一、引言 合成孔径雷达干涉测量技术（synthetic aperture radar interferometry, InASR）将合成孔径雷达成像技术与干涉测量技术成功地进行了结合，利用传感器高度、雷达波长、波束视向及天线基线距之间的几何关系，可以精确的测量出图像上每一点的三维位置和变化信息。 合成孔径雷达干涉测量技术是正在发展中的极具潜力的微波遥感新技术，其诞生至今已近30年。起初它主要应用于生成数字高程模型(DEM)和制图，后来很快被扩展为差分干涉技术( differential InSAR , DInSAR)并应用于测量微小的地表形变，它已在研究地震形变、火山运动、冰川漂移、城市沉降以及山体滑坡等方面表现出极好的前景。特别，DInSAR具有高形变敏感度、高空间分辨率、几乎不受云雨天气制约和空中遥感等突出的技术优势，它是基于面观测的空间大地测量新技术，可补充已有的基于点观测的低空间分辨率大地测量技术如全球定位系统(GPS)、甚长基线干涉(VLBI)和精密水准等。尤其InSAR在地球动力学方面的研究最令人瞩目。 二维相位解缠是InSAR 数据处理流程中重要步骤之一，也是主要误差来源，无论是获取数字高程模型还是获取地表形变信息，其精确程度都高度依赖于有效的相位解缠。因此，本人在课程期间对相位解缠的相关文献进行了阅读。 二、InSAR基本原理
用两副雷达天线代替两个光源1S ，2S ，对地面发射相干信号，将 得到类似的条纹图。因为雷达信号与光线本质上都是电磁波，所以只要保证雷达天线载具运行轨道的稳定，那么两个信号到达地面上某一点处的路程差是确定的，只与该点在地面上的位置有关。在 InSAR 干涉测量中有两种模式，一种是在载具（卫星或飞机）上搭载一具天线，而载具两次通过不同轨道航线飞经目标地域上空，此种称之为单天线双航过模式；另一种在载具上搭载两副天线，只飞经目标地域上空一次，此种方式称之为双天线单航过模式。不论是哪种方式都可以用图 2.2 来模拟并作出几何解释。 在测量中两副天线或两次航过接收的数据可以各获得对地面同一区域的两幅包含幅值与相位信息的二维复数据图像，分别以1S ，2S 表示为 111114||exp()||exp()j r S S S π?λ==
第五章 最小二乘问题的解法 1.最小二乘问题 1)回归方程问题 []T i i l i y t t )() ()(1 ,,...,,m i ,...,2,1=是m 个实验点。现要根据这些点确定y 与l 个物理量 l t t t ,...,,21之间的关系式。 设这种关系式为),...,,,...,(11n l x x t t F y =，其中n x x ,...,1是方程中需要待定的n 个参数(系数)。 因此问题是如何通过)(n m m >个实验点，确定方程中的系数。 由于实验点的个数大于待定系数的个数，因此方程中系数的确定是一个超静定问题，无法按一般的方法进行求解。 此时将实验点到曲面距离最短的那个曲面作为所求曲面，从而求取该曲面方程。 即求解[]∑=-m i i i y x t F 12 )()(),(min ，这就是最小二乘问题。 2)非线性方程组问题 求解非线性方程组?? ? ?? ??===0),...,(. 0 ),...,(0 ),...,(11211n n n n x x f x x f x x f 可转化为求解如下形式的最小二乘问题。 ∑ =m i n i x x f 1 12 ),...,(min 显而易见，最小二乘法的一般形式可写为)()(min x f x f T 最小二乘法问题实际上是具有n 个变量的无约束极小化问题，前面解无约束优化问题的方法均可应用。 但是最小二乘问题具有一定的特殊性，即目标函数的表达式是由多个表达
式的平方和组成，理应有更、更有效的方法。这正是最小二乘解法要解决的问题。 2.线性最小二乘问题的解法 最小二乘法的一般形式可写为)()(min x f x f T 特别地，当b Ax x f -= )(，即)(x f 为线性函数时，则最小二乘问题可表示为： 2 min b Ax - 1) 线性最小二乘问题解的条件 定理1:*x 是线性最小二乘问题极小点的充要条件是*x 满足b A Ax A T T =。 证明：(1)必要性 令2 )(b Ax x s -= ，于是有： b b Ax b b A x Ax A x b Ax b A x b Ax b Ax x s T T T T T T T T T T +--=--=--=))(()()()( 由于b A x T T 是一个数，而一个数的转置是它的本身，因此有： Ax b A x b b A x b A x T T T T T T T T T T ===) () ( 故上式可化为：b b Ax b Ax A x x s T T T T +-= 2)( b A Ax A x s T T 22)(-=? 若*x 是)(x s 的极小点，则必有0)(=?x s ，则必有：b A Ax A T T = (2)充分性 若*x 满足b A Ax A T T =* ，即0)(*=-b Ax A T 考虑任一点n R z x v ∈+=*，计算
