初三数学专题复习 分式方程
【基础知识回顾】 一、分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】 二、分式方程的解法：
1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即
分式方程 ﹥整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
①、 ②、 ③、 3、增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程
的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原
方程去分母后的整式方程无解。如：
13
1=---x
x a x 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。】 三、分式方程的应用：
解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】 【重点考点例析】
A ．a≤-1
B ．a≤-1且a≠-2
C ．a≤1且a≠-2
D ．a≤1
点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为转化 去分母
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 对应训练
考点三：由实际问题抽象出分式方程
例3 （2013•深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A ．14401440
10100x x -=-
B ．
14401440
10100x x =++ C ．1440144010100
x x =+-
D ．1440144010100x x
-=+
思路分析：首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走1440米的时间=爸爸走1440米的时间-10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可．
对应训练
4．（2013•锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x 人，那么x 满足的方程是（ ）
A ．48005000
20x x =
- B ．
48005000
20x x =
+ C ．4800500020x x
=
- D ．4800500020x x
=
+ 考点四：分式方程的应用
例4 （2013•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．
对应训练
5．（2013•三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出
4
5
时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价-进价） 【聚焦山东中考】
1．（2013•莱芜）方程
2
4
02
x x -=-的解为（ ）A ．-2 B ．2 C ．±2 D ．-1
2
2．（2013•泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由
于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x 个，根据题意可得方程为（ ）
A ．331.3x x +=
B ．
331.3x x x +=+ C ．23004600331.3x x x
+=+
D ．46002300331.3x x x
+=+
3．（2013•威海）若关于x 的方程15102x m
x x -=
--无解，则m= ．
4．（2013•潍坊）方程
201
x x
x +=+的根是 ． 5．（2013•临沂）分式方程
21
11
x x x +
--=3的解是 ． 6．（2013•济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：
“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：
A ．x=2
B ．x=1
C ．x=
2
D ．x=-2
3．（2013•铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为（ ）
A ．2010
154x x +=+
B ．
2010
154x x -=+
C ．2010154
x x +=-
D ．2010154
x x -=-
4．（2013•乐亭县一模）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x 套运动服，根据题意可列方程为（ ） A
．
16040018(120%)x x +=+ B ．160400160
18(120%)x x -+=+ C ．
160400
1820%x x
+= D ．40040016018(120%)x x -+=+ 二、填空题
三、解答题
初三数学专题复习 分式方程 【基础知识回顾】 一、分式方程的概念 分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】 二、分式方程的解法： 1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即 分式方程 ﹥整式方程 2、解分式方程的一般步骤： ①、 ②、 ③、 3、增根： 在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程 的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。 【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略 2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原 方程去分母后的整式方程无解。如： 13 1=---x x a x 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。】 三、分式方程的应用： 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。 【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】 【重点考点例析】 A ．a≤-1 B ．a≤-1且a≠-2 C ．a≤1且a≠-2 D ．a≤1 点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为转化 去分母
