【题型】一、分式有意义的条件 【题型】二、分式的运算 【题型】三、分式的基本性质 【题型】四、解分式方程 【题型】五、分式方程的解 【题型】六、列分式方程 【考纲要求】
1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．
2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．
3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。
4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论． 【考点总结】一、分式
形如A
B
(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．
A A
【考点总结】二、分式方程
【注意】
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式混合运算的运算
运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；
2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
3.确定分式的符号，然后约分；
4.结果应是最简分式.
【技巧归纳】
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝ac
bd .分式除以分
式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad
bc
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
技巧1：分式的意义及性质的四种题型 【类型】一、分式的识别
1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2
m
中，不是分式的式子有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个． 【类型】二、分式有无意义的条件
3．若代数式1
a －4
在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为( )
A ．a ＝4
B ．a>4
C ．a<4
D ．a≠4 4．当x ＝________时，分式
x －1
x 2－1
无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5
x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．
【类型】三、分式值为正、负数或0的条件
6．若x ＋2
x 2－2x ＋1
的值为正数，则x 的取值范围是( )
A ．x ＜－2
B ．x ＜1
C ．x ＞－2且x≠1
D ．x ＞1 7．若分式3x －4
2－x 的值为负数，则x 的取值范围是________．
8．已知分式a －1
a 2－
b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．
【类型】四、分式的基本性质及其应用 9．下列各式正确的是( )
A .a b ＝a 2b 2
B .a b ＝ab a ＋b
C .a b ＝a ＋c b ＋c
D .a b ＝ab b 2 10．要使式子
1
x －3＝x ＋2x 2－x －6
从左到右的变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2 B ．x ＝－2 C ．x ＜－2 D ．x≠－2 11．已知 x 4＝y 6＝z
7≠0，求 x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z 的值．
12．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z
|x ＋y|
的值． 参考答案
1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2
π＋1
不是分式．
2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式． 3．D 4.±1
5．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．
因为(x －3)2≥0，
所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．
6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x≠1. 7．x ＞2或x ＜4
3
8．解：因为分式a －1
a 2－
b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b≠±1.
9．D 10.D
11．解：设x 4＝y 6＝z
7
＝k(k≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k.
所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝3722
.
12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z
|－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不
妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，
则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z
|－z|＝1－1－1＝－1.
综上所述，所求式子的值为1或－1. 值的分式消元求值． 技巧2：分式运算的八种技巧 【类型】一、约分计算法 1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9
a 2＋6a ＋9.
【类型】二、整体通分法 2．计算：a －2＋4
a ＋2.
【类型】三、顺次相加法
3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3
x 4＋1.
【类型】四、换元通分法
4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m
3m －2n －1.
【类型】五、裂项相消法⎝⎛⎭
⎫即1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
5．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1
（a ＋99）（a ＋100）.
【类型】六、整体代入法
6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abc
ab ＋bc ＋ac 的值．
【类型】七、倒数求值法
7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2
x 4－9x 2＋1的值．
【类型】八、消元法
8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz≠0，求5x 2＋2y 2－z 2
2x 2－3y 2－10z 2的值．
参考答案
1．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3
a ＋3
＝9a ＋3
. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程． 2．解：原式＝a －21＋4
a ＋2
＝a 2－4a ＋2＋4
a ＋2 ＝a 2a ＋2
. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减． 3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）
（x 2－1）（x 2＋1）＋
4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7
x 8－1
. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1
＝
x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）
（x ＋1）（x －1）
＝
－2x
（x ＋1）（x －1）
＝
4n －6m
（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）
.
5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100＝100
a （a ＋100）
.
点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用1n （n ＋1）＝1n －
1
n ＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项． 6．解：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝1
15
，
上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31
180
.
易知abc≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b ＝180
31
.
7．解：由x
x 2－3x ＋1
＝－1，知x≠0，
所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x ＝2.
所以x 4－9x 2＋1x 2
＝x 2－9＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2
－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1
＝－1
7.
8．解：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩
⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，
x ＋2y ＝7z.
解得x ＝3z ，y ＝2z. 因为xyz≠0，所以z≠0.
所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 2
2×9z 2－3×4z 2－10z 2
＝－13.
点拨：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．
技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值
1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1
x －1的解相同，求m 2－2m 的值．
【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围
2．若关于x 的方程x －2x －3＝m
x －3＋2有解，求m 的取值范围．
【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值 3．如果解关于x 的分式方程
m x －2－2x 2－x
＝1时出现增根，那么m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－4
4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1
x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．
【类型】四、利用分式方程无解求字母的值
5．若关于x 的分式方程x －a
x ＋1
＝a 无解，则a ＝________.
6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m
3－x 无解，求m 的值．
7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5
x
＝1.
(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值． 参考答案
1．解：解分式方程32x ＝1
x －1
，得x ＝3.
经检验，x ＝3是该方程的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝m
x ，
得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝
⎝⎛⎭⎫672
－2×67＝－4849
.