matlab 超定方程最小二乘解 2011-04-09 06:36:47| 分类：学习| 标签：超定方程最小二乘|字号订阅 根据解的存在情况，线性方程可以分为: 有唯一解的恰定方程组， 解不存在的超定方程组， 有无穷多解的欠定方程组。 对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。 线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解； 还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。 左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠； 广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快； 独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解， 一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解, x=lsqnonneg(A,b) (3)矩阵求逆 行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为： B=inv(A) 该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。
在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解， 而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时， 并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。 因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。 (4)除法运算 在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB中，定义了矩阵的除法运算。 矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。 矩阵左除： C=A\B或C=mldivide(A,B) 矩阵右除； C=A/B或C=mrdivide(A,B) 通常矩阵左除不等于右除， 如果A是方阵，A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。也就是inv(A)*B。 如果A是一个n*n矩阵，B是一个n维列向量，或是有若干这样的列的矩阵，则A\B就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。 如果A接近奇异的，MATLAB将会给出警告信息。 如果A是一个m*n矩阵，其中m不等于n，B是一个m维列向量，或是由若干这样的列的矩阵，
精品文档 超定方程组最小二乘解 最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。 一、 超定方程组的最小二乘解 当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。设G=(g iu )m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2-范数达取极小值的解，即 22*||||min ||||GX b GX b m R X -=-∈ 该问题是一个优化问题。 命题1：如果X *是正规方程组G T GX=G T b 的解，则X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解 证 由题设可得，G T (b – GX *)=0。对任意n 维向量Y ，显然有 (X * – Y )T G T (b – GX *)=0 考虑残差2-范数平方，由 22**2 2||)()(||||||Y X G GX b GY b -+-=- 上式右端利用内积，得 22*22*22*2 2||||||)(||||||||||GX b Y X G GX b GY b -≥-+-=- 从而有 || b – GY ||2 ≥ || b – GX *||2 等式仅当Y =X *时成立。所以X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解。 命题2：如果X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解，则X *满足正规方程组G T GX=G T b