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 对应训练 考点三：由实际问题抽象出分式方程 例3 （2013•深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A ．14401440 10100x x -=- B ． 14401440 10100x x =++ C ．1440144010100 x x =+- D ．1440144010100x x -=+ 思路分析：首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走1440米的时间=爸爸走1440米的时间-10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可． 对应训练 4．（2013•锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x 人，那么x 满足的方程是（ ） A ．48005000 20x x = - B ． 48005000 20x x = + C ．4800500020x x = - D ．4800500020x x = + 考点四：分式方程的应用 例4 （2013•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．
注意： 1）增根：使分式方程中的分母为0的根即为增根. 2）在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。 3）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母 中考数学复习《分式方程及其应用》经典题型（含答案） 知识点一：分式方程及其解法 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 变式练习：在下列方程中，①3210x +=；②24x y +=-；③4 11x x =-，其中是分式方程的是③. 2.解分式方程 基本思路：分式方程 整式方程 变式练习：将方程12211x x +=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x －1). 解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程； 分两步，第一步将各个分母因式分解，第二步方程两边都乘以最简公分母（最简公分母是指各个分母系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的积），得整式方程。 (2)解所得的整式方程； 移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值; (3) 检验： 求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。 方程两边同乘以 最简公分母 约去分母 注意：若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号
变式练习1：分式方程3x ＋1＝2x 的解是________． 【解析】方程两边同乘x (x ＋1)，得3x ＝2(x ＋1)， 去括号得，3x ＝2x ＋2， 移项得，3x －2x ＝2， 合并同类项得，x ＝2， 经检验， x ＝2是原分式方程的解． 变式练习2：若分式方程101 x =-有增根，则增根为1. 变式练习3：2＋x 2－x ＋16x 2－4 ＝－1. 【解析】去分母得：－(x ＋2)2＋16＝4－x 2， 去括号得：－x 2－4x －4＋16＝4－x 2， 解得：x ＝2， 经检验x ＝2是增根， 分式方程无解 变式练习3：小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘x 得1－(x －2)＝1 ……① 去括号得1－x －2＝1 ……② 合并同类项得－x －1＝1 ……③ 移项得－x ＝2 ……④ 解得x ＝－2 ……⑤ ∴原方程的解为：x ＝－2 ……⑥ 【解析】：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边同乘以x ，得：1－(x －2)＝x ，去括号得：1－x ＋2＝x ，移项得：－x －x ＝－1－2，合并同类项得：－2x ＝－3，解得：x ＝32，经检验x ＝32是分式方程的解，则方程的解为x ＝32 知识点二 ：分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：分式方程的应用（附答案）1．一个化学实验小组人员分别做测量锌跟盐酸反应生成氢气的实验：5人分别称取锌块6.51克，6.52克，6.49克，6.50克，6.48克，生成的氢气用排水法收集，测得分别为：2.25升，2.26升，2.23升，2.24升，2.22升，则由此实验得出的氢气的密度为（）A．8.9×10﹣5克/厘米3B．8.9×10﹣4克/厘米3 C．8.9×10﹣3克/厘米3D．8.9×10﹣2克/厘米3 2．一轮船顺流航行100千米与逆流航行64千米所用的时间的和等于逆流航行80千米，再顺流航行返回所用的时间的和，则该船在静水中的速度与水流速度之比为（）A．9：1B．5：4C．4：1D．5：1 3．一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（） A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1 4．小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度骑车慢50%．如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要（）分钟． A．45B．48C．56D．60 5．两块含铜百分比不同的合金重量之比为2：3，分别从两块合金上切下重量为3千克的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则原来两块合金的重量分别是（） A．4千克，6千克B．5千克，7.5千克C．6千克，9千克D．8千克，12千克 6．有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与甲、丙共同工作1天的工作量相同．A 工程如由甲、乙组共同工作3天，再由乙、丙组共同工作7天，正好完成如果三组共同完成，需要整7天．B工程如由丙组单独完成正好需要10天，问：如由甲、乙组共同完成，需要多少天？（）
初三数学总复习 分式方程及应用 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程； 3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出 现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。 4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。 6. 分式方程的解法有 和 。 （二）：【课前练习】 1. 把分式方程11122x x x --=--的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1 C ．1-(1-x)=x-2 D ．1+(1-x)=x-2 2. 方程 2321 x x -=+的根是（ ） A.－2 B.12 C.－2，12 D.－2，1 3. 当m =_____时，方程212mx m x +=-的根为12 4. 如果25452310 A B x x x x x -+=-+--，则 A=____ B ＝________. 5. 若方程 1322a x x x -=---有增根，则增根为_____，a=________. 二：【经典考题剖析】 1. 解下列分式方程：25211111 332552323 x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）； 2222213(1)1142312211x x x x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫+=+=+-+= ⎪ ⎪--++⎝ ⎭⎝⎭（4）；（5）；（6） 分析：（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别