2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.
∵分式方程有解， ∴x ＝4－m 不能为增根． ∴4－m≠3.解得m≠1.
∴当m≠1时，原分式方程有解． 3．D
4．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，
所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．
原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3. 当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6； 当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3， 解得m ＝12.
综上所述，原方程的增根是x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，m ＝6； 当x ＝－3时，m ＝12.
点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．
5．1或－1
6．解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：
(1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；
(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8
m ＋3＝3
的解．
综上所述，m 的值为－3或1.
7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.
(1)因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.
因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.
(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a)x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a ＝－2.综上所述，a 的值为3或－2.
点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解． 技巧4：分式求值的方法 【类型】一、直接代入法求值 1．先化简，再求值：⎝
⎛⎭⎪
⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1
，其中a ＝5.
【类型】二、活用公式求值
2．已知实数x 满足x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1
x 4的值．
3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2
x 2y ＋xy 2的值．
【类型】三、整体代入法求值
4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2
x ＋y 的值．
【类型】四、巧变形法求值
5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋1
2x 的值．
【类型】五、设参数求值
6．已知x 2＝y 3＝z
4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．
参考答案
1．解：原式＝[2
a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a
＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a
＝3
a ＋1
. 当a ＝5时，3a ＋1＝35＋1＝1
2.
2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x≠0，
∴x ＋1x
＝5.
∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2
＝25.∴x 2＋1
x 2＝23. ∴x 4＋
1x 4＝⎝
⎛⎭⎫x 2＋1x 22
－2＝232－2＝527 点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答． 3．解：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xy
xy （x ＋y ）
.
因为x ＋y ＝12，xy ＝9， 所以（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）＝122＋99×12＝1712.
4．解：因为x ＋y ＋z≠0，
所以等式的两边同时乘x ＋y ＋z ，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）
x ＋y
＝x ＋y ＋z ，
所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2
x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z.
所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2
x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z.
所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2
x ＋y
＝0.
点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想． 5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0，
∴(2x －1)2＝0.∴2x ＝1. ∴2x ＋12x ＝1＋1
1
＝2.
6．解：设x 2＝y 3＝z
4
＝k≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.
所以x 2－y 2＋2z 2
xy ＋yz ＋xz
＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k
＝27k 226k 2＝2726. 【题型讲解】
【题型】一、分式有意义的条件
例1
x 的取值范围是（ ） A ．x≥4 B ．x ＞4
C ．x≤4
D ．x ＜4
【答案】D
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
4﹣x ＞0，解得：x ＜4 即x 的取值范围是：x ＜4故选D ． 【题型】二、分式的运算 例2、分式
2
221
11a a a a
++---化简后的结果为（ ） A ．11
a a +-
B ．31
a a +-
C ．1
a a --
D ．2231
a a +--
【答案】B
【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算． 【详解】解：
2221
11a a a a
++-
-- ()()()()()
2
122
1111a a a a a a ++=-
+--+ ()
()()
2
22111a a a a +++=
+-
()()2222111a a a a a ++++=+-
()()()()3111a a a a +=++- 3
1
a a +=- 故选：B ．
【题型】三、分式的基本性质 例3、若b a b -=14，则a
b
的值为（ ） A ．5
B ．15
C ．3
D ．
13
【答案】A 【解析】因为
b a b -=14
， 所以4b=a -b ．，解得a=5b① 所以
a b ①55b b
=. 故选A.
【题型】四、解分式方程 例4、方程
2152
x x =+-的解是（ ） A ．1x =- B ．5x =
C ．7x =
D ．9x =
【答案】D
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解． 【详解】 解：方程可化简为
()225x x -=+ 245x x -=+
9x =
经检验9x =是原方程的解 故选D
【题型】五、分式方程的解 例5、关于x 的分式方程2m
x -﹣32x
-＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝1
C ．m ＝3