超定方程组最小二乘解课程设计 最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。 一、超定方程组的最小二乘解 当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。设G=(g iu )m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2-范数达取极小值的解，即 22*||||min ||||GX b GX b m R X -=-∈ 该问题是一个优化问题。 命题1：如果X *是正规方程组G T GX=G T b 的解，则X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解 证 由题设可得，G T (b – GX *)=0。对任意n 维向量Y ，显然有 (X * – Y )T G T (b – GX *)=0 考虑残差2-范数平方，由 2 2**22||)()(||||||Y X G GX b GY b -+-=- 上式右端利用内积，得 2 2*22*22*22||||||)(||||||||||GX b Y X G GX b GY b -≥-+-=- 从而有 || b – GY ||2 ≥ || b – GX *||2 等式仅当Y =X *时成立。所以X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解。 命题2：如果X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解，则X *满足正规方程组G T GX=G T b 证 由题设，22* ||||min ||||GX b GX b m R X -=-∈，利用2-范数与内积关系，知X *是下面二次函数的极小值点 ?(X ) = (GX ，GX ) – 2(GX ，b ) + (b ，b ) 取任意n 维向量v ，对任意实数t ，构造一元函数 g (t ) = ?(X * + t v ) 显然， g (t ) 是关于变量t 的二次函数 g (t ) = (G (X * + t v )，G (X * + t v )) – 2(G (X * + t v )，b ) + (b ，b ) = g (0) + 2t [(GX *，Gv ) – (Gv ，b )]+ t 2 (Gv ，Gv ) 由题设t =0是g (t )的极小值点。由极值必要条件，得0)0(='g 。即 (GX *，Gv ) – (Gv ，b )=0 将左端整理化简，便得 (Gv ，GX * – b ) =0
INSAR相位解缠方法比较分析 【摘要】合成孔径雷达干涉测量技术（Interferometric Synthetic Apeurtre Radar，简称InSAR）是近二十年发展起来的一种先进的空间观测技术，它通过对同一地区的两幅单视复数图像进行配准、干涉、去除平地效应、滤波、解缠、地理编码等一系列处理，最终获取DEM。相位解缠是InSAR数据处理的关键技术和难点，也是InSAR产品的主要误差源。本文选取相干性较好四组SAR影像对进行实验，借助于Mcrosoft visual C++6.0平台和Matlab平台，对六种最常用的解缠方法从解缠精度和效率两个方面来分析比较各种方法。 【关键词】InSAR；缠绕相位；相位解缠；误差 合成孔径雷达（Synthetic Apeurture Rada，简称SAR）是50年代末研制成功的一种微波传感器，也是微波传感器中发展最快、最有效的传感器之一。它是一种主动传感器，与其他测地技术相比，SAR具有不受光照以及恶劣天气等条件的影响，可进行全天时、全天候地对地观测，对地物具有一定穿透能力，分辨率不受传感器平台高度的影响等优点。因此，被广泛地应用于地质、环境、海洋、水文、灾害、测绘、农业、林业、气象和军事等领域。 