中考数学复习 分式方程 一、选择题 1．把分式方程1x －2－1－x 2－x ＝1的两边同时乘以(x －2)，约去分母，得( D ) A ．1－(1－x )＝1 B ．1＋(1－x )＝1 C ．1－(1－x )＝x －2 D ．1＋(1－x )＝x －2 【解析】利用分式的基本性质，去分母时注意符号的变化． 2．分式方程1x ＝2x ＋1 的解为( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 【解析】分式方程两边同时乘以x (x ＋1)得：x ＋1＝2x ，x ＝1. 3．方程2x ＋1x －1 ＝3的解为( D ) A ．－45 B.45 C ．－4 D ．4 【解析】分式方程两边同时乘以x －1得2x ＋1＝3(x －1)，得x ＝4. 4．已知a 与2a －2 互为倒数，则满足条件的实数a 的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】倒数的定义，由a ·2a －2 ＝1，2a ＝a －2得a ＝－2只有一个值． 5．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x 个，那么所列方程是( B ) A.90x ＝60x ＋6 B.90x ＋6＝60x C.90x －6＝60x D.90x ＝60x －6 6．关于x 的分式方程5x ＝a x －2 有解，则字母a 的取值范围是( D ) A ．a ＝5或a ＝0 B ．a ＝0 C ．a ≠5 D ．a ≠5且a ≠0 二、填空题
7．如果1m －1＝1，那么m ＝__2__． 8．写出一个解为x ＝－1的分式方程__如1x ＝－1__． 【解析】答案不唯一. 9．若代数式1x －2和32x ＋1 的值相等，则x ＝__7__． 【解析】1x －2＝32x ＋1 ，解分式方程得x ＝7. 10．当m ＝__－6__时，关于x 的分式方程2x ＋m x －3 ＝－1无解. 11．关于x 的分式方程2x －m x ＋1 ＝3的解是正数，则字母m 的取值范围是__m ＜－3__． 【解析】去分母得2x －m ＝3x ＋3，解得x ＝－m －3， 由分式方程的解为正数，得到－m －3＞0，且－m －3≠－1，解得m ＜－3. 12．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13 .小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5 cm 3.求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/cm 3，根据题 意列方程是__30（1＋13 ）x －15x ＝5__． 三、解答题 13．解方程：2x x －2＝1－12－x . 解：去分母得：2x ＝x －2＋1，移项合并得：x ＝－1，经检验x ＝－1是分式方程的解． 14．已知关于x 的分式方程k x ＋1＋x ＋k x －1 ＝1的解为负数，求k 的取值范围． 解：去分母得k (x －1)＋(x ＋k )(x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)，整理得(2k ＋1)x ＝－1，因为方程k x ＋1＋x ＋k x －1 ＝1的解为负数，所以2k ＋1＞0且x ≠±1，即2k ＋1≠1且2k ＋1≠－1，解得k ＞－12且k ≠0，即k 的取值范围为k ＞－12 且k ≠0 15．“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花的束数的1.5倍，且每束花的进
分式方程精讲精练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点精讲 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． （1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程. 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 4.分式方程的应用 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位； ③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．
中考数学复习分式方程专题练习50题 分式在中考中必考，一般会考查到分式化简求值和解分式方程，都以基本的运算为主，有时会考查到根据分式方程解的情况求字母参数的值，以及分式方程的应用。 在分式方程的考查中以分式方程的解法为基础，解分式方程的基本思路是化分式分式方程为整式方程，在解完分式方程之后别忘记验根这一步。 除了考查基本分式基本解法之外，还会涉及到分式方程的增根或无解的情况，以及根据分式方程解的情况求字母参数的值或取值范围。 此外，还会考查到分式方程的应用，读题，理解题意找准等量关系是列方程解应用题的关键。在中考中，分式方程的应用一般会与不等式和一次函数的应用综合考查。 01 分式方程基础知识点梳理 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
2．可化为一元一次方程的分式方程的解法 ⑴解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． ⑵可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②解这个整式方程； ③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：⑴增根能使最简公分母等于0． ⑵增根是去分母后所得整式方程的根． 3．解分式方程产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根，即分式方程无解．