D ．m ＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可． 【详解】解：去分母得：m +3＝x ﹣2， 由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【题型】六、列分式方程
例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）
A．30004200
80
x x
=
-
B．
30004200
80
x x
+=
C．42003000
80
x x
=-D．
30004200
80
x x
=
+
【答案】D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快
递公司的快递员人数不变列出方程，得：30004200
80
x x
=
+
，
故选：D．
分式方程（达标训练）一、单选题
1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程
3
1
22
m x
x x
+
+=
--
有解，则实
数m应满足的条件是（）
A．m=-1B．m≠-1C．m=1D．m≠1【答案】D
【分析】解分式方程得：m + x-3=2-x即x=5
2
m
，由题意可知x≠2，即可得到m．
【详解】解：
3
1 22
m x
x x
+
+= --
方程两边同时乘以2-x得：m+x-3=2-x, 2x=5-m，
x=5
2
m
①分式方程有解
① x ≠2， 即
52
m
≠2， ①m ≠1． 故选D ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键．
2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程2
11
x =+的解为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】C
【分析】按照分式方程的解法求解判断即可． 【详解】①
2
11
x =+， 去分母，得
2=x +1， 移项，得 x =2-1=1，
经检验，x =1是原方程的根 故选C ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 3．（2022·天津南开·二模）化简2222
432x y x y
x y y x -----的结果是（ ）
A ．
5x y
- B ．
5
x y
+ C ．
22
5
x y -
D ．
22
3x y
x y +-
【答案】B
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．
【详解】解：2
222
432x y x y
x y y x ----- 2222432x y x y
x y x y --=+--
55()()x y
x y x y -=+-
5()
()()x y x y x y -=+-
5
x y
=
+，
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 4．（2022·贵州贵阳·三模）计算2
22
m m m ---的结果是（ ） A ．2 B ．－2
C ．1
D ．－1
【答案】C
【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可． 【详解】解：22
1222
m m m m m --==---， 故选：C ．
【点睛】本题考查了分式的减法，正确运算是解题关键，注意运算后需要约分化简． 5．（2022·江苏淮安·一模）若分式2
x
x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x ≥-
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到． 【详解】要分式2
x
x +有意义，则20x +≠， 解得：2x ≠-． 故选：B
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程31
311
x x x -=-+的解为 ______． 【答案】x =-2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：3x (x +1)-(x -1)=3(x +1)(x -1)， 解得：x =-2，
经检验x =-2是分式方程的解， 故答案为x =-2．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算52x x ++﹣32
x +＝_____． 【答案】1
【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：
5
2x x ++﹣
32x +=532122
x x x x +-+==++ 故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．
三、解答题
8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：13
233x x
-=--． 【答案】=5x
【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母，转化为求解整式方程，然后检验得到的解是否符合题意，最后得出结论． 【详解】两边同时乘以(3)x -，得132(3)x +=-， 去括号，得426x =-， 化简，得=5x ，
检验：当=5x 时，30x -≠， ∴原分式方程的解为=5x ．
【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键，但是要特别注意：检验是不可少的环节．
分式方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x 元，则列出方程正确的是（ ）
A ．
600500
10x x
=+ B ．
600500
10
x x =+ C ．
600500
10x x
=- D ．
600500
10
x x =- 【答案】D
【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x ，则 “雪容融”的销售单价为（x -10）元，然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程．
【详解】解：设“冰墩敏”的销售单价为x ，则 “雪容融”的销售单价为（x -10）元， 根据题意，得600500
10
x x =-。 故选：D ．
【点睛】本题主要考查了分式方程组的应用．正确理解题意，找出等量关系式是解题的关键． 2．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x 的方程1
31
mx x -=-无解，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．1或2 D ．2或3
【答案】B
【分析】先将分式方程化成整式方程(3)2m x -=-，再分①整式方程(3)2m x -=-无解，①关于x 的方程
1
31
mx x -=-有增根两种情况，分别求解即可得． 【详解】解：将方程1
31
mx x -=-化成整式方程为133mx x -=-，即(3)2m x -=-， 因为关于x 的方程
1
31
mx x -=-无解， 所以分以下两种情况： ①整式方程(3)2m x -=-无解， 则30m -=，解得3m =； ①关于x 的方程
1
31
mx x -=-有增根， 则10x -=，即1x =，
将1x =代入(3)2m x -=-得：32m -=-，解得1m =； 综上，m 的值为1或3， 故选：B ．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（2022·安徽·三模）化简
2a b a a b a ⎛⎫
⋅- ⎪-⎝⎭
的结果是（ ） A ．a b + B ．
1
a b
+ C ．-a b D ．
1a b
- 【答案】A
【分析】先将括号内分式通分并相减，再进行约分即可．
【详解】解：原式=
22a a b a b a a ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭
=22a a b a b a
-⋅- =()()a a b a b a b a -+⋅- =a b +， 故选：A ．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
4．（2022·湖北黄石·模拟预测）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．5x > B ．35x ≤<
C ．5x <
D ．35x ≤≤
【答案】C