早在1952年，美国Goodyear宇航公司便研制成功了第一个实用化的SAR 系统，1953年获得了第一幅机载SAR影像，到70年代中期机载SAR技术己经比较成熟，到了70年代末期星载SAR已经由实验研究转向了应用研究，进入80年代后，星载SAR得到了迅猛发展。我国1976年开始研制合成孔径雷达，1979年获取了我国第一批合成孔径雷达图像，1987我国研制了新一代机载合成孔径雷达系统，90年代初，中国研制出机载合成孔径雷达实时成像传送处理器，目前我国星载SAR系统也正在积极研究当中。 InSAR是基于SAR成像基础和干涉测量原理上的一种雷达主动成像遥感测量技术。它的原理是通过两副天线同时观测，或一定时间间隔的两次平行观测，获取同一景观的复图像对，由于目标与天线的几何关系，在复图像对上产生相位差，形成干涉图纹。干涉图包含了图像点与天线位置差的精确信息，干涉合成孔径雷达相位解缠算法利用传感器高度、雷达波长、波束视向及天线基线距之间的几何关系，可以精确地测量出图像上每一点的三维位置。 InSAR干涉测量数据处理流程分为七个步骤，分别为：图像配准，配准完成后主图像和重采样的辅图像复共轭相乘，去平地效应，滤波处理，相位解缠，基线估计，生成DEM。其中，相位解缠是干涉数据处理过程中关键环节，直接影响数字高程模型（DEM）的精度。 由于三角函数的周期性，干涉图中各点的相位值只能落入主值（- ，]的范围内，所以干涉纹图中的相位只是真实相位的主值，要得到反映高程信息的真实相位值必须对每个相位值加上2 的整数倍，这个过程称为相位解缠。 相位解缠是InSAR数据处理中的重要环节，自20世纪70年代末至今人们已经发展了几十种相位解缠算法，这些算法可以分为三大类，第一类是以枝切法为代表的基于路径跟踪的相位解缠算法，它主要是通过沿着预先确定的一致性路径进行相邻像元的相位差值积分来实现相位解缠。积分时路径要绕开一些低质量、不一致的区域，这是路径跟踪算法的核心思想。这些方法都是一种局域算子，即误差被限制在局部区域内不会传播。第二类是以最小二乘算法为代表的基于最小范数思想的相位解缠算法，它是通过在整体上使缠绕相位的梯度与真实相位的
InSAR图像相位解缠的最小费用流法 及其改进算法研究 蒋廷臣1，2，焦明连1，史建青1，王秀萍 1 （1．淮海工学院测绘工程学院,江苏连云港 222001； 2．武汉大学卫星导航定位技术研究中心，武汉 430079） 摘要：最小费用流法是基于网络流的相位解缠方法，解决了许多解缠方法无法消除相位噪声对高相干区域影响的问题，在此基础上，本文针对该方法解缠时速度较慢和对计算机性能要求较高的缺点而提出改进算法，即将干涉图像分为若干子区域分别进行处 理，再利用基于Contourlet变换的超小波方法进行融合处理，最后用算例进行了验证，结果表明最小费用流法及其改进算法是一个 较好的解缠方法。 关键词：干涉测量相位解缠最小费用流法分块算法小波融合 一、前言 随着测绘新技术新理论的发展，现代大地测量范畴得到了较大拓宽，现在，合成孔径雷达干涉测量(Interferometry Synthetic Aperture Radar—InSAR)已成为其分支学科。合成孔径雷达干涉测量 ( InSAR)利用合成孔径雷达数据的相位信息提取地面三维信息，主要用于测量地面的高程和监测其变形。随着COSMOS和terraSAR卫星的发射成功，该技术日益受到各国政府部门以及科学工作者的重视。 在InSAR数据处理过程中，相位解缠是合成孔径雷达干涉测量的关键流程，它的准确性直接影响到 InSAR生成的数字高程模型的精确性。现在所有的解缠方法都是基于这样的假设，即 φ差的绝对值小于π。解缠后的真实相位是平滑且变化缓慢，同时图像各相邻像素的干涉相位 但是，雷达阴影、去相关等因素引起的噪声和伪信号往往造成相位数据不连续，给相位解缠带来极大的困难，目前大部分算法都无法圆满地解决这些问题 ,解缠的结果常常会有较大的误差，由此得到的数字高程模型就会与实际情况存在较大的差别。如何能够从质量较差的数据当中提取有用的信息，而忽略噪声对解缠过程的影响，成为一个急待解决的问题。 基于上述，本文根据统一的解缠数学模型和网络优化原理，阐述了最小费用流法法的相位解缠方法，并针对该方法解缠时速度较慢而提出分块算法，将整幅图像分为若干子区域分别进行处理 ,再利用超小波方法进行融合处理，从而得到较理想的解缠效果，同时利用算例进行了比较分析，较好地解决了上述问题。 二、最小费用流法解缠原理 2.1统一解缠模型 经过多年对相位解缠方法的研究，现在已有很多的解缠方法。在1996年，Ghiglia和Romero 第一作者简介：蒋廷臣（1975-），男，汉族，四川蓬安人，武汉大学测绘学院博士生，主要从事GPS与宽幅SAR融合的相关理论与方法研究。 第二作者简介：焦明连（1963－），男，汉族，河南商丘人，副教授，主要从事主要从事精密工程测量和测绘教育研究。