中考考点之分式方程3篇 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的(有理)方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。下面是小编给大家带来的中考考点之分式方程，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧! 初中数学知识点：分式方程 分式方程特征： ①一是方程 ②二是分母中含有未知数。 因此整式方程和分式方程 解法： 解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是： (1)去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。 (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂) (2)解方程：解整式方程，得到方程的根; (3)验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解; 否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。 如果分式本身约分了，也要带进去检验。 在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。 一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解. 注意： (1)注意去分母时，不要漏乘整式项。 (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式
方程的根。 (3)増根使最简公分母等于0。 分式方程的特殊解法： 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。的根本区别就在于分母中是否含有未知数。 初中数学知识点：分式方程的应用 分式方程的应用： 列分式方程解应用题的步骤：(1)审题;(2)设未知数;(3)列分式方程;(4)解分式方程，并验根;(5)作答。 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 列分式方程解应用题的一般步骤是： ①找等量关系(审):理解题意,弄清具体情境中的已知量与未知量以及它们之间的基本关系; ②设:设未知数,用含x(或其他字母)表示某个未知数，由该未知数与其他数量的关系，写出表示相关量的式子; ③列：找出相等关系，列出分式方程; ④解：解这个分式方程; ⑤检验：双重检验，先检验是否为增根，再检验是否符合题意; ⑥答：写出答案。 无解的含义： 1.解为增根。 2.整式方程无解。(如：0x不等于0.) 用分式解应用题的常见题型： (1)行程问题有路程、时间和速度三个量，其关系式是路程=速度×时间，一般式以时间为等量关系。 (2)工程问题有工作效率、工作时间和工作总量三个量，其关系式是工作总量=工作效率×工作时间。
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用 （一） 1．为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20棵，结果在时间相同的情况下多种了240棵树，原计划每天种植多少棵树？ 2．小华早上从家到离家3000米的学校，今天的速度比昨天提高了20%，结果比昨日早到了5分钟，问小华今日用的速度和时间．
3．某快餐店欲购进A、B两种型号的餐盘，每个A种型号的餐盘比每个B种型号的餐盘费用多10元，且用120元购进的A种型号的餐盘与用90元购进的B种型号的餐盘的数量相同． （1）A、B两种型号的餐盘单价各为多少元？ （2）若该快餐店决定在成本不超过3000元的前提购进A、B两种型号的餐盘80个，求最多购进A种型号餐盘多少个？ 4．小明陪妈妈一起到超市购买大米，按原价购买，用了100元．几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了55kg．这种大米的原价是多少？
5．在党中央的正确领导下，在全体医护人员的努力下，新冠肺炎疫情在我国得到有效控制，学生复课指日可待，某班级班委会计划从商店购买同一种品牌的一次性医用口罩和消毒液，已知购买一包一次性医用口罩比购买一瓶消毒液多用20元，若用400元购买一次性医用口罩和用160元购买消毒液，则购买一次性医用口罩的包数是购买消毒液瓶数的一半． （1）求购买该品牌的一包一次性医用口罩、一瓶消毒液各需要多少元？ （2）经商谈，商店给予该班级购买一包该品牌的一次性医用口罩赠送一瓶该品牌的消毒液的优惠，如果该班级需要消毒液的瓶数是一次性医用口罩包数的2倍还多8，且该班级购买一次性医用口罩和消毒液的总费用不超过670元，那么该班级最多可以购买多少包该品牌的一次性医用口罩？ 6．某服装厂准备加工400套运动装，原计划由甲组单独完成，甲组加工完160套后，因有其他任务改由乙组完成剩下的运动装加工，因乙组每天加工的数量比甲组多20%，故提前了2天完成任务，问甲组每天加工运动装多少套？
2022-2023学年九年级数学中考复习《分式方程解的相关问题》填空题专题训练（附答案）1．若关于x的方程有增根，则a的值． 2．若关于x的方程有增根，实数m的值为． 3．关于x的方程有增根，则增根是；且k的值是． 4．解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是．5．若关于x的方程＝1﹣无解，则a的值为． 6．若关于x的分式方程+＝无解，则m的值为． 7．已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是． 8．如果关于x的方程＝2无解，则a的值为． 9．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是．10．若关于x的分式方程有正整数解，则整数a＝． 11．若关于x的分式方程＝1﹣的解为非负数，则m的取值范围是．12．已知关于x的方程无解，则m＝． 13．若整数a既使得关于x的分式方程有整数解，又使得关于x，y的方程组的解为正数，则a＝． 14．已知关于x的不等式组共有三个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则整数a的值为．
15．关于x的方程＝1的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的所有整数m的和为． 16．若方程+1＝的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范围是． 17．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是． 18．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的分式方程﹣1＝有整数解，则满足条件整数a的和为． 19．若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于． 20．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组的解集是x＜a，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是．