【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，得50x -> ①5x < 故选：C ．
【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数1b a >>．则下列各式中比a b 的值大的是（ ）
A ．22a b
B ．2
2a b
C ．
1
1
a b -- D ．
1
1
a b ++ 【答案】D
【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：因为1b a >>，所以，01a
b
<<， A ．
22a a
b b
=，故此选项不符合题意； B ．22a a
b b
<，故此选项不符合题意；
C ．11a a
b b -<-，故此选项不符合题意； D ．
11a a
b b
+>+，符合题意； 故选D
【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x 的分式方程11
222ax x x
-+=--有解，则a 的取值范围是________． 【答案】1a ≠且2a ≠
【分析】先求出使分式方程无意义时，a 的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a 的取值范围． 【详解】解：①11
222ax x x
-+=--， ①22
a x x
=-， ①
11
222ax x x
-+=--有解， 则20x -≠或20x -≠， ①2x ≠， 当2x =时，22222
12
x a x -⨯-=
==， 故a 的取值是1， 当2x ≠时，
11222ax x x
-+=--， 两边同乘(2)x -，12(2)1ax x -+-=-， ①2
2x a
=
-， 当2-a =0时，方程无解，此时a =2， 故答案为：1a ≠且2a ≠．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
7．（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a ，b 满足21a b a =+，则32b a ab
ab
-+的值等于__________． 【答案】1
2#0.5 【分析】把已知21a b a =+代入分式32b a ab
ab -+，根据分式运算法则进行化简求值即可得解． 【详解】解：①21
a
b a =+， ①
32b a ab
ab
-+
＝
3
2121
2
21
a a
a a
a a
a
a
a
-+⋅
++
⋅
+
＝
2
2
(21)3
21
2
21
a a a a
a
a
a
-++
+
+
＝
22
2 2321
212
a a a a a
a a --++
⋅
+
＝
2
2
21 212
a a
a a
+
⋅
+
＝1
2
故答案为：1
2
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
三、解答题
8．（2022·重庆市育才中学二模）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【分析】（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然后根据题意可列方程进行求解．
（1）
解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
60008000
10
x x =+， 解得：30x =，
经检验：x =30是原方程的解，
①乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元． （2）
解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：
()()()4530100401402504700m m -⨯+---=⎡⎤⎣⎦
整理得：216064000m m -+=， 解得：80m =，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略 考点01 一元一次方程相关概念 1．等式的性质： （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式． 2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0． 3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤： 步骤 解释 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为b x a =- 【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()23 16m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．任何数 【答案】B 【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B. 【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____． 【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
专题09 分式方程 【专题目录】 技巧1：分式的意义及性质的四种题型 技巧2：分式运算的八种技巧 技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 技巧4：分式求值的方法 【题型】一、分式有意义的条件 【题型】二、分式的运算 【题型】三、分式的基本性质 【题型】四、解分式方程 【题型】五、分式方程的解 【题型】六、列分式方程 【考纲要求】 1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分． 2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件． 3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。 4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论． 【考点总结】一、分式 形如A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式． A A
【考点总结】二、分式方程 【注意】 1.约分前后分式的值要相等. 2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. 3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式混合运算的运算 运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算； 2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； 3.确定分式的符号，然后约分； 4.结果应是最简分式. 【技巧归纳】 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝ac bd .分式除以分 式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc 在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
华师大版数学八年级下册第16章分式方程应用题专题训练一、行程问题 解题策略：在解行程问题的分式方程应用题时，可以依据时间＝路程 速度 ,利用分式来表示时间,根据时间之间 的关系建立分式方程。 例：马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学,出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了,立即带上课本去追他,在距离学校200米的地方追上了他,已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度． 分析：设马小虎的速度是x米/分，列表分析如下. 依据马小虎多走10分钟建立方程. 解:设马小虎的速度是x米/分，根据题意列方程， 1600 x － 1600 2x ＝10 解得：x＝80 经检验，x=80是原方程的根． 答：马小虎的速度是80米/分． 练习： 1、为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的29 20 倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？