第十四讲 矛盾方程（组）的解---最小二乘法 一、从实验数据处理谈起 设有一组实验数据(t 1，s 1)，(t 2，s 2)，……，(t n ，s n )，希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。 假定规律为：2t c +1s=c ，由于存在误差i 2 t c (i 1,2,,n)≠+=i 1s c ，令 1121 22n n t 1s t 1c s A ,x ,b c t 1s ??????????????===???????????? ???????? ， 则： Ax=b 实际无解，或者说矩阵方程Ax=b 成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们需要而且也理当有“解”。怎么办？ 一般处理是，定义一种目标函数，例如： n 2 12i i 1i 2i i 1E(c ,c )w (s c t c )w 0==-->∑为加权系数 使误差12E(c ,c )最小化。w i =1(i=1～n)时2 122E(c ,c )Ax b -＝ 二、 最小二乘法（解） 对于矛盾方程Ax=b ，最小二乘法是求其“解”的一种方法。即求使2Ax b min -=的解。 t s
引理：m n A C ?∈设,A{1,3}由如下方程的通解构成： (1,3)(1,3)(1,3)n m AX AA A{1,3}{A (I A A)Z Z C }?=→=+-∈ 其中，A (1,3)为A{1,3}中的某个矩阵。 证：1。方程既然相容，设X 是其某个解，则 (1,3)H (1,3)H (1,3) (i) AXA AA A A X A{1} (iii)(AX)(AA )AA AX X A{3} ==→∈===→∈ 即方程的解必在A{1,3}中。 2。设X 为A 的一个{1,3}-逆矩阵，则 ( )() ()()()iii H H (1,3) (1,3)H (1,3) H H H H (1,3)H H (1,3)(1,3) AX AA AX AA AX A A X A A (AXA)AA AA ====== 即，A 的{1,3}-逆矩阵必满足方程AX=AA (1,3) {} { } (1,3)(1,3) (1,3) n m A{1,3}AX AA A (I A A)Z Z C ?∴==+-∈方程的所有解 ＝ 令(1,3)(1,3)X A I A A)Z ＝＋（－，则 (1,3)(1,3)(1,3) (1,3) (1,3) H (i)AX A AA A AZA AA AZA A X A{1} (iii)AX AA (A AA A)Z A A (AX) X A{3} =+-=∈=+-==∈ 定理：矩阵方程Ax=b 的最小二乘解为 (1,3)x A b =，其中A (1,3)为A 的任何一个{1,3}-逆矩阵，反之，存在X ，对于任何m b C ∈均有Xb 成为Ax=b 的最小二乘解，则X A{1,3}∈。 证明：
InSAR相位解缠最小范数算法的研究 第一章绪论 1.1论文研究的背景 合成孔径雷达干涉测量(InSAR)是20世纪60年代末发展起来的一项技术，在近20年来受到了世界各国的广泛关注获得了迅猛发展并逐渐趋于成熟。由于合成孔径雷达干涉测量主要是利用主动微波式传感器，它的出现大大地扩展了合成孔径雷达、光学传感器等的应用领域。它不仅能够获取高精度的高程信息，同时还可以全天时、全天候监测陆地表面和冰雪表面地形等的微小变化，监测的时间间隔从几天到几年，监测精度可达毫米级，并且它对某些目标物体还具有一定的穿透能力。其更令人瞩目的是，这项技术还可用于研究过去长时间无法到达的冰川和冰源的变化情况，也可用于一些灾害性地表形变的探测，如地震、火山爆发、等以及地表三维的重建，因而成为了遥感研究的热点川。 1.1.2 相位解缠研究的现状 相位解缠技术最早出现在20世纪60年代末70年代初，当时主要是信号处理的需要，所研究的主要是一维问题。除合成孔径雷达干涉测量中应用外，还在合成孔径声纳、光学干涉、微波干涉、核磁共