中考数学《分式方程》专项练习题及答案 一、单选题 1．某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（） A．3000 x=3000 x−10(1− 1 10)B． 3000 x= 3000 x+10×10 C．3000 x=3000 x−10× 1 10D． 3000 x×(1− 1 10)= 3000 x+10 2．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则下列方程正确的是（） A．120 x+6=180 x B． 120 x= 180 x−6C． 120 x= 180 x+6D． 120 x−6= 180 x 3．某工程队在西城路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时 “×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程3000 x−10=3000 x+15，根据已有信息，题中用 “×××”表 示的缺失的条件应补充为（） A．每天比原计划少铺设10米，结果延迟15天完成B．每天比原计划多铺设10米，结果延迟15天完成C．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成D．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 4．分式方程2 x−3=3 x的解是（） A．x=﹣9B．x=9C．x=3D．x=9 5 5．解分式方程2 x−1+ x+2 1−x=3时，去分母后变形正确的为() A．2+(x+2)=3(x-1)B．2-x+2=3(x-1) C．2-(x+2)=3D．2-(x+2)=3(x-1) 6．工地调来76人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样分配劳动力才能使挖出的土能及时运走?解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，以下方程正确的是() A．76−x x=1 3B． x 76−x= 1 3C．76-x=3x D．x+3x=76 7．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（） A．800 x+50=600 x B． 800 x−50= 600 x C．800x=600 x+50D．800 x= 600 x−50
初三数学：分式方程 【基础知识回顾】 一、分式方程的概念 分母中含有的方程叫做分式方程 【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】 二、分式方程的解法： 1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程： 2、解分式方程的一般步骤： 1、2、3、4、5、6、 3增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为的根称为方程的培根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是培根应舍去。 【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不可以被省略】 三、分式方程的应用： 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。 【重点考点例析】 A．-1.5 B．1 C．-1.5或2 D．-0.5或-1.5 的解为负数，那么字母a的取值范围 对应训练 例5 （2012•岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建 筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？ （2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元， 工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b 个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【聚焦山东中考】 1．（2012•莱芜）对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．若2⊕（2x﹣1）=1，则x=（）A．B．C．D．﹣ 4．（2012•青岛）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度． 5．（2012•临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量．6．（2012•济南）冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？ 7．（2012•泰安）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 8．（2012•威海）小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书．“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售．这样，小明比原计划多买了6本．求每本书的原价和小明实际购买图书的数量． 6660 3 7
2022-2023学年九年级数学中考复习《分式方程增根与无解问题》解答题专题训练（附答案）1．已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，求a的值． 2．若关于x的方程有增根，求实数m的值． 3．若分式方程有增根x＝﹣1，求k的值． 4．已知关于x的分式方程． （1）若这个方程的解是负数，求m取值范围； （2）若这个方程无解，则m＝.（直接写出答案） 5．若关于x的分式方程的解为正数，求正整数a的值． 6．若方程无解，求m的值？ 7．若关于x的分式方程+＝的解大于1，求m的取值范围． 8．已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围． 9．若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，求满足条件的正整数m的值．10．若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和． 11．已知分式方程﹣1＝的解x满足﹣2≤x≤5，求m的取值范围．12．已知关于x的方程：＝﹣3． （1）当方程的解为正整数时，求整数m的值； （2）当方程的解为正数时，求m的取值范围． 13．若数a使关于x的分式方程＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组