解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时。 由题意，得 17417418 296020 x x -= , 解得 180x = 经检验，180x =是原方程的解，且符合题意。 答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. 2、早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍． (1)求小明步行速度（单位：米/分）是多少； （2)下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 解:（1）设小明步行的速度是x 米/分，由题意得：900900 103x x =+， 解得：x=60， 经检验：x=60是原分式方程的解， 答：小明步行的速度是60米/分； （2)设小明家与图书馆之间的路程是y 米, 根据题意可得：900 260180 y ≤⨯ 解得:y ≤600， 答:小明家与图书馆之间的路程最多是600米． 3、甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的,公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． （1）求乙骑自行车的速度； （2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？ 解：（1）设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟,
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：分式方程的应用（附答案）1．一个化学实验小组人员分别做测量锌跟盐酸反应生成氢气的实验：5人分别称取锌块6.51克，6.52克，6.49克，6.50克，6.48克，生成的氢气用排水法收集，测得分别为：2.25升，2.26升，2.23升，2.24升，2.22升，则由此实验得出的氢气的密度为（）A．8.9×10﹣5克/厘米3B．8.9×10﹣4克/厘米3 C．8.9×10﹣3克/厘米3D．8.9×10﹣2克/厘米3 2．一轮船顺流航行100千米与逆流航行64千米所用的时间的和等于逆流航行80千米，再顺流航行返回所用的时间的和，则该船在静水中的速度与水流速度之比为（）A．9：1B．5：4C．4：1D．5：1 3．一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（） A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1 4．小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度骑车慢50%．如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要（）分钟． A．45B．48C．56D．60 5．两块含铜百分比不同的合金重量之比为2：3，分别从两块合金上切下重量为3千克的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则原来两块合金的重量分别是（） A．4千克，6千克B．5千克，7.5千克C．6千克，9千克D．8千克，12千克 6．有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与甲、丙共同工作1天的工作量相同．A 工程如由甲、乙组共同工作3天，再由乙、丙组共同工作7天，正好完成如果三组共同完成，需要整7天．B工程如由丙组单独完成正好需要10天，问：如由甲、乙组共同完成，需要多少天？（）
专题04 分式与分式方程 一、单选题 1．（2021·河北）由1122c c +⎛⎫ - ⎪+⎝⎭ 值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（ ） A ．当2c =-时，1 2 A = B ．当0c 时，12 A ≠ C ．当2c <-时，1 2A > D ．当0c <时，12A < 【答案】C 【分析】先计算1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫ - ⎪+⎝⎭ 的正负，再判断A 与12的大小即可． 【详解】解： 11=224+2c c c c +-+，当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意； 当0c 时， 04+2c c =，1 2A =，故B 选项错误，不符合题意； 当2c <-时， 04+2c c >，1 2A >，故C 选项正确，符合题意； 当20c -<<时， 04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2c c >，1 2A >，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 2．（2021贺州）若关于x 的分式方程43233 m x x x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：∵分式方程43233 m x x x +=+--有增根， ∴3x =， 去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品 专题05分式方程及应用 【考点1】解分式方程 【例1】（2020·湖南郴州·中考真题）解方程： 24 111 x x x =+-- 【答案】x=3． 【解析】 【分析】 观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【详解】 解： 24111 x x x =+-- 去分母得，2 (1)41x x x +=+- 解得，x=3， 经检验，x=3是原方程的根， 所以，原方程的根为：x=3． 【点睛】 （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意
要检验． 【变式1-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）解方程： 23 2x x =-. 【答案】6x =. 【解析】 【分析】 首先去掉分母，观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】 去分母，得()232x x =-， 去括号，得236x x =-， 移项，合并同类项，得6x -=-， 化x 的系数为1，得6x =， 经检验，6x =是原方程的根， ∴原方程的解为6x =． 【点睛】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键． 【变式1-2】（2020·山东莘县·初三学业考试）解方程： 2 14 111x x x ++=--． 【答案】原方程无解． 【解析】 【分析】 观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】 解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x+1），得 2(1)4(1)(1)x x x +-=+-，解得x=1． 检验：把x=1代入（x ﹣1）（x+1）=0． 所以原方程的无解． 【点睛】 本题考查解分式方程．
2020北京中考一轮复习数学专题09—分式与分式方程 专题总结 【思维导图】 【知识要点】
知识点一：分式的基础 概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式，A为分子，B为分母。【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。 与分式有关的条件： 1．无论a A．a2+1 a2B．a+1 a2 C．a2−1 a+1 D．a−1 a2+1 2．若代数式x+1 x−3 有意义，则实数x的取值范围是（） A．x=−1B．x=3C．x≠−1D．x≠3 3．在1 x ,1 2 ,x2+1 2 ,3xy π , 3 x+y ,a+1 m 中分式的个数有（） A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个考查题型一分式值为0的判断方法 1．分式x 2+2x−3 |x|−1 的值为0,则x的取值为( ) A．x=-3 B．x=3 C．x=-3或x=1 D．x=3或x=-1 2．当式子|x|−5 x2−4x−5 的值为零时，x的值是（） A．±5B．5C．−5D．5或1