振等方面有重要应用。二维相位解缠始于20世纪70年代末。在 过去的30多年里，InSAR的相位解缠的方法发展十分迅速，达到了三、四十种，文献(王超，2002)列出了多种算法，但以上基本上可以分为两大类，即路径跟踪法(Path Following)和最小二乘法(Least Square)，路径跟踪法基于像元到像元的局部运算来解缠，而最小二乘法是通过使解缠后解缠前相位的梯度差整体最小来进行求解的。 各种算法都有其自身的优缺点，适用于特定条件的数据，普适性都不是很好，因此算法的选择一般应根据实际情况而定。 1.2 本文研究内容 我国是一个地质灾害频繁的国家，近些年来各种地质灾害接踵而来，如地震、滑坡、地面沉降等，这些地质灾害以地表形变为直接特征，严重影响了人民生命与则一产的安全，因此对地表形变的监测显得尤为重要。合成孔径雷达技术能够利用雷达信号中的相位信息来提取地表的三维信息，精度可达毫米级，己成为目前DEM生产的主要技术手段之一，在地下资源探测以及军事目标探测等方面都具有其独特的优越性和发展潜力。相位解缠作为InSAR技术应用处理中至关重要的一个环节，也因此显得尤为重要。 本文主要研究内容包括以下几个方面: 1、对相位解缠中最小范数算法的理论进行归纳和研究. 2、从对合成孔径雷达干涉测量的常用数据分析入手，在C#编程语言的基础上，结合WPS, GIS等技术和手段，对基于最小范数算法的InSAR相位解缠软件的四种基于最小范数相位解缠算法，包括
第十七讲 矛盾方程（组）的解---最小二乘法 一、从实验数据处理谈起 设有一组实验数据(t 1，s 1)，(t 2，s 2)，……，(t n ，s n )，希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。 假定规律为：2t c +1s=c ，由于存在误差i 2 t c (i 1,2,,n)≠+= i 1s c ，令 112122n n t 1s t 1c s A ,x ,b c t 1s ???????? ?????? ===???????????? ???????? ， 则：Ax=b 实际无解，或者说 矩阵方程Ax=b 成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们需要而且也理当有“解”。怎么办？ 一般处理是，定义一种目标函数，例如： n 2 12i i 1i 2i i 1E(c ,c )w (s c t c )w 0==-->∑为加权系数 使误差12E(c ,c )最小化。w i =1(i=1～n)时2 122E(c ,c )Ax b -＝ 二、 最小二乘法（解） 对于矛盾方程Ax=b ，最小二乘法是求其“解”的一种方法。即求使2Ax b min -=的解。 引理：m n A C ?∈设,A{1,3}由如下方程的通解构成：
(1,3)(1,3)(1,3)n m AX AA A{1,3}{A (I A A)Z Z C }?=→=+-∈ 其中，A (1,3)为A{1,3}中的某个矩阵。 证：1。方程既然相容，设X 是其某个解，则 (1,3)H (1,3)H (1,3) (i) AXA AA A A X A{1} (iii)(AX)(AA )AA AX X A{3} ==→∈===→∈ 即方程的解必在A{1,3}中。 2。设X 为A 的一个{1,3}-逆矩阵，则 ( )() ()()()iii H H (1,3) (1,3)H (1,3) H H H H (1,3)H H (1,3)(1,3) AX AA AX AA AX A A X A A (AXA)AA AA ====== 即，A 的{1,3}-逆矩阵必满足方程AX=AA (1,3) {} { } (1,3)(1,3) (1,3) n m A{1,3}AX AA A (I A A)Z Z C ?∴==+-∈方程的所有解 ＝ 令(1,3)(1,3)X A I A A)Z ＝＋（－，则 (1,3)(1,3)(1,3) (1,3) (1,3) H (i)AX A AA A AZA AA AZA A X A{1} (iii)AX AA (A AA A)Z A A (AX) X A{3} =+-=∈=+-==∈ 定理：矩阵方程Ax=b 的最小二乘解为 (1,3)x A b =，其中A (1,3)为A 的 任何一个{1,3}-逆矩阵，反之，存在X ，对于任何m b C ∈均有Xb 成为Ax=b 的最小二乘解，则X A{1,3}∈。 证明： R(A)R(A)R(A)R(A)R(A)R (A)Ax b (Ax P b)(P b b) (Ax P b)R(A),(P b b)(I P )b P b R (A) ⊥⊥ -=-+--∈-=--=-∈ 所以，2222 R(A)R(A)R(A)22 2 2Ax b Ax P b P b b b P b -=-+-≥-，