的解集为y≤0，求符合条件的所有整数a的积． 14．若关于x的分式方程的解是负数，当m取最大整数时，求m2+2m+1的平方根． 15．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的解为x＝4，求k的值； （2）若分式方程有正数解，求k的取值范围． 16．已知关于x的方程． （1）若方程的解大于2，求a的取值范围； （2）当a为何值时，存在以x，a，为三边长的直角三角形？ 17．已知关于x的分式方程＝1无解，关于y的不等式组的整数解有且仅有3个，求n的取值范围． 18．若关于x的一元一次不等式组所有整数解的和为﹣9，且关于y的分式方程1﹣＝有整数解，求符合条件的所有整数a． 19．请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题： （1）已知关于x的方程＝1的解为负数，求m的取值范围； （2）若关于x的分式方程＝﹣1无解，求n的取值范围． 20．已知关于x的分式方程+＝． （1）若方程的增根为x＝2，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值； （3）若方程无解，求m的值
分式方程 一、选择题 1．下列各式中,是分式方程的是 A．x+y=5 B．C． =0 D． 2．关于x的方程的解为x=1,则a= A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 3．分式方程=1的解为 A．x=2 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=﹣2 4．下列关于分式方程增根的说法正确的是 A．使所有的分母的值都为零的解是增根 B．分式方程的解为零就是增根 C．使分子的值为零的解就是增根 D．使最简公分母的值为零的解是增根 5．方程+=0可能产生的增根是 A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 6．解分式方程,去分母后的结果是 A．x=2+3 B．x=2x﹣2+3 C．xx﹣2=2+3x﹣2 D．x=3x﹣2+2 7．要把分式方程化为整式方程,方程两边需要同时乘以 A．2xx﹣2 B．x C．x﹣2 D．2x﹣4 8．河边两地距离s km,船在静水中的速度是a km/h,水流的速度是b km/h,船往返一次所需要的时间是 A．小时B．小时 C．小时D．小时 9．若关于x的方程有增根,则m的值是 A．3 B．2 C．1 D．﹣1
10．有两块面积相同的小麦试验田,分别收获小麦9000㎏和15000㎏．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000㎏,若设第一块试验田每公顷的产量为x㎏,根据题意,可得方程 A． =B． = C． =D． = 二．填空题 11．方程：的解是． 12．若关于x的方程的解是x=1,则m= ． 13．若方程有增根x=5,则m= ． 14．如果分式方程无解,则m= ． 15．当m= 时,关于x的方程=2+有增根． 16．用换元法解方程,若设,则可得关于的整式方程． 17．已知x=3是方程一个根,求k的值= ． 18．某市在旧城改造过程中,需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际工作效率比原计划提高了20%,结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm,则根据题意可得方 程． 三．解答题 19．解分式方程1；2． 20．甲乙两人加工同一种玩具,甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等,已知甲乙两人每天共加工35个玩具,求甲乙两人每天各加工多少个玩具21．某服装厂准备加工300套演出服．在加工60套后,采用了新技术,使每天的工作效率是原来的2倍,结果共用9天完成任务．求该厂原来每天加工多少套演出服 22．为了过一个有意义的“六、一”儿童节,实验小学发起了向某希望小学捐赠图书的活动．在活动中,五年级一班捐赠图书100册,五年级二班捐赠图书180册,二班的人数是一班人数的倍,二班平均每人比一班多捐1本书,求两个班各有多少名同学
2021年九年级数学中考复习知识点专题突破训练：分式方程的应用（附答案） 1．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（） A．B． C．D． 2．某乡镇对公路进行补修，甲工程队计划用若干天完成此项目，甲工程队单独工作了3天后，为缩短完成的时间，乙工程队加入此项目，且甲、乙工程队每天补修的工作量相同，结果提前3天完成，则甲工程队计划完成此项目的天数是（） A．6B．7C．8D．9 3．某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务4．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时后甲追上乙．那么甲的速度是乙的（） A．倍B．倍C．倍D．倍 5．某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共
2021年九年级中考数学小专题复习：分式方程的增根无解问题（附答案） 1．若分式方程+＝有增根，则实数a的取值是（） A．0或2B．4C．8D．4或8 2．关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（） A．±3B．3C．﹣3D．2 3．分式方程有增根，则m的值为（） A．0和2B．1C．1和﹣2D．2 4．若关于x的分式方程无解，则m的值是（） A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6 5．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（） A．m＝0或m＝3B．m＝3C．m＝0D．m＝﹣1 6．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值是（） A．m＝﹣1B．m＝1C．m＝﹣2D．m＝2 7．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（） A．m＝0B．m＝﹣1C．m＝0或m＝3D．m＝3 8．若分式方程+3＝有增根，则a的值是（） A．﹣1B．0C．1D．2 9．若分式方程＝2+有增根，则a的值为（） A．4B．2C．1D．0
10．若解分式方程﹣＝产生增根，则m的值是（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．1或2D．1或﹣2 11．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（）A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3 12．分式方程有增根，则m为（）A．0B．1C．3D．6 13．如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．﹣3B．3C．4D．10 14．解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2B．1C．k≠2且k≠一2D．无法确定15．关于x的分式方程＝2﹣有增根，则a的值为（）A．﹣3B．﹣5C．5D．2 16．关于x的方程＝有增根，则k的值是（） A．2B．3C．0D．﹣3 17．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．0或2 18．若关于x的方程＝1有增根，则a＝（） A．﹣1B．﹣3C．1D．3 19．若关于x的分式方程＝﹣3有增根，则实数m的值是．