3．若分式x 2−1x+1 的值为0，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．±1 知识点二：分式的运算（重点） 基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A B = A•C B•C ，A B = A÷C B÷C ， 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 A B =−A −B =−−A B =−A −B 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 1．若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A ．2+x x−y B ．2y x 2 C ． 2y 33x 2 D ．2y 2 (x−y)2 2．若把分式x+3y 2xy 的x 、y 同时扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的10倍 B ．缩小为原来的 C ．不变 D ．缩小为原来的 3．若分式2ab a+b 中的a 、b 的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．是原来的3倍 C ．是原来的6倍 D ．是原来的9倍 分式的约分 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。 分式约分步骤： 1）提分子、分母公因式 2）约去公因式
分式方程的增根与无解问题专题练习 一、分式方程的增根问题 1、关于x 的分式方程522 x m x x -= ++有增根，则m 的值为（ ）． A. 0 B. -5 C. -2 D. -7 答案：D 解答：原分式方程去分母得：x -5=m ， ∵方程有增根， ∴x +2=0即x =-2， ∴m =-2-5=-7． 选D. 2、关于x 的方程1x x --1=()() 21a x x +-有增根，那么a =（ ）． A. -2 B. 0 C. 1 D. 3 答案：D 解答：去分母得：x （x +2）-（x +2）（x -1）=a ， 由分式方程有增根，得到x +2=0或x -1=0， 解得：x =-2或x =1， 把x =-2代入整式方程得：a =0，经检验不合题意，舍去； 把x =1代入整式方程得：a =3， 选D 3、已知关于x 的方程22 x m x +-=3有增根，则m 的值为______． 答案：-4 解答：∵ 22 x m x +-=3， ∴2x +m =3x -6， ∴x =m +6． 又∵有增根， ∴m +6=2， ∴m =-4．
4、若分式方程21 11 x m x x -- --=1有增根，则m 的值是______． 答案：3 解答： 21 11 x m x x -- --=1， 同乘以x -1得： 2x -（m -1）=x -1， 2x -x =-1+m -1， x =m -2． ∵该分式方程存在增根，即x -1=0，x =1， ∴m -2=1， ∴m =3． 5、已知关于x 的分式方程1 x m x +-=2有增根，则m 的值为______． 答案：-1 解答：原方式可化为2（x -1）=m +x ． 当原分式方程有增根时，x =1． 将x =1代入得m +1=0． 解得m =-1． 6、已知关于x 的方程311 x k x x -- --=2有增根，则增根为______，k 的值为______． 答案：1；-2 解答：原方程去分母，整理，得k =-x -1． ∵原方程有增根，而原方程的最简公分母为x -1． ∴由x -1=0可知原方程的增根为x =1． 当x =1时，k =-1-1=-2． 因此，原方程的增根为1，k 的值为-2． 故答案为：1；-2． 7、若关于x 的分式方程12x x ++=2 m x -有增根，则增根为______． 答案：2或-2 解答：∵原方程有增根， ∴最简公分母（x +2）（x -2）=0，
1．（2021·江苏南通市）解方程2303x x -=-． 2．（2021·江苏泰州市）解方程： 22x x -+1＝52x -． 3．（2021·江苏南京市）解方程2111 x x x +=+-． 4．（2021·江苏宿迁市）方程 22142 x x x -=--的解是_____________． 5．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--． 二、分式方程的应用 6．（2021·江苏徐州市）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？ 7．（2021·江苏常州市）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？ 8．（2021·江苏扬州市）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？ 9．（2021·江苏无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件． （1）求一、二等奖奖品的单价； （2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
专题09 分式方程实际应用的三种考法类型一、销售利润问题 例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的5 4倍．4 月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元． (1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？ (2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮 料的销量不少于桔子味饮料销量的3 2 ；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料 每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？ 【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同． (1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元． ①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？ ②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？ 【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱 的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，且购进电冰箱不多于40台，请确定获利最大的方案以及最大利润． （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调(0100)k k <<元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
八下数学思维解法技巧培优小专题 专题9 分式方程中的参数问题题型一由分式方程解的情况求参数的值或取值范围 【典例1】（2019•淅川县期末）若关于x的方程2m−3 x−1− x x−1 =0无解，则m的值是（） A．3B．2C．1D．﹣1 【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【解析】解：去分母得：2m﹣3﹣x＝0， 由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：2m﹣4＝0， 解得：m＝2， 故选：B． 【典例2】（2019•吉安县期末）若m x−3− 1−x 3−x =0无解，则m的值是（） A．3B．﹣3C．﹣2D．2 【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：m﹣x+1＝0， 由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：m＝2， 故选：D． 【典例3】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程2x−a x−1− 1 1−x =3的解为非负数，则a的取值范围为a≤4 且a≠3． 【点拨】根据解分式方程的方法和方程2x−a x−1− 1 1−x =3的解为非负数，可以求得a的取值范围． 【解析】解：2x−a x−1− 1 1−x =3， 方程两边同乘以x﹣1，得