图割算法在相位解缠中的应用 摘要：相位解缠一直以来是干涉测量领域中的一个重要研究方向。传统的相位解缠算法的解缠结果易受到噪声或者截断相位的影响。为了解决上述问题，提高解缠精度，在模拟的存在截断相位缺陷的数据上，建立马尔科夫能量模型，推导出能量函数，使得相位解缠变成一个求解全局最优化的问题，利用图割理论求解。实验结果表明，图割理论能够很好的完成能量函数的优化，解缠结果在抗噪性以及精度上，比起传统的解缠算法都有着一定优势。那么就意味着，该方法在相位解缠方面有着重要的研究价值和宽阔的应用前景。 Abstract：Phase unwrapping is an important field in interference measurement. The traditional phase unwrapping algorithms are easily affected by noise or discontinuous phase. In order to solve the problems and improve solution accuracy，establishing markov energy model，getting the energy function，making the phase unwrapping into a global optimization problem on the datas of simulation of discontinuous phase，using the graph cuts solve the problem. The experimental results show that the optimization of energy
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 最小二乘法（解）-Read 第十七讲矛盾方程（组）的解---最小二乘法一、从实验数据处理谈起第十七讲矛盾方程（组）的解---最小二乘法一、从实验数据处理谈起设有一组实验数据(t 1 ，s 1 )，(t 2 ，s 2 )，，(t n ，s n )，希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。 假定规律为： 2t c + +1 1s=c ，由于存在误差 i 2t c (i 1,2, ,n) + = i 1s c ，令 1 12 1 22n nt 1 st 1 c sA ,x ,bct 1 s = = = ，则： Ax=b 实际无解，或者说矩阵方程 Ax=b 成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们需要而且也理当有解。 怎么办？一般处理是，定义一种目标函数，例如： n21 2 i i 1 i 2 ii 1E(c ,c ) w (s c t c ) w 0= == 为加权系数 ts 使误差1 2E(c ,c ) 最小化。 w i =1(i=1 ～ n) 时21 22E(c ,c ) Ax b ＝二、最小二乘法（解）对于矛盾方程 Ax=b，最小二乘法是求其解的一种方法。 即求使2Ax b min = 的解。 1/ 4
引理： m nA C 设 ,A{1,3}由如下方程的通解构成： (1,3) (1,3) (1,3) n mAX AA A{1,3} {A (I A A)Z Z C } = = + 其中，A (1,3) 为 A{1,3}中的某个矩阵。 证： 1。 方程既然相容，设 X 是其某个解，则 (1,3)H (1,3) H (1,3)(i) AXA AA A A X A{1}(iii) (AX) (AA ) AA AX X A{3}= = = = = = = = = = 即方程的解必在 A{1,3}中。 2。 设X 为 A 的一个{1,3}-逆矩阵，则( ) ( )( )( )( )( )( )( )iiiHH(1,3) (1,3)H(1,3) H H HH(1,3) HH(1,3) (1,3)AX AA AX AA AXA A X AA (AXA)AA AA= ==== == ==== = 即，A 的{1,3}-逆矩阵必满足方程 AX=AA (1,3) { { } }{ }(1,3)(1,3) (1,3) n mA{1,3} AX AAA (I A A)Z Z C = =+ = =+ 方程的所有解＝方程的所有解＝令(1,3) (1,3)X A I A A)Z ＝＋（－，则 (1,3) (1,3)(1,3) (1,3) (1,3) H(i)AXA AA A AZA AA AZA A X A{1}(iii)AX AA (A AA A)Z AA (AX) X A{3}= + = = + = = = + = = + = = 定理： 矩阵方程 Ax=b 的最小二乘解为 (1,3)x A b = = ，其中 A (1,3) 为 A 的任何一个{1,3}-逆矩阵，反之，存在 X，对于任何mb C 均有 Xb 成 Ax=b 的最小二乘解，则 X A{1,3} 。