2x ﹣a +1＝3（x ﹣1）， 去括号，得 2x ﹣a +1＝3x ﹣3， 移项及合并同类项，得 x ＝4﹣a ， ∵关于x 的分式方程 2x−a x−1 − 11−x =3的解为非负数，x ﹣1≠0， ∴{4−a ≥0(4−a)−1≠0， 解得，a ≤4且a ≠3， 故答案为：a ≤4且a ≠3． 【典例4】（2019•江阴市期中）若分式方程 x−2x−3 −2= m x−3 有增根，则m 的值为 1 ． 【点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值． 【解析】解：方程的两边都乘以（x ﹣3），得 x ﹣2﹣2（x ﹣3）＝m ， 化简，得 m ＝﹣x +4， 原方程的增根为x ＝3， 把x ＝3代入m ＝﹣x +4， 得m ＝1， 故答案为：1． 【典例5】（2019•江都区四模）若关于x 的分式方程 1x−2 − m 2−x =1的解是正数，求m 的取值范围． 【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m 的范围即可． 【解析】解：去分母得：1+m ＝x ﹣2， 解得：x ＝m +3， 由分式方程的解为正数，得到m +3＞0，且m +3≠2，
专题09 分式方程的三种应用 类型一、销售利润问题 例．某运动鞋专卖店通过市场调研，准备销售A 、B 两种运动鞋，其中A 种运动鞋的进价比B 种运动鞋的进价高20元，已知鞋店用3200元购进A 种运动鞋的数量与用2560元购进B 种运动鞋的数量相同． （1）求两种运动鞋的进价． （2）设A 运动鞋的售价为250元/双，B 运动鞋的售价是180元/双，鞋店共进货两种运动鞋200双，设总利润为W 元，A 运动鞋进货m 双，且90≤m ≤105． ①写出总利润W 元关于m 的函数关系式． ②要使该专卖店获得最大利润，应如何进货? 【答案】（1）A 种运动鞋的进价为100元/双，B 种运动鞋的进价是80元/双；（2）①W =50m +20000；②要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A 种运动鞋105双，购进B 种运动鞋95双 【详解】（1）设B 种运动鞋的进价x 元，则A 种运动鞋的进价(20)x +元，则3200256020x x =+ 解得：80x = 经检验80x =是原分式方程的解，且符合题意． ∴208020100x +=+= 故A 种运动鞋的进价为100元/双，B 种运动鞋的进价是80元/双． （2）①W =（250-100）m +（180-80）（200-m ）=50m +20000 即总利润W 元关于m 的函数关系式为W =50m +20000 ②∴W =50m +20000 ∴50＞0， W 随m 的增大而增大 又∴90≤m ≤105 ∴当m =105时，W 取得最大值，200-m =95 故要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A 种运动鞋105双，购进B 种运动鞋95双． 【变式训练1】某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A ，B 两个工厂都想参加加工这批产品，已知A 工厂单独加工这批产品比B 工厂单独加工这批产品要多用20天，而B 工厂每天比A 工厂多加工8件产品，公司需要支付给A 工厂每天80元的加工费，B 工厂每天120元的加工费． （1）A ，B 两个工厂每天各能加工多少件新产品？ （2）公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱，并说明理由． 【答案】（1）A 每天加工16件，B 每天加工24件；（2）两个工厂合作完成，理由见解析
中考复习——分式方程的增根与无解问题一、选择题 1、关于x的分式方程 7 1 x- +3= 1 m x- 有增根，则增根为（）． A. x=1 B. x=-1 C. x=3 D. x=-3答案：A 解答：方程两边都乘（x-1），得7+3（x-1）=m， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-1=0， 解得x=1， 当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意． 2、若关于x的分式方程 2 3 x- + 3 x m x + - =1有增根，则m的值为（）． A. 3 B. 0 C. -1 D. -3答案：C 解答：方程两边都乘（x-3）， 得2-（x+m）=x-3， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-3=0， 解得x=3， 当x=3时，m=-1， 选C. 3、关于x的分式方程 3 22 m x x - -- =1有增根，则m的值（）． A. m=2 B. m=1 C. m=3 D. m=-3答案：D 解答：去分母得：m+3=x-2， 由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2， 把x=2代入整式方程得：m+3=0， 解得：m=-3． 选D.
4、若关于x 的分式方程24x m x +-+2 x x -=1有增根，则m 的值是（ ）． A. m =2或m =6 B. m =2 C. m =6 D. m =-2或m =-6 答案：A 解答：∵关于x 的分式方程 24x m x +-+2 x x -=1有增根， ∴x =±2是方程x +m -x （x +2）=4-x 2的根， 当x =2时，2+m -2（2+2）=4-4， 解得：m =6， 当x =-2时，-2+m =4-4， 解得：m =2． 选A. 5、关于x 的分式方程71x x -+5=21 1 m x --有增根，则m 的值为（ ）． A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 答案：C 解答：方程两边都乘（x -1）， 得7x +5（x -1）=2m -1， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -1=0， 解得x =1， 当x =1时，7=2m -1， 解得m =4， 所以m 的值为4． 6、若关于x 的方程31x -=1-1k x -无解，则k 的值为（ ）． A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 答案：A 解答：方程两边都乘x -1， 得：3=x -1+k ， ∵原方程有增根，
分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 分析： 等量关系:慢车用时=快车用时+ （小时) 例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1。5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度． 分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等． 解:设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意,得 x x 6828-=x 5.1828 ，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =， 即普通快车车的平均速度为46km ／h,直达快车的平均速度为69km ／h ． 评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义． 4060
例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度. 分析： 等量关系：甲用时间=乙用时间+ (小时） 例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？ 解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得： 方程两边都乘以2x ，去分母,得 30—15＝x ， 所以，x ＝15． 检验：当x ＝15时，2x ＝2×15≠0， 所以x ＝15是原分式方程的根，并且符合题意． ∵ ，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟． 所行距离 速度 时间 甲 （87-45）千米 x 千米/小时 乙 45千米 （x+4)千米/小时 3060 8745x -454 x +
一、选择题 8．(2021·贺州)若关于x 的分式方程 43m x +-＝33 x x -＋2有增根，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 D {解析}原方程的增根是x ＝3．原方程去分母，得m ＋4＝3x ＋2(x －3)．将x ＝3代入此整式方程，得m ＋4＝3×3．所以m ＝5．故选D ． 8．（2021•嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x 元，根据题意可列方程为（ ） A ．40 1.5x − 30x =20 B ．40x −30 1.5x =20 C ．30x −40 1.5x =20 D ．30 1.5x − 40x =20 B 11．（2021•重庆B 卷）关于x 的分式方程 ax−3x−2 +1= 3x−12−x 的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组{ 3y−22 ≤y −1 y +2＞a 有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣3 D ．﹣2 B 【解析】关于x 的分式方程ax−3 x−2+1=3x−1 2−x 的解为x =6 a+4． ∵关于x 的分式方程ax−3x−2 +1=3x−12−x 的解为正数，∴a +4＞0．∴a ＞﹣4． ∵关于x 的分式方程 ax−3x−2 +1= 3x−12−x 有可能产生增根2，∴ 6 a+4 ≠2．∴a ≠﹣1． 解关于y 的一元一次不等式组{3y−2 2≤y −1y +2＞a 得：{y ≤0y ＞a −2． ∵关于y 的一元一次不等式组{ 3y−2 2 ≤y −1 y +2＞a 有解，∴a ﹣2＜0．∴a ＜2． 综上，﹣4＜a ＜2且a ≠﹣1．∵a 为整数，∴a ＝﹣3或﹣2或0或1． ∴满足条件的整数a 的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4．故选：B ． 10．(2021·绥化)根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天可生产x 箱药品，则下面所列方程正确的是（ ） A ．6000x ＝4500 500x + B ． 6000500x -＝4500 x C ． 6000x ＝4500500 x - D ． 6000500x +＝4500x 10．D 12．（2021•临沂）某工厂生产A 、B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m 2所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫xm 2，根据题意可列方程为（ ） A ．100 0.5x =100x +2 3 B ．1000.5x +23=100x C ． 100x +2 3=100 1.5x D ． 100x =100 1.5x +2 3
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编 解分式方程 考试时间：120分钟试卷满分：100分 一．选择题（共10小题满分20分每小题2分） 1．（2分）（2021八上·汉阴期末）斑马线前“车让人”不仅体现着一座城市对生命的尊重也直接反映着城市的文明程度.如图某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道其中AB=BC=12米在绿灯亮时小敏共用22秒通过AC路段其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍则小敏通过AB路段时的速度是（） A．0.5米/秒B．1米/秒C．1.5米/秒D．2米/秒 【答案】B 【完整解答】解：设通过AB的速度是xm/s 根据题意可列方程：1212 22 1.2 x x += 解得x=1 经检验：x=1是原方程的解且符合题意. 所以通过AB时的速度是1m/s. 故答案为：B. 【思路引导】根据路程、速度与时间之间的关系分别表示出小敏通过AB及BC段的时间根据共用时22秒列出方程然后求出方程的解. 2．（2分）（2021八上·永定期末）关于x的方程 1 11 m x x x - += -- 有增根则m的值是（） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【完整解答】解：两边都乘（x﹣1）得： m﹣1－x＝0
∵方程有增根 ∴最简公分母x ﹣1=0 即增根是x=1 把x=1代入整式方程 得m=2. 故答案为：A. 【思路引导】所谓增根 就是使最简公分母为0的根 据此先求出增根是x=1 再根据分式方程的增根是将分式方程去分母得的整式方程的根 于是将分式方程化为整式方程 将x=1代入整式方程求出m 即可. 3．（2分）（2021八上·凉山期末）已知关于x 的分式方程 2-2124 x mx x x -=+- 无解 则 m 的值为（ ） A ．0 B ．0或－8 C ．－8 D ．0或－8或－4 【答案】D 【完整解答】解：∵ 2x-2mx 124 x x -=+- ∴ 22(x-2)mx 1(2)(2)4 x x x -=+-- ∴2 2 (-2)4x mx x -=- ∴(+4)8m x = ∴当m+4=0时 方程无解 故m= -4； ∴当m+4≠0 x=2时 方程无解 ∴(+4)28m ⨯= 故m=0； ∴当m+4≠0 x= -2时 方程无解 ∴(+4)(2)8m ⨯-= 故m=-8； ∴m 的值为0或－8或－4. 故答案为：D. 【思路引导】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解 或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0 据此即可得出答案. 4．（2分）（2021八上·南沙期末）若正整数m 使关于x 的分式方程 2 (2)(1)21 m x x x x x x -=-+-+-的解为正
一元二次方程与分式方程 一、选择题 1．下列命题： ①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0； ②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； ③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； ④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3． 其中正确的是（） A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④ D．只有②③④ 2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．平行四边形或梯形 3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 二、填空题 4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值X围是． 5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值X围是． 6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为．7．若关于x的方程有增根，则m的值是． 8．方程的解是；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为． 三、解答题
9．阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c； 的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证． （2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论： 如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：． 10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0） （1）若m=1，求出此时方程的实数根； （2）求证：方程总有实数根； （3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表） 11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于． 12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4） （1）求A、B两点的坐标； （2）用含t的代数式表示△MON的面积S1； （3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2； ①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系； ②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？